第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布[教師備選資源]新高考卷三年考情圖解

高考命題規(guī)律把握1．常考點：事件的獨立性、條件概率、二項分布、期望．以實際問題為背景，借助分布列及其期望對實際問題作出決策．2．輪考點：計數(shù)原理、古典概型、二項式定理、正態(tài)分布．計數(shù)原理常與古典概型結(jié)合命題；二項式定理主要考查通項公式及其原理；對正態(tài)分布的考查，可能單獨考查也可能在解答題中出現(xiàn)．

第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1課時兩個計數(shù)原理、排列與組合[考試要求]

1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2．理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．會用兩個計數(shù)原理及排列、組合分析和解決一些簡單的實際問題．鏈接教材·夯基固本1．兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法m＋nm×n2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照____________排成一列組合作為一組一定的順序3．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有__________的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有__________的個數(shù)公式性質(zhì)不同排列不同組合

n！

11

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列． (

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事． (

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．

(

)(4)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同． (

)×√√√√

C

[若路線為甲乙丁，則有3×2＝6(條)；若路線為甲丙丁，則有3×4＝12(條)，故共有6＋12＝18(條)．故選C．]2．(人教A版選擇性必修第三冊P19例4改編)從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字，可以組成的無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為(

)A．52 B．56C．48 D．72√

3．(人教A版選擇性必修第三冊P27習(xí)題6.2T13改編)從2名女生，4名男生中選3人參加學(xué)科競賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．

16

1024625

1024

625

[五名學(xué)生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實，每個學(xué)生有4種報名方法，共有45＝1024(種)不同的報名方法．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54＝625(種)獲得冠軍的可能性．]考點一兩個計數(shù)原理及綜合應(yīng)用[典例1]

(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24

B．18

C．12

D．9典例精研·核心考點√(2)(2025·重慶模擬)用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是(

)A．120 B．72C．48 D．24(3)已知abc表示一個三位數(shù)，如果滿足a>b且c>b，那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”共________個(用數(shù)字作答)．√240

[拓展變式]

若本例(1)中CD段馬路由于正在維修(如圖)，暫時不通，則從E到G的最短路徑有________條．

26名師點評

利用兩個基本計數(shù)原理解決問題的步驟提醒：涂色問題的兩種常用解題方法：按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；以顏色為主分類討論，用分類加法計數(shù)原理分析．[跟進訓(xùn)練]1．(1)(2024·山東實驗中學(xué)模擬)編號為A，B，C，D，E的5種蔬菜種在如圖所示的五塊試驗田里，每塊只能種一種蔬菜，要求A品種不能種在1，2試驗田里，B品種必須與A種在相鄰的兩塊田里，則不同的種植方法種數(shù)為________．30(2)(教材改編)3600有________個正約數(shù)．(3)如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________．4536

(3)在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”．]【教用·備選題】1．(2025·吉林長春模擬)我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會，抽獎項目設(shè)置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項．

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項都不相同．

甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”．

根據(jù)以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數(shù)是(

)A．12 B．13C．24 D．26√B

[甲是特等獎，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，所以有4×1＝4(種)；甲不是特等獎，則甲有3種情況，乙有3種情況，而丙、丁、戊有1種情況，

所以有3×3×1＝9(種)；所以5人的獎項的所有可能的種數(shù)是4＋9＝13．故選B．]2．(2025·江蘇徐州模擬)甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有(

)A．18種 B．48種

C．108種

D．192種√D

[因甲不去北京，應(yīng)該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4×4×4＝64(種)選法；由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：3×64＝192(種)．故選D．]3．(2024·山東菏澤模擬)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為(

)A．288 B．336C．576 D．1680√B

[第一步：排白車，第一行選一個位置，則第二行有三個位置可選，由于車是不相同的，故白車的停法有4×3×2＝24(種)，第二步，排黑車，若白車選AF，則黑車有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7種選擇，黑車是不相同的，故黑車的停法有2×7＝14(種)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有24×14＝336(種)．故選B．]4．在一塊并排10壟的田地中，種植作物時每種作物種植一壟，相鄰的壟不種同一種作物，現(xiàn)有3種作物可選，則有________種種植方法；若3種作物必須都種，則有________種種植方法；若只在其中2壟種植其中的A，B兩種作物，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則有________種種植方法．1

536

1

530121

536

1

530

12

[3種作物任選時，種植第1壟有3種選擇，第2壟有2種選擇，后面的壟只需與前一壟不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1536(種)種植方法．3種作物都選時，只需排除只用2種作物完成種植的情況，共有1536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1530(種)種植方法．兩種作物的間隔不小于6壟時，分兩步：第一步，先選壟，如圖所示，共有6種選法；第二步，種植A，B兩種作物，有2種方法．所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得有6×2＝12(種)種植方法．]考點二排列、組合問題[典例2]

