1/1雙星問題習題一．解答題（共7小題）1．由三顆星體構成的系統，忽略其它星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動（圖示為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況）。若A星體質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求：（1）A星體所受合力大小FA；（2）B星體所受合力大小FB；（3）C星體的軌道半徑RC；（4）三星體做圓周運動的周期T。2．宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設三顆星質量相等，每個星體的質量均為m．（已知萬有引力常量G）（1）試求第一種情況下，星體運動的線速度和周期（2）假設第二種情況下星體之間的距離為R，求星體運動的線速度和周期．3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的兩顆星組成的雙星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已知雙星系統中星體1的質量為m，星體2的質量為2m，兩星體相距為L，同時繞它們連線上某點做勻速圓周運動，引力常量為G．求該雙星系統運動的周期．4．如圖所示，雙星系統中的星球A、B都可視為質點，A、B繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，A、B之間距離不變，引力常量為G，觀測到A的速率為v、運行周期為T，A、B的質量分別為mA、mB。（1）求B的周期和速率。（2）A受B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，試求m′．（用mA、mB表示）5．地球同步通信衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期與地球的自轉周期相同，均為T．（1）求地球同步通信衛(wèi)星繞地球運行的角速度大??；（2）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑．6．如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L．已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G．求兩星球做圓周運動的周期。7．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，某人造地球衛(wèi)星在距地球表面高度等于地球半徑3倍處做勻速圓周運動，求：（1）衛(wèi)星的線速度；（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期．

雙星問題習題參考答案一．解答題（共7小題）1．【分析】（1）（2）由萬有引力定律，分別求出單個的力，然后求出合力即可．（3）C與B的質量相等，所以運行的規(guī)律也相等，然后結合向心力的公式即可求出C的軌道半徑；（4）三星體做圓周運動的周期T相等，寫出C的向心加速度表達式即可求出．【解答】解：（1）由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的大?。悍较蛉鐖D，則合力的大小為：（2）同上，B星受到的引力分別為：，，方向如圖；沿x方向：沿y方向：可得：＝（3）通過對于B的受力分析可知，由于：，，合力的方向經過BC的中垂線AD的中點，所以圓心O一定在BC的中垂線AD的中點處．所以：（4）由題可知C的受力大小與B的受力相同，對C星：整理得：答：（1）A星體所受合力大小是；（2）B星體所受合力大小是；（3）C星體的軌道半徑是；（4）三星體做圓周運動的周期T是．【點評】該題借助于三星模型考查萬有引力定律，其中B與C的質量相等，則運行的規(guī)律、運動的半徑是相等的．畫出它們的受力的圖象，在結合圖象和萬有引力定律即可正確解答．2．【分析】（1）畫出三顆星位置示意圖．兩側的星由另外兩個星的萬有引力的合力提供向心力，列式求解線速度和周期．（2）對于任意一個星體，由另外兩個星體的萬有引力的合力提供向心力，列式求解線速度和周期．【解答】解：（1）第一種形式下，星體A探馬星體B和星體C兩個萬有引力，它們的合力充當向心力，則：+＝m＝mR解得，線速度v＝，周期T＝2πR（2）第二種情形下，星體之間的距離為R，那么圓周運動的半徑r＝＝星體A受的合力F合＝2cos30°＝故有＝m聯立解得，v＝，T＝＝2πR答：（1）第一種情況下，星體運動的線速度是，周期為2πR．（2）假設第二種情況下星體之間的距離為R，星體運動的線速度為，周期為2πR．【點評】萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．3．【分析】雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．應用牛頓第二定律列方程求解．【解答】解：雙星系統圍繞兩星體間連線上的某點做勻速圓周運動，設該點距星體1為R，距星體2為r對星體1，有G＝mR①對星體2，有G＝2mr②根據題意有R+r＝L③由以上各式解得T＝2πL答：雙星系統運動的周期為2πL．【點評】解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解．4．【分析】雙星系統構成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力。由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運用牛頓定律分別對兩星球研究，并通過數學變形求解?！窘獯稹拷猓海?）雙星是穩(wěn)定的結構，故公轉周期相同，故B的周期也為T。設A、B的圓軌道半徑分別為rA、rB，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為ω。由牛頓運動定律：對A：FA＝mAω2rA對B：FB＝mBω2rBFA＝FB設A、B之間的距離為r，又r＝rA+rB，由上述各式得：故（其中vA＝v）解得：vB＝v（2）由于，故①恒星AB間萬有引力為：F＝G；將①式代入得到：F＝②A受B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，則有：F＝③由②③聯立解得：m′＝答：（1）B的周期為T，速率為v。（2）A受B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，m′為。【點評】對于天體運動問題關鍵要建立物理模型。雙星問題與人造地球衛(wèi)星的運動模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點為圓心做勻速圓周運動，雙星、圓心始終“三點”一線。5．【分析】1、根據角速度與周期的關系，地球同步衛(wèi)星繞地球運行的角速度大小為．2、根據萬有引力提供向心力，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，解二方程即可得出r．【解答】解：（1）地球同步通信衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期與地球的自轉周期相同，均為T．根據角速度與周期的關系，地球同步衛(wèi)星繞地球運行的角速度大小為．（2）設地球質量為M，衛(wèi)星質量為m，引力常量為G，地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑為r，則根據萬有引力定律和牛頓第二定律有對于質量為m0的物體放在地球表面上，根據萬有引力定律有聯立上述兩式可解得答：（1）求地球同步通信衛(wèi)星繞地球運行的角速度大小為；（2）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑為．【點評】對萬有引力與天體的運動問題，一定要知道兩個關系：①星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，②做勻速圓周運動的物體需要的向心力由萬有引力提供．熟練掌握這兩個關系可以解決一切天體運動的問題．6．【分析】該題屬于雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離。代入公式即可解答。【解答】解：A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。則有：mω2r＝Mω2R又由已知：r+R＝L解得：對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：化簡得答：兩星球做圓周運動的周期：【點評】該題屬于雙星問題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當成軌道半徑。7．【分析】（1）根據萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力求出衛(wèi)星的線速度．（2