第二章平面向量及其應(yīng)用章末十六種常考題型歸類

題型歸納

題型突破

向量的加減法與數(shù)乘

1.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為所的是（）

A.AB++~BQ）B.RA+AB-~BQ

C.~QC-~QP+~CQD.（AB+PC）+（BA-QC）

2.（23-24高一下?江蘇常州?階段練習(xí)）若前="|cB,設(shè)通=ACA,貝LU的值為L

3（23-24高一下安徽?階段練習(xí)在4486^點P在BC上目點=2PC點Q是AC的中點若刀=（4,3）,

PQ=（1,5）,則而=,BC=.

4.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）若2母-加-13+"3均+3=6,其中匕b,乙為已知向量，求未知向

量￡.

5.（多選）（23-24高一下?四川涼山?階段練習(xí)）在夕BCD中，設(shè)亞=a,AD=b,AC=c,BD=d,

則下列等式中成立的是（）

.a+b=cB.a+d=bC.b+d=aD.|a+b|=|c|

向量共線與三點共線問題

6.（23-24高一下,福建莆田,期中）已知向量＜5與3且而=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a—2加一定

共線的三點是（）

A.A,C,D三點B.A,B,C三點

C.A,B,D三點D.B,C,D三點

7.（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）已知向量匕b,且荏^a+2b,BC=-5a+2b,CD=7a+2b,則

下列一定共線的三點是（）

A.4B,CB.B,C,DC.A,B,DD.A,C,D

8.（23-24高一下?河北滄州?階段練習(xí)）已知Z，孩是兩個不共線的單位向量4=前-4夙石=既+2孩，

若2與旗線，則k=:

9.（23-24高一下?河北承德?階段練習(xí)）已知出，e2是兩個不共線的向量％=e1-4e2/=kq+2e2，

若N與旗線，則k=.

10.（23-24高一下?福建寧德?階段練習(xí)）已知向量2=2瓦-3夙，3=x部+孩，且必不，則久=:

題型03

11.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，向量荏=a,AC=b,CD=c，則向量前可以表示為（）

C.b—a+cD.b-CL-c

12.（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖，在^ZBC中，。為靠近點/的三等分點，E為BC的中點，設(shè)國=

a,~AC=b,以向量五,3為基底,則向量屁=（）

13.（23-24高一下?甘肅武威?階段練習(xí)）如圖，在^ABC中，AB=赤瓦P為CD的中點，則前=（）

c

C.--AB+-ACD,--AB+-AC

8283

14.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段4。的靠近A

的三等分點，則前=（）

A.-BA--BCB,-BA+-BCC,-BA+-BCD,-BA+-JC

33363333

15.（多選）（22-23高一下?江蘇連云港?期中）如圖，△48c中，麗=［前，點E在線段AC上，AD與

BE交于點F,BF=I~BE,則下列說法正確的是（）

C.AF+2BF+CF=0D.ShBFD:ShAFB=1:3

向量的線性表示與參數(shù)

16.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點E為AB邊的點且32E=2EB，點F在4C邊

上，且=3FA,BF交CE于點=4荏+〃標，貝！|（尢〃）為（）

17.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）在銳角△4BC中，AD為BC邊上的高,tanC=2tanB,AD=xAB+

yAC,貝Ik-y的值為（）

A.B.1C

22

18.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）在2WCD中,6為448C的重心，滿足E=%荏+yADix.yeR),

則-

45

AB

--c

330D.-1

19.（23-24高一下?福建莆田?階段練習(xí)）在三角形ABC中，D是BC上靠近點C的三等分點，E為AD中

點，若阮=xAB+y芯，則x=.

交于點F，點M在線段4D上.

⑴用瓦?和就表示前，旗；

（2）設(shè)麗=XBE,求4的值；

⑶設(shè)麗=xAC+yBM,證明-xy<^.

向量的線性表示與最值取值范圍問題

21.（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形4BCD中，已知分別是BC,CD上的點，且滿足屁=

FC,CF=2FD.若點P在線段8。上運動，目ap=^AE+/zXF（A,/zGR），貝必+〃的取值范圍為（）

A-[~?i]B-。-[?1]。.[-j,|

22.（23-24高一下?湖南?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E是CD的中點，點F為線段8。上的

一^?'三等分點，且。尸>FB,若Q=xAE+yDC,貝!|x+y=（）

23.（23-24高三下?江蘇揚州?階段練習(xí)）如圖，在"BC中，P為線段BC上靠近點B的三等分點，。是線段4P

上一點，過點。的直線與邊4B,AC分別交于點E,F,設(shè)荏=AAB,AF=[iAC.

