5.1.1復(fù)數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的表示和共軌復(fù)數(shù)1.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部

的概念；與虛部等有關(guān)復(fù)數(shù)的概念.

教學(xué)難點(diǎn):復(fù)數(shù)概念的理解，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)一一2.理解復(fù)數(shù)相等的定義，并會(huì)應(yīng)用它來解決有關(guān)問

對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.題

思維導(dǎo)圖

1、虛數(shù)單位

知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2.復(fù)數(shù)

____________<

3,復(fù)數(shù)集

5.1.1復(fù)數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等的充要條件

知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的分類

知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1、虛數(shù)單位：把平方等于一1的數(shù)用符號(hào)i表示，規(guī)定i2=-l.我們把i叫作虛數(shù)單位.

2、復(fù)數(shù)

①定義：形如a+歷（a,力GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足1=二1，實(shí)部是a,虛部是6.

②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母工表示，代數(shù)形式為z=a+沅（a,6GR）.

3、復(fù)數(shù)集

①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合.

②表示：通常用大寫字母C表示.

【即學(xué)即練1］（2024高一?全國?專題練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：

①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。?/p>

②若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；

③純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；

④以2為實(shí)部的復(fù)數(shù)有無數(shù)個(gè).

其中真命題是.(填寫序號(hào))

知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集C={a+歷|a,6CR}中任取兩個(gè)數(shù)&+歷，c+di(a,b,c,deR),

我們規(guī)定：a-\-bi與c+di相等的充要條件是d=c且力=〃

【即學(xué)即練2](23-24高一下?全國?課堂例題)求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x,y的值:

(1)(x-2y)—(3x+y)i=3-6i；

(2)(%+y—3)+(%—y—2)i=0；

(3)%+y+4i=2y+/i；

(4)^^+(x2-2x-3)i=0.

知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)a+歷,

1、當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí),它是實(shí)數(shù)；

2、當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

3、當(dāng)6W0時(shí),叫做虛數(shù)；

4.當(dāng)a=0且bWQ時(shí),叫做純虛數(shù).

(實(shí)數(shù)b=0

這樣，復(fù)數(shù)z=a+歷可以分類如下：復(fù)數(shù)ZI虛數(shù)b力0,當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)

【即學(xué)即練3】(多選)(23-24高一下?江蘇泰州?期中)對(duì)于復(fù)數(shù)2=。+柄(兄66氏)，則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是()

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)B.若z=3-2i,貝!]a=3,6=2

C.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù)D.若a=b=0,貝Uz不是復(fù)數(shù)

題型精講

題型一復(fù)數(shù)的概念題型四復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)

題型二復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部題型五復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型三虛數(shù)i單位及其性質(zhì)題型六復(fù)數(shù)的分類及辨析

【題型一：復(fù)數(shù)的概念】

椀一二出。十富二下:福南區(qū)沙；布葭西百疝汨漏薪贏，下列說法正確的是(

5)

A.若/+1=0,貝k=iB.實(shí)部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)

C.z=(產(chǎn)+i)i可能是實(shí)數(shù)D.復(fù)數(shù)z=2+i的虛部是i

變式1-1.（20-21高二上?上海徐匯?期末）下列命題中，正確的是（)

A.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都能比較大小B.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小

C.設(shè)a,beC,如果a>6,那么a-b>0D.設(shè)a,beC,如果a-6>0,那么a>b

變式L2.（多選）（2023高一?全國?專題練習(xí)）以下四個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論，正確的是（）

A.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比大小

B.zeC=>z2>0

C.Z1>Z2=>Z1—Z2>0

D.復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a,b,c,dGR）a=c且b=d

變式1-3.（多選）（22-23高一下?全國?課后作業(yè)）（多選）下列說法不正確的是（）

A.復(fù)數(shù)2+3i的虛部是3iB.形如a+bi（b6R）的數(shù)一定是虛數(shù)

C.若aeR,a4-3,則（a+3）i是純虛數(shù)D.若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)

【方法技巧與總結(jié)】

判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法

（1）舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答這種類型的題時(shí)，可按照”先特殊，

后一般；先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答.

（2）化代數(shù)形式：對(duì)于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a+bi的形式，更要注意這里a,b均

為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部.

