專題01勾股定理

考點4勾股數(shù)

考點5勾股定理的應(yīng)用

考點6平面展開-最短路徑問題

f經(jīng)，不砒典?

勾股定理

1.（2022春?柳州期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=5,3c=12,則AB=（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可.

【解答】解：在RtAABC中，NC=90。，

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2=752+122=13.

故選：B.

2.（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，以RtAABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=^,

則圖中陰影部分的面積為（）

A.3B.-C.3^/2D.3也

2

【分析】根據(jù)勾股定理得到3^+4?2=鉆2=3,根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2=AB2=（y/3）2=3,

貝I」風臚沖分=-BC2+-AC2+-AB2=-（BC2+AC2+AB2）=3,

明彩郁刀*2222、

故選：A.

3.（2022春?哪陽區(qū)期末）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點短，不小心斜滑到杯里，已

知口杯的內(nèi)徑6c機，口杯內(nèi)部高度9c機，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是（）cm.

A.9B.10C.11D.12

【分析】連接AB,利用勾股定理求出AB的長，再比較大小即可.

【解答】解：如圖，連接

由題意知，BC=6cm，AC=9cm,

由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V62+92=3歷（0”），

3^=AAT7o/lF,

.-.3A/13<11,

故選：c.

4.（2022春?瓊海期末）勾股定理是中國幾何的根源，中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)

等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系，在一次數(shù)學(xué)活動中，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)如

下圖形：在AA5c中，NACB=90。，圖中以"、BC、AC為邊的四邊形都是正方形，并且經(jīng)測量

得到三個正方形的面積分別為225、400、S,則S的值為（）

B.175C.600D.625

【分析】由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,直接代入計算即可.

【解答】解：在A4BC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

.*.225+400=5，

S—625.

故選：D.

5.（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，AB=AC=17,3c=16,點。為的中點，則

點。到AC的距離為（）

68

A.15B.C.9D.9

1517

【分析】連接AD,過點。作DELAC于點E,根據(jù)已知和等腰三角形的性質(zhì)得出AD,3c和CD=8,

根據(jù)勾股定理求出4），根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：如圖，連接4）,過點。作DELAC于點E,DE的長即為所求,

-.AB=AC,。為3c的中點，BC=16,

:.AD±BC,BD=DC=8,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD=A/AC2-CD2=7172-82=15,

S^^ADCD^ACDE,

/.-xl5x8=-xl7-D￡,

22

解得由詈

故選：D.

6.（2022春?北京期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（/CME-7）會徽圖案，它是由一串有公共頂點O

的直角三角形（如圖2）演化而成的.如果圖2中的Q4,=44=AA=1，那么。的長為（

圖1

A.710D.20

【分析】。4=1，根據(jù)勾股定理可得。4="^=3,。4=7（72）2+I2=上,找至ij=品的規(guī)律,

即可計算外的長.

【解答】解：

.-.由勾股定理可得。4="力=逝，

22

OA3=7（72）+1=73,

OAn=G,

=&=20.

故選：D.

二.勾股定理的證明

7.（2022春?恭江區(qū)期末）勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)

端.下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）

【分析】勾股定理有兩條直角邊，一條斜邊，共三個量，根據(jù)勾股定理的概念即可判斷.

【解答】解：在A選項中，由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

-ab+—ab+-=—(a+b)(a+b),

整理可得"+"=，，

選項可以證明勾股定理，

在3選項中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

4x—ab+c~=(a+b)-,

整理得"+/=C2,

選項可以證明勾股定理，

在C選項中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

4x—ab+(6-a)2=c~,

整理得合+/坨

選項可以說明勾股定理，

在。選項中，大正方形的面積等于四個矩形的面積的和，

(a+b)-=+2ab+,

以上公式為完全平方公式，

二。選項不能說明勾股定理，

故選：D.

8.(2021秋?欒城區(qū)校級期末)如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊(x>y),請觀

察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是()

A.x2+y2=81B.x+y-13C.2孫+16=81D.x-y=4

【分析】由題意①一②可得2孫=65記為③，①+③得到(x+4=146由此即可判斷.

x2+y2=81①

【解答】解:由題意

(x-?=16②

①一②可得2孫=65③,

2xy+16=81,

①+③得X2+2xy+y2=146，

:.x+y=J146，

，①③④正確，②錯誤.

故選：B.

9.(2021春?撫順期末)勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個把數(shù)

與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可.

