柳重堪《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件歡迎使用柳重堪《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件，這套課件專為工科及理科基礎(chǔ)課程精心設(shè)計(jì)，全面覆蓋高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)的主要知識(shí)點(diǎn)。本教材對(duì)應(yīng)117學(xué)時(shí)的電視/網(wǎng)絡(luò)課程，為您提供全面系統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。目錄函數(shù)與極限函數(shù)概念、初等函數(shù)、極限理論、連續(xù)性導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義、求導(dǎo)法則、微分應(yīng)用、優(yōu)化問題積分及其應(yīng)用不定積分、定積分、面積計(jì)算、體積計(jì)算空間解析幾何與向量代數(shù)空間坐標(biāo)系、向量運(yùn)算、直線與平面方程多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、極值問題重積分與曲線曲面積分二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分微分方程基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)課程定位培養(yǎng)邏輯與抽象思維能力高等數(shù)學(xué)課程不僅傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力。通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和抽象概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠建立起嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，這對(duì)于解決復(fù)雜問題至關(guān)重要。理工科核心基礎(chǔ)課程作為理工科專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，高等數(shù)學(xué)為學(xué)生提供了解決工程技術(shù)問題的數(shù)學(xué)工具。它是物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等眾多學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的基石。教材概述1分冊(cè)結(jié)構(gòu)《高等數(shù)學(xué)》教材分為上冊(cè)與下冊(cè)兩部分。上冊(cè)主要涵蓋函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等基礎(chǔ)內(nèi)容；下冊(cè)側(cè)重于多元函數(shù)、重積分、微分方程等進(jìn)階知識(shí)，體系完整，結(jié)構(gòu)清晰。2教材特色由柳重堪等資深教授編著，是國內(nèi)發(fā)行量較大的高等數(shù)學(xué)教材之一。教材特點(diǎn)是內(nèi)容精煉、例題豐富、理論與實(shí)踐結(jié)合緊密，難度適中，非常適合自學(xué)與課堂教學(xué)。配套資源學(xué)習(xí)目標(biāo)與方法核心學(xué)習(xí)目標(biāo)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要掌握基礎(chǔ)理論，更要熟練掌握解題技巧。學(xué)習(xí)目標(biāo)包括：理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；掌握各類計(jì)算方法；培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力；提高邏輯推理水平。成功學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)將使你具備分析和解決復(fù)雜問題的能力，這是現(xiàn)代工程師和科學(xué)家必備的素質(zhì)。推薦學(xué)習(xí)方法注重例題和習(xí)題訓(xùn)練，通過實(shí)踐加深理解做好課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)的結(jié)合善用教材配套資源，觀看視頻課程組建學(xué)習(xí)小組，通過分組討論促進(jìn)理解建立知識(shí)圖譜，將各章節(jié)內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系第1章函數(shù)與極限函數(shù)概念與表示函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。本章將從集合與映射角度引入函數(shù)概念，討論函數(shù)的表示方法，包括解析式、圖像、表格等多種表達(dá)形式。初等函數(shù)類型與性質(zhì)系統(tǒng)介紹冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù)的基本性質(zhì)與圖像特征。這些函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具，了解它們的性質(zhì)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。極限思想的引入極限是微積分的核心概念，本章將從直觀認(rèn)識(shí)入手，逐步引入數(shù)列極限和函數(shù)極限的嚴(yán)格定義，并闡釋極限思想在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用。極限的定義與運(yùn)算數(shù)列與函數(shù)極限極限是微積分的基礎(chǔ)概念，可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。數(shù)列極限研究數(shù)列項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)增大的變化趨勢；函數(shù)極限則關(guān)注自變量趨于某值時(shí)函數(shù)值的變化。ε-δ定義：當(dāng)x→x?時(shí)，f(x)→A??ε>0，?δ>0，當(dāng)0<|x-x?