(1)(2025·山東濟南模擬)由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為(

)A．60 B．108C．132 D．144√(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．64

名師點評求解排列、組合應(yīng)用問題的六種常用方法提醒：先選后排，先組合后排列，恰當(dāng)?shù)姆诸?，合理的分步．分類?biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏；分步要步步獨立，步驟完整．[跟進訓(xùn)練]2．(1)7人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，甲、乙相鄰，乙、丙不相鄰，則不同排法的種數(shù)是(

)A．60 B．120C．240 D．360√(2)學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，要求所選4人中既有男生又有女生，且男生甲與女生乙至少有1人入選，那么不同的組隊方法種數(shù)為(

)A．696 B．736C．894 D．930(3)若一個三位數(shù)M的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則稱M是一個“叔同數(shù)”，例如“125，710”都是“叔同數(shù)”，那么“叔同數(shù)”共有________個．√36

若甲不入選，乙入選，則與甲入選，乙不入選的組隊方法種數(shù)一樣，有342種組隊方法．所以共有210＋342＋342＝894(種)不同的組隊方法．故選C．

【教用·備選題】1．(1)某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有(

)A．56種 B．68種

C．74種

D．92種√(2)(2024·山西期末)某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負(fù)責(zé)，每人負(fù)責(zé)其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關(guān)于安排方法數(shù)的說法正確的有(

)A．共有90種安排方法B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種(3)以長方體ABCD-A1B1C1D1的任意3個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情況有________種．√√√1

468

考點三分組、分配問題[典例3]

(1)把9個入團名額分給6個班級，每班至少一人，不同的分法種數(shù)為(

)A．41

B．56

C．156

D．252(2)(2024·河北衡水中學(xué)模擬)將5本不同的書(2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書)分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為(

)A．78 B．92C．100 D．122√√

名師點評

分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：(1)相同元素的分配問題，常用“擋板法”；(2)不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；(3)有限制條件的分配問題，采用分類求解．

[跟進訓(xùn)練]3．(1)(2024·浙江杭州二模)將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個志愿者去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少1名志愿者，則不同的分配方法數(shù)是(

)A．300 B．240C．150 D．50√(2)(2024·江蘇南京期中)20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法共有(

)A．120種 B．240種

C．360種

D．720種(3)將座位號為1，2，3，4的四張電影票全部分給甲、乙兩個人，每人至少一張，若分給同一人多張票，則必須連號，那么不同的分法種數(shù)為(

)A．4 B．6C．7 D．12√√

(3)①當(dāng)甲分一張票，乙分三張票時，有2種不同的分法；②當(dāng)甲分兩張票，乙分兩張票時，有2種不同的分法；③當(dāng)甲分三張票，乙分一張票時，有2種不同的分法；所以，一共有2＋2＋2＝6(種)不同的分法．故選B．]【教用·備選題】1．甲、乙等4名志愿者到游泳、射擊、體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有(

)A．12種 B．18種

C．24種

D．36種√

2．(2024·河南焦作期末)給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有4種顏色可供選擇，則共有________種不同的染色方案．96

題號1352468791011121315161714√

課后作業(yè)(五十七)兩個計數(shù)原理、排列與組合題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714√2．(教材改編)空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作的平面?zhèn)€數(shù)為(

)A．42 B．56C．64 D．81

題號1352468791011121315161714√3．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有(

)A．34種 B．43種C．3×2×1種

D．4×3×2種A

[由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選購方式有34種，故選A．]題號13524687910111213151617144．(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A．30種 B．60種

C．120種

D．240種√

題號13524687910111213151617145．將5件相同的小禮物全部送給3個不同的球迷，讓每個球迷都要得到禮物，則不同的分法種數(shù)是(

)A．2 B．10C．5 D．6√

題號13524687910111213151617146．(2024·九省聯(lián)考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有(

)A．20種 B．16種

C．12種

D．8種√題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714√7．在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是(

)A．1440 B．720C．1920 D．960題號1352468791011121315161714C

[如圖，設(shè)5個區(qū)域分別是A，B，C，D，E．第一步：選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；題號1352468791011121315161714第四步：若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則區(qū)域D有3種花卉可以選擇，區(qū)域E可選擇的花卉有4種，故不同的種植方法種數(shù)是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1920．]題號1352468791011121315161714√8．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A．144個 B．120個

C．96個

D．72個題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714√

√題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714√

√題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714√

√√題號1352468791011121315161714

題號1352468791011121315161714三、填空題12．甲、乙、丙、丁四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己所寫的賀卡，共有________種不同的取法．9

題號13524687910111213151617149

[第一步：由甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種不同取法；第三步：由剩余兩人中任1個人取，此時只有1種取法；第四步：最后1個人取，只有1種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有3×3×1×1＝9(種)取法．]題號135246879101112131516171413．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有________種．(用數(shù)字作答)

8題號135246879101112131516171414．有3個地區(qū)，每個地區(qū)需要一名支醫(yī)醫(yī)生和兩名