【題型二：復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部】

例2.（23-24高一下?廣西來賓?期中）復(fù)數(shù)z=3—2j匕為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

變式2-1.（23-24高一下?吉林四平?階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z=2（cos：+jsin：）虛部是（）

A.遮B.1C.s嗎D.cos^

變式2-2.（22-23高一下?浙江杭州?期中）若復(fù)數(shù)z=3-2i,則z的實(shí)部與虛部的和為（）

A.-1B.1C.5D.-5

變式2-3.（23-24高一下?浙江寧波?期中）若復(fù)數(shù)z滿足2z+2=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

的虛部為.

【方法技巧與總結(jié)】

判斷復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部、虛部的關(guān)鍵

（1）看形式：看復(fù)數(shù)的表示是否是a+bi的形式.

（2）看屬性：看a,b是否都是實(shí)數(shù).

【題型三：虛數(shù)i單位及其性質(zhì)】

2

例3.（21-22高一下?貴州銅仁?期末）復(fù)數(shù)z=-21+i,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.-2B.2C.-1D.1

變式3-1.（23-24高一下?全國?課堂例題）計(jì)算：①j2=；②若/=—1,貝氏=.

變式3-2.（22-23高一下?黑龍江牡丹江?階段練習(xí)）i+2i2+3i3+--+2O22i2022+2O23i2023=

變式3-3.（22-23高三?全國?課后作業(yè)）若/（x）=x3-x2+x-l,則/"（i）=.

【方法技巧與總結(jié)】

1.i與-1的關(guān)系：i就是-1的一個(gè)平方根，即方程X?=T的一個(gè)根，方程（=-1的另一個(gè)根是-i

2.i的周期性：產(chǎn)"=1,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"=lo

【題型四：復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)】

例4.（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）己知復(fù)數(shù)z=（m2-1）+（m2+2m-3"為純虛數(shù)，其中

i為虛數(shù)單位，meR,若z+4+6j=a?+3a+（a?+5a+6）j（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.m=+1B.m=1C.a—1D.a=—4

2

變式4-1.（23-24高一下?貴州貴陽?階段練習(xí)）復(fù)數(shù)Z=log2（a-1）+￡-log2（a-2a-2）是實(shí)數(shù)，則

變式4-2.（23-24高一下?全國?課后作業(yè)）“。=0且。=1”是“復(fù)數(shù)2=a+歷536/?）是純虛數(shù)”的

條件.

變式4-3.（23-24高一下?全國?課堂例題）復(fù)數(shù)z=——2爪+武二R）,當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，

m

（l）z是實(shí)數(shù)；

（2）z是虛數(shù);

（3）z是純虛數(shù).

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及。的關(guān)系：

對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+6i（a,66R）,

當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，z是實(shí)數(shù)；當(dāng)bKO時(shí)，z是虛數(shù)；

當(dāng)a=0且b羊0時(shí)，z是純虛數(shù)；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z的值等于實(shí)數(shù)0.

【題型五：復(fù)數(shù)相等求參數(shù)】

例5.（23-24高一下?福建三明?階段練習(xí)）已知a,beR,a+3j=—1+與（j為虛數(shù)單位），貝曙）

A.a=1,b--3B.a=1,b—3

C.a——l,b=—3D.a=—l,b=3

變式5-1.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，久,y為實(shí)數(shù)，若（％+當(dāng)）+2=（3-旬）+2y「

則x+y=（）

A.2B.3C.4D.5

變式5-2.（22-23高一下?山西陽泉?期末）己知復(fù)數(shù)Zi=m+（4—Tn?）[*?=2cos。+（4+

3sin8）i,（m,4,。eR）,且Z]=Z2，則4的取值范圍是（）

A.[一總1]B.[-J.7]

C.一總+8）D.[1,7]

變式5-3.（21-22高一下?廣東江門?期末）實(shí)數(shù)滿足條件：（x+y）+（y—l）i=y+（2y+l）i,（其

中為i虛數(shù)單位），貝！|x+y=（）

A.-2B.2C.3D.-3

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)的值以及在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù).一般地，不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說

相等或不相等，而不能進(jìn)行大小比較.如3+5i與4+3i就不能比較大小.