|<δ時(shí)，有|f(x)-A|<ε極限的重要性質(zhì)唯一性：若極限存在，則極限值唯一局部有界性：若極限存在，則函數(shù)在趨近點(diǎn)附近有界局部保號(hào)性：若極限為正/負(fù)，則函數(shù)在趨近點(diǎn)附近保持正/負(fù)四則運(yùn)算法則：極限的和、差、積、商運(yùn)算規(guī)則夾逼準(zhǔn)則：若f(x)≤g(x)≤h(x)且limf(x)=limh(x)=A，則limg(x)=A極限計(jì)算典型例題夾逼定理經(jīng)典應(yīng)用求lim(n→∞)(1+1/n)^n時(shí)，可利用夾逼定理。通過二項(xiàng)式展開并舍去高階項(xiàng)，證明這個(gè)極限夾在2和3之間，進(jìn)而精確求得e的值。例：證明lim(n→∞)(1+1/n)^n=e洛必達(dá)法則應(yīng)用當(dāng)遇到0/0或∞/∞型未定式時(shí)，洛必達(dá)法則是強(qiáng)大的計(jì)算工具。通過求導(dǎo)數(shù)之比代替原函數(shù)之比，往往能化簡計(jì)算過程。例：求lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2指數(shù)、對(duì)數(shù)型極限指數(shù)、對(duì)數(shù)型極限常與無窮大量有關(guān)，掌握一些等價(jià)無窮小替換和變形技巧，能夠有效處理此類問題。例：求lim(x→0)x^a·lnx無窮小與無窮大無窮小等價(jià)替換無窮小量是指極限為0的變量，是極限理論中的重要概念。無窮小等價(jià)替換是極限計(jì)算的有力工具，能夠大大簡化計(jì)算過程。當(dāng)x→0時(shí)等價(jià)無窮小sinx≈xtanx≈xe^x-1≈xln(1+x)≈x1-cosx≈x2/2泰勒近似簡單舉例泰勒級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要工具，它可以將函數(shù)表示為無窮多項(xiàng)式之和。在極限計(jì)算中，常利用泰勒展開式的前幾項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算。e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+...+x^n/n!+...sinx=x-x3/3!+x^5/5!-...cosx=1-x2/2!+x^4/4!-...ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-...(|x|<1)例如，計(jì)算lim(x→0)(1-cosx)/x2時(shí)，可用cosx≈1-x2/2代入，得到結(jié)果為1/2。連續(xù)與間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)定義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)：①f(x?)有定義；②lim(x→x?)f(x)存在；③lim(x→x?)f(x)=f(x?)。即函數(shù)值等于函數(shù)在該點(diǎn)的極限值，表現(xiàn)為圖像無間斷。間斷點(diǎn)類型第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在可去間斷點(diǎn)：左右極限相等但不等于函數(shù)值跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在但不相等第二類間斷點(diǎn)：至少有一側(cè)極限不存在，如無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)重要定理連續(xù)函數(shù)具有重要性質(zhì)，是解決實(shí)際問題的理論基礎(chǔ)：介值定理：在[a,b]上連續(xù)的函數(shù)必取到介于f(a)與f(b)之間的任何值零點(diǎn)定理：若f(a)·f(b)<0，則(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使f(ξ)=0最值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的度量，定義為：幾何意義：函數(shù)圖像在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線斜率。物理意義：描述瞬時(shí)變化率，如速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)?？蓪?dǎo)與不可導(dǎo)實(shí)例函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)意味著該點(diǎn)的切線存在唯一，圖像光滑。常見不可導(dǎo)情況包括：尖點(diǎn)：如|x|在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等垂直切線：如y=?x在x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大跳躍點(diǎn)：如分段函數(shù)在分段點(diǎn)可能不可導(dǎo)微分是函數(shù)增量的線性主部，記為df=f'(x)dx，是線性近似的基礎(chǔ)?；厩髮?dǎo)法則四則運(yùn)算法則和差法則：(u±v)'=u'±v'乘法法則：(u·v)'=u'·v+u·v'除法法則：(u/v)'=(u'·v-u·v')/v2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t：y=f(g(x))y'=f'(g(x))·g'(x)這是處理復(fù)雜函數(shù)最常用的方法反函數(shù)求導(dǎo)若y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)存在則φ'(y)=1/f'(x)，其中x=φ(y)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(x^n)'=nx^(n-1)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(e^x)'=e^x(lnx)'=1/x4隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)隱函數(shù)微分法步驟隱函數(shù)是指無法直接用y=f(x)表示，而是以F(x,y)=0形式給出的函數(shù)。求導(dǎo)步驟如下：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)將含有y'的項(xiàng)移到一邊，其余項(xiàng)移到另一邊解出y'，得到導(dǎo)數(shù)表達(dá)式例如，對(duì)于方程x2+y2=1，求導(dǎo)得2x+2yy'=0，解得y'=-x/y。