⑴若求熱勺值；

⑵若點。為線段2P的中點，求2+〃的最小值.

24.(23-24高一下?福建漳州?階段練習(xí))在三角形4BC中，荏="前=另，戰(zhàn)=2說，。為線段北上

任意一點，BD交AE于0.

(1)若而=2DA.

①用之，3表示版；

②若布=AAE,求屈勺值；

(2)若前=xBA+yBC,求?+蕓^的最小值.

25.(23-24高一下?江西宜春?階段練習(xí))如圖所示，在44BC中，。為BC邊上一點，且前=2反.過。點的

直線EF與直線4B相交于E點，與直線71C相交于F點(E,F兩點不重合).

(1)用4B,AC表示4D；

⑵若荏=AAB,AF=nAC,求4+2〃的最小值.

|題型06|向量的坐標表示

26.(23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))已知4(-1,-2),5(3,8),若初=2AC，則點C的坐標為()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,3)

27.(23-24高一下?河南?階段練習(xí))已知向量屈=(2,3),點砸坐標為(3,2),則點8的坐標為()

A.(6,4)B.(1,-1)C.(5,5)D.(-1,1)

28.(23-24高一下?山東棗莊?階段練習(xí))若向量2=(2,1),b=(2,2)，貝卜—=()

A.(0,—1)B.(―2,—1)C.(―2,—3)D.(6,3)

29.(23-24高一下?甘肅武威?階段練習(xí))已知向量五=(3,6),則與向量五平行的單位向量為.

30.(23-24高一下?天津濱海新?階段練習(xí))已知：點4(-1,-1)和向量五=(2,3),若屈=3a,則點B的坐

標是?

|題型07|

31.(23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí))若向量石=(1,2),b=(2,-x),a//b，貝k=()

A.1B.-1C.-4D.4

32.(23-24高一下?山西大同?階段練習(xí))已知向量2=(4,x),b=(%,1)，則、=—2"是3〃鏟的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

33.（23-24高一下?山東德州?階段練習(xí)衽直角坐標系%0y中，向量布=（1,-1）,OB=（5,m）,0C=（7,3）,

其中爪eR,若2,B,C三點共線，則實數(shù)血的值為（）

A.|B.-7C.|D.2

34.（多選）（23-24高一下?全國?期中）下列各組向量中，能作為基底的是（）

A.e1=(0,0),e2=(1,1)

B.e7=(1,2),=(-2,1)

C.前=(-3,4)局=&-|)

D.e7=(2,6),石=(-1,3)

35.(23-24高一下河南鄭州?階段練習(xí)應(yīng)平面直角坐標系中,B(-2,2m+1),AC=(-l,m-1),

若4B,C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)機的取值范圍滿足的集合為

向量的數(shù)量積

36.（23-24高一下?海南?？?階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心0平分線段

MN,且MN=2BC,點E為DC的中點，則前?前=（）

A.1B.3D.-3

37.(23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí))已知等邊42BC的邊長為1,前^d,CA=b,BA^c，那么2-b+b-

c+c?a=()

A.-B.--C.-iD.-

2222

38.(23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))若向量占=(VX1),屋(-1,物，則心伍-3)=()

A.3B.2C.-3D.-2

39.（23-24高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí)正四邊形4BCD中,E,F分別是邊力D,BC的中點,AB3,EF=\,

CD=y13,則希-CD=

40.（23-24高一下?天津靜海?階段練習(xí)）在梯形ABCD中,ADllBC,BC=2AB=2AD=2,^BAC=90°,

若麗=3BE,則荏-前的值為

向量的夾角

41.（2012高一?全國?競賽）若23是非零向量，目滿足（2+2b）la,（b+2a）1b，則占與甜勺夾角是（）.

A.=B.=C.MD.

