第四版高

等

數(shù)

學(xué)第1章

函數(shù)與極限分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁目錄第一節(jié)

函數(shù)第四節(jié)

兩極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限第二節(jié)

數(shù)列極限第五節(jié)

無窮小與無窮大第三節(jié)

函數(shù)極限第六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性第

一

節(jié)

函

數(shù)

集合1區(qū)間與鄰域2

函數(shù)的概念3函數(shù)的性質(zhì)4

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)5

初等函數(shù)61.集合第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作;否則稱a不屬于A,記作（或）.

根據(jù)集合中元素個數(shù)的多少，集合可分為有限集和無限集.不含任何元素的集合稱為空集，用

表示空集.

一般地，將具有某種特定性質(zhì)的對象組成的全體稱為集合，將組成集合的對象稱為該集合的元素.

通常用大寫的英文字母A、B、C等表示集合，用小寫的英文字母a、b、c等表示集合的元素.高等數(shù)學(xué)表示集合的方法:(1)列舉法將集合的所有元素一一列舉出來，寫在一個花括號內(nèi).(2)描述法在花括號內(nèi)指明集合元素所具有的性質(zhì).幾個常用的數(shù)集:

一般，用N表示自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），用

表示正整數(shù)集，用Z表示整數(shù)集，用Q表示有理數(shù)集，用R表示實數(shù)集．第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)子集的概念

設(shè)A，B是兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作A

B(或B

A),讀作A被B包含（或B包含A

）.

若A

B，且有元素a∈B

，但a

A，則說A是B的真子集，記作A

B.規(guī)定:

A.集合相等的概念若A

B

，且B

A，則稱A與B相等,記作A=B.

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)2.區(qū)間與鄰域

設(shè)a和b都是實數(shù)，且a<b，數(shù)集

稱為開區(qū)間，記作(a,b)，即

(a,b)={x|a<x<b}；數(shù)集

稱為閉區(qū)間,記作[a,b];數(shù)集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}為半開半閉區(qū)間.

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間,其中

a和b分別稱為區(qū)間的左端點和右端點，b-a稱為區(qū)間的長度.2.1

區(qū)間第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)無窮區(qū)間第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)2.2

鄰域

設(shè)有實數(shù)a和

，且

，稱數(shù)集

為點a的

鄰域，記作.即其中a稱為這個鄰域的中心，

稱為這個鄰域的半徑.

稱數(shù)集

為點a的去心

鄰域，記作.第1.1節(jié)函數(shù)如下圖高等數(shù)學(xué)說明（1）不需要強調(diào)鄰域的半徑時，用

表示點

a

的某鄰域，用表示點

a

的某去心鄰域.（2）為了方便，稱區(qū)間

為點

a

的左

鄰域，稱區(qū)間為點

a

的右

鄰域.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)3.函數(shù)的概念

定義1

設(shè)

是一個非空實數(shù)集，如果按照某一確定的對應(yīng)法則

，對于每個實數(shù)

，都有唯一的一個實數(shù)

與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)法則

是定義在實數(shù)集

上的函數(shù)，記為函數(shù)值的全體組成的集合稱為函數(shù)

f的值域

.因變量定義域自變量第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩基本要素:定義域與對應(yīng)法則.函數(shù)定義域的確定有實際背景的函數(shù)，其定義域是使實際問題有意義的自變量集合.用數(shù)學(xué)表達式表示的函數(shù)，其定義域是使表達式有意義的自變量集合（函數(shù)的自然定義域）.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足因此函數(shù)的定義域為(1,2]．例1解求函數(shù)

的定義域.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的表示法解析法（公式法）、表格法和圖形法.稱坐標(biāo)平面上的點集為函數(shù)

的圖形.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)幾個特殊的函數(shù)（1）絕對值函數(shù)（2）符號函數(shù)1-1xy第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（3）取整函數(shù)這里

表示不超過

的最大整數(shù)，稱為

的整數(shù)部分.例如12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo階梯曲線顯然，對任意的

有（求極限時有用）第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

上面幾個函數(shù)在其定義域的不同區(qū)間，對應(yīng)法則用不同的式子表達，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).