經(jīng)典隱函數(shù)實(shí)際應(yīng)用例題隱函數(shù)求導(dǎo)在實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用，如求曲線的切線方程、法線方程等。例題：求曲線x3+y3=3axy在點(diǎn)(a,a)處的切線方程。解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)：3x2+3y2y'=3ay+3axy'整理得：y'=(ay-x2)/(y2-ax)在點(diǎn)(a,a)處：y'=(a2-a2)/(a2-a2)，為不定型使用洛必達(dá)法則或隱式微分，最終得到切線方程為x+y=2a導(dǎo)數(shù)存在性的判別1單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。左導(dǎo)數(shù)f'?(x?)表示x從左側(cè)趨近x?時(shí)的導(dǎo)數(shù)極限，右導(dǎo)數(shù)f'?(x?)則是從右側(cè)趨近時(shí)的極限。f'?(x?)=lim(h→0?)[f(x?+h)-f(x?)]/hf'?(x?)=lim(h→0?)[f(x?+h)-f(x?)]/h2不可導(dǎo)點(diǎn)的分析常見的不可導(dǎo)點(diǎn)類型包括：尖點(diǎn)：左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，如|x|在x=0處角點(diǎn)：圖像在該點(diǎn)有"轉(zhuǎn)角"，如y=|x-1|在x=1處垂直切線點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為無窮大，如y=?x在x=0處跳躍點(diǎn)：函數(shù)不連續(xù)，導(dǎo)數(shù)必不存在振蕩點(diǎn)：如y=x2sin(1/x)在x=0處3不可導(dǎo)但連續(xù)的函數(shù)舉例一個(gè)典型的例子是y=|x|函數(shù)，它在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。雖然左右極限都等于0，滿足函數(shù)連續(xù)性條件，但左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為1，兩者不相等，因此在x=0處不可導(dǎo)。另一個(gè)例子是y=x^(2/3)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)趨于無窮大。這說明函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要但非充分條件。高階導(dǎo)數(shù)與常用技巧n階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是指對(duì)f(x)求n次導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，記為f^(n)(x)。高階導(dǎo)數(shù)在物理中有重要應(yīng)用，如加速度是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。一些基本函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有規(guī)律可循：e^x的n階導(dǎo)數(shù)：(e^x)^(n)=e^xsinx的n階導(dǎo)數(shù)：(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)cosx的n階導(dǎo)數(shù)：(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)x^m的n階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)n>m時(shí)為0；否則為m!/(m-n)!·x^(m-n)遞推與歸納法結(jié)合求解復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，遞推公式與數(shù)學(xué)歸納法常常結(jié)合使用。例如，求(1+x)^a的n階導(dǎo)數(shù)：設(shè)y=(1+x)^a，則y'=a(1+x)^(a-1)，y''=a(a-1)(1+x)^(a-2)，...歸納可得：y^(n)=a(a-1)...(a-n+1)(1+x)^(a-n)萊布尼茨公式是求復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的重要工具：其中C_n^k表示組合數(shù)，即從n個(gè)元素中取k個(gè)的方法數(shù)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總覽1函數(shù)單調(diào)性判斷利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性：若f'(x)>0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增若f'(x)<0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減若f'(x)=0，則x為函數(shù)的駐點(diǎn)（可能是極值點(diǎn)）2極值點(diǎn)的確定尋找函數(shù)的極值點(diǎn)需要綜合一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：求解f'(x)=0，得到駐點(diǎn)若f''(x?)>0，則x?為極小值點(diǎn)若f''(x?)<0，則x?為極大值點(diǎn)若f''(x?)=0，需要進(jìn)一步分析3凹凸性與拐點(diǎn)分析利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凹凸性：若f''(x)>0，則函數(shù)在該區(qū)間上為凹函數(shù)（向上凸）若f''(x)<0，則函數(shù)在該區(qū)間上為凸函數(shù)（向下凸）若f''(x?)=0且前后f''(x)變號(hào)，則x?