【題型六：復(fù)數(shù)的分類及辨析】

例6.（21-22高二下?河南商丘?期中）虛數(shù)單位j的引入，使得數(shù)系由實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)系.下面的結(jié)

構(gòu)圖中，其中1,2,3三個(gè)方框中應(yīng)依次填入（）

rd正整數(shù)I

H2I

r~HD—l~nn--r^n

Ii|-U有理數(shù)|-

T負(fù)整數(shù)I

U分?jǐn)?shù)|

A.復(fù)數(shù)、小數(shù)、整數(shù)B.復(fù)數(shù)、無理數(shù)、自然數(shù)

C.復(fù)數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)D.復(fù)數(shù)、整數(shù)、小數(shù)

變式6-1.（20-21高一下?全國?課后作業(yè)）設(shè)集合A=｛虛數(shù)｝,B=｛純虛數(shù)｝,C=｛復(fù)數(shù)｝,則4B,C間

的關(guān)系為（)

A.cBccB.BC.BcccXD.A^C

變式6-2.（22-23高一下?全國?課后作業(yè)）設(shè)集合C=｛復(fù)數(shù)｝,A=｛實(shí)數(shù)｝,B=｛純虛數(shù)｝,若全集S=C,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.aUB=CB.Cs4=B

C.ClQSB=0D.SUQSB=C

變式6-3.（20-21高一?全國?課后作業(yè)）給出下列命題：①自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集；②實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的

交集為實(shí)數(shù)集；③實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的交集是｛0｝；④純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的交集為空集.其中，假命題

是.（填序號(hào)）

【方法技巧與總結(jié)】

1.（23-24高一下?廣西南寧?期中）若實(shí)數(shù)小，九滿足m—2i=1+?ii,則租-7i=()

A.-3B.3C.-1D.1

2.（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）若復(fù)數(shù)（口2-1)+(a-l)i(a6R)是實(shí)數(shù)，則a等于()

A.1B.-1C.±1D.不存在

3.(23-24高一下?江蘇揚(yáng)州?期中)復(fù)數(shù)z=cosj+ising,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

36

A.--B.--C.-D.—

2222

4.(2024?寧夏銀川?一模)已知復(fù)數(shù)z=m2—1+(m+i2)-i(meR)表示純虛數(shù)，則租=()

A.1B.-1C.1或一1D.2

5.（2024高一下?江蘇?專題練習(xí)）下列命題：

①若a€R,則（a+l）i是純虛數(shù)；

②若a,bGR,且a>b,則a+i>b+i；

③若（/一4）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x=±2；

④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.

其中正確的是（)

A.①B.②C.③D.④

6.(2024高一?全國?專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=q2+(2a+3)i(aGR)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.(—1,3)B.(—co,-1)u(3,+oo)

C.(—3,1)D.(―8,—3)U(1,+8)

7.(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))已知i為虛數(shù)單位，a,bER,集合4={zIz=a+(2a-l)i},8=

{zIz=b—2+hi},則/AF=()

A.{2i}B.{l+3i}C.{3+5i}D.{2+4i}

8.(2023?湖南?一模)如果復(fù)數(shù)z=m2+m-2-(m-l)i是純虛數(shù)，meR,i是虛數(shù)單位，則()

A.m豐1且?nW—2B.m=1

C.m=—2D.m=1或zn=-2

二、多選題

9.(21-22高一?全國-課后作業(yè))下列命題不正確的是()

A.復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)不可能是純虛數(shù)

B.若％=1,則復(fù)數(shù)z=(%-1)+(%+l)i為純虛數(shù)

C.若(％2一4)+(%2+3%+2”是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)久=±2

D.若復(fù)數(shù)z=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng)bHO時(shí)，z為虛數(shù)

10.(22-23高一下?黑龍江雞西?期中)若復(fù)數(shù)a+bi>c+di,則下列結(jié)論中正確的是()

A.a>cB.a=c=0C.b=d=0D.b>d

11.(22-23高一下-福建福州-期中)已知復(fù)數(shù)z=sin。-icos20(O<0<2兀)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

則6的值可以為()

A.-B.-C.2D.阻

6262

三、填空題

12.(2024?江蘇南通?二模)設(shè)meR,i為虛數(shù)單位.若集合4={l,2m+(m—l)i},B={—2i,l,2},且

AQB,則m=.