例如某市出租車按如下規(guī)定收費：當(dāng)行駛里程不超過3km時，一律收起步費10元；當(dāng)行駛里程超過3km時，除起步費外，對超過3km且不超過10km的部分，按2元/km計費，對超過10km的部分，按3元/km計費.則車費

與行駛里程

之間的函數(shù)關(guān)系為第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

狄利克萊（Dirichlet1805-1859德國）函數(shù)

黎曼（G.Riemann1826-1866德國）函數(shù)

拓展兩個特殊函數(shù)第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（1）有界性

設(shè)函數(shù)f(x)在實數(shù)集D上有定義.如果存在正數(shù)M，使得對任意的x∈D，都有

則稱f(x)在D上有界,或稱f(x)是D上的有界函數(shù).否則稱f(x)在D上無界．即對任何正數(shù)M,總存在一點

使

4.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)有界時其圖形必夾在兩條平行于x軸的直線之間.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

例如

正弦函數(shù)

和余弦函數(shù)

在

內(nèi)是有界的.正切函數(shù)

在

內(nèi)是無界的，如下圖.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

設(shè)函數(shù)f(x)在實數(shù)集D內(nèi)有定義，若存在數(shù)A，使得對任意的x∈D，都有f(x)≤A(或

f(x)≥A)，則稱f(x)在D內(nèi)有上界(或有下界).A為f(x)在D內(nèi)的一個上界(或下界)．另外,還可定義函數(shù)有上界或者有下界:函數(shù)f(x)在D上有界

函數(shù)f(x)在D上既有上界又有下界.

結(jié)論：第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)第1.1節(jié)函數(shù)（2）單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間

，如果對任意的

當(dāng)

則稱函數(shù)

f(x)在I上單調(diào)增加（單調(diào)減少）,并稱區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間（單調(diào)減少區(qū)間）．時，有單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).高等數(shù)學(xué)

若函數(shù)

y=f(x)在定義域

D內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）,則其圖形沿

x軸正向逐漸上升（逐漸下降）.

第1.1節(jié)函數(shù)

從幾何上看,若y=f(x)在定義域D內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點,因此y=f(x)有反函數(shù).高等數(shù)學(xué)（3）奇偶性偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱

設(shè)函數(shù)

f(x)的定義域

D在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱,若對任意的

x∈D，有

則稱f(x)為

D上的奇函數(shù)；若對任意的x∈D，有

則稱f(x)為D上的偶函數(shù)．

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱例如，

是奇函數(shù)；

是偶函數(shù).

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)例2解

討論函數(shù)的奇偶性.所以

f(x)是（－∞,+∞）上的奇函數(shù).

函數(shù)的定義域（－∞,+∞）是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（4）周期性

若T為f(x)的周期，則f(x)有無窮多個周期，對任何正整數(shù)k，kT都是f(x)的周期．通常函數(shù)的周期是指它的最小正周期(如果存在的話)．

設(shè)y=f(x)的定義域為D,若存在正數(shù)T,使得對任意的

x∈D,有x±T∈D,且

f(x+T)=f(x),則稱f(x)為D上的周期函數(shù),T稱為

f(x)的一個周期．第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)并非每個周期函數(shù)都有最小正周期.例如，

狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)易證這是一個周期函數(shù)，任何正有理數(shù)都是它的周期.因為不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2

為周期的周期函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是(－∞,+∞),且它們都是以

為周期的函數(shù)，它們都是奇函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)5.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)有函數(shù)

若對于每一個

，都有唯一的

使得

則在

上定義了一個函數(shù)，記為

則稱這個函數(shù)為函數(shù)

的反函數(shù).這里

是自變量，

是因變量.但習(xí)慣上用

表示自變量，

表示因變量，故函數(shù)

的反函數(shù)記為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.函數(shù)

滿足什么條件就一定有反函數(shù)？

思考（1）反函數(shù)第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)相對于反函數(shù)

，原來的函數(shù)

稱為直接函數(shù).在反函數(shù)圖形上，即在直接函數(shù)圖形上，即

函數(shù)

與其反函數(shù)

的圖形關(guān)于直線

對稱.

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)解得例3

求函數(shù)的反函數(shù).

解

函數(shù)的定義域為

值域為

由

故所求反函數(shù)為解得第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)反三角函數(shù)是三角函數(shù)在其特定的單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù).(1)反正弦函數(shù)y=arcsinx是正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間

上的反函數(shù)．其定義域為,值域為

,為單調(diào)增函數(shù).(2)反余弦函數(shù)y＝arccosx是余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,

]上的反函數(shù)．其定義域為

,值域為[0,

],為單調(diào)減函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)(3)反正切函數(shù)y=arctanx是正切函數(shù)

y=tanx在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)．其定義域為(－∞,+∞),值域為

，為單調(diào)增函數(shù).

(4)反余切函數(shù)y=arccotx是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,

)內(nèi)的反函數(shù)，其定義域為(－∞,+∞),值域為(0,

),為單調(diào)減函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（2）復(fù)合函數(shù)

將函數(shù)

代入另一個函數(shù)

的自變量的位置，得到的新函數(shù)

稱為函數(shù)

和函數(shù)

的復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)

的定義域是使

有意義的

組成的集合.外層函數(shù)

內(nèi)層函數(shù)

中間變量

自變量

因變量

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)注意:1）

并不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2）復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)相繼復(fù)合而成.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)6.初等函數(shù)

常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

2）冪函數(shù)

3）指數(shù)函數(shù)4）對數(shù)函數(shù)

1）常值函數(shù)常用底數(shù)e

常用自然對數(shù)

（1）基本初等函數(shù)第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

5）三角函數(shù)正弦函數(shù)

余弦函數(shù)

余切函數(shù)

正割函數(shù)

余割函數(shù)6）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)正切函數(shù)

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算所形成的可否則稱為

稱為初等函數(shù).非初等函數(shù).

