第1章

函數(shù)與極限分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁目錄第一節(jié)

函數(shù)第四節(jié)

兩極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限第二節(jié)

數(shù)列極限第五節(jié)

無窮小與無窮大第三節(jié)

函數(shù)極限第六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、第

二

節(jié)

數(shù)

列

極

限

二、一、數(shù)列極限的定義二、二、收斂數(shù)列的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)

數(shù)列極限三、數(shù)列極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限一、數(shù)列極限的定義

定義1如果按照某一法則,對每個正整數(shù)n,都對應(yīng)著一個確定的實(shí)數(shù),這些實(shí)數(shù)按下標(biāo)n從小到大排列得到的一個序列:稱為無窮數(shù)列，簡稱為數(shù)列,簡記為.其中

稱為數(shù)列的通項或一般項.1、數(shù)列定義回顧數(shù)列也可理解定義在正整數(shù)集上的函數(shù)：

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例如高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽

劉徽的“割圓術(shù)”“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”——《九章算術(shù)》利用圓內(nèi)接正多邊形推算圓的面積面積序列:時，有正

邊形的面積記為2、我國古代極限思想極限高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限戰(zhàn)國時期哲學(xué)家莊周

…截杖問題“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”——《莊子

.天下篇》每天截下部分的長度（單位為尺）構(gòu)成數(shù)列：

極限高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限3、數(shù)列極限的描述性定義

設(shè)

為一數(shù)列，若當(dāng)n取正整數(shù)且無限增大時,數(shù)列中對應(yīng)的項(即通項)無限接近于一個確定的常數(shù)

，則稱數(shù)列

收斂于

，稱數(shù)

為數(shù)列

的極限,記作

19世紀(jì)中期，法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在前人的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限的概念.

“無限增大”和“無限接近”只是一種描述性語言，沒有用確切的數(shù)學(xué)語言講清楚“”和“”．

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限4、數(shù)列極限的精確定義考察數(shù)列

，通項

不難看出，隨著

n的增大,通項

無限接近于1.注意到兩個數(shù)

的接近程度可以用它們的距離

來刻畫.無限接近于數(shù)1，意味著

可以無限小或任意小，于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，

即

可以小比如，給定

要使

只要

即可，

即從第101項起的一切項都能使變量常量只要

n無限增大或

n充分大.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限又比如，如果給定

要使

只要

即可.

一般地，任意給定

，不論它多么小，要使只要

即可，即從第

起的一切項都能使epsilon注意

是任意小的正數(shù)，這就說明

可以無限地接近于1.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限數(shù)列極限的嚴(yán)格定義定義

這是19世紀(jì)后半期，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）給出的數(shù)列極限的嚴(yán)格定義.

定義2

設(shè)

是一個數(shù)列,是一個常數(shù),若對任意給定的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)

n＞N時,都有則稱

是數(shù)列

的極限,或稱數(shù)列

收斂于

,記作或如果數(shù)列

的極限不存在

,則稱

為發(fā)散數(shù)列．不論它多么小高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限(3)定義中的ε一旦給定就暫時是一個確定的正數(shù)，以便由

推出

某個數(shù)，從而找到相應(yīng)的正（整）數(shù)N,

但通常N不是由

ε

所唯一確定的，正（整）數(shù)N可大不可小,主要強(qiáng)調(diào)N的存在.

(4)定義中“當(dāng)

n＞N時，有“意思是從第N+1項開始，后面的各項都滿足

．至于第N+1項前面的項(即第1項，第2項，…，第N項)是否滿足此式則不必考慮．

(1)定義中的ε是任意小的正數(shù).正是正數(shù)ε的任意小,才保證了

可以無限地接近于定數(shù)

（2）ε用來刻畫

與其極限值

的接近程度，所以可小不可大.在用定義證明極限時，可事先限定ε小于某個正數(shù).注

意ε改為2ε,ε/2都沒關(guān)系高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限數(shù)列極限的

定義可簡述為

正整數(shù)

當(dāng)

時，有

為表達(dá)方便，引入記號“”表示“對于任意給定的”或“對于每一個”，記號“”表示“存在”.數(shù)列極限的幾何解釋對任意小的正數(shù)ε，總能找到一個N,從第N+1項開始,后面的各項(無限多項)都落在鄰域U(a,ε)內(nèi)，而在U(a,ε)外，至多有N項(有限項).高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例1解要使證明只需當(dāng)

時，就有故故注：高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例2解要使證明只需當(dāng)

時，有故故不妨設(shè)

，注意

N的取法不唯一，只要存在即可，只強(qiáng)調(diào)N的存在性.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限二、收斂數(shù)列的性質(zhì)反證法取因同理,因故存在

N2

,

使當(dāng)n>N2

時,有

故存在N1

,使當(dāng)n>N1

時,有從而故假設(shè)不真!因此收及不妨設(shè)假設(shè)從而滿足的不等式矛盾，性質(zhì)1(唯一性)若數(shù)列

收斂,則其極限值唯一．取則當(dāng)n>N

時,

斂數(shù)列的極限是唯一的.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例3證明數(shù)列

是發(fā)散的.

證:

用反證法.

取則存在N,使當(dāng)

n>N

時,有假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.內(nèi),因此該數(shù)列發(fā)散.但因交替取值

與

1,而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限證

設(shè)

取

則

當(dāng)

時，有

從而有取則對一切正整數(shù)

n,都有

性質(zhì)2(有界性)

若數(shù)列

收斂，則

必是有界數(shù)列．即

有界.

定義3

對于數(shù)列,如果存在正數(shù)

，使得對一切正整數(shù)

，都有則稱數(shù)列

是有界的；否則就稱數(shù)列

是無界的.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限思考：有界數(shù)列一定收斂嗎例如

數(shù)列

有界但發(fā)散.證

設(shè)取則存在正整數(shù)

使得當(dāng)

時，有從而有性質(zhì)３(保號性)

若(或),則存在正整數(shù)

N,當(dāng)

注意

有界性是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.不一定結(jié)論

若

，則從某一項起有n＞N時,有

（或

）.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限因為

，存在正整數(shù)

N

,當(dāng)

時，有取

則當(dāng)

時，有于是這就證明了性質(zhì)４

若數(shù)列

收斂于,則

的任一子數(shù)列也收斂于

.證

設(shè)

為

的任一子列，則顯然所以

在數(shù)列

中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為數(shù)列

的子數(shù)列.性質(zhì)4說明

（1）若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則該數(shù)列一定發(fā)散.（2）若數(shù)列有一個子數(shù)列發(fā)散，則該數(shù)列一定發(fā)散.例如高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限三、數(shù)列極限的運(yùn)算定理1（數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則）如果

則

(1)(2)(3)(4)

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例4求下列極限：解分子分母同除以