為拐點(diǎn)4曲線最值判定流程求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最值，遵循以下步驟：求解f'(x)=0，得到所有內(nèi)部駐點(diǎn)計(jì)算端點(diǎn)值f(a)和f(b)計(jì)算所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值比較所有值，最大的是最大值，最小的是最小值極值與最值問題閉區(qū)間極值定理應(yīng)用函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值必定在以下位置之一：區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)，即f'(x)=0的點(diǎn)區(qū)間內(nèi)函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)a和b求解步驟：①求出所有上述點(diǎn)；②計(jì)算這些點(diǎn)處的函數(shù)值；③比較大小，確定最值。這一方法廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化問題的求解。經(jīng)濟(jì)與工程優(yōu)化案例導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)與工程中有廣泛應(yīng)用，如：利潤最大化：求解利潤函數(shù)P(x)的極值成本最小化：找出成本函數(shù)C(x)的最小值材料優(yōu)化：如求最小表面積的容器設(shè)計(jì)效率最大化：如尋找最佳生產(chǎn)批量例：生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本C(x)=3000+10x+0.01x2，求單位成本最低時(shí)的產(chǎn)量。解：單位成本c(x)=C(x)/x=3000/x+10+0.01x，求導(dǎo)并令c'(x)=0，得x=√300000≈548件。函數(shù)圖像與微分確定定義域與特殊點(diǎn)繪制函數(shù)圖像的第一步是確定函數(shù)的定義域，以及函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，如函數(shù)值為零的點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)等。這些點(diǎn)往往是理解函數(shù)行為的關(guān)鍵。分析導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性通過計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)并分析其符號(hào)，可以確定函數(shù)的增減區(qū)間。將定義域劃分為若干區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上確定函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，這有助于理解函數(shù)的整體變化趨勢。研究二階導(dǎo)數(shù)與凹凸性通過分析二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。凹函數(shù)(f''(x)>0)的圖像向上凸，凸函數(shù)(f''(x)<0)的圖像向下凸。拐點(diǎn)是函數(shù)由凹變凸或由凸變凹的點(diǎn)。確定漸近線分析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的行為，確定水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線。漸近線反映了函數(shù)在極限情況下的趨勢，是理解函數(shù)整體行為的重要工具。綜合繪制圖像結(jié)合以上分析結(jié)果，繪制函數(shù)圖像。確保圖像在關(guān)鍵點(diǎn)（如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)）處的行為正確，并正確反映函數(shù)的整體趨勢和特性。羅爾定理與拉格朗日中值定理羅爾定理如果函數(shù)f(x)滿足：①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。幾何意義：如果曲線的兩個(gè)端點(diǎn)高度相同，則曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于x軸。羅爾定理告訴我們，滿足條件的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有一個(gè)水平切線。這一定理是微分學(xué)中的基本定理，也是拉格朗日中值定理的特例。拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)滿足：①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得：幾何意義：曲線上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)處的切線平行于連接曲線兩端點(diǎn)的割線。物理意義：如果f(x)表示位移，則存在一個(gè)時(shí)刻，物體的瞬時(shí)速度等于平均速度。拉格朗日中值定理是微分學(xué)的核心定理，是證明許多重要結(jié)論的基礎(chǔ)。不定積分基礎(chǔ)原函數(shù)與積分符號(hào)如果函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，即F'(x)=f(x)，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù)。一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不唯一，相差一個(gè)常數(shù)。不定積分記為∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是積分常數(shù)。不定積分與導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算，即[∫f(x)dx]'=f(x)。積分基本性質(zhì)不定積分具有以下基本性質(zhì)：∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k為常數(shù))∫f[φ(x)]φ'(x)dx=∫f(u)du(u=φ(x))這些性質(zhì)是進(jìn)行積分運(yùn)算的基礎(chǔ)，尤其是第三條性質(zhì)，是換元積分法的理論依據(jù)。常用積分公式以下是一些基本積分公式：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C(n≠-1)∫1/xdx=ln|x|+C∫e^xdx=e^x+C∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫1/√(1-x^2)dx=arcsinx+C∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C換元積分法變量替換的基本思想換元積分法是通過變量替換將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單積分的方法。