6336

42.（23-24高一下?福建莆田?期中）已知2=（1,V3）,b=（2,0）,貝眩與甜勺夾角為（）

A.°B.?C.勺D.今

o336

43.（23-24高一下?山西大同?階段練習(xí)）已知非零向量五范滿足同=3\b\,且向量3在向量2上的投影向量

為，a,貝皈與甜勺夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

44.（2024高一?全國?專題練習(xí)）已知非零向量由3滿足2同=3\b\,b1（2a-b）,則向量2,另夾角的余弦值

為.

45.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知同=2,或=夕，①4）.（2日+W=2.

⑴求同+山；

（2）求向量a與a+3的夾角.

題型10向量的模長

46.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中,^BAD=§,A8=2,F為CD的中點，

左=3旗，且荏-初=，則|而|為（）

A.3B.4C.6D.8

47.（23-24高一下?甘肅武威?階段練習(xí)）在平行四邊形4BCD中，E是直線BD上的一點，目4E1BD,若

AEAC=18,^]\AE\=.

48.（23-24高一下?廣西南寧?開學(xué)考試）已知向量江4滿足同=同=2,強司=60。，則忖-b\=.

49.（2024高一下?全國專題練習(xí)）已知向量2=（-2,2+6）￡=（l.A）^a//b則的=.

50.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）已知日=（1,2）,3=（2,-3）,5=（1,久）,（a+g）1c,則

|c|=_____

II

!題型11垂直問題

■-------I

51.（23-24高一下?福建漳州?階段練習(xí)）已知向量江=（LD,3=[彳），且N13,貝b=（）

A.—；B.2C.；D.—2

22

52.（21-22高一下?貴州銅仁?階段練習(xí)）已知江，族是非零向量，且2，杯共線，同=5,同=4,若向量

a+以與3-以互相垂直，則實數(shù)k的值為（）

A.±2B.±工

c-±i5D-±t4

53.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）已知21b,\a\=2,\b\=3且向量3N+2石與質(zhì)-3互相垂直,則k的值為

（）

A「|B.j

C.±|D.1

54.（2024高一下?全國專題練習(xí)）已知2=（1,2遙=（-3,1）.

（1）設(shè)a石的夾角為e,求cose的值；

⑵若向量a+癌與a-口互相垂直，求k的值

55.（23-24高一下?甘肅武威?階段練習(xí)）已知向量2=（2,4）,b=（m,1）,c=（1,2）,且（2-2司1c.

（1）求小的值；

（2）求向量之-石與2石-3用勺夾角的余弦值.

鈍角、銳角問題

56.(23-24高一下?山東德州?階段練習(xí))已知同=B，同=2,2與甜勺夾角為30°，若向量N+3與布-甜勺

夾角為鈍角，則屈勺取值范圍是()

A.(1,+co)B.(-°°-0

C.(-00,-1)u(-1,0D.C，+8)

57.(23-24高一下?江蘇?階段練習(xí))已知2=(1,2),b=(2,4-2),若N與笳勺夾角為銳角，貝!M的取值范圍

為.

58.(20-21高一?江蘇?課后作業(yè))已知為=(1,-1),另=(尢1),若2與笳勺夾角a為鈍角，求屈勺取值范圍.

59.(23-24高一下?福建三明?階段練習(xí))設(shè)乙另是不共線的單位向量，且2與3的夾角的余弦值為點

(1)求Q+2司,Q-b),\a+b\；

⑵若雨+b^d+33的夾角為銳角，求實數(shù)k的取值范圍.

60.(23-24高一下河南三門峽?階段練習(xí))已知向量4=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-l),teR.

⑴求忖+國的最小值及相應(yīng)的t值；

(2)若五-正與映角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.

61.(23-24高三下?江蘇揚州?階段練習(xí))已知△ABC的外接圓圓心為。，同=久荏+就)，|明=|西，

則而在就上的投影向量為()

A.-在正B.火旅

44

C.-feeD

4.4

62.(23-24高一下?四川綿陽?階段練習(xí))已知m=6,同=4,石與3的夾角為60°,設(shè)與3同向的單位向量

為3，則之在3上的投影向量為.

63.(23-24高一下?山西大同?階段練習(xí))已知①b,0為不共線的平面向量，揚|=|可，若2+3+=6,貝吟

在a方向上的投影向量為.