【解答】解：1.■—ab+—c2+—ab=—(a+b)(a+b),

2222

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意;

B、4xczZ?+c2=(a+Z?)2,

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意;

C、,：4x^ab+(b-a)2=c2,

.,.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理,故本選項不符合題意;

。、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意;

故選：D.

10.（2020春?高唐縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a,NACB=90。，若圖中大正方形的面積為48,小正方形的面積為6,則（a+b）?的值為（）

A.60B.79C.84D.90

【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為（匕-㈤，再根據(jù)四個直角三角形的面積等于大正方形的面積減

去小正方形的面積求出2必，然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：由圖可知，3-4=6,

4XLB=48-6=42,

2

.'.2ab=42，

（a+b）2=（b-a）2+4^=6+2x42=90.

故選：D.

11.（2020春?乳山市期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形

EFGH.連接EG,或）相交于點。、83與相交于點尸.若GO=GP,則是邈紋絲的值是

S正方形EFGH

2+A/2_.

D

B

【分析】先證明ABPG三ABCG（ASA）,得出尸G=CG.設(shè)OG=PG=CG=x,則EG=2x,FG=叵x,

再由勾股定理得出8c2=（4+2應(yīng)）/，即可得出答案.

【解答】解：?.?四邊形EFGH為正方形，

;.NEGH=45。，NFGH=90°,

?：OG=GP,

Z.GOP=ZOPG=67.5°,

..ZPBG=22.5°f

又?.?ND5C=45。，

ZGBC=22.5°,

:.ZPBG=NGBC,

?.ZBGP=NBGC=90。,BG=BG,

:.ABPG=ABCG（ASA）,

:.PG=CG.

設(shè)OG=PG=CG=x,

，.?O為EG,5D的交點，

EG=2x,FG=叵x,

???四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，

BF=CG=x，

BG=x+y/2x,

22222

BC=BG+CG=尤？（0+1）+x=（4+20）尤2,

故答案為：2+5/2.

12.（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形54C,繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得AZME,所以/&場=90。，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而

四邊形ABFE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法.

【分析】證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用四邊形ABEE面積等

于RtABAE和RtABFE的面積之和，化簡整理得到勾股定理.

【解答】解：由圖可得：

正方形ACFD的面積=四邊形ABFE的面積=RtABAE和RtABFE的面積之和，

:方形ACFZ）=S^BAE+S岫FE'

.b2=j_c2+S+a）（l-a）

整理得：a2+b2=c2.

三.勾股定理的逆定理

13.（2022春?靖西市期末）在AABC中，若AC?-,貝g（）

A.NA=90。B.々=90。C.ZC=90°D.不能確定

【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案.

【解答】解：?,?AC?—友72=鉆2,

AC2=BC2+AB2,

.-.ZB=90°.

故選：B.

14.（2022春?普蘭店區(qū)期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4.5,6,7.5D.4,5,6

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進行計算即可解答.

【解答】解：A,V62+72=85,82=64,

,-.62+72^82,

:.6,1,8不能作為直角三角形的三邊長，

故A不符合題意；

B、?.?52+62=61,72=49,

.-.52+62^72,

.-.5,6,7不能作為直角三角形的三邊長，

故3不符合題意；

C、-.-4.52+62=56.25,7.52=56.25,

.-.4.52+62=7.52,

.-.4.5,6,7.5能作為直角三角形的三邊長，

故C符合題意；

22

D、V4+5=41,6?=36,

.-.42+52^62,

.-.4,5,6不能作為直角三角形的三邊長，

故。不符合題意；

故選：C.

15.（2021秋?濱?？h期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（）

A.1,73,2B.5,12,13C.5,6,7D.7,24,25

【分析】利用勾股定理逆定理進行判斷即可.

【解答】解：A,12+（A/3）2=22,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意；

B、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；

C、52+62^72,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；

D、72+242=252,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意.

故選：C.

16.（2022春?興寧區(qū)校級期末）以下列各組數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,&D.6,8,11

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角

三角形.如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形，逐一判定即可.

【解答】解：A、42+52*62,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意;

B、22+32^42,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；

C>12+12=（V2）2,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；

D、62+82^112,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：C.

17.（2022春?鳳泉區(qū)校級期末）滿足下列條件時，AABC不是直角三角形的是（）

A.AB^l,BC=2,ACfB.AB2-BC2=AC2

C.ZA-ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可.