13.(2024高一?全國?專題練習(xí))設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=3+2a+(2-3a)i的實(shí)部與虛部互為相反

數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

14.(22-23高一下?河南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))己知復(fù)數(shù)z=(a2+5a+6)+(a+2)i(其中i為虛

數(shù)單位)為純虛數(shù)，寫出關(guān)于復(fù)數(shù)z的一個(gè)正確結(jié)論：.

四、解答題

15.(23-24高一下?廣東江門?階段練習(xí))已知mER,復(fù)數(shù)z="加+2)+(2+27n—3)i,當(dāng)TH為何值時(shí)；

m-1m

(l)z是純虛數(shù)；

(2)z=|-4i?

16.(22-23高一?全國?隨堂練習(xí))計(jì)算：

(l)i-i2-i3-i4；

(2)i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8.

17.(22-23高一下?海南僧州?期中)已知復(fù)數(shù)z=(m2—m—6)+(m2—3m—10)i.

⑴若z為實(shí)數(shù)，求m值：

⑵若z為虛數(shù)，求m值；

(3)若Z為純虛數(shù)，求D1值；

⑷若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)0,求m值

2

18.(22-23高一下?河北?期末)已知復(fù)數(shù)Zi=4—m+(m—2)i,z2=A+sind+(cos。-2)i,其中i是

虛數(shù)單位，m,A,0eR.

(1)若zi為純虛數(shù)，求TH的值；

(2)若Zi=z2，求a的取值范圍.

22

19.(22-23高一下?河南?階段練習(xí))若復(fù)數(shù)Zi=2—2m2+^^找7ncR),Z2=2sincr+(cosa+

sinacosa+2)Ai(A,a6R),且z】=z?，求2的取值范圍.

5.1.1復(fù)數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的表示和共軌復(fù)數(shù)1.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部

的概念；與虛部等有關(guān)復(fù)數(shù)的概念.

教學(xué)難點(diǎn):復(fù)數(shù)概念的理解，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)一一2.理解復(fù)數(shù)相等的定義，并會(huì)應(yīng)用它來解決有關(guān)問

對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.題

1、虛數(shù)單位

知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2,復(fù)數(shù)

____________/

3、復(fù)數(shù)集

5.1.1復(fù)數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等的充要條件

知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的分類

知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1、虛數(shù)單位：把平方等于一1的數(shù)用符號(hào)i表示，規(guī)定i2=-l.我們把i叫作虛數(shù)單位.

2、復(fù)數(shù)

①定義：形如a+歷（a,6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足12=二工，實(shí)部是a,虛部是4

②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母工表示，代數(shù)形式為z=a+①（a,6GR）.

3、復(fù)數(shù)集

①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合.

②表示：通常用大寫字母C表示.

【即學(xué)即練1](2024高一?全國?專題練習(xí))給出下列四個(gè)命題：

①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；

②若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；

③純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；

④以2為實(shí)部的復(fù)數(shù)有無數(shù)個(gè).

其中真命題是.(填寫序號(hào))

【答案】④

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念一一分析即可.

【詳解】①中當(dāng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，故①為假命題；

②若a=0,則ai不是純虛數(shù)，故②為假命題；

③純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集不是虛數(shù)集，因?yàn)閺?fù)數(shù)中還包含實(shí)數(shù)，則③為假命題;

④對(duì)于復(fù)數(shù)2+ai(aCR),a有無數(shù)個(gè)取值，故④為真命題.

故答案為：④.

知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集C={a+歷|a,6GR}中任取兩個(gè)數(shù)a+及，c+di(a,b,c,dGR),

我們規(guī)定：a+bi與c+t/i相等的充要條件是a=c且6=d

【即學(xué)即練2](23-24高一下?全國?課堂例題)求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x,y的值:

(1)(%—2y)—(3%+y)i=3—6i；

(2)(%+y—3)+(x-y-2)i=0；

(3)x+y+4i=2y+x2i；

(4)x2-x-6+(x2-7.x-3)i=0.