64.(23-24高一下?吉林?階段練習(xí))已知m=4,3為單位向量，它們的夾角為§,則向量2在向量3上的

投影向量為

65.(21-22高一下?江蘇徐州?期中)已知向量五=(x,y)，甲乙丙丁四位同學(xué)通過運算得到如下結(jié)果：

甲：與五反向的單位向量為(|,￡)；

乙：與五垂直的單位向量為±《，；

丙：a在向量(2,0)上的投影向量為(3,0)；

T:a在向量(0,-1)上的投影向量為(0,-4).

其中有且只有一個人計算錯誤，貝卜-y的值為()

A.-7B.7C.-1D.1

三角形的形狀問題

66.(23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí)P是44BC所在平面上一點滿足同-PC\-\PB+PC-2PA\^0,

則44BC的形狀是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

67.（22-23高一下河北石家莊期中）在A4BC中，若品2=2荏?屈，則A4BC的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

68.（22-23高一下?山東荷澤?階段練習(xí)）在AABC中，麗?法＞0,則A/IBC的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

69.（22-23高一下?上海浦東新?階段練習(xí)）在44BC中，若（刀+CBy（CA-CB）=0,貝!］△ABC的形狀

是■

70.（21-22高一?全國?課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中屈=DC，若|而-AB\=\BC-BA\，則四邊形ABCD

是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.不確定

!中型15|四心問題

71.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）設(shè)。是△力BC所在平面內(nèi)一定點，M是平面內(nèi)一動點，若（麗-MC）.

（OM-AM）=（MB-MX）-（OM-CM）=0,則點。是△4BC的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

72.（多選）（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若成+~OB+OC=0,貝!|。為448c的重心

B.若。為△A8C的夕卜心,滿足。7+OB+OC=OD,貝山是小A8C的垂心

C.若。是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足而=瓦？+4（瑞+禽），46（0,+8）,則直線4P一定經(jīng)

過小4BC的外心

D.若（瓦？+OB）-AB=（OB+OCyBC^（pC+OA）-CA^O,貝!］。為44BC的夕卜心

73.（23-24高一下?河北滄州?階段練習(xí)）已知平面內(nèi)4B,C三點不共線，且點。滿足成-OB=OB-OC^

OA-OC,則。是A4BC的心.（填"重"或"垂"或"內(nèi)"或"外"）

74.（多選）（23-24高一下?山東臨沂?階段練習(xí)）在ANBC中，下列命題正確的是（）

A.AB-^4C=BC

B.點。為△ABC內(nèi)的一點，OA+3OB+2方=6,則〃AOB:^LABC=1：3

C.點。為△ABC內(nèi)的一點，S.（OB-OC）?（OF+OC-204）=0,則44BC為等腰三角形

D.尼.荏＞0,則44BC為銳角三角形

75.（多選）（23-24高一下?江蘇淮安?階段練習(xí)）設(shè)點。在小A8C所在平面內(nèi)，且點G、H、0、/分別為該三角

形的重心、垂心、外心和內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若|布|=\0B\=\0C\=1且4而+30B+20C=0,則赤,反=［；

B.~PA+PB+PC+3PG=0；

C?若萬=乂潟+D（4eR）,貝必由為等腰三角形；

D.若27H+3HB+4WC=0,貝！=一手.

I

題型16正余弦定理的應(yīng)用

76.（23-24高一下?山西運城?階段練習(xí)）在SBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin4=史,

4

sinB=y,a=V3,則6=()

A3

-?B/C-TD.2

77.（23-24高一下?山西運城?階段練習(xí)）已知△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則

bcosC+ccosB

=------_

78.（23-24高一下?湖北宜昌?階段練習(xí)）已知。為△4BC的邊AC上一點，AD=3DC,4B=舊，乙4DB=

2/.DBC=11,貝[]sinN4BC=.

79.（23-24高一下?山西大同?階段練習(xí)）已知在A/IBC中，角4B,C的對邊分別為a,hc,a=7,b=3且

Q.r—c..D

DsmG—3sm0?

（1）求C；

（2）求4的大小及4ABC的面積.

80.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，2。=1,CD=2,2C=夕，

⑴求cos/。!。的值.

（2）若B為銳角,BC=2,sinzBXC=亨,求角B.

第二章平面向量及其應(yīng)用章末十六種?？碱}型歸類

題型歸納

題型突破

向量的加減法與數(shù)乘

1.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為所的是（）

A.AB++~BQ）Q.PA+AB-JQ

C.QC-QP+~CQD.（AB+PC）+（BA-QC）

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量加、減運算法則及運算律計算可得.