(2)初等函數(shù)

都是復(fù)合函數(shù).例如，分段函數(shù)常常不是初等函數(shù)

,例如在其定義域內(nèi)不能用一個解析式表示，故其不是初等函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)又如符號函數(shù)，取整函數(shù)均不是初等函數(shù)

.但有些分段函數(shù)卻是初等函數(shù)，如絕對值函數(shù)是一個分段函數(shù)，卻是初等函數(shù)

.因為第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)第1.1節(jié)函數(shù)取最值函數(shù)是初等函數(shù).yxoyxo第1章

函數(shù)與極限分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁目錄第一節(jié)

函數(shù)第四節(jié)

兩極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限第二節(jié)

數(shù)列極限第五節(jié)

無窮小與無窮大第三節(jié)

函數(shù)極限第六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、第

二

節(jié)

數(shù)

列

極

限

二、一、數(shù)列極限的定義二、二、收斂數(shù)列的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)

數(shù)列極限三、數(shù)列極限的運算高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限一、數(shù)列極限的定義

定義1如果按照某一法則,對每個正整數(shù)n,都對應(yīng)著一個確定的實數(shù),這些實數(shù)按下標(biāo)n從小到大排列得到的一個序列:稱為無窮數(shù)列，簡稱為數(shù)列,簡記為.其中

稱為數(shù)列的通項或一般項.1、數(shù)列定義回顧數(shù)列也可理解定義在正整數(shù)集上的函數(shù)：

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例如高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽

劉徽的“割圓術(shù)”“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”——《九章算術(shù)》利用圓內(nèi)接正多邊形推算圓的面積面積序列:時，有正

邊形的面積記為2、我國古代極限思想極限高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限戰(zhàn)國時期哲學(xué)家莊周

…截杖問題“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”——《莊子

.天下篇》每天截下部分的長度（單位為尺）構(gòu)成數(shù)列：

極限高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限3、數(shù)列極限的描述性定義

設(shè)

為一數(shù)列，若當(dāng)n取正整數(shù)且無限增大時,數(shù)列中對應(yīng)的項(即通項)無限接近于一個確定的常數(shù)

，則稱數(shù)列

收斂于

，稱數(shù)

為數(shù)列

的極限,記作

19世紀(jì)中期，法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在前人的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限的概念.

“無限增大”和“無限接近”只是一種描述性語言，沒有用確切的數(shù)學(xué)語言講清楚“”和“”．

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限4、數(shù)列極限的精確定義考察數(shù)列

，通項

不難看出，隨著

n的增大,通項

無限接近于1.注意到兩個數(shù)

的接近程度可以用它們的距離

來刻畫.無限接近于數(shù)1，意味著

可以無限小或任意小，于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，

即

可以小比如，給定

要使

只要

即可，

即從第101項起的一切項都能使變量常量只要

n無限增大或

n充分大.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限又比如，如果給定

要使

只要

即可.

一般地，任意給定

，不論它多么小，要使只要

即可，即從第

起的一切項都能使epsilon注意

是任意小的正數(shù)，這就說明

可以無限地接近于1.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限數(shù)列極限的嚴(yán)格定義定義

這是19世紀(jì)后半期，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）給出的數(shù)列極限的嚴(yán)格定義.

定義2

設(shè)

是一個數(shù)列,是一個常數(shù),若對任意給定的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)

n＞N時,都有則稱

是數(shù)列

的極限,或稱數(shù)列

收斂于

,記作或如果數(shù)列

的極限不存在

,則稱

為發(fā)散數(shù)列．不論它多么小高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限(3)定義中的ε一旦給定就暫時是一個確定的正數(shù)，以便由

推出

某個數(shù)，從而找到相應(yīng)的正（整）數(shù)N,

但通常N不是由

ε

所唯一確定的，正（整）數(shù)N可大不可小,主要強調(diào)N的存在.

