低秩張量視角下高光譜圖像融合的模型構(gòu)建與算法優(yōu)化研究一、引言1.1研究背景與意義1.1.1高光譜圖像融合的重要性高光譜圖像憑借其在眾多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一。在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域，高光譜圖像能夠精確檢測(cè)農(nóng)作物的生長(zhǎng)狀況、病蟲(chóng)害情況以及營(yíng)養(yǎng)成分含量，為精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)提供關(guān)鍵數(shù)據(jù)支持，有助于提高農(nóng)作物產(chǎn)量和質(zhì)量，減少資源浪費(fèi)。在地質(zhì)勘探方面，它可用于識(shí)別不同的地質(zhì)礦物，分析地質(zhì)構(gòu)造，幫助勘探人員更準(zhǔn)確地尋找礦產(chǎn)資源，降低勘探成本和風(fēng)險(xiǎn)。在環(huán)境監(jiān)測(cè)領(lǐng)域，高光譜圖像能夠監(jiān)測(cè)大氣污染、水質(zhì)污染以及植被覆蓋變化等，為環(huán)境保護(hù)和可持續(xù)發(fā)展提供重要依據(jù)。然而，由于成像技術(shù)的限制，高光譜圖像通常具有較低的空間分辨率。這一局限性極大地限制了其在實(shí)際應(yīng)用中的效果。例如，在對(duì)城市區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測(cè)時(shí)，低空間分辨率的高光譜圖像無(wú)法清晰分辨建筑物的細(xì)節(jié)、道路的狀況以及小型植被的分布，導(dǎo)致對(duì)城市環(huán)境和基礎(chǔ)設(shè)施的分析不夠準(zhǔn)確和全面。在軍事偵察中，低空間分辨率的圖像難以識(shí)別目標(biāo)物體的具體特征和型號(hào)，影響情報(bào)收集和作戰(zhàn)決策。為了克服這一問(wèn)題，高光譜圖像融合技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。高光譜圖像融合技術(shù)通過(guò)將高光譜圖像與其他具有高空間分辨率的圖像（如全色圖像）進(jìn)行融合，充分結(jié)合兩者的優(yōu)勢(shì)，從而獲得兼具高空間分辨率和高光譜分辨率的圖像。這種融合后的圖像能夠?yàn)楹罄m(xù)的分析和應(yīng)用提供更豐富、更準(zhǔn)確的信息，有效提升高光譜圖像在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。1.1.2低秩張量表示的優(yōu)勢(shì)在高光譜圖像融合中，低秩張量表示展現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。高光譜圖像本質(zhì)上是一種三維數(shù)據(jù)，包含了空間、光譜和時(shí)間等多個(gè)維度的信息。低秩張量能夠有效地利用高光譜圖像在這些維度上的相關(guān)性，包括空間模式相關(guān)性、光譜模式相關(guān)性以及非局部模式相關(guān)性。從空間模式相關(guān)性來(lái)看，圖像中相鄰像素之間通常具有相似的特征，低秩張量可以通過(guò)對(duì)這些相鄰像素的信息進(jìn)行整合和表示，挖掘出圖像的空間結(jié)構(gòu)信息，從而更好地保留圖像的空間細(xì)節(jié)。在一幅包含森林和草地的高光譜圖像中，低秩張量能夠識(shí)別出森林區(qū)域內(nèi)樹(shù)木像素之間的相似性，以及草地區(qū)域內(nèi)草像素之間的相似性，進(jìn)而準(zhǔn)確地描繪出森林和草地的邊界以及各自的分布范圍。就光譜模式相關(guān)性而言，不同波段之間存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系，低秩張量能夠捕捉到這些聯(lián)系，對(duì)光譜信息進(jìn)行有效的壓縮和表示，減少數(shù)據(jù)冗余。在高光譜圖像的多個(gè)波段中，某些波段可能對(duì)特定物質(zhì)的特征反應(yīng)較為敏感，低秩張量可以發(fā)現(xiàn)這些波段之間的協(xié)同作用，從而更準(zhǔn)確地識(shí)別和分析目標(biāo)物質(zhì)的光譜特征。此外，低秩張量還能利用非局部模式相關(guān)性，即圖像中不相鄰但具有相似特征的區(qū)域之間的相關(guān)性。通過(guò)對(duì)這些非局部相似區(qū)域的信息進(jìn)行融合，進(jìn)一步提高對(duì)圖像信息的利用效率，增強(qiáng)圖像的表示能力。在一幅包含多個(gè)相似建筑物的高光譜圖像中，低秩張量可以找到這些建筑物在不同位置的相似部分，將它們的信息整合起來(lái)，從而更全面地了解建筑物的整體特征。低秩張量表示能夠充分挖掘高光譜圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息，為高光譜圖像融合提供了一種有效的手段，有助于提高融合圖像的質(zhì)量和準(zhǔn)確性，推動(dòng)高光譜圖像在更多領(lǐng)域的深入應(yīng)用。1.2研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)1.2.1研究目的本研究旨在深入探索低秩張量表示在高光譜圖像融合中的應(yīng)用，構(gòu)建基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型，并優(yōu)化相應(yīng)的融合算法，以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的高光譜圖像融合，具體目標(biāo)如下：挖掘高光譜圖像低秩特性：深入研究高光譜圖像在空間、光譜和非局部等維度上的相關(guān)性，全面挖掘其低秩特性，為后續(xù)的低秩張量表示提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)大量高光譜圖像數(shù)據(jù)的分析，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這些相關(guān)性，從而更有效地利用低秩張量對(duì)高光譜圖像進(jìn)行表示和處理。構(gòu)建低秩張量融合模型：基于對(duì)高光譜圖像低秩特性的充分理解，構(gòu)建能夠充分利用這些特性的低秩張量融合模型。該模型應(yīng)能夠有效地整合高光譜圖像與其他圖像（如全色圖像）的信息，充分發(fā)揮低秩張量在挖掘圖像內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息方面的優(yōu)勢(shì)，提高融合圖像的質(zhì)量和準(zhǔn)確性。優(yōu)化低秩張量融合算法：針對(duì)所構(gòu)建的低秩張量融合模型，設(shè)計(jì)并優(yōu)化高效的融合算法。該算法應(yīng)具備快速收斂的能力，以提高融合的效率，滿足實(shí)際應(yīng)用對(duì)處理速度的要求。同時(shí)，算法應(yīng)具有良好的穩(wěn)定性，能夠在不同的數(shù)據(jù)集和應(yīng)用場(chǎng)景下保持穩(wěn)定的性能，確保融合結(jié)果的可靠性。提高融合圖像質(zhì)量與性能：通過(guò)模型構(gòu)建和算法優(yōu)化，顯著提高融合圖像的空間分辨率和光譜分辨率，同時(shí)盡可能減少信息損失，保留圖像的細(xì)節(jié)和特征。提高融合圖像在分類、目標(biāo)識(shí)別等后續(xù)應(yīng)用中的性能，為高光譜圖像在農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域的深入應(yīng)用提供更有力的支持。1.2.2創(chuàng)新點(diǎn)本研究在模型構(gòu)建、算法優(yōu)化和多模態(tài)融合等方面具有以下創(chuàng)新之處：基于多維度相關(guān)性的低秩張量模型構(gòu)建：不同于傳統(tǒng)的僅考慮單一維度相關(guān)性的方法，本研究全面考慮高光譜圖像在空間、光譜和非局部模式下的相關(guān)性，構(gòu)建基于多維度相關(guān)性的低秩張量模型。通過(guò)這種方式，能夠更全面、準(zhǔn)確地挖掘高光譜圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息，提高模型對(duì)高光譜圖像的表示能力。在空間維度上，利用相鄰像素之間的相似性來(lái)捕捉圖像的空間結(jié)構(gòu)信息；在光譜維度上，挖掘不同波段之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)光譜信息的有效壓縮和表示；在非局部模式下，利用圖像中不相鄰但具有相似特征的區(qū)域之間的相關(guān)性，進(jìn)一步增強(qiáng)圖像的表示能力。自適應(yīng)優(yōu)化算法：為了提高融合算法的效率和準(zhǔn)確性，本研究提出一種自適應(yīng)的優(yōu)化算法。該算法能夠根據(jù)高光譜圖像的特點(diǎn)和融合任務(wù)的需求，自動(dòng)調(diào)整算法的參數(shù)和策略，實(shí)現(xiàn)對(duì)低秩張量模型的快速、準(zhǔn)確求解。