【詳解】對于A:通+伊1+的）=方+血+麗=所，故A不合題意；

對于B:港+荏-的=麗-麗，故B滿足題意；

對于C：QC-QP+CQ=QC+CQ+PQ=PQ,不合題意；

對于D（AB+PC）+eA-QC）=84+2B+PC+CQ=PQ,故D不合題意.

故選：B

2.(23-24高一下?江蘇常州?階段練習(xí))若前=-1CB,設(shè)同=ACA，則屈勺值為:

【答案】2

【分析】根據(jù)向量的線性運算計算即可.

【詳解】因為前=-|CB,所以麗=-3AC,

則說-AC+CB-AC-3AC=-2AC=2CA,

又因為屈=ACA,

所以a=2.

故答案為：2.

3(23-24高一下?安徽?階段練習(xí)在△力8C中點P在BC上目前=2PC點Q是AC的中點若與=(4,3),

PQ=(1,5),則而=,BC=.

【答案】(-3,2)(-6,21)

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合而=PQ-或和無=PQ+QC=PQ+AQ,利用向量的運算法則，即可求解.

【詳解】由向量刀=(4,3),PQ=(1,5)*

在44PQ中，可得而=PQ-PA=(1,5)-(4,3)=(-3,2)；

在小PQC中，可得而=PQ+QC='PQ+AQ=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),

又因為麗=2PC,可得說=3PC=(-6,21).

故答案為：(-3,2);(-6,21).

4.(2024高一?江蘇?專題練習(xí))若2磔-黑)-13+-3均+3=6,其中由b,［為已知向量，求未知向

量￡.

【答案】三-轉(zhuǎn)+六

【分析】

將向量方程展開，合并同類向量，移項后將￡的系數(shù)化為1即得.

【詳解】

1T721T1T

日T5T

o:-+bC=o

--守------

由2(H-22X322

1T141T1

T角物得aT

4卜

-b+-C----b-c

即棄=2277

21

5.(多選)(23-24高一下?四川涼山?階段練習(xí))在218CD中，設(shè)ABa,AD=b,ACc,BD=d,

則下列等式中成立的是()

-a+b=cB-a+d=bC-b+d—aD.|d+=|c|

【答案】ABD

【分析】可畫出圖形，從而得出^^AB+AD,BD^AD-AB,再結(jié)合模長逐項判斷.

【詳解】如圖，

1?'AB—a,AD—b,AC=c,BD—d；

???SIC=AB+而得，0=d+3；

???選項A,D都正確；

由麗=AD-荏得，）=3—/；即/+5=3

???選項B正確,選項C不正確.

故選：ABD.

向量共線與三點共線問題

6.（23-24高一下,福建莆田,期中）已知向量2與另且后=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a—2加!］一定

共線的三點是（）

A.A,C,D三點B.A,B,C三點

C.A,B,D三點D.B,C,D三點

【答案】C

【分析】利用向量的線性運算及共線定理即可求解.

【詳解】對于A,因為荏=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,

所以尼=AB+BC=a+2b-5d+6b=-4a+8b,

所以尼豐4而，所以A,C,D三點不共線，故A錯誤；

對于B,因為荏=2+,就=-5a+6b,

所以荏豐2品，所以A,B,C三點不共線，故B錯誤；

對于C,因為說=3+23，前=-5a+6b,CD7a-2b

所以麗=~BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,

所以麗=2AB,又B是BD與4B的公共點，

所以A,B,D三點共線，故C正確；

對于D,因為品=-5a+6b,CD=7a-2b,

所以配豐4方，所以B,C,D三點不共線，故D錯誤.

故選：C.

7.（23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）已知向量2,b,且荏=衣+2石，前=—5a+2b,CD=72+23,則

下列一定共線的三點是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.A,B,DD.A,C,D

【答案】C

【分析】利用向量的共線來證明三點共線的.

【詳解】AB=a+2b,BC=-5a+Zb.'CD=7a+2b,

則不存在任何46R，使得荏=ABC,所以4B,C不共線，A選項錯誤；

則不存在任何〃￡R，使得南=tiCD,所以B,C,。不共線，B選項錯誤；

由向量的加法原理知前=BC+CD=2a+4b=2AB.

