3.1函數(shù)及其定義域、值域、解析式（知識點(diǎn)講解）【考點(diǎn)梳理】1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．2．函數(shù)的表示方法(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．(2)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．(3)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．3．構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素是：定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域.(1)定義域的求法：函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集．常見的條件有：分式的分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等．(2)求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤換元法；⑥不等式法；⑦圖象法等.(3)待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等.考點(diǎn)一函數(shù)、求函數(shù)的定義域【例題】（1）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】B中，當(dāng)時，有兩個值和對應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：解得，即的定義域?yàn)?，故選：C.（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得x的取值范圍為：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.（4）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得且，函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C．（5）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵的定義域?yàn)?，∴，由，得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：A.（6）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，即，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，，故選：A.【變式】（1）若函數(shù)的定義域M＝{x|}，值域?yàn)镹＝{y|}，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故錯誤；C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榇嬖谝粋€對應(yīng)兩個，不滿足函數(shù)定義；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}，只有中的定義域和值域滿足題意，且表示函數(shù)關(guān)系，符合題意，故選：B.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函數(shù)解析式有意義，需滿足解得:，故選：C.（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，解得，故選：D.（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函數(shù)有意義，則有解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.（5）已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，解得，故選：A．（6）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，∴函?shù)中，，∴，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇]，故選：D.考點(diǎn)二求函數(shù)的值域【例題】（1）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榍以诙x域內(nèi)是增函數(shù)，所以，故選：D.（2）函數(shù)的值域是（

）A．0，2，3 B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，∴值域?yàn)?，故選：C．（3）函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】D【解析】，對稱軸為，拋物線開口向上，，當(dāng)時，，距離對稱軸遠(yuǎn)，當(dāng)時，，，故選：D.（4）函數(shù)的值域是.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故值域是，故答案為.（5）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，即的值域?yàn)?，故選：A.【變式】（1）函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)，的值域是，故選：B.（2）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由題意，集合，又，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?（3）已知函數(shù)，的值域?yàn)?【答案】【解析】，函數(shù)的對稱軸為，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，故函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為：．?）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，當(dāng)時，當(dāng)或時，取最小值0；當(dāng)時，取最大值，所以當(dāng)或時，取最小值0；當(dāng)時，取最大值，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：C.（5）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】[1，2].【解析】函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，所以時，最大為2；當(dāng)時，最小為1，值域?yàn)閇1，2]，答案為：[1，2].考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式【例題】（1）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，故選：B.（2）已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意設(shè)，當(dāng)x＝2時，y＝1，所以得，，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，故選:C（3）已知是一次函數(shù),且滿足,則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭且淮魏瘮?shù),所以設(shè)，由,得.整理得，所以,解得，故選A.（4）已知為二次函數(shù),且滿足,,則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè),因?yàn)?所以，又,所以有，解得，故選：A.（5）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，所以有，即，所以，得，故選：D.【變式】（1）若，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】f（1）＝x+，設(shè)t，t≥1，則x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝x2﹣x（x≥1），故選：.（2）已知，則的解析式可?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，則，所以，所以，故選：A.（3）設(shè)函數(shù)，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，故選：B.（4）若函數(shù)滿足，則的解析式可為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，以代，有，兩方程聯(lián)立解得，故答案為：.（5）若一次函數(shù)滿足，則.【答案】【解析】設(shè)，則，故，故，故，故答案為：.【方法總結(jié)】1．函數(shù)的定義域給出函數(shù)定義域的方式有兩種，一種是只給定了函數(shù)的解析式(對應(yīng)關(guān)系)而沒有注明定義域，此時，函數(shù)定義域是指使該解析式有意義的自變量的取值范圍(稱為自然定義域)；另一種是由實(shí)際問題確定的或預(yù)先限定了自變量的取值范圍(稱為實(shí)際定義域)．需要注意的是：(1)若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算而成的,則它的定義域是各基本初等函數(shù)定義域的交集；(2)對于含有參數(shù)的函數(shù)求定義域，或已知其定義域求參數(shù)的取值范圍,一般需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，則求函數(shù)定義域時應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域?yàn)橥鈱雍瘮?shù)的定義域的子域(集)．2．求函數(shù)解析式的主要方法待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等．如果已知函數(shù)解析式的類型，可用待定系數(shù)法；若已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式時，可用換元法；若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式時，常用解方程(組)法．3．函數(shù)的值域求函數(shù)的值域，不但要注意對應(yīng)關(guān)系的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用．常用方法有：圖象法、單調(diào)性法、配方法、換元法、分離常數(shù)法、不等式法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等．3.1函數(shù)及其定義域、值域、解析式（章節(jié)練習(xí)）一、選擇題1．下列圖形可以作為函數(shù)圖象的是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)在集合A中任取一個值時，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，只有選項(xiàng)C才滿足函數(shù)的定義.其他幾個選項(xiàng)，當(dāng)取一個值時，有的有多個值和它對應(yīng)，故選：C．2．函數(shù)的定義域是（

）A．（-1，1） B．C．（0，1） D．【答案】B【解析】要使有意義，則，所以函數(shù)的定義域是.故選：B．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：A．4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，解得或，所以的定義域?yàn)?，故選：B.5．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴0≤≤4，∴0≤≤2，∴函數(shù)的值域?yàn)閇0,2]，故選：C.6．已知函數(shù)滿足，求的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，故選：B.7．如果＝，則當(dāng)x≠0，1時，f(x)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令＝t，則x＝且，代入＝，則有f(t)＝＝且，即且，故選：.8．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：A.9．已知函數(shù)，其中是x的正比例函數(shù)，是x的反比例函數(shù)，且，則（

）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【解析】根據(jù)題意設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，故選：C.10．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則的值域?yàn)锳． B． C． D．無法確定【答案】A【解析】∵是定義在上的偶函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即1＋＋1＝0，∴＝?2．又，，即?＝解得＝0，，定義域?yàn)閇?1，1]，，故函數(shù)的值域?yàn)閇?1，1]，故選A．二、填空題11．函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?，故答案為：?2．設(shè)，則函數(shù)的值域是．【答案】【解析】函數(shù)為開口向上的拋物線，對稱軸為，所以當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為，所以值域?yàn)?，故答案為：?3．已知，則.【答案】【解析】函數(shù)，，故答案為．14．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義城是. 【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，只需，即，所以函數(shù)的定義城是，故答案為：．15．已知則．【答案】【解析】，故答案為：．16．函數(shù)的定義域是，則函數(shù)上的定義域是.【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域是，所以，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為：?7．函數(shù)的定義域?yàn)?，那么其值域?yàn)?【答案】【解析】，，，，，，的值域?yàn)椋?，故答案為：?8．若為一次函數(shù)，且，則.【答案】或【解析】設(shè)一次函數(shù)，則，，解得或，∴或，故答案為：或．三、解答題19．已知，求.【答案】【解析】解：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即?0．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）分別求，，【答案】（1）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?）=14，,【解析】解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋?），，．21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）或55【解析】解：（1）函數(shù)的自變量應(yīng)滿足：，即，所以函數(shù)的定義域是.（2）因?yàn)?，所以，化簡得，，所以?5．22．已知函數(shù)是二次函數(shù)，，．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】(1)(2)【解析】解：(1)由，知此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，又因