【解答】解：?1-I2+（A/3）2=22,

r.AABC是直角三角形，不符合題意；

B、-.-AB2-BC2=AC2,

:.AB2=BC2+AC2,即AABC是直角三角形，不符合題意；

C、■.■ZA-ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=18O°,

:.ZA=90°,即AABC是直角三角形，不符合題意；

D、-.?ZA:ZB:ZC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

;.NA=45。，NB=60。，NC=75。，即AASC不是直角三角形，符合題意.

故選：D.

18.（2021秋?萊陽市期末）下列不能判定AABC是直角三角形的是（）

A.a2+b2-c2=0B.a:b:c=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA+ZB=ZC

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是90。即可.

【解答】解：A、由4+尸-02=0,可得/+〃=/,故是直角三角形，不符合題意；

B、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

C>?.?ZA:ZB:ZC=3:4:5,.-.ZC=180ox---=75。，故不是直角三角形，符合題意；

3+4+5

D.■.■ZA+ZB=ZC,:.ZC=90°,故是直角三角形，不符合題意；

故選：C.

19.（2022春?廉江市期末）下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長的是（）

A.V2,V2,2B.5,7,11C.9,12,15D.15,20,25

【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，看看是否相等即可.

【解答】解：4.?.?（⑸+（回=2+2=4,22=4,

（0）2+（A/2）2=22,

.??以0,夜，2為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.?1?52+72=25+49=74,II2=121,

.-.52+72*1仔，

.?.以5,6,11為邊的三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

C.?.?92+12?=81+144=225,152=225,

.-.92+122=152,

.?.以9,12,15為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.V152+202=225+400=625,25?=625,

.-.152+202=252,

.,.以15,20,25為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

四.勾股數(shù)

20.（2021秋?常寧市期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.6,8,10D.5,12,13

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊

的平方.

【解答】解：A、22+32^42,不是勾股數(shù)，此選項正確；

B、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項錯誤；

C、62+82=102,三邊是整數(shù)，同時能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項錯誤；

D、52+122=132,是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項錯誤.

故選：A.

21.（2021秋?揭西縣期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,y/5,2B.0.3,0.4,0.5C.8,15,17D.5,6,7

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方，從而得出答案.

【解答】解：AA,非，2不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；

80.3,0,4,0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；

C.82+152=172,是勾股數(shù)；

D.52+62^72,不是勾股數(shù)；

故選：C.

22.（2022春?曲靖期末）觀察下面幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：

①4,3,5；

②6,8,10；

③8,15,17；

@10,24,26；

請你根據(jù)規(guī)律寫出第⑤組勾股數(shù)是12,35,37.

【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號之間的關(guān)系，如果是第"組數(shù)，則這組數(shù)中

的第一個數(shù)是2（”+1）,第二個是：“（"+2）,第三個數(shù)是：（〃+1>+1.根據(jù)這個規(guī)律即可解答.

【解答】解:觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知:第一個數(shù)是2（〃+1）；第二個是：〃（〃+2）；第三個數(shù)是：（“+1）2+1.

所以第⑤組勾股數(shù)是12,35,37.

故答案為:12,35,37.

23.（2022春?寧江區(qū)校級期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）

A.B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足4+62=的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)判定即可.

【解答】解：A、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

3、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、62+72^82,不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

24.(2022春?來賓期末)閱讀理解:如果一個正整數(shù)機能表示為兩個正整數(shù)a,b的平方和，即m=a2+b2,

那么稱機為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義

勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù).依次正確的是()

A.②④B.①②④C.①②D.①④

【分析】根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義進行判斷即可.

【解答】解：①不能表示為兩個正整數(shù)的平方和，

；.7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確；

@-.-13=22+32,

13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；

③兩個廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，

故③結(jié)論錯誤；

2222

④設(shè)叫=a+b,m2=c+d,

則7771-=(a2+b2)-(c2+屋)

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=(a2c2+b2d2+2abed)+(a2d2+b2c2-2abcd)

=(ac+bd)2+(ad-be)2,

=或=時，兩個廣義勾股數(shù)的積不一定是廣義勾股數(shù)，

如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2x2=4,4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯誤，

依次正確的是①②.

故選：C.

五.勾股定理的應(yīng)用

25.(2022春?惠州期末)如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)

走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草.他們少走的路長為()

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【分析】利用勾股定理求出4?的長，再根據(jù)少走的路長為AC+3C-AB,計算即可.