(4)定義中“當(dāng)

n＞N時，有“意思是從第N+1項開始，后面的各項都滿足

．至于第N+1項前面的項(即第1項，第2項，…，第N項)是否滿足此式則不必考慮．

(1)定義中的ε是任意小的正數(shù).正是正數(shù)ε的任意小,才保證了

可以無限地接近于定數(shù)

（2）ε用來刻畫

與其極限值

的接近程度，所以可小不可大.在用定義證明極限時，可事先限定ε小于某個正數(shù).注

意ε改為2ε,ε/2都沒關(guān)系高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限數(shù)列極限的

定義可簡述為

正整數(shù)

當(dāng)

時，有

為表達方便，引入記號“”表示“對于任意給定的”或“對于每一個”，記號“”表示“存在”.數(shù)列極限的幾何解釋對任意小的正數(shù)ε，總能找到一個N,從第N+1項開始,后面的各項(無限多項)都落在鄰域U(a,ε)內(nèi)，而在U(a,ε)外，至多有N項(有限項).高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例1解要使證明只需當(dāng)

時，就有故故注：高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例2解要使證明只需當(dāng)

時，有故故不妨設(shè)

，注意

N的取法不唯一，只要存在即可，只強調(diào)N的存在性.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限二、收斂數(shù)列的性質(zhì)反證法取因同理,因故存在

N2

,

使當(dāng)n>N2

時,有

故存在N1

,使當(dāng)n>N1

時,有從而故假設(shè)不真!因此收及不妨設(shè)假設(shè)從而滿足的不等式矛盾，性質(zhì)1(唯一性)若數(shù)列

收斂,則其極限值唯一．取則當(dāng)n>N

時,

斂數(shù)列的極限是唯一的.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例3證明數(shù)列

是發(fā)散的.

證:

用反證法.

取則存在N,使當(dāng)

n>N

時,有假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.內(nèi),因此該數(shù)列發(fā)散.但因交替取值

與

1,而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限證

設(shè)

取

則

當(dāng)

時，有

從而有取則對一切正整數(shù)

n,都有

性質(zhì)2(有界性)

若數(shù)列

收斂，則

必是有界數(shù)列．即

有界.

定義3

對于數(shù)列,如果存在正數(shù)

，使得對一切正整數(shù)

，都有則稱數(shù)列

是有界的；否則就稱數(shù)列

是無界的.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限思考：有界數(shù)列一定收斂嗎例如

數(shù)列

有界但發(fā)散.證

設(shè)取則存在正整數(shù)

使得當(dāng)

時，有從而有性質(zhì)３(保號性)

若(或),則存在正整數(shù)

N,當(dāng)

注意

有界性是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.不一定結(jié)論

若

，則從某一項起有n＞N時,有

（或

）.高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限因為

，存在正整數(shù)

N

,當(dāng)

時，有取

則當(dāng)

時，有于是這就證明了性質(zhì)４

若數(shù)列

收斂于,則

的任一子數(shù)列也收斂于

.證

設(shè)

為

的任一子列，則顯然所以

在數(shù)列

中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為數(shù)列

的子數(shù)列.性質(zhì)4說明

（1）若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則該數(shù)列一定發(fā)散.（2）若數(shù)列有一個子數(shù)列發(fā)散，則該數(shù)列一定發(fā)散.例如高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限三、數(shù)列極限的運算定理1（數(shù)列極限的四則運算法則）如果

則

(1)(2)(3)(4)

高等數(shù)學(xué)1.2節(jié)數(shù)列極限例4求下列極限：解分子分母同除以

n的最高次冪.

極限理論是整個微積分大廈的基石.極限理論集中了人類的智慧，是人類思維的結(jié)晶，體現(xiàn)了“量的積累產(chǎn)生質(zhì)的飛躍”這一崇高的哲學(xué)精神.它實現(xiàn)了人類認(rèn)識世界“從未知到已知，從有限到無限”的質(zhì)的飛躍.微積分中涉及的幾乎所有重要概念都是借助于極限來描述的，無論是連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、級數(shù)理論，還是定積分、重積分、廣義積分，極限理論始終貫穿其中，因此，把極限說成是微積分的靈魂一點也不算言過其辭.極限理論的重要地位二、第

三

節(jié)

函

數(shù)

極

限

二、一、函數(shù)極限的定義二、二、函數(shù)極限的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)

函數(shù)極限三、函數(shù)極限的運算高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限一、函數(shù)極限的定義

回顧數(shù)列是函數(shù)的特殊情形:

兩種情形:2.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

1.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

數(shù)列的極限:

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限1.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限時函數(shù)極限的定義

定義1設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上有定義，

是常數(shù).若對任意給定的正數(shù)

，總存在某個正數(shù)

，使得當(dāng)

時都有則稱數(shù)

為函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記為或類似地，可以定義

時函數(shù)的極限.如何定義

時函數(shù)的極限呢？

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限則稱數(shù)

為函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記為

定義2設(shè)函數(shù)

當(dāng)

時有定義，

是常數(shù).若對任意給定的正數(shù)

，總存在某個正數(shù)

，使得當(dāng)

時都有或時函數(shù)極限的定義

當(dāng)

結(jié)論：高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限的幾何解釋

的水平漸近線高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例1

證明證

對

，要使

只需故存在

當(dāng)

時，有所以高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限2.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限(1)