通過(guò)引入自適應(yīng)機(jī)制，算法能夠更好地適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)集和應(yīng)用場(chǎng)景，提高算法的泛化能力和穩(wěn)定性。在面對(duì)不同噪聲水平和數(shù)據(jù)分布的高光譜圖像時(shí)，算法能夠自動(dòng)調(diào)整去噪和融合的參數(shù)，以獲得最佳的融合效果。多模態(tài)數(shù)據(jù)融合策略：除了高光譜圖像與全色圖像的融合，本研究還探索將其他相關(guān)數(shù)據(jù)（如多光譜圖像、LiDAR數(shù)據(jù)等）融入到融合模型中，提出一種多模態(tài)數(shù)據(jù)融合策略。通過(guò)融合多種類型的數(shù)據(jù)，能夠充分利用不同數(shù)據(jù)源的優(yōu)勢(shì)，為高光譜圖像融合提供更豐富的信息，進(jìn)一步提高融合圖像的質(zhì)量和應(yīng)用價(jià)值。在進(jìn)行土地覆蓋分類時(shí)，將高光譜圖像與LiDAR數(shù)據(jù)融合，能夠同時(shí)利用高光譜圖像的光譜信息和LiDAR數(shù)據(jù)的高度信息，提高分類的準(zhǔn)確性。1.3研究方法與技術(shù)路線1.3.1研究方法本研究綜合運(yùn)用多種研究方法，確保研究的全面性、科學(xué)性和有效性，具體如下：文獻(xiàn)研究法：全面搜集和深入分析國(guó)內(nèi)外關(guān)于高光譜圖像融合、低秩張量表示以及相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)，包括期刊論文、學(xué)位論文、會(huì)議論文和研究報(bào)告等。了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢(shì)和存在的問(wèn)題，掌握低秩張量表示在高光譜圖像融合中的應(yīng)用情況和研究成果，為研究提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)。通過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)的梳理，明確當(dāng)前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，如如何更有效地挖掘高光譜圖像的低秩特性，如何優(yōu)化融合算法以提高融合圖像的質(zhì)量等，從而確定本研究的切入點(diǎn)和創(chuàng)新方向。實(shí)驗(yàn)法：設(shè)計(jì)并開(kāi)展一系列實(shí)驗(yàn)，對(duì)所提出的基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)估。收集真實(shí)的高光譜圖像和全色圖像數(shù)據(jù)集，利用這些數(shù)據(jù)集對(duì)模型和算法進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)條件，確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)比不同模型和算法的性能，分析各種因素對(duì)融合效果的影響，如低秩張量的分解方法、融合算法的參數(shù)設(shè)置等，從而優(yōu)化模型和算法，提高融合圖像的質(zhì)量。對(duì)比分析法：將本研究提出的模型和算法與現(xiàn)有的經(jīng)典高光譜圖像融合方法進(jìn)行對(duì)比分析。從多個(gè)角度對(duì)不同方法的融合結(jié)果進(jìn)行評(píng)估，包括圖像的空間分辨率、光譜分辨率、信息損失程度以及在分類、目標(biāo)識(shí)別等后續(xù)應(yīng)用中的性能表現(xiàn)。通過(guò)對(duì)比，明確本研究方法的優(yōu)勢(shì)和不足，進(jìn)一步改進(jìn)和完善研究成果，提高研究的實(shí)用性和應(yīng)用價(jià)值。在分類實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比不同融合方法得到的圖像在分類準(zhǔn)確率、召回率等指標(biāo)上的差異，直觀地展示本研究方法在提高圖像分類性能方面的效果。理論分析法：對(duì)高光譜圖像的低秩特性、低秩張量表示的原理以及融合算法的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行深入的理論分析。從數(shù)學(xué)角度闡述模型的構(gòu)建思路和算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，揭示低秩張量表示在高光譜圖像融合中的內(nèi)在機(jī)制。通過(guò)理論分析，為模型和算法的設(shè)計(jì)提供理論支持，確保研究的科學(xué)性和合理性。運(yùn)用矩陣論、張量分析等數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)低秩張量分解的公式和算法的迭代步驟，深入理解模型和算法的性能和特點(diǎn)。1.3.2技術(shù)路線本研究的技術(shù)路線如圖1所示，主要包括理論研究、模型構(gòu)建、算法設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和結(jié)果分析等環(huán)節(jié)。理論研究：廣泛收集和研究高光譜圖像融合和低秩張量表示的相關(guān)理論知識(shí)，分析高光譜圖像在空間、光譜和非局部模式下的相關(guān)性，挖掘其低秩特性，為后續(xù)研究提供理論基礎(chǔ)。模型構(gòu)建：基于對(duì)高光譜圖像低秩特性的理解，構(gòu)建基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型，充分考慮多維度相關(guān)性，提高模型對(duì)高光譜圖像的表示能力。算法設(shè)計(jì)：針對(duì)所構(gòu)建的模型，設(shè)計(jì)自適應(yīng)優(yōu)化算法，根據(jù)高光譜圖像的特點(diǎn)和融合任務(wù)的需求，自動(dòng)調(diào)整算法參數(shù)和策略，實(shí)現(xiàn)對(duì)低秩張量模型的快速、準(zhǔn)確求解。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：收集真實(shí)的高光譜圖像和全色圖像數(shù)據(jù)集，對(duì)所提出的模型和算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)條件，確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性。結(jié)果分析：對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行深入分析，從多個(gè)角度評(píng)估融合圖像的質(zhì)量和性能，如空間分辨率、光譜分辨率、信息損失程度等。對(duì)比本研究方法與現(xiàn)有方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，明確本研究方法的優(yōu)勢(shì)和不足，進(jìn)一步改進(jìn)和完善研究成果。通過(guò)以上技術(shù)路線，本研究旨在實(shí)現(xiàn)基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型與算法的創(chuàng)新，提高融合圖像的質(zhì)量和性能，推動(dòng)高光譜圖像在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。[此處插入技術(shù)路線圖]圖1技術(shù)路線圖二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1高光譜圖像2.1.1高光譜圖像的特點(diǎn)高光譜圖像具有一系列獨(dú)特的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)使其在眾多領(lǐng)域展現(xiàn)出重要的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也帶來(lái)了一些挑戰(zhàn)。光譜分辨率高：高光譜圖像的光譜分辨率極高，通常能達(dá)到納米級(jí)。這意味著它可以獲取極其豐富的光譜信息，能夠精確地捕捉到不同物質(zhì)在光譜上的細(xì)微差異。在對(duì)植被進(jìn)行監(jiān)測(cè)時(shí)，高光譜圖像可以通過(guò)分析植被在不同波段的光譜反射率，準(zhǔn)確地識(shí)別出植被的種類、生長(zhǎng)狀況以及是否受到病蟲(chóng)害的侵襲。因?yàn)椴煌N類的植被，其葉片中的色素、水分含量以及細(xì)胞結(jié)構(gòu)等存在差異，這些差異會(huì)在光譜反射率上表現(xiàn)出獨(dú)特的特征，高光譜圖像憑借其高光譜分辨率能夠敏銳地捕捉到這些特征。波段多：高光譜圖像包含幾十甚至數(shù)百個(gè)連續(xù)的光譜波段，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了多光譜圖像的波段數(shù)量。豐富的波段信息為地物的識(shí)別和分析提供了更全面的數(shù)據(jù)支持。