2

【解答】解：由勾股定理得，AB=VAC2+BC=A/62+82=10（/71）,

少走的路長為AC+3C-AB=6+8-10=4（〃。，

故選：D.

26.（2022春?夏津縣期末）如圖，長為125的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和5,然后把中點。向

上拉升8c機至。點，則橡皮筋被拉長了（）

D

—------□-----

~C鏟x

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

【分析】根據(jù)勾股定理，可求出山》、的長，則">+BD-AB即為橡皮筋拉長的距離.

【解答】解：根據(jù)題意得：AD=BD,AC=BC,AB±CD,

則在RtAACD中，AC=-AB=6cm,CD=8cm；

2

根據(jù)勾股定理得：AD=siAC2+CD2=A/62+82=10（c/n）；

所以AL>+3D—AS=2AT）—AB=20-12=8（s）；

即橡皮筋被拉長了8cm；

故選：C.

27.（2022春?棗陽市期末）一個門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號（單位：m）的長方形薄木板能從

口門框中通過的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

【分析】解答此題先要弄清題意，只要求出門框?qū)蔷€的長再與已知薄木板的寬相比較即可得出答案.

【解答】解：薄木板不能從門框內(nèi)通過.理由如下:

連接AC,則AC與/IB、3C構(gòu)成直角三角形,

根據(jù)勾股定理得AC=4AB2+BC?=Vl2+22=75?2.236>2.2.

只有2.9x22薄木板能從門框內(nèi)通過，

故選：A.

28.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9加，內(nèi)壁高

12cm.若這支鉛筆長為18a”，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長度.然后求其差.

【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB=12cm,BC=9cm,

在RtAABC中：AC=7AB2+BC2=>/122+92=15（cm）,

所以18-15=3（CTH）,18-12=6（c/n）.

則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm~6cm之間.

觀察選項，只有選項。符合題意.

故選：D.

29.（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個水池，水面BE的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出

水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，則這個蘆葦?shù)母叨仁牵?/p>

)

D.15尺

【分析】先設(shè)水池的深度為x尺，則這根蘆葦?shù)拈L度為（x+2）尺，根據(jù)勾股定理可得方程V+8?=（x+2）2,

再解即可.

【解答】解：設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：

x2+82=（x+2）2,

解得：x=15,

所以x+2=17.

即：這個蘆葦?shù)母叨仁?7尺.

故選：C.

30.（2021秋?中牟縣期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去鬧（讀kun,

門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），

從點。處推開雙門，雙門間隙CD的長度為2寸，點C和點D到門檻回的距離都為1尺（1尺=10寸），

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

【分析】取的中點O,過。作于E,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

【解答】解：取9的中點O,過。作于E,如圖2所示：

由題意得：OA=OB^AD^BC,

^OA=OB=AD=BC=r^,

則=(寸)，DE=10寸，OE=La)=l寸,

2

；.AE=(r-l)寸，

在RtAADE中，

AE1+DE^=AD1,即(—1)2+10?=/,

解得：廠=50.5,

.-.2r=101(寸)，

，AB=101寸，

故選：B.

圖2

六.平面展開最短路徑問題

31.（2022春城區(qū)期末）如圖，臺階階梯每一層高20cro,寬30cm,長50cm,一只螞蟻從人點爬到3

點，最短路程是（）cm.

「r北j

A

A.IOA/89B.505C.120D.130

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答.

【解答】解：如圖所示，

,它的每一級的高為20cm,寬30C〃7,長50C〃2,

AB=V502+1002=50下（cm）.

答：螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程是5。垂cm,

故選：B.

32.（2022春?長壽區(qū)期末）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4c〃z,高為5cm.若一只螞蟻從P點

開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達。點，則螞蟻爬行的最短路徑長為.

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段

最短解答.

【解答】解：

?.?X4=2x（4+2）=12,。4=5

:.PQ=13.

故答案為：13.

33.（2021秋?麥積區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為10cm,底面周長為24?！?，在杯內(nèi)壁離杯底3c的

點3處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2c機與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁

A處到內(nèi)壁臺處的最短距離為15cm.（杯壁厚度不計）

螞蟻以

B強蜜

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點從，根據(jù)兩點之間線段最短可知A3的長度即為所求.

【解答】解：如圖:

將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點AL

:.A'D=12cm,BD=10—3+2=9cm>

連接A!B,則A'B即為最短距離，A'B=^A'D2+BD2=V122+92=15(CTM).