時函數(shù)極限定義

考察函數(shù)

由圖可知，當(dāng)

無限接近

時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近常數(shù)2.極限高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限

一般地，設(shè)函數(shù)

在

的某去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量

無限接近

時，對應(yīng)的函數(shù)值

無限接近于常數(shù)

，則稱

為函數(shù)

當(dāng)

時的極限.可用

來刻畫.則稱數(shù)

為函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記為

定義3設(shè)函數(shù)

在

的某去心鄰域內(nèi)有定義，

是常數(shù).若對任意給定的正數(shù)

，總存在某個正數(shù)

，使得當(dāng)

時都有或

說明

（不論它多么小)

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限

時,有當(dāng)

(2)幾何意義

函數(shù)極限存在函數(shù)局部有界.這表明:高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例2

證明證

要使只需取則當(dāng)

時，就有故高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例3

證明證

要使取則當(dāng)

時,就有

只需

且

而

可用

保證.故高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限(3)單側(cè)極限指

從

左右兩側(cè)趨向.在

中，

有些函數(shù)在定義域上某點左側(cè)與右側(cè)的解析式不同，或僅在某點的一側(cè)有定義，考慮函數(shù)在該點的極限時，就需分左右兩側(cè)或僅考慮一側(cè).則稱數(shù)

為函數(shù)

當(dāng)

時的右極限，記為

定義4設(shè)函數(shù)

在

有定義，

是常數(shù).若對任意給定的正數(shù)

，總存在某個正數(shù)

，使得當(dāng)

時都有或左極限高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.結(jié)論

結(jié)論表明：若函數(shù)

在點

左右極限至少有一個不存在或兩個都存在但不相等，則函數(shù)

在點

的極限一定不存在.討論分段函數(shù)在分段點處的極限就需要考慮左右極限.例4討論符號函數(shù)當(dāng)

時的極限.解可見所以

不存在.高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限二、函數(shù)極限的性質(zhì)自變量的變化過程有六種形式，對應(yīng)六種類型的

函數(shù)極限：

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限性質(zhì)1(唯一性)

如果

存在,那么極限唯一.性質(zhì)2(局部有界性)

如果

存在,則

在

的某個去心鄰域內(nèi)有界.證設(shè)對

則存在

使得對一切

，有故所以

在

內(nèi)有界.高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限

性質(zhì)3（局部保號性）若

(或),則在

的某個去心鄰域內(nèi)

（或).

證設(shè)對

則存在

使得

時

，有從而有類似可證

時的情形.高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限推論2若在

的某個去心鄰域內(nèi)(或),且推論1

若

(或

),則在

的某個去心鄰域內(nèi)（或

）.使結(jié)論,則(或)

.用反證法未必!

若推論2中的條件改為

思考:例如高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限三、函數(shù)極限的運算1.極限的四則運算定理1（四則運算法則）

若

，則(1)、(3)可推廣到有限個函數(shù)的情形.高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限證

僅證（3）.由于所以對

分別存在

與

使得當(dāng)

時，有當(dāng)

時，有對

，由局部有界性，知

使當(dāng)

時，有令

則當(dāng)

時，有由

的任意性，證得

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限推論1若

存在，

為常數(shù)，則推論2若

存在，

為正整數(shù)，則

例如:

結(jié)論1

則設(shè)有分式函數(shù)其中

結(jié)論2

則高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例5求.解例6

解求直接代入法高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限解例7分母的極限為0時，不能用商的極限法則求

消去零因子法例8求（∞－∞型）先通分解高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例9求.解有理化后消零因子高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例10求.

分子分母同除以最高次冪解

例11

解

“抓大頭”高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限一般有如下結(jié)果:

高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限例12解高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限2.復(fù)合函數(shù)的極限

定理2

設(shè)函數(shù)

是函數(shù)

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).如果

，且在

的某個去心鄰域內(nèi)

則證又由假設(shè)存在

當(dāng)

時，有取

，則當(dāng)

時，有從而有故結(jié)論成立.高等數(shù)學(xué)1.3節(jié)函數(shù)極限∴

原式=

例13求

解

說明“換元思想”第

四

節(jié)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限二、一、極限存在準(zhǔn)則二、二、兩個重要極限高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1、夾逼準(zhǔn)則定理1

如果數(shù)列

滿足：(1)存在正整數(shù)

，當(dāng)

時，有（2）

則數(shù)列

收斂，且證

由（2）知，對

分別

使得當(dāng)

用于判斷數(shù)列收斂或求極限高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例1

設(shè)

求

解由于

由夾逼準(zhǔn)則知而高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限.