在地質(zhì)勘探中，不同的礦物在不同波段下會(huì)有不同的吸收和反射特性，高光譜圖像的多個(gè)波段可以全面地記錄這些特性，幫助地質(zhì)學(xué)家更準(zhǔn)確地識(shí)別和區(qū)分各種礦物，分析地質(zhì)構(gòu)造，尋找潛在的礦產(chǎn)資源。數(shù)據(jù)量大：由于高光譜圖像的高光譜分辨率和眾多的波段，其數(shù)據(jù)量非常龐大。這不僅對(duì)數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)和傳輸提出了很高的要求，也增加了數(shù)據(jù)處理和分析的難度。存儲(chǔ)一幅高光譜圖像可能需要占用大量的磁盤(pán)空間，在傳輸過(guò)程中也需要較高的帶寬支持。在處理高光譜圖像時(shí)，需要耗費(fèi)大量的計(jì)算資源和時(shí)間，對(duì)計(jì)算機(jī)的硬件性能和算法效率都有較高的要求。數(shù)據(jù)相關(guān)性強(qiáng)：高光譜圖像的各個(gè)波段之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性。相鄰波段的光譜信息往往具有相似性，這是因?yàn)榈匚锏墓庾V特征在一定范圍內(nèi)具有連續(xù)性。這種相關(guān)性為數(shù)據(jù)壓縮和特征提取提供了一定的便利，但同時(shí)也可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，可以利用波段之間的相關(guān)性進(jìn)行降維處理，減少數(shù)據(jù)量，提高處理效率。然而，在利用相關(guān)性的過(guò)程中，需要注意避免丟失重要的信息。特征空間位數(shù)高：高光譜圖像的高維特征空間使得其包含了豐富的信息，但也帶來(lái)了“維度災(zāi)難”的問(wèn)題。隨著特征空間維度的增加，數(shù)據(jù)的分布變得更加稀疏，分類和分析的難度也隨之增大。在高光譜圖像分類中，需要大量的訓(xùn)練樣本才能準(zhǔn)確地建立分類模型，否則容易出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象。此外，高維數(shù)據(jù)的計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)顯著增加，給算法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)帶來(lái)挑戰(zhàn)。高光譜圖像的這些特點(diǎn)決定了其在應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)和局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，需要充分發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，如利用高光譜分辨率和多波段信息進(jìn)行精確的地物識(shí)別和分析；同時(shí)，也要采取有效的方法應(yīng)對(duì)其局限性，如通過(guò)數(shù)據(jù)壓縮和降維等技術(shù)解決數(shù)據(jù)量大和特征空間位數(shù)高的問(wèn)題。2.1.2高光譜圖像的應(yīng)用領(lǐng)域高光譜圖像憑借其獨(dú)特的特點(diǎn)，在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了有力的支持。農(nóng)業(yè)領(lǐng)域：在精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)中，高光譜圖像發(fā)揮著關(guān)鍵作用。它可以用于農(nóng)作物的生長(zhǎng)監(jiān)測(cè)，通過(guò)分析高光譜圖像中農(nóng)作物在不同波段的光譜反射率，能夠準(zhǔn)確地獲取農(nóng)作物的葉面積指數(shù)、葉綠素含量、水分含量等重要生長(zhǎng)參數(shù)，從而及時(shí)了解農(nóng)作物的生長(zhǎng)狀況，為精準(zhǔn)施肥、灌溉和病蟲(chóng)害防治提供科學(xué)依據(jù)。高光譜圖像還可以用于農(nóng)作物的產(chǎn)量預(yù)測(cè)，通過(guò)建立農(nóng)作物生長(zhǎng)參數(shù)與產(chǎn)量之間的關(guān)系模型，利用高光譜圖像獲取的生長(zhǎng)參數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)農(nóng)作物的產(chǎn)量，幫助農(nóng)民合理安排生產(chǎn)和銷售計(jì)劃。此外，高光譜圖像在農(nóng)作物品種識(shí)別、土壤肥力評(píng)估等方面也有重要應(yīng)用。環(huán)境監(jiān)測(cè)領(lǐng)域：高光譜圖像在水質(zhì)監(jiān)測(cè)、大氣污染監(jiān)測(cè)和植被覆蓋變化監(jiān)測(cè)等方面具有重要價(jià)值。在水質(zhì)監(jiān)測(cè)中，高光譜圖像可以通過(guò)分析水體在不同波段的光譜特征，準(zhǔn)確地檢測(cè)出水體中的化學(xué)需氧量（COD）、生化需氧量（BOD）、氨氮等污染物的含量，以及水體的富營(yíng)養(yǎng)化程度，為水資源保護(hù)和水污染治理提供數(shù)據(jù)支持。在大氣污染監(jiān)測(cè)中，高光譜圖像可以識(shí)別和分析大氣中的有害氣體成分和濃度，如二氧化硫、氮氧化物、顆粒物等，監(jiān)測(cè)大氣污染的分布和變化情況，為空氣質(zhì)量評(píng)估和大氣污染防治提供依據(jù)。在植被覆蓋變化監(jiān)測(cè)中，高光譜圖像可以通過(guò)分析植被的光譜特征，及時(shí)發(fā)現(xiàn)植被覆蓋的變化，如森林砍伐、草原退化、濕地減少等，為生態(tài)環(huán)境保護(hù)和可持續(xù)發(fā)展提供重要信息。軍事偵察領(lǐng)域：在軍事偵察中，高光譜圖像能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)識(shí)別和偽裝檢測(cè)。不同的軍事目標(biāo)，如武器裝備、軍事設(shè)施等，在高光譜圖像中具有獨(dú)特的光譜特征，通過(guò)對(duì)這些特征的分析和識(shí)別，可以準(zhǔn)確地確定目標(biāo)的類型和位置。高光譜圖像還可以檢測(cè)出目標(biāo)的偽裝，因?yàn)閭窝b材料的光譜特征與真實(shí)目標(biāo)存在差異，高光譜圖像能夠捕捉到這些差異，從而識(shí)破偽裝，提高軍事偵察的準(zhǔn)確性和可靠性。此外，高光譜圖像在戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)感知、軍事地形分析等方面也有重要應(yīng)用。地質(zhì)勘探領(lǐng)域：高光譜圖像在地質(zhì)勘探中可用于識(shí)別不同的地質(zhì)礦物和分析地質(zhì)構(gòu)造。不同的礦物在高光譜圖像中具有不同的光譜特征，通過(guò)對(duì)這些特征的分析和比對(duì)，可以準(zhǔn)確地識(shí)別出礦物的種類和分布情況，為礦產(chǎn)資源勘探提供重要線索。高光譜圖像還可以用于地質(zhì)構(gòu)造的分析，通過(guò)研究巖石的光譜特征和分布規(guī)律，推斷地質(zhì)構(gòu)造的形態(tài)和演化歷史，幫助地質(zhì)學(xué)家更好地了解地球的地質(zhì)結(jié)構(gòu)，尋找潛在的礦產(chǎn)資源。醫(yī)學(xué)領(lǐng)域：在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，高光譜圖像技術(shù)為疾病診斷和治療提供了新的手段。它可以用于皮膚疾病的診斷，通過(guò)分析皮膚在不同波段的光譜反射率，檢測(cè)皮膚的病變情況，如皮膚癌、濕疹等，實(shí)現(xiàn)疾病的早期診斷和治療。高光譜圖像還可以用于腫瘤的檢測(cè)和分析，通過(guò)對(duì)腫瘤組織的光譜特征進(jìn)行研究，了解腫瘤的性質(zhì)和發(fā)展程度，為腫瘤的治療方案制定提供依據(jù)。此外，高光譜圖像在眼科疾病診斷、口腔疾病診斷等方面也有潛在的應(yīng)用價(jià)值。高光譜圖像在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，充分展示了其強(qiáng)大的信息獲取和分析能力，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了創(chuàng)新的方法和手段。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，高光譜圖像的應(yīng)用前景將更加廣闊。2.2張量理論2.2.1張量的定義與表示張量作為矢量概念的推廣，是一種可用來(lái)表示在一些矢量、標(biāo)量和其他張量之間線性關(guān)系的多線性函數(shù)。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，張量是定義在一些向量空間和對(duì)偶空間笛卡兒積上的多重線性映射，其坐標(biāo)位于n維空間內(nèi)，擁有n個(gè)分量，且每個(gè)分量都是坐標(biāo)的函數(shù)，在坐標(biāo)變換時(shí)，這些分量依照特定規(guī)則作線性變換。