其基本思想是：設(shè)u=φ(x)，則dx=φ'(x)du，將∫f(φ(x))φ'(x)dx轉(zhuǎn)化為∫f(u)du。換元法主要有兩種形式：第一類換元法：令u=φ(x)，將x表示為u的函數(shù)，然后對(duì)u積分第二類換元法：令x=ψ(t)，將積分變量從x變?yōu)閠，然后對(duì)t積分選擇合適的換元是解決積分問題的關(guān)鍵，通常需要根據(jù)被積函數(shù)的形式選擇恰當(dāng)?shù)奶鎿Q變量。典型分式與三角型積分一些典型的換元積分例子：∫R(sinx,cosx)dx型：可令t=tan(x/2)進(jìn)行有理化∫R(x,√(ax2+bx+c))dx型：根據(jù)判別式情況選擇不同換元∫R(e^x)dx型：令u=e^x簡化計(jì)算∫R(x)dx，其中R是有理分式：采用部分分式分解例：計(jì)算∫sin2xcos3xdx解：令u=sinx，則du=cosxdx，原積分變?yōu)椤襲2cos2xcosxdx=∫u2(1-u2)cosxdx=∫u2(1-u2)du=∫(u2-u?)du=u3/3-u?/5+C=sin3x/3-sin?x/5+C分部積分法1分部積分基本公式分部積分法基于導(dǎo)數(shù)的乘積法則，其基本公式為：這一方法特別適用于被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積，如冪函數(shù)與三角函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)等。關(guān)鍵在于選擇合適的u(x)和v'(x)，使得∫v(x)u'(x)dx比原積分更容易計(jì)算。2復(fù)雜函數(shù)分解原則在選擇u和v'時(shí)，通常遵循"ILATE"原則，按照以下順序選擇u：I：反三角函數(shù)(Inversetrigonometricfunctions)L：對(duì)數(shù)函數(shù)(Logarithmicfunctions)A：代數(shù)函數(shù)(Algebraicfunctions)，如多項(xiàng)式、有理函數(shù)等T：三角函數(shù)(Trigonometricfunctions)E：指數(shù)函數(shù)(Exponentialfunctions)例如，計(jì)算∫x·e^xdx時(shí)，選擇u=x（代數(shù)函數(shù)），v'=e^x（指數(shù)函數(shù)）。3對(duì)稱分部積分法應(yīng)用某些特殊形式的積分可以通過多次應(yīng)用分部積分法，利用其對(duì)稱性得到方程，然后求解。例如，計(jì)算I=∫e^x·sinxdx：第一次分部積分：u=sinx，v'=e^x，得I=e^x·sinx-∫e^x·cosxdx第二次分部積分：計(jì)算J=∫e^x·cosxdx，得J=e^x·cosx+∫e^x·sinxdx=e^x·cosx+I代入得I=e^x·sinx-J=e^x·sinx-e^x·cosx-I解得I=(e^x·sinx-e^x·cosx)/2+C有理函數(shù)積分與特殊積分部分分式展開有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式的商P(x)/Q(x)。計(jì)算有理函數(shù)的積分，關(guān)鍵是將其分解為簡單部分分式之和。分解步驟：若分子次數(shù)不小于分母，先進(jìn)行多項(xiàng)式長除，得到多項(xiàng)式與真分式之和將分母因式分解為不可約因式的乘積對(duì)每個(gè)不可約因式，按其重?cái)?shù)和類型設(shè)置待定系數(shù)通過待定系數(shù)法求解這些系數(shù)例如，對(duì)于分母為(x-a)^m的因式，對(duì)應(yīng)的部分分式形式為：常見型特殊積分舉例除了有理函數(shù)積分，還有一些特殊類型的積分需要特定技巧：∫sin^mxcos^nxdx：根據(jù)m、n的奇偶性選擇不同策略∫sin(ax)sin(bx)dx,∫cos(ax)cos(bx)dx：利用積化和差公式∫√(a2±x2)dx：使用三角換元或雙曲換元∫R(x,√(ax2+bx+c))dx：根據(jù)判別式使用特定換元例：計(jì)算∫dx/√(1-x2)解：令x=sint，則dx=costdt，原積分變?yōu)椤襝ostdt/cost=∫dt=t+C=arcsinx+C定積分的定義1問題的起源定積分概念源于計(jì)算曲邊圖形的面積問題。人們發(fā)現(xiàn)，通過將區(qū)域劃分為無數(shù)個(gè)小矩形，然后求和，可以近似計(jì)算復(fù)雜圖形的面積。當(dāng)劃分越來越細(xì)時(shí)，近似值趨于一個(gè)固定值，這就是定積分的直觀理解。2和的極限定義將區(qū)間[a,b]分為n個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上取一點(diǎn)ξ?，構(gòu)造黎曼和：當(dāng)最大子區(qū)間長度λ→0時(shí)，如果S?的極限存在且唯一，則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為：3黎曼積分思想黎曼積分是最常用的定積分理論。一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上可積的充要條件是：函數(shù)在區(qū)間上有界，且不連續(xù)點(diǎn)集的測度為零。實(shí)際上，連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)都是可積的。4幾何意義當(dāng)f(x)≥0時(shí)，∫??,??f(x)dx表示曲線y=f(x)與x軸及x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積。若f(x)有正有負(fù)，則定積分表示上方面積減去下方面積的代數(shù)和。定積分計(jì)算方法基本函數(shù)直接積分利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分的基本步驟：求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(x)計(jì)算F(b)-F(a)的值例如，計(jì)算∫?2x2dx：原函數(shù)F(x)=x3/3，則∫?2x2dx=[x3/3]?2=23/3-0=8/3此外，一些特殊定積分有固定結(jié)果，如：∫?^π/2sinxdx=1∫?^π/2cosxdx=1∫?1x^ndx=1/(n+1)(n>-1)換元、分部積分混合技巧定積分的換元法有所不同，需要同時(shí)改變積分上下限：其中x=φ(t)，a=φ(α)，b=φ(β)。