則有麗〃同,又前與國有公共點8,所以45。三點共線，C選項正確；

AC=AB+BC=-4a+4b,則不存在任何teR，使得前=tCD,所以4G。不共線，D選項錯誤.

故選：C.

8.（23-24高一下?河北滄州?階段練習(xí)）已知可，瓦是兩個不共線的單位向量4=前-4記3=嗚：+2/，

若與秧線，則

2k=___________:

【答案】-|/-0.5

【分析】設(shè)另=42,2eR,可得出關(guān)于實數(shù)k、屈勺等式，即可解得實數(shù)k的值.

【詳解】因為可、孩是兩個不共線的單位向量，2=瓦-4石，3=k區(qū)+2/，若之與B是共線向量，

設(shè)b—Aa,A￡/?,則k百+2eJ=4（宙—4可）=4瓦—4Ae^,

所以QVi,解得心

故答案為：-5

9.（23-24高一下?河北承德?階段練習(xí)）已知右,a2是兩個不共線的向量，3=e1-4g，:=kq+Ze?，

若2與旗線，則k=.

【答案】一）-0.5

【分析】

根據(jù)給定條件，利用共線向量定理求出k即得.

【詳解】由向量部,互不共線，得2H,由向量d=瓦-4瓦與3=左瓦+2行共線，

得碣+2石=4?-4與UeR,則，所以上=A=-I-

故答案為：-[

.（高一下福建寧德階段練習(xí)）已知向量N=瓦-/范=萬瓦+石，且附不，則

1023-24?23x=L

【答案】-1

【分析】

根據(jù)向量共線得到方程組，解出即可.

【詳解】

a//b,所以2=Ab,

2

即2=Ax,-3=A,

故答案為：-；

向量的線性表示

11.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，向量屈=a,AC=b,CD=c，則向量前可以表示為（）

E

AB

A.a+b—cB.a—b+c

C.b—d+cD.b—a—c

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.

＞

【詳解】由圖可知麗=BC+~CD=（AC-AB'）+CD=b-d+cl

故選：C

12.（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖，在4力BC中，。為靠近點4的三等分點，E為BC的中點，設(shè)費=

a^AC=b,以向量五,3為基底,則向量屁=（)

1-?2二11-?

B.M+力Cr.-a+-6D卓+第

33

【答案】B

【分析】利用向量的加減法運算法則運算即可得出答案.

【詳解】由圖形可知：麗=a+前+而=，屈+芯+1而

=--AB+AC+-（AB-AC）=-AB-\--AC

32'62

i.ir

=6a+2b-

故選：B.

13.（23-24高一下?甘肅武威?階段練習(xí)）如圖，在^ABC中，AB=4礪,P為CD的中點，則加=（）

B.--4AB-^-3AC

C.*前+巳前D.--AB+-AC

83

【答案】C

【分析】運用平面向量線性運算及共線向量關(guān)系即可求解.

［詳解］由題意知而=麗+赤=一［荏+|比=一［屈+］（衣_說）=荏+3旅—，1荏=

--AB+-AC.

82

故選：C.

14.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，點D是線段8C的中點，E是線段4。的靠近A

的三等分點，則麗=（）

BDC

A.-~BA--~BCB,-BA+-BCC,-BA+-BCD,-BA+-BC

33363333

【答案】B

【分析】利用平面向量的線性運算計算可得結(jié)果.

【詳解】由題意：=B4+4E—BA+~AD=BA+|（SD—BA^=BA+g（與-B4）=~BA+^BC.

故選：B

15.（多選）（22-23高一下?江蘇連云港?期中）如圖，△4BC中，麗=［阮，點E在線段AC上，AD與

BE交于點F,5F=|SE,則下列說法正確的是（）

A

，

BDC

A.AD=|AB+|^CB.\AE\=l\EC\

C.AF+2BF+CF=0D.SABFD：S“FB=1：3

【答案】ACD

【分析】由已知可得BD:DC=1:2,進而可得初=lAB+^AC,判斷A；設(shè)荏=AAC,利用4,F,。共

線可求4,進而可判斷B;根據(jù)赤=：而，利用三角形面積比可判斷D;根據(jù)向量的線性運算可判斷C.