定理2如果函數(shù)

滿足：(1)在點

的某去心鄰域內(nèi)，有(2)則

函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則也稱為函數(shù)極限存在的迫斂性.在自變量的其他變化趨勢下該準(zhǔn)則也成立.高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例2

求解由于而故由夾逼準(zhǔn)則得綜上所述,得當(dāng)

時，當(dāng)

時，而故由夾逼準(zhǔn)則得高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限2.單調(diào)有界準(zhǔn)則定理3(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.若數(shù)列

滿足則

是單調(diào)增加(或減少)數(shù)列.單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.幾何解釋:

高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限證

顯然是單調(diào)增加的,下面證明

有上界.于是,由單調(diào)有界準(zhǔn)則,數(shù)列

收斂.事實上例3

設(shè)其中實數(shù)證明:數(shù)列

收斂.高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例4

證明存在.證

由于所以因此，

單調(diào)增加.均值不等式高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限因為所以

有上界4.由單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在.故從而故此極限記為e高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限二、兩個重要極限在如圖所示的單位圓內(nèi)，當(dāng)

時，有從而即當(dāng)

時，有故即綜上，對一切滿足

的

，都有

于是而由夾逼準(zhǔn)則得高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例5解例6解例7解高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限注意公式

的使用條件：無論

x→?,只要有u(x)→0,則

例如

高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例8解常用的三角轉(zhuǎn)化公式高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例9解例10解高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例11解高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限故則而證明先考慮的情形.任意

有高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限由夾逼準(zhǔn)則有的情形.時，再證當(dāng)

時，設(shè)

，則有

故綜合有高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限重要極限

的另一種形式為注意公式使用條件：(1)形式；(2)括弧里面湊成“1+u(x)”，這里;(3)括弧里面1后面的部分（包括正負(fù)號）和括弧右上角部分(指數(shù)位置)要互為倒數(shù).高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例12解例13解高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限例14解例15解高等數(shù)學(xué)

極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限

例

設(shè)某人以本金元進行一項投資，投資的年利率為如果以年為單位計算復(fù)利（即每年計息一次，并把利息加入下年的那么年后，資金總額將變?yōu)?？若以月為單位計算?fù)利，那么年后，資金總額將變?yōu)?？若?/p>

年為單位計算復(fù)利，那么年后，資金總額將變?yōu)椋勘窘?，重?fù)計息）若以天為單位計算復(fù)利，那么年后，資金總額將變?yōu)?？每時每刻計算復(fù)利第

五

節(jié)

無窮小與無窮大二、一、無

窮

小二、二、無

窮

大高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)

無窮小與無窮大二、三、無窮小的比較高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大一、無

窮小1.無窮小的定義

定義1

如果

，則稱

為當(dāng)

時的無窮小.類似可定義

時的無窮小.特別地，以零為極限的數(shù)列

稱為

時的無窮小.例如:高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大注意（1）無窮小不能理解為很小的數(shù)，它是一個極限為零的函數(shù)或數(shù)列.

（2）注意無窮小的嚴(yán)格說法，因為它與自變量的變化趨勢密切相關(guān).2.無窮小量的運算性質(zhì)性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。再|(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮?。?高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大推論2

有限多個無窮小量之積仍為無窮小量．推論1

常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量．3.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1其中

是當(dāng)

時的無窮小.

證

高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大二、無窮大

如果在自變量

的某一變化過程中，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值

無限增大，就稱函數(shù)

為這一變化過程中的無窮大.定義2

設(shè)函數(shù)

在

內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù)

，總存

在正數(shù)

，使得當(dāng)

時，都有則稱函數(shù)

是當(dāng)

時的無窮大，記為

類似地，可以定義當(dāng)自變量為其他變化趨勢時的無窮大，以及正無窮大、負(fù)無窮大.不論它多么大（注意這時極限是不存在的，只是借用極限記號而已，為方便，也讀作極限為無窮大）高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大是當(dāng)

時的無窮大.是當(dāng)

時的無窮大.是當(dāng)

時的負(fù)無窮大.一般地，若則直線

是函數(shù)圖形的鉛直漸近線.例如:高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大注意（1）無窮大不是一個數(shù)，不可與很大的數(shù)混為一談.

（2）注意無窮大的嚴(yán)格說法，因為它與自變量的變化趨勢密切相關(guān).

定理2(無窮大與無窮小的關(guān)系)在自變量的同一變化過程中,若

對無窮大的研究歸結(jié)為對無窮小的討論.為無窮大，則

為無窮??；若

為無窮小,

且

，則

為無窮大.高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大三、無窮小的比較在自變量同一變化過程中,兩個無窮小之和、差、積仍為無窮小.

思考：兩個無窮小之商是否還是無窮??？

0不一定∞1

說明：兩個無窮小之比的極限的不同情形，反映了分子分母上的兩個無窮小趨于零的快慢程度不同.高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大定義4

高階的無窮小,

低階的無窮小，

同階無窮小,

記作α=o(β);

記作

α~β.