張量的秩（或階）是其重要屬性之一，零階張量即為標(biāo)量，如物體的質(zhì)量、溫度等，它們?cè)谌魏巫鴺?biāo)系下都只有一個(gè)數(shù)值，不隨坐標(biāo)變換而改變；一階張量是向量，像速度、力等，在三維空間中通常用三個(gè)分量來(lái)表示，其分量會(huì)隨著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移等變換而發(fā)生相應(yīng)變化；二階張量則成為矩陣，在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域中，矩陣被廣泛用于表示線性變換、線性方程組等，如在圖像處理中，圖像的像素值可以用二維矩陣來(lái)表示，每個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)像素的灰度值或顏色值。在實(shí)際應(yīng)用中，張量可以用分量的多維數(shù)組來(lái)表示，這種表示方式直觀且便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在高光譜圖像中，我們可以將其看作一個(gè)三階張量，其中兩個(gè)維度表示圖像的空間位置（如行和列），第三個(gè)維度表示光譜波段。假設(shè)一幅高光譜圖像的空間分辨率為M\timesN，光譜波段數(shù)為B，那么這個(gè)高光譜圖像就可以用一個(gè)M\timesN\timesB的張量\mathcal{X}來(lái)表示，其中\(zhòng)mathcal{X}_{ijk}表示在第i行、第j列、第k個(gè)波段的像素值。通過(guò)這種張量表示，我們能夠更方便地對(duì)高光譜圖像進(jìn)行各種操作和分析，充分利用張量的數(shù)學(xué)性質(zhì)來(lái)挖掘圖像中的信息。張量的基本運(yùn)算包括加減法、并積、縮并、點(diǎn)積、對(duì)稱化和反稱化以及加法分解等。加減法要求參與運(yùn)算的兩個(gè)或多個(gè)張量同階同型，其結(jié)果仍是與它們同階同型的張量，通過(guò)對(duì)應(yīng)分量的相加減來(lái)實(shí)現(xiàn)。在對(duì)兩個(gè)高光譜圖像張量進(jìn)行相加操作時(shí)，若兩個(gè)張量的維度相同，分別為\mathcal{X}和\mathcal{Y}，則它們的和\mathcal{Z}=\mathcal{X}+\mathcal{Y}，其中\(zhòng)mathcal{Z}_{ijk}=\mathcal{X}_{ijk}+\mathcal{Y}_{ijk}，表示對(duì)應(yīng)位置像素值的相加，這在圖像融合中可用于初步整合不同圖像的信息。并積是將兩個(gè)張量組合成一個(gè)新張量的運(yùn)算，新張量的階數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)張量階數(shù)之和。例如，對(duì)于一個(gè)一階張量（向量）\mathbf{a}和一個(gè)二階張量（矩陣）\mathbf{B}，它們的并積結(jié)果是一個(gè)三階張量，通過(guò)將向量的每個(gè)元素與矩陣的每個(gè)元素進(jìn)行組合得到，在高光譜圖像分析中，可用于構(gòu)建更復(fù)雜的特征表示?？s并操作通過(guò)使張量的一個(gè)上標(biāo)和一個(gè)下標(biāo)相同來(lái)實(shí)現(xiàn)，其結(jié)果是一個(gè)比原來(lái)張量低二階的新張量，這種運(yùn)算能夠簡(jiǎn)化張量的表達(dá)，提取其中的關(guān)鍵信息，在高光譜圖像數(shù)據(jù)降維中具有重要應(yīng)用。點(diǎn)積是并積和縮并的聯(lián)合運(yùn)算，在極分解定理中，三個(gè)二階張量R、U和V中一次點(diǎn)積R?·U和V?·R的結(jié)果是二階張量F，在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，點(diǎn)積常用于計(jì)算向量之間的相似度或進(jìn)行特征匹配。對(duì)稱化和反稱化是對(duì)張量指標(biāo)進(jìn)行特定置換并求平均值的運(yùn)算，對(duì)稱化用于突出張量在某些方面的對(duì)稱性質(zhì)，反稱化則用于提取張量的反對(duì)稱特征，在分析張量的幾何和物理性質(zhì)時(shí)非常有用。加法分解可以將任意二階張量唯一地分解為對(duì)稱部分和反稱部分之和，例如速度梯度就可以分解為對(duì)稱部分和反稱部分，這種分解在流體力學(xué)等領(lǐng)域中有助于更深入地理解物理現(xiàn)象。2.2.2張量的分解方法張量分解是處理高階張量的關(guān)鍵技術(shù)，它能夠?qū)?fù)雜的張量表示為更簡(jiǎn)單的形式，便于分析和處理。常見(jiàn)的張量分解方法包括Tucker分解和CP分解，它們?cè)谠砗蛻?yīng)用場(chǎng)景上各有特點(diǎn)。Tucker分解將張量分解為一個(gè)核心張量與一組因子矩陣的乘積，可看作是主成分分析（PCA）的高階形式。對(duì)于一個(gè)N階張量\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{I_1\timesI_2\times\cdots\timesI_N}，其Tucker分解可以表示為\mathcal{X}\approx\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times\cdots\times_N\mathbf{A}^{(N)}，其中\(zhòng)mathcal{G}\in\mathbb{R}^{J_1\timesJ_2\times\cdots\timesJ_N}是核心張量，\mathbf{A}^{(n)}\in\mathbb{R}^{I_n\timesJ_n}（n=1,2,\cdots,N）是因子矩陣。核心張量\mathcal{G}類似于PCA中的主成分因子，保留了原張量的主要性質(zhì)，而因子矩陣則描述了原張量在各個(gè)維度上的變換。在高光譜圖像去噪中，利用Tucker分解可以將高光譜圖像張量分解為低維的核心張量和因子矩陣，去除噪聲的同時(shí)保留圖像的重要特征，達(dá)到去噪和數(shù)據(jù)降維的目的；在數(shù)據(jù)壓縮中，通過(guò)合理選擇核心張量和因子矩陣的維度，可以減少數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)量，提高數(shù)據(jù)傳輸和處理的效率。CP分解（CanonicalPolyadicDecomposition）將張量分解為一系列秩一張量之和，每個(gè)秩一張量由一組向量的外積構(gòu)成。對(duì)于一個(gè)N階張量\mathcal{X}，其CP分解可表示為\mathcal{X}\approx\sum_{r=1}^{R}\mathbf{a}_r^{(1)}\circ\mathbf{a}_r^{(2)}\circ\cdots\circ\mathbf{a}_r^{(N)}，其中\(zhòng)mathbf{a}_r^{(n)}（n=1,2,\cdots,N，r=1,2,\cdots,R）是向量，\circ表示外積運(yùn)算，R是分解的秩一張量的個(gè)數(shù)。CP分解在數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)和圖像處理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，在信號(hào)處理中，可用于分離混合信號(hào)，通過(guò)將信號(hào)張量進(jìn)行CP分解，能夠?qū)⒉煌瑏?lái)源的信號(hào)分離出來(lái)，提取出有用的信息；在視頻處理中，可用于視頻壓縮和特征提取，將視頻看作一個(gè)張量，通過(guò)CP分解可以去除冗余信息，實(shí)現(xiàn)視頻的高效壓縮，同時(shí)提取出視頻的關(guān)鍵特征，用于視頻檢索和分析。Tucker分解和CP分解的主要區(qū)別在于：Tucker分解的結(jié)果會(huì)形成一個(gè)核張量來(lái)表示原張量的主要性質(zhì)，而CP分解沒(méi)有核張量；Tucker分解是基于n-秩與低秩近似，根據(jù)張量本身的秩進(jìn)行分解，而CP分解是基于秩與低秩近似，通常先固定秩的個(gè)數(shù)再進(jìn)行迭代；Tucker分解對(duì)于固定的n-秩，其唯一性不能保證，一般需要加上一些約束條件，如分解得到的因子單位正交約束等，而CP分解的求解需要先確定分解的秩一張量的個(gè)數(shù)，通常通過(guò)迭代的方法從1開(kāi)始遍歷尋找合適的解。在一些應(yīng)用中，為了使分解更加魯棒和精確，可以在分解出的因子上加上各種先驗(yàn)知識(shí)即約束，如平滑約束、正交約束、非負(fù)約束、稀疏約束等。Tucker分解主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)降維、特征提取、張量子空間學(xué)習(xí)等領(lǐng)域，CP分解則在信號(hào)處理、視頻處理、語(yǔ)音處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的需求和張量的特點(diǎn)選擇合適的分解方法。