線性代數(shù)n

階行列式第1.2節(jié)

n階行列式二、三、n階行列式四、n階行列式的其他定義形式一、全排列與逆序數(shù)二、對(duì)換線性代數(shù)一、全排列與逆序數(shù)如何計(jì)算

？

將個(gè)不同的元素排成一行，稱(chēng)為這個(gè)元素的一個(gè)全排列，也簡(jiǎn)稱(chēng)

元排列，

個(gè)不同的元素所有可能的排列種數(shù)，稱(chēng)為全排列數(shù)，通常用

表示.由分步乘法原理，例如，用1,2,3三個(gè)數(shù)字作排列，排列數(shù)3種情況2種情況1種情況123，132，213，231，312，321.它們是n

階行列式線性代數(shù)

對(duì)

個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.

規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)次序后，在這

個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說(shuō)這兩個(gè)元素構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)(偶數(shù))的排列稱(chēng)為奇排列(偶排列).n

階行列式一般地，

個(gè)自然數(shù)

的任意一個(gè)排列記作

，如果比

大且排在

前面的元素有

個(gè)，就說(shuō)元素

的逆序數(shù)是.一個(gè)排列中全體元素的逆序數(shù)之和就是這個(gè)排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)可記為線性代數(shù)計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：

從左至右分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的元素的個(gè)數(shù)（即每個(gè)元素的逆序數(shù)），然后把這些個(gè)數(shù)加起來(lái)即為所求排列的逆序數(shù).例1

求排列43512的逆序數(shù).解在排列43512中,4排在首位,逆序數(shù)為0;3的前面比3大的數(shù)有1個(gè);于是排列43512的逆序數(shù)為5的前面比5大的數(shù)有0個(gè);1的前面比1大的數(shù)有3個(gè);2的前面比2大的數(shù)有3個(gè);奇排列n

階行列式線性代數(shù)二、對(duì)換

將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素的位置對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，而得到一個(gè)新排列的過(guò)程稱(chēng)為對(duì)換．若對(duì)換的是相鄰的兩個(gè)元素，則稱(chēng)為相鄰對(duì)換.定理1

一個(gè)排列進(jìn)行一次對(duì)換，排列改變奇偶性一次.相鄰對(duì)換的情形:排列的逆序數(shù)增加1或減少1，排列奇偶性改變.一般對(duì)換的情形:作m次相鄰對(duì)換作m+1次相鄰對(duì)換排列作奇數(shù)次相鄰對(duì)換，排列奇偶性改變.

推論

奇（偶）排列對(duì)換成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇（偶）數(shù).n

階行列式1、以舊導(dǎo)新回顧三階行列式任一項(xiàng)不考慮正負(fù)號(hào)時(shí)可寫(xiě)成,是1,2,3這3個(gè)數(shù)的某個(gè)排列，共有3！=6種，對(duì)應(yīng)上式右邊共6項(xiàng).這里行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列

線性代數(shù)三、n階行列式觀察發(fā)現(xiàn)(1)展開(kāi)式的每一項(xiàng)都恰是位于不同行、不同列的3個(gè)元素的乘積，n

階行列式各項(xiàng)前面所取的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列的對(duì)應(yīng)情況：取正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列分別是：取負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列分別是：都是偶排列，取負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列都是奇排列，因此各項(xiàng)所取的正負(fù)號(hào)可表示為均為偶排列均為奇排列123，231，312；321，132，213.線性代數(shù)觀察發(fā)現(xiàn)(2)各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列的奇偶性有關(guān).取正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列,其中

為該項(xiàng)列標(biāo)排列

的逆序數(shù).n

階行列式綜合觀察發(fā)現(xiàn)（1）和（2），知三階行列式可以寫(xiě)成：線性代數(shù)其中

為排列

的逆序數(shù)，

是1,2,3的某排列，連加號(hào)表示對(duì)1，2，3這3個(gè)數(shù)的所有排列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)求和.

n

階行列式，即得形如定義1

設(shè)有個(gè)數(shù)，排成行列的數(shù)表nn作出表中位于不同行不同列的個(gè)數(shù)的乘積n線性代數(shù)2.n階行列式的定義并冠以符號(hào)n

階行列式這樣的項(xiàng)，其中為自然數(shù)的一個(gè)排列，由于這樣的排列共有個(gè)，因而形如這樣的項(xiàng)共有項(xiàng).所有這項(xiàng)稱(chēng)為階行列式，記作線性代數(shù)的代數(shù)和n

階行列式簡(jiǎn)記為其中數(shù)為行列式的

元.

即行列式中每個(gè)元素的下標(biāo)能表示該元素的位置時(shí)，行列式可以簡(jiǎn)記.等號(hào)右邊稱(chēng)為行列式

D的展開(kāi)式.線性代數(shù)n

階行列式（1）階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和；（2）階行列式的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

個(gè)元素的乘積；（4）一階行列式不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆.（3）每一項(xiàng)的行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)，由列標(biāo)排列的奇偶性決定該項(xiàng)前面的正負(fù)號(hào)；按此定義的二階、三階行列式與用對(duì)角線法則定義的二階、三階行列式顯然是一致的.線性代數(shù)說(shuō)明n

階行列式3、幾種特殊形式的行列式（1）上三角形行列式可能不為0的元素

滿足即展開(kāi)式的一般項(xiàng)為而

是

這n個(gè)數(shù)中互不相同的數(shù)，故只有故D展開(kāi)式中可能不為0的項(xiàng)只有一項(xiàng)，符號(hào)為正.作為計(jì)算公式識(shí)記線性代數(shù)n

階行列式（2）下三角形行列式展開(kāi)式中一般項(xiàng)可能不為0的元素

滿足即只能線性代數(shù)n

階行列式（3）對(duì)角行列式（4）其他特殊形式行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)小結(jié)與思考n階行列式思考n階行列式展開(kāi)式中每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，如果交換乘積中相乘元素的順序后結(jié)果怎樣？n

階行列式線性代數(shù)四、n階行列式的其他定義形式n階行列式

的展開(kāi)式中的一般項(xiàng)偶奇記則故即

與

奇偶性一樣.值不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列都作一次對(duì)換n

階行列式線性代數(shù)說(shuō)明若干次對(duì)換后特別地對(duì)換成列指標(biāo)成自然排列，即一般項(xiàng)為于是，一般項(xiàng)（1）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)都做了一次對(duì)換；（2）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的奇偶性同時(shí)發(fā)生變化；（3）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.交換乘積中任兩個(gè)元素