記作α=O(β).例如:高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大

定理3(等價無窮小代換定理)設(shè)在某極限過程中,

～

1,

～

1，且

求函數(shù)極限時，分子分母上的無窮小因式都可用等價無窮小代換.從而來簡化計算.存在,則證高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大例1解解錯分子分母上的因式可用等價無窮小替換，和差不能隨便替換.高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大例2解高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大常用的等價無窮小

時高等數(shù)學(xué)1.5節(jié)無窮小與無窮大例

證

附加例題第

六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

自然界中連續(xù)變化的現(xiàn)象是很多的，比如空氣或水的流動，氣溫的變化,身高的增長等.這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性.

函數(shù)的連續(xù)性是微積分的重要概念之一，它與函數(shù)的極限密切相關(guān).主

要

內(nèi)

容二、一、函數(shù)連續(xù)的概念二、二、間斷點的分類高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、三、連續(xù)函數(shù)的運算二、二、四、初等函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在某點連續(xù)的定義

定義1

設(shè)函數(shù)

在點

的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點

處連續(xù),并稱點

為

的連續(xù)點；否則稱

在

點

處間斷,并稱點

為

的間斷點(或不連續(xù)點).例如，函數(shù)

在點

處是連續(xù)的.因為高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性又如

函數(shù)處是連續(xù)的.

設(shè)函數(shù)

在點

的某鄰域內(nèi)有定義，如果對當(dāng)

時，都有則稱函數(shù)

在點

處連續(xù).函數(shù)在某點連續(xù)的

語言描述高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在某點連續(xù)的另一種表述變量的增量設(shè)函數(shù)

在

內(nèi)有定義，對

，稱

為自

變量

在點

處的增量（或改變量），記為

即對應(yīng)函數(shù)值的差

稱為函數(shù)

在點

處的增量（或改變量)，記為

即

定義2

設(shè)函數(shù)

在點

的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點

處連續(xù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性左右連續(xù)的定義

定義2

設(shè)函數(shù)

在

（或

）內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點

右連續(xù)（或左連續(xù)

）.（或

），

定理1

函數(shù)

在點

處連續(xù)的充要條件是

在點

處既左連續(xù)又右連續(xù).例如右連續(xù)但不左連續(xù)，所以它在x=0處不連續(xù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱

為該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),

并稱該區(qū)間為

的連續(xù)區(qū)間.直觀上，連續(xù)函數(shù)圖形是一條連綿不斷的曲線.例如區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)

在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在x=a處右連續(xù),在x=b處左連續(xù),則稱函數(shù)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)或稱

為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、間斷點的分類

由此可知，函數(shù)

在點

處間斷的可能情形為：和

中至少有一個不存在或它們都存在但不全相等.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)

在點

處的左右極限都存在且相等，即

存在，但

在點

無定義，或雖有定義但極限值不等于函數(shù)值

，則稱點

為函數(shù)

的可去間斷點.

注意：對于可去間斷點，只要補充或改變間斷點處函數(shù)的定義，就可以使其變?yōu)樾潞瘮?shù)的連續(xù)點.是可去間斷點.例如是可去間斷點.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)

在點

處的左右極限都存在但不相等，則稱點

為函數(shù)

的跳躍間斷點.1-1xy例如

符號函數(shù)是其跳躍間斷點.

函數(shù)的可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.其特點是函數(shù)的左、右極限都存在.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

除了第一類間斷點外，所有其他形式的間斷點都稱為函數(shù)的第二類間斷點.其特點是函數(shù)的左、右極限至少有一個不存在.是函數(shù)

的第二類間斷點.例如（此時稱無窮間斷點）是函數(shù)

的第二類間斷點.（此時稱振蕩間斷點）高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點（特點：左、右極限都存在）（特點：左右極限至少有一個不存在）如

無窮間斷點、振蕩間斷點（特點：左右極限都存在且相等，即極限存在）（特點：左右極限都存在但不相等）高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運算例如1.四則運算高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性在點連續(xù),則復(fù)合函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）如果函數(shù)

在點

連續(xù)，函數(shù)

在點

連續(xù).即證連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號可與極限符號換位置高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性若在自變量某變化趨勢下，有則結(jié)論高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

（１）（２）例1解

例2解

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理4

單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)連續(xù)的.反三角函數(shù)在其定義區(qū)間上皆連續(xù).3.反函數(shù)的連續(xù)性例如定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

基本初等函數(shù)即常數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.四、初等函數(shù)的連續(xù)性

例如

函數(shù)高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

例3解

例4解

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定義4

設(shè)函數(shù)

在實數(shù)集

上有定義，如果存在

，使得對一切

有則稱

為

在

上的最大值（或最小值）.（或

），例如在閉區(qū)間

上最大值為1，最小值為0.在開區(qū)間

內(nèi)有界，但既無最大值也無最小值.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理5

（最值定理）如果函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在上有最大值和最小值.推論

若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在

上有界.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

注意：若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或在閉區(qū)間上有間斷點，則最值定理及推論不一定成立.例如在開區(qū)間

內(nèi)無界，無最大值、無最小值.