【詳解】對于A:根據(jù)麗，說，

故而=AB+BD=AB+^BC=AB+|（XC-AB）=|XB+|XC,故A正確；

對于B:i^AE=AAC,則^^AE-AB^AAC-AB,BF==|AXC-|AB,

--->--->--->1---?1--->___?9---?1---?

AF=AB+BF=-AB^AD^AB+jAC,__

???力，F(xiàn),。三點共線，AF=mAD今|XB+|AZC,

...|=|zn且）=^m,2=|,m=^,故荏=|4C,故B錯誤；

ZoZoZ4Z

對于D:由于m=|,故初=^AD,

S^BFD：S^AFB=|F。|：=1:3,故D正確；

對于C:都=|而=］（|荏+：前）=^AB+^AC,

點正二荏=2今后余，24

--->--->--->--->Q---?--->1--->1--->1---?Q---?

CF二CA+AF=CA+-AD=-AC+/B+/=-AB--AC,

而+2BF+CF=^AB+i1C+2QxC一+|ZB-=6,故C正確.

故選:ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的線性運算與基底法，從而得解.

向量的線性表示與參數(shù)

16.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在△A8C中，點E為48邊的點且34E=2EB，點F在4c邊

上，且CF=3PA,BF交CE于點M且宿=AAE+fiAF,貝！J&4）為（）

A.(!，!)B.(|)|)c,(|,|)D.&}

【答案】A

【分析】根據(jù)題意利用8,M,尸和三點共線，分別得到福=|m4F+(1-m)前和前=nAE+4(1-

n)4?,列出方程組，求得皿n的值，進而求得尢〃的值，從而得解.

【詳解】由題意知，點E為4B邊的點且34E=2EB，點F在4C邊上,且CF=3FA,

因為B,M,F三點共線，

所以存在實數(shù)瓶使得箱=mAB+(1-m)AF=1mAE+(1-m)AF,

又因為C,M,E三點共線，

所以存在實數(shù)n使得前=nAE+(1-n)ZC=nAE+4(1-TI)AF,

可得12m=n，解得a="=l即宿=(荏+|都，

因為俞=XAE+nAF,所以4=也〃=|.

故選：A.

17.(23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))在銳角A/IBC中，4。為BC邊上的高，tanC=2tanB,AD=xAB+

yAC,則x-y的值為()

A.B.|C.D.1

2233

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及tanC=2tanB得到BD=2DC,即可得到方=：麗,再由平面向量線性運算

法則及平面向量基本定理求出x、y,即可得解.

【詳解】如圖在銳角AABC中，4。為BC邊上的高，

所以tanC=?,tanS=慧,又tanC=2tanB,

所以喋=2x黑所以8。=2DC,則麗=^CB,

L/CDUO

所以前=前+麗=左+|CB=左+式屈-硝=|XC+,

又而-xAB+yAC,所以||,所以尤-y=|-|=-1.

故選：C

18.(23-24懸)一下,山東,階段練習(xí))在。48CD中，G為△A8C的重心,滿足AG=xAB+yAD(x,yGR),

則x-2y=()

4q

A.1B.|C.0D.-1

【答案】C

【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線段的比例關(guān)系，利用平面向量的運算，可得答案.

【詳解】設(shè)4c,8。相交于點。，G為△力BC的重心，

可得。為BD中點，BG=2G0,

1111

AG^AO+OG=10+-0B^AO+-^B=-（AB+AD）+-（AB-X0）

=-AB+-AD,

33'

所以x=|,y=|,

所以x-2y=|-|=0.

故選：C.

19.（23-24高一下?福建莆田?階段練習(xí)）在三角形ABC中，D是BC上靠近點C的三等分點，E為AD中

點，若麗=xAB+y前，則x=.

【分析】根據(jù)向量基本定理得到答案.

【詳解】因為E為AD中點，所以左=之第+1麗=6亞+1前，

因為D是BC上靠近點C的三等分點，所以麗=|麗=|前-1屈，

所以戰(zhàn)==荏+工仁前-2荏）=-三荏+工前.

故答案為：-9

20.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）如圖,在直角梯形4BCD中，~BC=3AD,DC=5DE,AB1BC,BE與AC

交于點F，點M在線段4D上.

⑴用0和近表示前，就；

（2）設(shè)麗=XBE,求4的值；

（3）設(shè)麗=xAC+yBM,證明：孫W

【答案】⑴麗=前+（近