2.3低秩張量表示2.3.1低秩張量的概念低秩張量是指在張量分解中，其分解后的結(jié)果具有較低的秩。對(duì)于一個(gè)張量來(lái)說(shuō)，秩是衡量其復(fù)雜程度和信息冗余程度的重要指標(biāo)。在高光譜圖像融合中，低秩張量的概念至關(guān)重要。從數(shù)學(xué)定義上看，對(duì)于一個(gè)三階張量\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{I\timesJ\timesK}（以高光譜圖像的三維張量為例，I和J表示空間維度，K表示光譜維度），若其能夠被分解為少量秩一張量的和，即\mathcal{X}\approx\sum_{r=1}^{R}\mathbf{a}_r\circ\mathbf_r\circ\mathbf{c}_r，其中\(zhòng)mathbf{a}_r\in\mathbb{R}^{I}，\mathbf_r\in\mathbb{R}^{J}，\mathbf{c}_r\in\mathbb{R}^{K}，\circ表示外積運(yùn)算，且R遠(yuǎn)小于I\timesJ\timesK，則稱該張量為低秩張量。這里的R就是張量的秩，低秩意味著R的值相對(duì)較小。在高光譜圖像中，低秩特性體現(xiàn)了圖像在空間、光譜和非局部等多個(gè)維度上的相關(guān)性。在空間維度上，相鄰像素之間通常具有相似的特征，這使得圖像在空間方向上具有一定的冗余性，低秩張量能夠捕捉到這種冗余性，用較少的參數(shù)來(lái)表示圖像的空間結(jié)構(gòu)。在一幅包含建筑物和道路的高光譜圖像中，建筑物區(qū)域內(nèi)的像素在空間上具有相似的光譜特征，低秩張量可以將這些相似特征進(jìn)行整合，用少量的向量來(lái)表示建筑物區(qū)域，從而減少數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間和計(jì)算量。在光譜維度上，不同波段之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，某些波段可能對(duì)特定地物的特征反應(yīng)較為敏感，這些波段之間往往具有較高的相關(guān)性。低秩張量能夠挖掘出這些相關(guān)性，通過(guò)對(duì)光譜信息的壓縮和表示，去除冗余的光譜信息，同時(shí)保留關(guān)鍵的光譜特征。對(duì)于植被的高光譜圖像，在近紅外波段，植被的反射率具有相似的變化趨勢(shì)，低秩張量可以利用這種相關(guān)性，對(duì)這些波段的信息進(jìn)行有效整合，降低數(shù)據(jù)的維度。低秩張量還能利用非局部模式相關(guān)性，即圖像中不相鄰但具有相似特征的區(qū)域之間的相關(guān)性。通過(guò)對(duì)這些非局部相似區(qū)域的信息進(jìn)行融合，進(jìn)一步提高對(duì)圖像信息的利用效率，增強(qiáng)圖像的表示能力。在一幅包含多個(gè)農(nóng)田的高光譜圖像中，不同位置的農(nóng)田雖然在空間上不相鄰，但它們具有相似的光譜特征，低秩張量可以找到這些相似的農(nóng)田區(qū)域，將它們的信息整合起來(lái)，更全面地了解農(nóng)田的整體特征。低秩張量在高光譜圖像融合中的作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是能夠有效降低數(shù)據(jù)的維度，減少數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度，提高計(jì)算效率。由于高光譜圖像的數(shù)據(jù)量龐大，直接處理會(huì)消耗大量的計(jì)算資源和時(shí)間，低秩張量通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的壓縮和表示，能夠在保留關(guān)鍵信息的前提下，降低數(shù)據(jù)的維度，使得后續(xù)的處理更加高效。二是有助于提高融合圖像的質(zhì)量。低秩張量能夠充分挖掘高光譜圖像和其他圖像（如全色圖像）之間的內(nèi)在聯(lián)系和互補(bǔ)信息，從而在融合過(guò)程中更好地保留圖像的細(xì)節(jié)和特征，減少信息損失，提高融合圖像的空間分辨率和光譜分辨率。通過(guò)低秩張量表示，可以更準(zhǔn)確地將全色圖像的高空間分辨率信息融入到高光譜圖像中，使融合后的圖像在保持高光譜分辨率的同時(shí)，具有更清晰的空間細(xì)節(jié)。三是增強(qiáng)模型的魯棒性。低秩張量能夠?qū)υ肼暫彤惓Ｖ稻哂幸欢ǖ聂敯粜?，在高光譜圖像融合過(guò)程中，能夠有效地抑制噪聲的影響，提高融合結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性。在實(shí)際應(yīng)用中，高光譜圖像往往會(huì)受到各種噪聲的干擾，低秩張量可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的低秩逼近，去除噪聲的干擾，保證融合圖像的質(zhì)量。2.3.2低秩張量在高光譜圖像中的應(yīng)用原理低秩張量在高光譜圖像中的應(yīng)用原理主要基于高光譜圖像的自相似性和冗余性。高光譜圖像作為一種三維數(shù)據(jù)，其自相似性和冗余性體現(xiàn)在多個(gè)方面，低秩張量正是利用這些特性來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)高光譜圖像的有效處理和融合。高光譜圖像的自相似性在空間維度上表現(xiàn)為局部相似性和非局部相似性。局部相似性是指在一個(gè)小的鄰域內(nèi)，像素之間具有相似的光譜特征和空間結(jié)構(gòu)。在一個(gè)森林區(qū)域的高光譜圖像中，相鄰的樹(shù)木像素在光譜反射率上具有相似的模式，它們的空間位置也相鄰，形成了局部相似的區(qū)域。低秩張量可以通過(guò)對(duì)這些局部相似區(qū)域的分析，將它們的信息進(jìn)行整合，用少量的向量來(lái)表示這些區(qū)域，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)高光譜圖像空間信息的有效壓縮和表示。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)構(gòu)建局部相似塊的張量模型，利用張量分解算法（如CP分解或Tucker分解），將局部相似塊分解為低秩的張量表示，保留其主要特征，去除冗余信息。非局部相似性則是指在圖像中，不相鄰的區(qū)域之間也可能存在相似的特征。在高光譜圖像中，不同位置的農(nóng)田、湖泊等區(qū)域，雖然它們?cè)诳臻g上相隔較遠(yuǎn)，但由于它們屬于同一類地物，具有相似的光譜特征。低秩張量能夠捕捉到這些非局部相似區(qū)域之間的相關(guān)性，通過(guò)對(duì)這些區(qū)域的信息進(jìn)行融合，進(jìn)一步提高對(duì)圖像信息的利用效率?？梢酝ㄟ^(guò)計(jì)算圖像中不同區(qū)域之間的相似性度量，找到非局部相似的區(qū)域，將它們組合成一個(gè)張量，然后進(jìn)行低秩分解，從而挖掘出這些區(qū)域之間的潛在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)高光譜圖像更全面的表示。高光譜圖像的冗余性主要包括光譜冗余和空間冗余。光譜冗余是指不同波段之間存在著一定的相關(guān)性，某些波段可能攜帶的信息是相似的或者可以通過(guò)其他波段推導(dǎo)出來(lái)。在高光譜圖像的多個(gè)波段中，一些波段可能對(duì)特定地物的特征反應(yīng)較為敏感，但這些波段之間往往存在著重疊的信息。低秩張量可以利用這種光譜冗余性，通過(guò)對(duì)光譜信息的分析和處理，去除冗余的波段信息，同時(shí)保留對(duì)分類和識(shí)別等任務(wù)至關(guān)重要的光譜特征。通過(guò)對(duì)高光譜圖像的光譜維度進(jìn)行張量分解，找到能夠代表主要光譜信息的低秩分量，實(shí)現(xiàn)對(duì)光譜數(shù)據(jù)的降維，減少數(shù)據(jù)量的同時(shí)保留關(guān)鍵的光譜特征?？臻g冗余是指在圖像的空間結(jié)構(gòu)中，存在著大量重復(fù)的信息。在高光譜圖像中，由于地物的連續(xù)性和相似性，相鄰像素之間的空間信息存在一定的冗余。低秩張量能夠利用這種空間冗余性，通過(guò)對(duì)空間信息的整合和表示，減少空間信息的冗余度。在處理高光譜圖像的空間維度時(shí)，可以將相鄰像素組成的塊視為一個(gè)張量，通過(guò)張量分解找到能夠代表這些塊主要特征的低秩表示，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)空間信息的壓縮和去冗余。在高光譜圖像融合中，低秩張量的應(yīng)用原理可以通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)：首先，將高光譜圖像和其他參與融合的圖像（如全色圖像）表示為張量形式，充分考慮它們?cè)诳臻g、光譜和非局部等維度上的信息。然后，利用張量分解算法（如CP分解或Tucker分解）對(duì)這些張量進(jìn)行分解，將它們轉(zhuǎn)化為低秩的張量表示。在分解過(guò)程中，挖掘圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系和互補(bǔ)信息，找到能夠代表主要信息的低秩分量。