分部積分法同樣適用于定積分：例：計(jì)算∫?^π/2x·sinxdx解：令u=x，dv=sinxdx，則du=dx，v=-cosx∫?^π/2x·sinxdx=[-x·cosx]?^π/2+∫?^π/2cosxdx=[-π/2·cos(π/2)+0·cos(0)]+[sinx]?^π/2=0+0+(1-0)=1積分上限函數(shù)與微積分基本定理積分上限函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，定義積分上限函數(shù)：積分上限函數(shù)具有以下重要性質(zhì)：F(x)在[a,b]上連續(xù)若f(x)在點(diǎn)x?處連續(xù)，則F(x)在x?處可導(dǎo)，且F'(x?)=f(x?)特別地，F(xiàn)(a)=0這一結(jié)論建立了定積分與導(dǎo)數(shù)之間的直接聯(lián)系，是微積分基本定理的第一部分。牛頓-萊布尼茨公式與實(shí)際例題微積分基本定理的第二部分是著名的牛頓-萊布尼茨公式：其中F(x)是f(x)的任一原函數(shù)。這個(gè)公式將定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算，極大地簡化了定積分的求解過程。例題：若f(x)=sinx，求證F(x)=∫?^xsintdt=1-cosx。證明：令G(x)=1-cosx，則G'(x)=sinx=f(x)，且G(0)=1-cos0=0=F(0)。由微積分基本定理，F(xiàn)'(x)=f(x)=sinx，且F(0)=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的唯一性定理，可知F(x)=G(x)=1-cosx。定積分應(yīng)用I：面積曲邊梯形面積最基本的定積分應(yīng)用是計(jì)算曲邊梯形的面積，即函數(shù)圖像與x軸及兩條垂線所圍區(qū)域的面積：如果f(x)有正有負(fù)，則上式計(jì)算的是函數(shù)圖像上方面積減去下方面積的代數(shù)和。若要計(jì)算實(shí)際面積，需要分段積分：其中f?(x)=max{f(x),0}，f?(x)=max{-f(x),0}。兩曲線圍成的面積對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)，若在區(qū)間[a,b]上有f(x)≥g(x)，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像與x=a、x=b所圍成的區(qū)域面積為：如果兩曲線有交點(diǎn)，需要先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后分段積分。在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)需要利用對(duì)稱性或分割區(qū)域來簡化計(jì)算。極坐標(biāo)下的面積計(jì)算在極坐標(biāo)系中，曲線r=r(θ)從θ=α到θ=β所掃過的扇形面積為：這一公式在處理圓形、螺線等極坐標(biāo)曲線時(shí)特別有用。例如，計(jì)算心形線r=a(1+cosθ)所圍成的面積：定積分應(yīng)用II：體積旋轉(zhuǎn)體體積公式旋轉(zhuǎn)體是指平面區(qū)域繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形。計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的基本方法是截面法，即將體積看作許多薄片的疊加。當(dāng)曲線y=f(x)(a≤x≤b,f(x)≥0)所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：同理，當(dāng)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，體積為：這兩個(gè)公式也被稱為盤面法公式，因?yàn)槊總€(gè)截面都是圓盤形狀?？涨恍D(zhuǎn)體與分段旋轉(zhuǎn)法對(duì)于兩個(gè)曲線f(x)和g(x)(f(x)≥g(x)≥0)所圍區(qū)域的旋轉(zhuǎn)體，可以使用空腔法：繞x軸旋轉(zhuǎn)：繞y軸旋轉(zhuǎn)：對(duì)于復(fù)雜的區(qū)域，可能需要分段計(jì)算或使用柱殼法：例：計(jì)算y=x2和y=x所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：兩曲線交點(diǎn)為(0,0)和(1,1)，應(yīng)用公式得：定積分應(yīng)用III：長度與作功曲線弧長計(jì)算平面曲線的弧長可以通過定積分計(jì)算。對(duì)于函數(shù)y=f(x)(a≤x≤b)的圖像，其弧長為：參數(shù)方程表示的曲線x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β)的弧長為：極坐標(biāo)曲線r=r(θ)(α≤θ≤β)的弧長為：變力沿直線作功物理中，力F沿直線從點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b所作的功為：如果力的大小和方向隨位置變化，需要考慮力在位移方向的分量。例：計(jì)算彈簧從自然長度拉伸到長度L所需的功。解：根據(jù)胡克定律，彈力F=kx，其中k為彈簧常數(shù)，x為形變量。液體壓力與功當(dāng)液體對(duì)豎直平板產(chǎn)生壓力時(shí)，總壓力等于：其中ρ為液體密度，g為重力加速度，h(x)為深度，w(x)為寬度。將液體從一個(gè)容器抽到高處所需的功為：其中A(h)為不同深度處的液體橫截面積。積分中常見錯(cuò)誤及克服1換元時(shí)的常見錯(cuò)誤在使用換元積分法時(shí)，容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：忘記轉(zhuǎn)換積分變量：∫f(g(x))dx≠∫f(u)dx，正確的是∫f(u)du·(dx/du)忘記轉(zhuǎn)換積分限：定積分換元后，必須同時(shí)改變積分上下限選擇不當(dāng)?shù)膿Q元：有時(shí)選擇不合適的換元會(huì)使積分變得更復(fù)雜克服方法：嚴(yán)格按照公式操作，在換元后檢查是否完成了所有必要的轉(zhuǎn)換，嘗試不同的換元方法并比較難易程度。2分部積分的順序問題分部積分法中，u和v'的選擇直接影響計(jì)算的復(fù)雜度：選擇不當(dāng)可能導(dǎo)致循環(huán)，無法得到結(jié)果未遵循"ILATE"原則可能增加計(jì)算難度某些情況下需要連續(xù)多次分部積分克服方法：遵循"ILATE"原則選擇u和v'，對(duì)于循環(huán)型積分，可以利用循環(huán)關(guān)系列方程求解，必要時(shí)嘗試其他積分方法。