(15

【答案】⑴

⑷x=3

【分析】(1)根據(jù)實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)關(guān)系解方程即可

(2)令實(shí)部為0且虛部為0解方程即可；

(3)根據(jù)實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)關(guān)系解方程即可；

(4)令實(shí)部為0且虛部為0解方程即可.

r_is

【詳解】⑴由(x—2y)—(3x+y)i=3—6i,可得二今"一亍

1°八十y—Q/y=--

(2)由(x+y—3)+(x—y—2)i=0,可得

⑶由x+y+4i=2y+/i,可得『？二、=[；二,或修

2(%2_%_6_

(4)由^―+(%2—2%—3)i=0,可得x+i—=>%=3

X+1IM-2%-3=0

知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi,

1、當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù);

2、當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

3、當(dāng)6W0時(shí),叫做虛數(shù)；

4.當(dāng)a=0且6W0時(shí),叫做純虛數(shù).

實(shí)數(shù)b=0

這樣，復(fù)數(shù)z=a+歷可以分類如下：復(fù)數(shù)Z

虛數(shù)bK0,當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)

【即學(xué)即練3］（多選）（23-24高一下?江蘇泰州?期中）對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi（a,bER）,則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是（）

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)B.若z=3—2i,則a=3,b=2

C.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù)D.若a=6=0,貝!］z不是復(fù)數(shù)

【答案】ABD

【分析】A.由a=0,b=0判斷；B.由復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部判斷；C.復(fù)數(shù)的分類判斷；D.由復(fù)數(shù)的分類判斷.

【詳解】A.當(dāng)a=0,b=0時(shí)，a+bi為實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；

B.若z=3—2i,則a=3,b=-2,故錯(cuò)誤；

C.若b=0,貝!］a+bi為實(shí)數(shù)，故正確；

D.若a=b=0,貝!Jz是實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；

故選：ABD

【題型一：復(fù)數(shù)的概念】

夠1.一版35商二示二神南區(qū)蘇：訴回養(yǎng)一彳廠巨疝;五鹿薪而，下列說法正確的是（）

A.若刀2+1=0,貝卜=iB.實(shí)部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)

C.z=（/+i）i可能是實(shí)數(shù)D.復(fù)數(shù)z=2+i的虛部是i

［答案］c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】A.x=±i,說法不正確；

B.實(shí)部為零的復(fù)數(shù)可能虛部也為零，從而是實(shí)數(shù)，說法不正確；

C.當(dāng)x=i時(shí)，z=（/+l）i是實(shí)數(shù)，說法正確；

D.復(fù)數(shù)z=2+i的虛部是1,說法不正確.

故選：C.

變式1-1.（20-21高二上?上海徐匯?期末）下列命題中，正確的是（）

A.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都能比較大小B.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小

C.設(shè)a,beC,如果a>b,那么a-b>0D.設(shè)a,beC,如果a-b>0,那么a>b

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)判斷選項(xiàng)的正誤，即可得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)有虛數(shù)時(shí)，不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍,beC,且a>b,所以a,6是實(shí)數(shù)，故a-b>0,所以C正確；

因?yàn)閍,beC,若a=1.-i,b=-i,則a-b>0,但是此時(shí)a與b不能比較大小，所以D錯(cuò)誤.

故選:C.

變式L2.（多選）（2023高一?全國?專題練習(xí)）以下四個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論，正確的是（）

A.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比大小

B.zEC=>z2>0

C.>z2=>—z2>0

D.復(fù)數(shù)a+6i=c+di（a,6,c,deR）今a=c且b=d

【答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)定義與性質(zhì)分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，才可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)2=ieC則z?=-1<0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閆1>Z2，所以ZiCR,Z2eR,所以由Z1>Z2可以得到Zi—Z2>0,故C正確；

對(duì)于D,若復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a,b,c,deR）,貝!］（1=（:且6=由故D正確.

故選：CD.

變式1-3.（多選）（22-23高一下?全國?課后作業(yè)）（多選）下列說法不正確的是（）

A.復(fù)數(shù)2+3i的虛部是3iB.形如a+bi（beR）的數(shù)一定是虛數(shù)

C.若a€R,a4-3,貝U（a+3）i是純虛數(shù)D.若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)

【答案】AB

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐一判斷即可.

【詳解】

復(fù)數(shù)2+3i的虛部是3,故A中說法不正確；

形如a+bi（beR）的數(shù)不一定是虛數(shù)，例如，當(dāng)aeR,b=0時(shí)，a+bi不是虛數(shù)，故B中說法不正確；

只有當(dāng)aeR,a+3力0,即a力一3時(shí)，（a+3）i是純虛數(shù)，故C中說法正確；

因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，所以若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)，故D中說法正確.