接著，根據(jù)融合的目標(biāo)和需求，對(duì)分解后的低秩張量進(jìn)行處理和融合，例如通過(guò)加權(quán)融合、基于優(yōu)化模型的融合等方法，將高光譜圖像和全色圖像的低秩張量進(jìn)行組合，得到融合后的低秩張量。對(duì)融合后的低秩張量進(jìn)行重構(gòu)，恢復(fù)出融合后的高光譜圖像。在重構(gòu)過(guò)程中，利用張量的逆運(yùn)算和相關(guān)的算法，將低秩張量重新轉(zhuǎn)換為高光譜圖像的形式，同時(shí)盡可能地保留融合過(guò)程中所獲得的信息，提高融合圖像的質(zhì)量和性能。低秩張量通過(guò)利用高光譜圖像的自相似性和冗余性，能夠有效地對(duì)高光譜圖像進(jìn)行處理和融合，提高融合圖像的質(zhì)量和應(yīng)用價(jià)值，為高光譜圖像在各個(gè)領(lǐng)域的深入應(yīng)用提供了有力的支持。三、低秩張量表示高光譜圖像融合模型研究3.1基于低秩張量的融合模型構(gòu)建3.1.1模型的總體框架設(shè)計(jì)基于低秩張量的高光譜圖像融合模型的總體框架旨在充分利用低秩張量在挖掘高光譜圖像內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息方面的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)高光譜圖像與其他圖像（如全色圖像）的有效融合。其主要由數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊、低秩張量分解模塊、融合模塊以及重構(gòu)模塊這幾個(gè)關(guān)鍵部分組成。在數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊中，輸入的高光譜圖像（HSI）和全色圖像（PAN）首先要進(jìn)行嚴(yán)格的配準(zhǔn)操作，確保兩者在空間位置上能夠精確對(duì)應(yīng)。這是融合的基礎(chǔ)，因?yàn)橹挥袌D像在空間上對(duì)齊，后續(xù)的信息融合才具有意義。采用基于特征點(diǎn)匹配的配準(zhǔn)算法，通過(guò)提取高光譜圖像和全色圖像中的特征點(diǎn)，如尺度不變特征變換（SIFT）特征點(diǎn)或加速穩(wěn)健特征（SURF）特征點(diǎn)，然后利用特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出圖像之間的變換矩陣，從而實(shí)現(xiàn)圖像的精確配準(zhǔn)。對(duì)配準(zhǔn)后的圖像進(jìn)行歸一化處理，將圖像的像素值統(tǒng)一映射到特定的范圍，如[0,1]或[-1,1]。歸一化能夠消除不同圖像之間由于傳感器靈敏度、光照條件等因素導(dǎo)致的像素值差異，使得后續(xù)的處理更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確。通過(guò)歸一化，不同圖像的數(shù)據(jù)分布具有一致性，便于模型進(jìn)行統(tǒng)一的處理和分析，提高融合的效果。低秩張量分解模塊是該模型的核心部分之一。將配準(zhǔn)和歸一化后的高光譜圖像和全色圖像分別表示為張量形式，以便利用張量分解技術(shù)挖掘圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息。對(duì)于高光譜圖像，通常將其表示為一個(gè)三階張量\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{M\timesN\timesB}，其中M和N分別表示圖像的行數(shù)和列數(shù)，B表示光譜波段數(shù)；對(duì)于全色圖像，可將其表示為一個(gè)二階張量\mathcal{Y}\in\mathbb{R}^{M\timesN}。運(yùn)用Tucker分解或CP分解等張量分解方法對(duì)高光譜圖像張量\mathcal{X}進(jìn)行分解，得到核心張量和因子矩陣。以Tucker分解為例，將高光譜圖像張量\mathcal{X}分解為\mathcal{X}\approx\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)}，其中\(zhòng)mathcal{G}\in\mathbb{R}^{J_1\timesJ_2\timesJ_3}是核心張量，\mathbf{A}^{(n)}\in\mathbb{R}^{I_n\timesJ_n}（n=1,2,3）是因子矩陣。核心張量\mathcal{G}保留了高光譜圖像的主要特征和信息，因子矩陣則描述了圖像在不同維度上的變換關(guān)系。通過(guò)這種分解方式，可以將高光譜圖像的復(fù)雜信息進(jìn)行降維表示，提取出關(guān)鍵的特征，減少數(shù)據(jù)冗余，為后續(xù)的融合操作提供更簡(jiǎn)潔、有效的數(shù)據(jù)形式。在融合模塊中，根據(jù)高光譜圖像和全色圖像的特點(diǎn)以及融合的目標(biāo)，對(duì)分解后的低秩張量進(jìn)行處理和融合。一種常見(jiàn)的融合策略是基于加權(quán)融合的方法，根據(jù)高光譜圖像和全色圖像在不同維度上的重要性，為它們的低秩張量分配不同的權(quán)重。在空間維度上，全色圖像具有較高的分辨率，對(duì)圖像的空間細(xì)節(jié)表達(dá)能力較強(qiáng)，因此可以為全色圖像的低秩張量分配較大的權(quán)重，以增強(qiáng)融合圖像的空間分辨率；在光譜維度上，高光譜圖像包含豐富的光譜信息，對(duì)物質(zhì)的識(shí)別和分類具有重要作用，所以為高光譜圖像的低秩張量分配較大的權(quán)重，以保留融合圖像的光譜特征。通過(guò)合理地調(diào)整權(quán)重，可以使融合后的低秩張量充分融合高光譜圖像和全色圖像的優(yōu)勢(shì)信息，實(shí)現(xiàn)圖像的有效融合。另一種融合策略是基于優(yōu)化模型的融合方法，通過(guò)構(gòu)建優(yōu)化模型，將高光譜圖像和全色圖像的低秩張量作為變量，以融合圖像的質(zhì)量指標(biāo)（如均方誤差、峰值信噪比等）作為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)優(yōu)化算法求解出最優(yōu)的融合低秩張量。這種方法能夠從全局最優(yōu)的角度實(shí)現(xiàn)圖像的融合，提高融合圖像的質(zhì)量，但計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，需要消耗更多的計(jì)算資源和時(shí)間。重構(gòu)模塊的主要任務(wù)是將融合后的低秩張量恢復(fù)為融合后的高光譜圖像。利用張量的逆運(yùn)算，根據(jù)融合后的低秩張量和相應(yīng)的因子矩陣，重構(gòu)出融合后的高光譜圖像張量。在重構(gòu)過(guò)程中，需要對(duì)重構(gòu)的圖像進(jìn)行后處理，如去噪、平滑等操作，以進(jìn)一步提高融合圖像的質(zhì)量。使用高斯濾波對(duì)重構(gòu)圖像進(jìn)行平滑處理，去除圖像中的噪聲和高頻干擾，使圖像更加平滑自然；或者采用中值濾波等方法，對(duì)圖像中的椒鹽噪聲等脈沖噪聲進(jìn)行去除，保持圖像的細(xì)節(jié)和邊緣信息。通過(guò)這些后處理操作，可以有效地改善融合圖像的視覺(jué)效果，提高其在實(shí)際應(yīng)用中的可靠性和可用性。3.1.2模型的數(shù)學(xué)原理與推導(dǎo)基于低秩張量的高光譜圖像融合模型的數(shù)學(xué)原理主要涉及低秩張量分解和約束條件的構(gòu)建。在低秩張量分解方面，以Tucker分解為例進(jìn)行推導(dǎo)。對(duì)于一個(gè)三階張量\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{M\timesN\timesB}，其Tucker分解的目標(biāo)是找到一個(gè)核心張量\mathcal{G}\in\mathbb{R}^{J_1\timesJ_2\timesJ_3}和一組因子矩陣\mathbf{A}^{(1)}\in\mathbb{R}^{M\timesJ_1}，\mathbf{A}^{(2)}\in\mathbb{R}^{N\timesJ_2}，\mathbf{A}^{(3)}\in\mathbb{R}^{B\timesJ_3}，使得\mathcal{X}\approx\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)}。這里的\times_n表示第n模乘積運(yùn)算，其定義為：對(duì)于張量\mathcal{X}和矩陣\mathbf{A}，\mathcal{X}\times_n\mathbf{A}的元素(\mathcal{X}\times_n\mathbf{A})_{i_1\cdotsi_{n-1}ji_{n+1}\cdotsi_N}=\sum_{i_n=1}^{I_n}\mathcal{X}_{i_1\cdotsi_N}A_{ji_n}，其中N為張量的階數(shù)，I_n為張量\mathcal{X}在第n維度的大小。為了求解Tucker分解，通常采用最小化重構(gòu)誤差的方法，即求解以下優(yōu)化問(wèn)題：\min_{\mathcal{G},\mathbf{A}^{(1)},\mathbf{A}^{(2)},\mathbf{A}^{(3)}}\|\mathcal{X}-\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)}\|_F^2其中\(zhòng)|\cdot\|_F表示Frobenius范數(shù)，用于衡量張量之間的差異。