故答案為：15.

34.（2021秋?福田區(qū)校級期末）如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點3處有一滴糖漿，容器外A點

處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5cm,寬為3cm,高為4cm,點A距底部1cm,

請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）（）

A.3y/V7cmB.10cmC.5,cmD.jll3cm

【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點從，根據(jù)兩點之間線段最短可知A3的長度即為所求.

【解答】解：將容器的側(cè)面展開，如圖所示：

A'.\

作A關(guān)于EF的對稱點A,連接A3,則43即為最短距離,

由題意得：EC=4cm>AC=1cm,BC=5+3=8(cm),

A￡=AE=EC—AC=4-l=3(cm),

AC=A'E+EC=3+4=7(cni),

由勾股定理得：A'B=ylA'C2+BC2=A/72+82=^U3{cm).

故選：D.

35.（2021秋?高新區(qū)校級期末）如圖，教室的墻面45EF與地面ABCD垂直，點P在墻面上.若

叢=>15=5米,點尸到AD的距離是3米,有一只螞蟻要從點尸爬到點B，它的最短行程是_4后一米.

【分析】可將教室的墻面AD￡F與地面ABCD展開，連接P、B,根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理

求解即可.

【解答】解：如圖，過P作尸G_L3F于G,連接PB,

?.?AG=3米，AP=AB=5米,

，尸G=4米,

.?.3G=8米,

:.PB=[GB。+GP。=4加(米).

故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是46米.

故答案為：4A/5.

色產(chǎn)逡機二題1倒1

1.（2022春?威寧縣期末）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,則AC邊上的高班＞的長為（

）

A

，

2224

A.4B.—C.—D.5

55

【分析】過A作于點￡,根據(jù)勾股定理計算出底邊上的高AE的長,然后計算三角形的面積，再

以AC為底，利用三角形的面積計算出AC邊上的高皮）即可.

【解答】解：過A作5。于點石，

]

A

E

\AB=AC,

「.AABC是等腰三角形，

\AE±BC,

:.EB=EC=-CB=3,

2

在RtAABE中，AE=^AB2-BE2=^52-32=4,

S=-ACBD=-BCAE=-x6x4=12,

AMARBCr222

-x5xBD=12,

2

解得=—

5

故選：C.

2.（2022春?景縣期末）如圖，在RtAABC中，Z4CB=90。，點。是他的中點，且CD=且，如果RtAABC

2

的面積為1,則它的周長為（）

-----、B

A.B.A/5+1C.A/5+2D.6+3

2

【分析】根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得=百；然后利用勾股定理、三角形的面

積求得（AC+BC）的值，則易求該三角形的周長.

［解答］解：如圖，?.?在RtAABC中，NACB=90。，點。是AB的中點，＞CD=—,

2

:.AB=2CD=45.

AC2+BC2=5

又?.?RtAABC的面積為1,

-AC.BC=1,貝l|AC.BC=2.

2

（AC+BCf=AC2+BC2+2AC.BC=9,

:.AC+BC^3（舍去負值）,

AC+BC+AB=3+45,即AABC的周長是3+石.

3.（2021秋?船山區(qū)校級期末）如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖

從A點到3點只能沿圖中的線段走，那么從A點到3點的最短距離的走法共有（）

B

//

A.1種B.2種C.3種D.4種

【分析】如圖所示，找出從A點到3點的最短距離的走法即可.

【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如圖所示，

最短路程長為+2?+1=2A/2+1,

則從A點到3點的最短距離的走法共有3種，

4.（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a，ZACB=90°，若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,則（a+。尸的值為110

【分析】可得出?+生和變形可得結(jié)果.

【解答】解：由題意得，

\a2+b2=60

=]0，

:.2ab=50,b—a=y/10,

:.a2+b2+2ab=60+50,

(a+b)2=110,

故答案為：110.

5.（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形A4C,繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得AZME,所以N54E=90。，且四邊形是一個正方形，它的面積和四邊形ABfE面積相等，而

四邊形ABFE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法.

bD

【分析】證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用四邊形ABEE面積等

于RtABAE和RtABFE的面積之和，化簡整理得到勾股定理.

【解答】解：由圖可得:

正方形ACFD的面積=四邊形ABFE的面積=RtABAE和RtABFE的面積之和,

即$正方形ACFD=SABAE+,^ABFE'

.b2=J_c2+(6+。)(1一。)

整理得：a2+b2=c2.