故選：AB.

【方法技巧與總結(jié)】

判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法

（1）舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答這種類型的題時(shí)，可按照”先特殊，

后一般；先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答.

（2）化代數(shù)形式：對(duì)于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a+bi的形式，更要注意這里a,b均

為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部.

【題型二：復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部】

例2.（23-24高一下?廣西來賓?期中）復(fù)數(shù)z=3—2jQ為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

【分析】根據(jù)虛部的定義求解即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部為b,即虛部為—2.

故選：B.

變式2-1.（23-24高一下?吉林四平?階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z=2（cos號(hào)+jsing）虛部是（）

A.V3B.1C.sin-D.cos-

33

［答案］A

析】直接計(jì)算虛部即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z=2（cos:+isin/）虛部是2sing=V3.

故選：A.

變式2-2.(22-23高一下?浙江杭州?期中)若復(fù)數(shù)z=3-2i,則z的實(shí)部與虛部的和為()

A.-1B.1C.5D.-5

【答案】B

【分析】直接由實(shí)部虛部的定義計(jì)算即可.

【詳解】由z=3-2i知實(shí)部為3,虛部為-2,故實(shí)部與虛部的和為1.

故選：B.

變式2-3.(23-24高一下?浙江寧波?期中)若復(fù)數(shù)z滿足2z+2=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

的虛部為.

【答案】-2

【分析】令2=a+bi,由復(fù)數(shù)相等可求出復(fù)數(shù)z,從而得到虛部.

【詳解】令z=a+bi(a,beR),2z+2=3—2i,

所以2z+2=2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-2i,可得a=l,b=-2

z=1—2i,其虛部為-2.

故答案為：-2

【方法技巧與總結(jié)】

判斷復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部、虛部的關(guān)鍵

(1)看形式：看復(fù)數(shù)的表示是否是a+bi的形式.

(2)看屬性：看a,b是否都是實(shí)數(shù).

【題型三：虛數(shù)i單位及其性質(zhì)】

例3.(21-22高一下?貴州銅仁?期末)復(fù)數(shù)z=-2j+j2,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的定義以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：z=—2i+i2=-2i—1=—1—2i,

所以復(fù)數(shù)z的虛部是-2.

故選：A.

變式3-1.(23-24高一下?全國?課堂例題)計(jì)算：①=；②若久2=一1,則x=.

［答案】T±i

【分析】①根據(jù)規(guī)定i2=—l可得，②設(shè)x=a+6i(a,6€R),根據(jù)復(fù)數(shù)相等解方程即可

【詳解】根據(jù)規(guī)定知i?=-1；

設(shè)x=a+bi(a,bER),

得(a+bi)2=—1=>a2—b2+2abi=一1今二?——今E一?，或—I，

I2ab=05=15=-1

所以久=±i

故答案為：T;+i

變式3-2.(22-23高一下?黑龍江牡丹江?階段練習(xí))i+2i?+3i3+.??+2O22i2022+2O23i2023=

【答案】-1012-1012i/-1012i-1012

【分析】利用F的性質(zhì)計(jì)算可得答案.

【詳解】V2i2=-2,3i3=-3i,4i4=4,Ai+2i2+3i3+4i4=i-2-3i+4=2-2i,

則5心+6i6+7i7+8i8=2-2i,-,2O21i2021+2O22i2022+2O23i2023+2O24i2024=2-2i,故原式=

506X(2-2i)-2024=-1012-1012i.

故答案為：-1012-1012i.

變式3-3.(22-23高三?全國?課后作業(yè))若/=x3-x2+x-l,貝葉(i)=.

【答案】0

【分析】

根據(jù)虛數(shù)單位i的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】/(i)=i3-i2+i-l=-i+l+i-l=0.

