線性代數(shù)逆矩陣第2.3節(jié)

逆

矩

陣

二、

一、逆矩陣的定義三、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

二、方陣可逆的條件及逆矩陣的求法二、四、逆矩陣的初步應(yīng)用定義導(dǎo)入線性代數(shù)逆矩陣一、逆矩陣的定義在數(shù)的乘法中，當(dāng)數(shù)時(shí)，總存在唯一的數(shù)，使得

再者，從矩陣乘法的角度來看，單位矩陣

類似數(shù)中的1.此數(shù)

稱為

的倒數(shù)（或稱為

的逆

），

記作相仿地，對(duì)于矩陣

，如果存在矩陣

，使得那么矩陣

可否稱為矩陣

的逆矩陣呢？線性代數(shù)逆矩陣

定義11

設(shè)

A

為n

階方陣

，如果存在

n

階方陣

B，

使得

AB=BA=E，則稱方陣

A是可逆的，并把矩陣

B稱為

A的逆矩陣，簡稱逆陣.說明：（1）可逆矩陣一定是方陣，且它的逆陣也一定是方陣；但方陣不一定可逆.（2）可逆矩陣與其逆矩陣是互為逆矩陣的.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

定理

1

若方陣

可逆，則其逆矩陣唯一.證設(shè)和都是可逆方陣的逆矩陣，則不能寫成從而所以

的逆矩陣唯一.的逆矩陣記作.若

，則.若方陣

可逆，則有線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

定義12

設(shè)

為

n

階方陣，記

二、方陣可逆的條件及逆矩陣的求法1、伴隨矩陣的定義及性質(zhì)其中

行列式

的元素

的代數(shù)余子式

，

稱為矩陣

的伴隨矩陣.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算證

設(shè)

因?yàn)轭愃频?，?/p>

定理

2

設(shè)

為

的伴隨矩陣，則有于是線性代數(shù)逆矩陣2、方陣可逆的條件證設(shè)可逆，即有，使兩邊取行列式，有所以定理3

方陣

可逆的充分必要條件是

且有

先證必要性.再證充分性.由定理2中伴隨矩陣的性質(zhì)又故有線性代數(shù)逆矩陣公式變形注（1)若可逆，則有與的互為倒數(shù).于是，按逆矩陣的定義，知

可逆，且有

(2)求可逆方陣

的逆矩陣公式為線性代數(shù)逆矩陣當(dāng)

時(shí)，稱

為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣.可見可逆矩陣都是非奇異矩陣.證即因而

與

都可逆,且

說明：要驗(yàn)證方陣可逆，只需驗(yàn)證或

即可.故——逆矩陣定義的簡化版推論

設(shè)

都為

階方陣，若

（或

），則

與

均可逆，且線性代數(shù)逆矩陣3、逆矩陣的求法解

知

存在.且公式法例2.8

設(shè)方陣

，求.由線性代數(shù)逆矩陣所以故線性代數(shù)逆矩陣證故

可逆，思路：從等式中分解因子或湊因子，依定義證.由得即例2.9

已知方陣滿足

試證可逆,并求它的逆矩陣.

且定義法線性代數(shù)逆矩陣設(shè)矩陣

滿足

則

？

注意到同階對(duì)角陣的乘積還是對(duì)角陣，而單位矩陣是對(duì)角陣.線性代數(shù)逆矩陣三、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1)若可逆，則亦可逆，且(2)若

可逆，數(shù)，則可逆，且(3)若為同階方陣且均可逆，則亦可逆，且穿脫原則(4)若可逆，則亦可逆，且（可逆陣的消去律）(6)可逆時(shí)，有練習(xí)：設(shè)A為3階方陣，求（可推廣）(5)若可逆，則線性代數(shù)逆矩陣注意：一般來說另外，當(dāng)可逆時(shí)，還可定義當(dāng)為整數(shù)時(shí)，有可逆矩陣與其伴隨矩陣相關(guān)的一些結(jié)論（1）若

可逆，則

也可逆，且注意到P6413題線性代數(shù)逆矩陣可逆可逆

（反證）假設(shè)不可逆，則，從而由可逆陣的消去律，可得

，

從而，這與可逆矛盾.因可逆，所以（2）若

可逆，則

也可逆.結(jié)論：可逆可逆

故假設(shè)不即有

可逆.成立，線性代數(shù)逆矩陣結(jié)論：證明

：（反證）假設(shè)

，即

可逆.

因?yàn)?/p>

所以由伴隨矩陣性質(zhì)，證

得于是，由可逆陣的消去律，可得

，從而，這與假設(shè)可逆矛盾.所以假設(shè)不成立，即有對(duì)n階方陣

，有P6414題線性代數(shù)逆矩陣四、逆矩陣的初步應(yīng)用

在密碼學(xué)中，逆矩陣可以用于加密信息.它將明文字母通過一定規(guī)則轉(zhuǎn)換為數(shù)字向量，然后利用一個(gè)密鑰矩陣進(jìn)行線性變換得到密文向量.只有知道密鑰矩陣的合法接收者才能正確解密.

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖形變換時(shí)逆矩陣可用于求逆變換.例如，對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換后，如果需要恢復(fù)到原始狀態(tài)，可使用相應(yīng)變換矩陣的逆矩陣進(jìn)行逆變換操作.這些應(yīng)用都可歸結(jié)為解矩陣方程.線性代數(shù)逆矩陣逆矩陣應(yīng)用一：解矩陣方程例2.10

設(shè)解足都存在，且求矩陣使其滿于是由得線性代數(shù)逆矩陣即于是線性代數(shù)逆矩陣應(yīng)用二：求對(duì)角陣的相似矩陣的若干次冪或多項(xiàng)式例2.11

設(shè)求解可逆，且從而而故線性代數(shù)逆矩陣結(jié)論1記表示方陣的

次多項(xiàng)式.設(shè)