在實(shí)際求解過(guò)程中，可采用交替最小二乘法（ALS）。首先固定核心張量\mathcal{G}，分別求解因子矩陣\mathbf{A}^{(1)}，\mathbf{A}^{(2)}，\mathbf{A}^{(3)}。對(duì)于\mathbf{A}^{(1)}，將上述優(yōu)化問(wèn)題關(guān)于\mathbf{A}^{(1)}求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，得到：\mathbf{A}^{(1)}=(\mathcal{X}\times_2\mathbf{A}^{(2)T}\times_3\mathbf{A}^{(3)T})\mathbf{G}^{\dagger}其中\(zhòng)mathbf{G}^{\dagger}是核心張量\mathcal{G}的Moore-Penrose偽逆。類似地，可以得到\mathbf{A}^{(2)}和\mathbf{A}^{(3)}的更新公式。然后固定因子矩陣，更新核心張量\mathcal{G}：\mathcal{G}=(\mathcal{X}\times_1\mathbf{A}^{(1)T}\times_2\mathbf{A}^{(2)T}\times_3\mathbf{A}^{(3)T})通過(guò)交替迭代更新因子矩陣和核心張量，直到重構(gòu)誤差收斂，即可得到高光譜圖像的Tucker分解結(jié)果。在構(gòu)建約束條件方面，為了更好地保留圖像的特征和信息，通常會(huì)引入一些約束條件。為了保證因子矩陣的正交性，添加正交約束：\mathbf{A}^{(n)T}\mathbf{A}^{(n)}=\mathbf{I}_{J_n}其中\(zhòng)mathbf{I}_{J_n}是J_n\timesJ_n的單位矩陣。正交約束可以使因子矩陣在表示圖像信息時(shí)更加獨(dú)立和有效，避免冗余信息的出現(xiàn)，同時(shí)也有助于提高分解的穩(wěn)定性和可解釋性。在高光譜圖像融合中，為了保持融合圖像的光譜特性，引入光譜約束條件。假設(shè)高光譜圖像的光譜響應(yīng)函數(shù)為\mathbf{R}，則約束條件可以表示為：\|\mathbf{R}\mathcal{X}-\mathbf{R}(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2\leq\epsilon其中\(zhòng)epsilon是一個(gè)小的正數(shù)，用于控制光譜誤差的范圍。通過(guò)這個(gè)約束條件，可以確保融合后的圖像在光譜上與原始高光譜圖像具有相似的特征，減少光譜失真，提高融合圖像在光譜分析和分類等應(yīng)用中的準(zhǔn)確性。為了提高融合圖像的空間分辨率，引入空間約束條件?？梢岳脠D像的空間平滑性，通過(guò)全變分（TotalVariation，TV）約束來(lái)實(shí)現(xiàn)：\|\nabla\mathcal{X}-\nabla(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2\leq\delta其中\(zhòng)nabla表示梯度算子，\delta是一個(gè)控制空間平滑程度的參數(shù)。TV約束可以使融合后的圖像在空間上更加平滑，減少噪聲和偽影的出現(xiàn)，同時(shí)保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，提高融合圖像的視覺(jué)質(zhì)量和空間分辨率。將這些約束條件加入到優(yōu)化問(wèn)題中，得到完整的基于低秩張量的高光譜圖像融合模型的優(yōu)化問(wèn)題：\begin{align*}&\min_{\mathcal{G},\mathbf{A}^{(1)},\mathbf{A}^{(2)},\mathbf{A}^{(3)}}\|\mathcal{X}-\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)}\|_F^2+\lambda_1\sum_{n=1}^{3}\|\mathbf{A}^{(n)T}\mathbf{A}^{(n)}-\mathbf{I}_{J_n}\|_F^2\\&+\lambda_2\|\mathbf{R}\mathcal{X}-\mathbf{R}(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2+\lambda_3\|\nabla\mathcal{X}-\nabla(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2\end{align*}其中\(zhòng)lambda_1，\lambda_2，\lambda_3是權(quán)重參數(shù)，用于平衡不同約束條件的重要性。通過(guò)求解這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可以得到滿足多種約束條件的低秩張量分解結(jié)果，從而實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的高光譜圖像融合。3.2模型參數(shù)的確定與優(yōu)化3.2.1參數(shù)初始化方法在基于低秩張量的高光譜圖像融合模型中，參數(shù)初始化對(duì)于模型的收斂速度和性能具有重要影響。合理的參數(shù)初始化能夠使模型更快地收斂到全局最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，避免陷入局部最優(yōu)，從而提高融合圖像的質(zhì)量。對(duì)于低秩張量分解中的核心張量和因子矩陣，常見(jiàn)的初始化方法有隨機(jī)初始化和基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的初始化。隨機(jī)初始化是一種簡(jiǎn)單直接的方法，它通過(guò)在一定范圍內(nèi)隨機(jī)生成數(shù)值來(lái)初始化核心張量和因子矩陣。對(duì)于核心張量\mathcal{G}，可以在[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成其元素值，使其元素\mathcal{G}_{ijk}滿足0\leq\mathcal{G}_{ijk}\leq1，其中i=1,\cdots,J_1，j=1,\cdots,J_2，k=1,\cdots,J_3；對(duì)于因子矩陣\mathbf{A}^{(n)}（n=1,2,3），同樣可以在[-1,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成元素值，使其元素A_{ij}^{(n)}滿足-1\leqA_{ij}^{(n)}\leq1，其中i=1,\cdots,I_n，j=1,\cdots,J_n。這種初始化方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，計(jì)算成本低，能夠在一定程度上避免模型陷入局部最優(yōu)。然而，由于初始化的隨機(jī)性，可能導(dǎo)致模型的收斂速度較慢，且在某些情況下可能無(wú)法得到理想的融合結(jié)果?；跀?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的初始化方法則充分利用了高光譜圖像的數(shù)據(jù)特征，能夠?yàn)槟Ｐ吞峁└侠淼某跏紖?shù)。在初始化因子矩陣\mathbf{A}^{(1)}和\mathbf{A}^{(2)}（對(duì)應(yīng)圖像的空間維度）時(shí)，可以利用高光譜圖像的空間相關(guān)性。通過(guò)對(duì)圖像的空間鄰域進(jìn)行分析，計(jì)算每個(gè)像素點(diǎn)與其鄰域像素點(diǎn)之間的相關(guān)性，然后根據(jù)這些相關(guān)性構(gòu)建初始的因子矩陣。對(duì)于每個(gè)像素點(diǎn)(i,j)，可以計(jì)算其與周圍3\times3鄰域內(nèi)像素點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，然后對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，取其前J_1（或J_2）個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為\mathbf{A}^{(1)}（或\mathbf{A}^{(2)}）在該像素點(diǎn)位置的列向量。這樣初始化的因子矩陣能夠更好地反映圖像的空間結(jié)構(gòu)信息，有助于模型更快地收斂。在初始化因子矩陣\mathbf{A}^{(3)}（對(duì)應(yīng)圖像的光譜維度）時(shí)，可以考慮高光譜圖像的光譜特性。通過(guò)對(duì)不同波段之間的相關(guān)性進(jìn)行分析，利用主成分分析（PCA）等方法對(duì)光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，將得到的主成分作為\mathbf{A}^{(3)}的初始值。具體來(lái)說(shuō)，首先計(jì)算高光譜圖像在光譜維度上的協(xié)方差矩陣，然后對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到特征值和特征向量。