故答案為：。

【方法技巧與總結(jié)】

Li與-1的關(guān)系：i就是-1的一個(gè)平方根，即方程x?=-1的一個(gè)根，方程xJ-1的另一個(gè)根是-i

2.i的周期性：二i,i4"+2=-l,i"+3=—i,i也1。

【題型四：復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)】

例4.(23-24高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=(m2-1)+(m2+2m-3左為純虛數(shù)，其中

i為虛數(shù)單位，m6R,若z+4+6j=a?+3a+(a?+5a+6)j(a€R),則下列說法正確的是()

A.m=±1B.m=1C.a=1D.a=—4

【答案】D

【分析】根據(jù)純復(fù)數(shù)的定義：實(shí)部為0,虛部不等于0,列出方程即可求得z,代入式子化簡，根據(jù)兩個(gè)復(fù)

數(shù)相等的充要條件即可列出式子進(jìn)行求解.

m210

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以滿足：［J=解得：m=-l,

Im2+2zn—3W0

所以2=-4i,即z+4+6i=4+2i=a?+3a+(a?+5a+6)i(aGR)；

所以a=-4.

故選：D

2

變式4-1.(23-24高一下?貴州貴陽?階段練習(xí))復(fù)數(shù)Z=log2(a-1)+t-log2(a-2a-2)是實(shí)數(shù)，則

【答案】3

【分析】由題干可得a—1>0且Iog2(a2—2a—2)=0,進(jìn)行計(jì)算即可得解.

2

【詳解】根據(jù)題意a—1>0j.log2(a.2a-2)=0,

所以a>1且a?-2a-2=1,

即a?-2a-3=0,

所以a=3或a=-1(舍)，

故答案為：3

變式4-2.(23-24高一下?全國?課后作業(yè))“口=0且。=1”是“復(fù)數(shù)2=。+尻5/€/?)是純虛數(shù)”的

條件.

'【答案】充分不必要

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若a=0且b=1,則復(fù)數(shù)z=i是純虛數(shù)，即充分性成立；

若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)是純虛數(shù)，貝!|a=0且b40,即b=1不一定成立，

利用z=2i,即必要性不成立；

綜上所述："。=0且6=1”是“復(fù)數(shù)2=。+、((1/6/?)是純虛數(shù)”的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

變式4-3.(23-24高一下?全國?課堂例題)復(fù)數(shù)z=m2-2m+m~2m8i(mGR),當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，

m

(l)z是實(shí)數(shù)；

(2)z是虛數(shù)；

(3)z是純虛數(shù).

【答案】⑴m=4或m=—2

(2)m豐4且mW—2且mW0

(3)m=2

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，列出方程，解方程即可得解;

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，列出方程，解方程即可得出答案；

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，列出方程，解方程即可得出答案.

【詳解】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以亡吧=0,即爪=4或6=—2,

m

所以TH=4或m=一2時(shí)，復(fù)數(shù)Z為實(shí)數(shù).

(2)因?yàn)閆為虛數(shù)，則而3-8豐0,解得7nH4且m4一2且m于0,

m

所以mW4且znW—2且mW0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).

m2—2m=0

m2-2m-8豐0,解得m=2,

{m

所以血=2時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：

對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER),

當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，z是實(shí)數(shù)；當(dāng)bH0時(shí)，z是虛數(shù)；

當(dāng)a=0且bH0時(shí)，z是純虛數(shù)；

當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=0時(shí)，z的值等于實(shí)數(shù)0.

【題型五：復(fù)數(shù)相等求參數(shù)】

例5.(23-24高一下-福建三明-階段練習(xí))已知a,bER,a+3j=—1+與(j為虛數(shù)單位)，則()

A.a=l,b=-3B.a=l,b=3

C.a=—1,b=—3D.a=—1,b=3

【答案】D

【分析】借助復(fù)數(shù)相等求解作答

【詳解】因?yàn)閍,b6R,a+3i=—1+bi,所以a=—=3

故選：D

變式5?L(2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測(cè))已知i為虛數(shù)單位，陽y為實(shí)數(shù)，若(％+yj)+2=(3-勺)+2yj,

則久+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)相等可列出方程組求解.

【詳解】由題意(％+yi)+2=(%+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+(2y-4)i,

所以解得'=Ly=4,所以久+y=5.

故選：D.

2

變式5-2.(22-23高一下?山西陽泉?期末)已知復(fù)數(shù)Zi=zn+(4-m)i,z2=2cos。+(A+

3sin6)i,(zn,尢6€R),且Zi=Z2，則4的取值范圍是()

A?卜總1]B.[-總7]

C.一看，+8)D.[1,7]

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關(guān)系可得4=4(sin。-J)2-2，再根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍

\8/16

與二次函數(shù)的性質(zhì)可得2的取值范圍.