3上下限變化的陷阱在處理定積分時(shí)，上下限的處理常有陷阱：換元后忘記轉(zhuǎn)換積分限，或轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤在區(qū)間可加性應(yīng)用中分割點(diǎn)選擇不當(dāng)處理奇偶性或周期性時(shí)積分限設(shè)置錯(cuò)誤當(dāng)被積函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)時(shí)未正確處理克服方法：換元后仔細(xì)檢查新的積分限，確保連續(xù)性，利用函數(shù)的對(duì)稱性簡化計(jì)算，遇到不連續(xù)點(diǎn)時(shí)應(yīng)分段積分?？臻g解析幾何基礎(chǔ)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的坐標(biāo)軸組成，通常記為x軸、y軸和z軸?？臻g中的點(diǎn)P用有序三元組(x,y,z)表示，表示點(diǎn)P到三個(gè)坐標(biāo)平面的有向距離。兩點(diǎn)P?(x?,y?,z?)和P?(x?,y?,z?)之間的距離為：空間中的球面方程為：其中(x?,y?,z?)為球心坐標(biāo)，r為球的半徑。向量基本概念空間向量是有大小和方向的量，可用有序三元組表示：a=(a?,a?,a?)。向量的模長為：兩點(diǎn)P?(x?,y?,z?)和P?(x?,y?,z?)確定的向量為：向量運(yùn)算包括：加減法：a±b=(a?±b?,a?±b?,a?±b?)數(shù)乘：λa=(λa?,λa?,λa?)單位向量：e?=a/|a|向量投影：projba=(a·b)/|b|多元函數(shù)與極限二元及多元函數(shù)概念二元函數(shù)是指形如z=f(x,y)的函數(shù)，其中自變量是有序?qū)?x,y)，因變量是z。二元函數(shù)的幾何表示是三維空間中的曲面。多元函數(shù)的定義域是n維空間的子集，值域是實(shí)數(shù)集的子集。如三元函數(shù)w=f(x,y,z)，四元函數(shù)u=f(x,y,z,t)等。二元函數(shù)的等值線（等高線）是平面上滿足f(x,y)=c的點(diǎn)的集合，直觀地表示了函數(shù)的變化特性。常見二元函數(shù)：平面：z=ax+by+c拋物面：z=x2+y2雙曲拋物面：z=x2-y2球面：x2+y2+z2=r2二重極限與路徑依賴性二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的極限定義為：意味著對(duì)于任意ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)0<√((x-x?)2+(y-y?)2)<δ時(shí)，有|f(x,y)-L|<ε。與一元函數(shù)不同，二元函數(shù)的極限可能存在路徑依賴性，即沿不同路徑趨近同一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能收斂到不同極限。例如：當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，沿y=x路徑得到極限1/2，沿y=0路徑得到極限0，說明極限不存在。判斷二重極限存在的常用方法：利用極坐標(biāo)變換考察沿不同路徑的極限使用夾逼定理或等價(jià)無窮小代換偏導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算1偏導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)是指固定y值，將z視為x的函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)：同理，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)是：幾何意義：fx(x?,y?)表示曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?,f(x?,y?))處與y=y?平面的交線的切線斜率。2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將"不參與求導(dǎo)"的變量視為常數(shù)，然后應(yīng)用普通導(dǎo)數(shù)的規(guī)則：和差法則：(u±v)x=ux±vx乘法法則：(uv)x=uxv+uvx除法法則：(u/v)x=(uxv-uvx)/v2復(fù)合函數(shù)法則：若z=f(g(x,y))，則zx=f'(g)·gx3二元函數(shù)偏導(dǎo)例題例1：求f(x,y)=x2y+sin(xy)的偏導(dǎo)數(shù)解：fx(x,y)=2xy+y·cos(xy)fy(x,y)=x2+x·cos(xy)例2：求f(x,y)=ex2+y2的偏導(dǎo)數(shù)解：令u=x2+y2，則f(x,y)=eufx(x,y)=eu·ux=ex2+y2·2xfy(x,y)=eu·uy=ex2+y2·2y多元泰勒公式泰勒展開基本形式二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)附近的泰勒展開式：其中Rn是n階余項(xiàng)。一階泰勒展開（線性近似）為：這實(shí)際上是函數(shù)在點(diǎn)(x?,y?)處切平面的方程。近似計(jì)算在工程中的應(yīng)用多元泰勒公式在工程計(jì)算中有廣泛應(yīng)用：函數(shù)值近似計(jì)算：使用一階或二階泰勒展開近似計(jì)算復(fù)雜函數(shù)值誤差分析：估計(jì)測量誤差或計(jì)算誤差的傳播優(yōu)化算法：牛頓法等優(yōu)化算法的理論基礎(chǔ)物理模型：許多物理模型中的線性化近似例：利用泰勒公式近似計(jì)算√(1.022+0.982)解：設(shè)f(x,y)=√(x2+y2)，在點(diǎn)(1,1)處展開：fx(1,1)=x/√(x2+y2)|(1,1)=1/√2fy(1,1)=y/√(x2+y2)|(1,1)=1/√2∴f(1.02,0.98)≈f(1,1)+fx(1,1)(1.02-1)+fy(1,1)(0.98-1)=√2+1/√2·0.02+1/√2·(-0.02)=√2≈1.414二重積分定義與性質(zhì)1二重積分的定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，將D分割為n個(gè)小區(qū)域ΔSi，在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，構(gòu)造黎曼和：當(dāng)小區(qū)域的最大直徑λ→0時(shí)，若Sn的極限存在且唯一，則此極限稱為f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記為：幾何意義：當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，二重積分表示以D為底，以z=f(x,y)為頂?shù)牧Ⅲw體積。