6.(2022春?浦橋區(qū)校級期末)如圖，在RtAABC中，ZACB=9Q°,AB=10cm,AC=6cm,動點P從

B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為r(s).

(1)求邊的長.

(2)當A4B尸為等腰三角形時，求f的值.

【分析】利用勾股定理求解3c的長，再分3中情況討論：當尸時，當筋=3P時，當鈣=AP時,

分別計算可求解.

【解答】解：在RtAABC中，ZACB=90°,AB=10an,AC=6cm,

BC=yjAB2-AC2=7102-62=8,

當AP=3P時，如圖1,則AP=f,PC=BC—BP=8—t,

圖1

在RtAACP中，AC2+CP2=AP2,

62+(8-1)2=t2,

解得”三；

4

當A5=3P時，如圖2,則3尸=/=10；

當=時，如圖3,貝！）3尸=23。；

圖3

.,/=2x8=16,

綜上，/的值為生或10或16.

4

7.（2021秋?密山市校級期末）已知：如圖1,RtAABC中，NACB=90。，。為AB中點，DE、DF分

別交AC于E,交BC于F,且QE_LDF.

（1）如果C4=CB,求證：AE2+BF2=EF2；

（2）如圖2,如果C4<CB,（1）中結(jié)論的2+8產(chǎn)=灰2還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請

說明理由.

【分析】（1）過點A作AM//3C,交7?延長線于點連接EM,通過證明==即可

得出答案；

（2）延長田至使DM=DF,連接AM、EM,根據(jù)（1）通過證明40=3尸，=即可得

出答案.

【解答】（1）證明：過點人作4以//3。，交FD延長線于點

連接￡M.

-.■AM//BC,

ZMAE=ZACB=90°,ZMAD^ZB.

;AD=BD,/ADM=NBDF,

:.AADM=ABDF.

:.AM=BF,MD=DF.

又DEIDF,:.EF=EM.

:.AE2+BF2=AE1+AM2=EM2=EF2.（3分）

（2）成立.

證明：延長FD至“，使DM=DF,連接川欣、EM.

-.AD=BD,ZADM=ZBDF,

:.AADM=ABDF.

:.AM=BF,ZMAD=ZB.

:.AM//BC.:.ZMAE=ZACB^9Q°.

又DELDF,MD=FD,:.EF=EM.

:.AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2（7分）

（說明：本題提供的兩種證法對（1）、（2）兩問均適用）

8.（2022春?韓城市期末）已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=2,CD=2,">=3,且AB_L3c.求

四邊形ABCD的面積.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出AACD的形狀，再利用三角形

的面積公式求解即可.

【解答】解：連接AC.

?.?ZABC=90°,AB=1,BC=2,

AC=y/AB2+BC2=Vl2+22=75,

在AACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2,

.?.AACD是直角三角形，

S四邊形ABC?=5鉆,BC+—ACCD,

=—x1x2H—xx2，

22

=1+A/5.

故四邊形ABCD的面積為1+行.

9.（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在AABC中，AD=15,AC=12,DC=9,點3是CD延長線上

一點，連接鉆，若AB=2O.求：AASD的面積.

BDC

【分析】由勾股定理的逆定理證明AADC是直角三角形，ZC=90°,再由勾股定理求出3C,得出BD,

即可得出結(jié)果.

【解答】解：在AADC中，AD=15,AC=12,DC=9,

AC2+DC2=122+92=152=AD2,

即AC2+DC2=AD2,

」.AADC是直角三角形，NC=90。，

在RtAABC中，BC==J202-122=16

:.BD=BC-DC=16-9=7,

AABD的面積=Lx7x12=42.

2

10.（2022春?永定區(qū)期末）如圖，一架梯子AB長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米.

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？

【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度.

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑5米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股

定理，已知梯子的底端距離墻的距離為5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離.

【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：

所以梯子距離地面的高度為：AO=7AB2-OB2=V132-52=12（米）；

答：這個梯子的頂端距地面有12米高;

（2）梯子下滑了5米即梯子距離地面的高度為。￥=12-5=7（米）,

根據(jù)勾股定理：0B，=，4斤2-=J132-72=2底（米），

BB'=OB'-OB=（2A/30-5）米

答：當梯子的頂端下滑5米時，梯子的底端水平后移了（2癡-5）米.

11.（2022春?慈溪市期末）如圖，