第七章常微分方程初步基本概念

微分方程、階、解（特解、通解）求解方法一階微分方程可降階的高階微分方程二階常系數(shù)線性微分方程目錄第一節(jié)

微分方程的一般概念第四節(jié)

線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第二節(jié)

一階微分方程第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)

可降階的高階微分方程第

一節(jié)

微分方程的一般概念

二、一、引例二、二、基本概念高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念

客觀世界中的許多現(xiàn)象表現(xiàn)在數(shù)量上往往是某種函數(shù)關(guān)系.也就是說函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系可以對客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究.因此如何尋找函數(shù)關(guān)系，在實踐中具有重要意義.

在許多問題中，往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系，但是根據(jù)問題所提供的條件，有時可以列出含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.這種包含了未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程就稱微分方程.微分方程提出高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念一、引例

例1

求一條平面曲線，使曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)平方的3倍,并且曲線過坐標(biāo)原點.解

設(shè)所求的曲線方程為

則依題意，有兩邊積分，得又因為

所以

故所求的曲線方程為

高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念

例2

一質(zhì)量為m的物體受重力作用而下落，如果開始下落時位置和速度都為0，試求物體下落的距離

S與時間

t

的關(guān)系.解

設(shè)物體在時刻

t下落的距離為

因物體只受重力作用，所以物體兩邊積分，得的加速度為重力加速度即再兩邊積分，得又因為所以故物體下落的距離S與時間t的關(guān)系為

高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念二、微分方程的基本概念

表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的，稱為常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的，稱為偏微分方程.例如

都是微分方程，都是常微分方程，而

是偏微分方程.本章只討論常微分方程，為方便起見簡稱為微分方程或方程.1、微分方程其中高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.例如2、微分方程的階一階二階二階一階高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念或

注

例如都是n階微分方程.高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念3、微分方程的解及解的分類

若將某函數(shù)代入微分方程,能使該方程成為恒等式,則稱此函數(shù)為微分方程的解．例如都是微分方程

的解；都是微分方程

的解.

一般地，一個n階微分方程的解若含有n個相互獨立的任意常數(shù)，即若微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則這個解稱為該方程的通解.這里所謂任意常數(shù)相互獨立，是指它們不能通過合并而使任意常數(shù)的個數(shù)減少.例如

是方程

的通解；

是

的通解.

確定了通解中的任意常數(shù)后，就得到微分方程的一個特定的解，稱為方程的特解.例如

是方程

的特解；

是方程

的特解.有的解可能是隱函數(shù)高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念4、微分方程的初值問題用來確定任意常數(shù)的條件稱為初始條件.一般地，對于一階微分方程，用來確定任意常數(shù)的條件是：其中

都是給定的值.對于二階微分方程，用來確定任意常數(shù)的條件是：其中

都是給定的值.求微分方程滿足初始條件的特解的問題稱為初值問題.例如

引例1引例2都是初值問題.高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念

微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線.5、積分曲線

微分方程的某個特解的圖形是積分曲線族中滿足給定的初值條件的某一條特定的積分曲線.例1的積分曲線高等數(shù)學(xué)第7.1節(jié)微分方程的一般概念例3驗證函數(shù)

（

為任意常數(shù)）是微分方程的通解，并求滿足初始條件：

的特解.解將

代入微分方程，得左邊==右邊.所以，

是微分方程

的解.又因為解中含兩個相互獨立的任意常數(shù)，常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，所以該