2二重積分的性質(zhì)二重積分具有以下基本性質(zhì)：線性性質(zhì)：?D[αf(x,y)+βg(x,y)]dS=α?Df(x,y)dS+β?Dg(x,y)dS區(qū)域可加性：若D=D?∪D?且D?∩D?的測度為0，則?Df(x,y)dS=?D?f(x,y)dS+?D?f(x,y)dS保號(hào)性：若在D上f(x,y)≥g(x,y)，則?Df(x,y)dS≥?Dg(x,y)dS估值不等式：若m≤f(x,y)≤M，則mS(D)≤?Df(x,y)dS≤MS(D)中值定理：存在點(diǎn)(ξ,η)∈D，使得?Df(x,y)dS=f(ξ,η)S(D)3可迭代性（費(fèi)比尼定理）二重積分最重要的性質(zhì)是可迭代性，即可以轉(zhuǎn)化為兩次一重積分（先一個(gè)變量，再一個(gè)變量）：或者其中D是x型區(qū)域：a≤x≤b,φ?(x)≤y≤φ?(x)，或y型區(qū)域：c≤y≤d,ψ?(y)≤x≤ψ?(y)。這一定理大大簡化了二重積分的計(jì)算，是多元積分計(jì)算的基礎(chǔ)。二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)求解在直角坐標(biāo)系中，計(jì)算二重積分的步驟：確定積分區(qū)域D的邊界，表示為x型區(qū)域或y型區(qū)域選擇積分次序（先x后y，或先y后x），通常選擇能簡化計(jì)算的順序設(shè)置積分限，寫出迭代積分表達(dá)式分別計(jì)算內(nèi)層和外層積分例：計(jì)算?D(x+y)dxdy，其中D是由拋物線y=x2和直線y=2x所圍成的區(qū)域。解：拋物線與直線交點(diǎn)為(0,0)和(2,4)。表示為x型區(qū)域：計(jì)算內(nèi)層積分：∫x22x(x+y)dy=xy+y2/2|x22x=2x2+2x2/2-(x·x2+x?/2)=2x2+x2-x3-x?/2計(jì)算外層積分：∫02(2x2+x2-x3-x?/2)dx=3x3/3-x?/4-x?/10|02=3·8/3-16/4-32/10=8-4-16/5=4-16/5=20/5-16/5=4/5極坐標(biāo)與積分區(qū)域劃分技巧當(dāng)積分區(qū)域具有極坐標(biāo)特征或被積函數(shù)包含x2+y2時(shí)，極坐標(biāo)變換常能簡化計(jì)算：極坐標(biāo)下的面積元素：dxdy=rdrdθ，二重積分轉(zhuǎn)化為：積分區(qū)域描述為：α≤θ≤β，r?(θ)≤r≤r?(θ)。例：計(jì)算?D(x2+y2)dxdy，其中D是圓x2+y2≤a2。解：采用極坐標(biāo)變換，得：對(duì)于復(fù)雜區(qū)域，可以將其分割為多個(gè)簡單區(qū)域，分別計(jì)算后求和。常微分方程基礎(chǔ)一階可分離變量方程形如g(y)y'=f(x)或g(y)dy=f(x)dx的方程稱為可分離變量方程。求解步驟：分離變量，將方程整理為g(y)dy=f(x)dx的形式兩邊積分：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C解出y=φ(x,C)例：求解y'=y/x解：分離變量得dy/y=dx/x，兩邊積分得lny=lnx+lnC=ln(Cx)，解得y=Cx一階齊次方程形如y'=f(y/x)的方程稱為齊次方程。求解步驟：令u=y/x，則y=ux，y'=u+x(du/dx)代入原方程，得到關(guān)于u的可分離變量方程解出u=φ(x)，再代回y=ux得到原方程的解例：求解y'=(x+y)/x解：令u=y/x，則y=ux，y'=u+x(du/dx)，代入得u+x(du/dx)=(x+ux)/x=1+u整理得x(du/dx)=1，分離變量得du=dx/x，積分得u=lnx+C，代回得y=xlnx+Cx一階線性方程形如y'+P(x)y=Q(x)的方程稱為一階線性方程。求解步驟（常數(shù)變易法）：求出對(duì)應(yīng)齊次方程y'+P(x)y=0的通解y=Ce-∫P(x)dx令C=C(x)，代入原方程求解C'(x)積分得C(x)，代回得原方程的通解通解公式：y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]典型應(yīng)用與建模案例物理中的速度、位移計(jì)算微分方程在物理問題中有廣泛應(yīng)用，特別是在描述運(yùn)動(dòng)時(shí)：速度與位移關(guān)系：v=dx/dt，其中x是位移，t是時(shí)間加速度與速度關(guān)系：a=dv/dt=d2x/dt2牛頓第二定律：F=ma=m·d2x/dt2例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在阻力與速度成正比的介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)阻力為-kv，外力為F，則：當(dāng)F為常數(shù)時(shí)，這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，可解得：隨著時(shí)間增加，指數(shù)項(xiàng)趨于零，質(zhì)點(diǎn)以恒定速度F/k運(yùn)動(dòng)。經(jīng)濟(jì)學(xué)增長模型舉例微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有重要應(yīng)用，例如：復(fù)利增長模型：dP/dt=rP，其中P是資金，r是利率有限資源增長模型：dP/dt=rP(1-P/K)，其中K是環(huán)境容量市場價(jià)格調(diào)整模型：dp/dt=α(D(p)-S(p))，其中D是需求函數(shù)，S是供給函數(shù)例：索洛經(jīng)濟(jì)增長模型設(shè)k(t)是人均資本，s是儲(chǔ)蓄率，δ是折舊率，n是人口增長率，則：其中f(k)是人均產(chǎn)出函數(shù)。在柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)f(k)=Akα下，方程可解得穩(wěn)態(tài)人均資本k*，滿足sf(k*)=(n+δ)k*。典型習(xí)題解析極限計(jì)算問題：求lim(x→0)(sin3x-3sinx)/x3解析：利用泰勒展開，sinx=x-x3/6+o(x3)，代入得：=lim(x→0)(3x-9x3/6+o(x3)-3x+3x3/6+o(x3))/x3=lim(x→0)(-9x3/6+3x3/6+o(x3))/x3=lim(x→0)(-6x3/6+o(x3))/x3=-1定積分應(yīng)用問題：求由曲線y=x2,y=2-x2圍成的區(qū)域面積解析：首先求兩曲線的交點(diǎn)，解方程x