即使有界也無最值.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理6(介值定理）設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，且.若

為介于

與

之間的任意一個數(shù)，則至少存在一點,使得推論1(零點定理）設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，且

與

異號，則至少存在一點,使得高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

推論2在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于其最小值與最大值之間的任何值.證設(shè)函數(shù)

則在閉區(qū)間

上連續(xù),

且故由零點定理,至少存在一點

,使得

即

例

5

證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根.故方程

在

內(nèi)至少有一個根.

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性例6

證明方程

在區(qū)間內(nèi)有唯一的根.故方程在內(nèi)至少有一個根根據(jù)零點定理,

在內(nèi)至少存在一點,使得

，即則閉區(qū)間

上連續(xù)，且證

設(shè)函數(shù)又因為

在

內(nèi)單調(diào)增加.于是,對任何,只要,就有這說明

是方程

在內(nèi)唯一的根.第二章

導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計算方法微分學(xué)基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度目錄第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念第四節(jié)

隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)

求導(dǎo)法則第五節(jié)

微分第三節(jié)

高階導(dǎo)數(shù)第

一

節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念

二、一、導(dǎo)數(shù)的定義二、二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)二、四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的定義引例1

瞬時速度問題設(shè)一質(zhì)點作變速直線運動，位置函數(shù)為

，求質(zhì)點在某時刻的瞬時速度.

O

S

從

到

這段時間內(nèi)的平均速度為越小，近似程度越好.當(dāng)

很小時，高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念引例2切線斜率問題求平面曲線

在點

處的切線的斜率.

如圖，割線

的斜率為

P沿曲線LP0,

即

x→0,

切線

的斜率為

割線P0P

極限位置P0T有高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念類似問題還有:加速度角速度線密度變化率問題……所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.瞬時速度切線斜率兩個問題的共性:

高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)的定義

定義1

設(shè)函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義,如果極限

存在,則稱函數(shù)

在點

處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)

在點

處的導(dǎo)數(shù),記為,即

也可記作高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念故導(dǎo)數(shù)

也稱函數(shù)

在點

處的

如果極限不存在(包括∞),則稱

函數(shù)

在點

處不可導(dǎo)或沒有導(dǎo)數(shù).但當(dāng)極限為∞時,為方便起見，也常說函數(shù)

在

處的導(dǎo)數(shù)為無窮大．導(dǎo)數(shù)定義式可以寫成其他形式反映的是自變量

從

變到

時，函數(shù)

的平均變化率.（瞬時）變化率.討論函數(shù)在一點是否可導(dǎo)常用這種形式的定義式高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例1

假定

存在，求下列極限：(1)(3)解

(2)(1)(2)若,求

高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念(3)高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念顯然，

如果函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)每一點都可導(dǎo),則稱函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo).此時對

內(nèi)的每一個確定的

，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這就定義了一個新函數(shù)，稱為

在

內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)),記作

或即導(dǎo)函數(shù)的定義高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

求導(dǎo)數(shù)的一般步驟:

例2解

高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例3解求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).由于所以后面證高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例4解求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).同理，可求得高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例5解求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).特別地，高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(α為切線的傾斜角).處的切線的斜率.表示曲線

在點

切線方程為

法線方程為

導(dǎo)數(shù)為無窮大時，切線為垂直于x軸的直線.高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例6求曲線在

點(1,1)處的切線方程和法線方程.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求切線的斜率為解從而得切線方程為即于是所求法線方程為即所求法線的斜率為高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1）左導(dǎo)數(shù)（2）右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).顯然，有

討論分段函數(shù)在分段點是否可導(dǎo)，需考慮左右導(dǎo)數(shù).高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例7判斷函數(shù)

在點

處是否可導(dǎo).解因為故即所以函數(shù)

在點

處不可導(dǎo).高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念解因為

存在，所以

與

都存在且相等.故于是

從而例8設(shè)函數(shù)

確定

的值，使

在處可導(dǎo).又由于所以

且.高等數(shù)學(xué)第2.1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,得從而，有故設(shè)函數(shù)

在點

處可導(dǎo),即有所以函數(shù)

在點

處連續(xù).

定理

如果函數(shù)

在點

處可導(dǎo)，則它在

處必連續(xù).

連續(xù)不一定可導(dǎo)第

二

節(jié)

求導(dǎo)法則

二、一、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則二、二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式高等數(shù)學(xué)第2.2節(jié)求導(dǎo)法則一、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則

可用導(dǎo)數(shù)定義及極限運算法則來證明.(1)、(2)可推廣到任意有