2

【詳解】復(fù)數(shù)Zi=m+(4—m)i,z2=2cos0+(A+3sin6)i,(m,A,6ER),且為=z2,

所以L7n2—,則A=4—4cos2?！?sin。=4sin20—3sin。=4(sinJ-->)—2

14—mz=A+3smeV8716

qQ

因?yàn)?€R,所以sin。E[—1,1]，當(dāng)sin。=1時(shí)，Aj=——當(dāng)2=—1時(shí)，A=7

8mn16max

所以淵取值范圍是[—》7].

故選：B.

變式5-3.(21-22高一下?廣東江門?期末)實(shí)數(shù)居y滿足條件：(%+y)+(y-l)i=y+(2y+l)i,(其

中為i虛數(shù)單位），則汽+y=（）

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)相等的條件列出式子，即可求解

【詳解】因?yàn)椋?+y）+（y-l）i=y+（2y+l）i,

所以｛「:辱3,解得仁3

所以％+y=-2,

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)的值以及在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù).一般地，不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說

相等或不相等，而不能進(jìn)行大小比較.如3+5i與4+3i就不能比較大小.

【題型六：復(fù)數(shù)的分類及辨析】

例6.（21-22高二下?河南商丘?期中）虛數(shù)單位j的引入，使得數(shù)系由實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)系.下面的結(jié)

構(gòu)圖中，其中1,2,3三個(gè)方框中應(yīng)依次填入（）

T正整數(shù)|

r-nn--

T有理數(shù)I—1

H負(fù)整數(shù)I

L-T^~lJ分?jǐn)?shù)|

A.復(fù)數(shù)、小數(shù)、整數(shù)B.復(fù)數(shù)、無理數(shù)、自然數(shù)

c.復(fù)數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)D.復(fù)數(shù)、整數(shù)、小數(shù)

【答案】c

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的概念，直接判斷即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的分類可得：1處填入復(fù)數(shù)；

由實(shí)數(shù)的分類可得：2處填入無理數(shù)；

由有理數(shù)的分類可得：3處填入整數(shù).

故選：C.

變式6-1.（20-21高一下?全國?課后作業(yè)）設(shè)集合a=｛虛數(shù)｝,B=｛純虛數(shù)｝,C=｛復(fù)數(shù)｝,則4B,C間

的關(guān)系為（)

A.A^B^CB.fierceC.B^C^AD.ACB

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的分類判斷.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)包含虛數(shù)和實(shí)數(shù)，虛數(shù)包含純虛數(shù)和非純虛數(shù)的虛數(shù).

因此只有B正確.

故選：B.

變式6-2.（22-23高一下?全國?課后作業(yè)）設(shè)集合C=｛復(fù)數(shù)｝,4=｛實(shí)數(shù)｝,B=｛純虛數(shù)｝,若全集S=C,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.4UB=CB.CsA=B

C.AQCSB=0D.B\JQSB=C

【答案】D

【分析】

舉反例判斷選項(xiàng)AB,根據(jù)集合S,4B的關(guān)系，結(jié)合集合的運(yùn)算性質(zhì)判斷CD.

【詳解】復(fù)數(shù)1+ieC,但1+i任4UB,所以4UB*C,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)l+ieCs4但l+i《B,所以Cs4大B,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

AnQsB=A,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

B\JCSB=C,選項(xiàng)D正確；

故選：D.

變式6-3.(20-21高一?全國?課后作業(yè))給出下列命題：①自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集；②實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的

交集為實(shí)數(shù)集；③實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的交集是｛0｝;④純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的交集為空集.其中，假命題

是.(填序號(hào))

【答案】③

【分析】結(jié)合數(shù)集特征和實(shí)數(shù)虛數(shù)概念判斷即可.

【詳解】①②④顯然正確，②中復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，③中實(shí)數(shù)和虛數(shù)只能是并列關(guān)系，不存在交集，故

③實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的交集是空集，故③錯(cuò).

故答案為：③

【方法技巧與總結(jié)】

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.(23-24高一下?廣西南寧?期中)若實(shí)數(shù)九滿足m-2i=1+ni,則m—n=()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求出小，九的值，即可得解.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)T