將特征值從大到小排序，選取前J_3個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成\mathbf{A}^{(3)}的初始矩陣。這種初始化方法能夠充分利用光譜數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，使模型在處理光譜信息時(shí)更加有效。在確定低秩張量分解的秩R（或核心張量的維度J_1,J_2,J_3）時(shí)，可以采用交叉驗(yàn)證的方法。將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集劃分為多個(gè)子集，對(duì)于不同的秩取值，在一部分子集上進(jìn)行訓(xùn)練，在另一部分子集上進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)比較不同秩取值下模型在驗(yàn)證集上的性能指標(biāo)（如均方誤差、峰值信噪比等），選擇使性能指標(biāo)最優(yōu)的秩作為最終的參數(shù)值。對(duì)于秩R的取值范圍，可以先進(jìn)行初步的實(shí)驗(yàn)探索，確定一個(gè)大致的區(qū)間，然后在該區(qū)間內(nèi)進(jìn)行精細(xì)的交叉驗(yàn)證。假設(shè)初步實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)秩R在10到50之間時(shí)模型性能有較大變化，那么可以在這個(gè)區(qū)間內(nèi)以步長(zhǎng)為5進(jìn)行交叉驗(yàn)證，即分別計(jì)算R=10,15,20,\cdots,50時(shí)模型在驗(yàn)證集上的性能指標(biāo)，選擇性能最好的R值作為最終的秩。3.2.2參數(shù)優(yōu)化策略為了求解基于低秩張量的高光譜圖像融合模型，需要采用有效的參數(shù)優(yōu)化策略，以實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的快速、準(zhǔn)確更新，提高融合算法的效率和性能。常見(jiàn)的參數(shù)優(yōu)化策略包括梯度下降法、交替方向乘子法等，每種方法都有其獨(dú)特的原理和適用場(chǎng)景。梯度下降法是一種廣泛應(yīng)用的優(yōu)化算法，其基本思想是通過(guò)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度，沿著梯度的反方向更新參數(shù)，以逐步減小目標(biāo)函數(shù)的值，從而找到最優(yōu)解。對(duì)于基于低秩張量的高光譜圖像融合模型，其目標(biāo)函數(shù)通常是重構(gòu)誤差與各種約束條件的加權(quán)和，如前面章節(jié)中提到的：\begin{align*}&\min_{\mathcal{G},\mathbf{A}^{(1)},\mathbf{A}^{(2)},\mathbf{A}^{(3)}}\|\mathcal{X}-\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)}\|_F^2+\lambda_1\sum_{n=1}^{3}\|\mathbf{A}^{(n)T}\mathbf{A}^{(n)}-\mathbf{I}_{J_n}\|_F^2\\&+\lambda_2\|\mathbf{R}\mathcal{X}-\mathbf{R}(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2+\lambda_3\|\nabla\mathcal{X}-\nabla(\mathcal{G}\times_1\mathbf{A}^{(1)}\times_2\mathbf{A}^{(2)}\times_3\mathbf{A}^{(3)})\|_F^2\end{align*}其中\(zhòng)|\cdot\|_F表示Frobenius范數(shù)，\lambda_1，\lambda_2，\lambda_3是權(quán)重參數(shù)，\mathcal{G}是核心張量，\mathbf{A}^{(n)}是因子矩陣，\mathbf{R}是光譜響應(yīng)函數(shù)，\nabla表示梯度算子。在梯度下降法中，參數(shù)的更新公式為：\begin{align*}\mathcal{G}&\leftarrow\mathcal{G}-\alpha\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathcal{G}}\\\mathbf{A}^{(n)}&\leftarrow\mathbf{A}^{(n)}-\alpha\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{A}^{(n)}}\end{align*}其中\(zhòng)alpha是學(xué)習(xí)率，控制參數(shù)更新的步長(zhǎng)，\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathcal{G}}和\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{A}^{(n)}}分別是目標(biāo)函數(shù)\mathcal{L}關(guān)于核心張量\mathcal{G}和因子矩陣\mathbf{A}^{(n)}的梯度。學(xué)習(xí)率\alpha的選擇對(duì)梯度下降法的性能至關(guān)重要。如果學(xué)習(xí)率過(guò)大，參數(shù)更新的步長(zhǎng)過(guò)大，可能導(dǎo)致模型在迭代過(guò)程中跳過(guò)最優(yōu)解，無(wú)法收斂；如果學(xué)習(xí)率過(guò)小，參數(shù)更新的速度過(guò)慢，會(huì)使模型的收斂時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，效率低下。為了確定合適的學(xué)習(xí)率，可以采用一些自適應(yīng)學(xué)習(xí)率調(diào)整策略，如Adagrad、Adadelta、Adam等算法。Adagrad算法根據(jù)每個(gè)參數(shù)的梯度歷史累積值來(lái)調(diào)整學(xué)習(xí)率，對(duì)于梯度較大的參數(shù)，學(xué)習(xí)率會(huì)自動(dòng)減小，對(duì)于梯度較小的參數(shù)，學(xué)習(xí)率會(huì)相對(duì)增大，從而使模型在訓(xùn)練過(guò)程中能夠自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率，加快收斂速度。Adadelta算法則是對(duì)Adagrad算法的改進(jìn)，它不僅考慮了梯度的累積值，還引入了指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均，進(jìn)一步優(yōu)化了學(xué)習(xí)率的調(diào)整，使模型更加穩(wěn)定。Adam算法結(jié)合了Adagrad和Adadelta的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)，能夠更有效地調(diào)整學(xué)習(xí)率，在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)和高維參數(shù)空間時(shí)表現(xiàn)出較好的性能。交替方向乘子法（ADMM）是另一種有效的參數(shù)優(yōu)化策略，它特別適用于求解具有可分離結(jié)構(gòu)的凸優(yōu)化問(wèn)題。在基于低秩張量的高光譜圖像融合模型中，通過(guò)巧妙地引入輔助變量，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為具有可分離結(jié)構(gòu)的形式，從而可以利用ADMM進(jìn)行求解。具體來(lái)說(shuō)，將目標(biāo)函數(shù)中的一些復(fù)雜項(xiàng)（如低秩張量分解項(xiàng)、約束條件項(xiàng)等）分別分配到不同的子問(wèn)題中，通過(guò)交替求解這些子問(wèn)題來(lái)更新模型參數(shù)。以Tucker分解為例，在ADMM中，首先引入輔助變量\mathbf{Z}^{(n)}（n=1,2,3）和拉格朗日乘子\mathbf{U}^{(n)}（n=1,2,3），將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：\begin{align*}&\min_{\mathcal{G},\mathbf{A}^{(1)},\mathbf{A}^{(2)},\mathbf{A}^{(3)},\mathbf{Z}^{(1)},\mathbf{Z}^{(2)},\mathbf{Z}^{(3)}}\|\mathcal{X}-\mathcal{G}\times_1\mathbf{Z}^{(1)}\times_2\mathbf{Z}^{(2)}\times_3\mathbf{Z}^{(3)}\|_F^2+\lambda_1\sum_{n=1}^{3}\|\mathbf{A}^{(n)T}\mathbf{A}^{(n)}-\mathbf{I}_{J_n}\|_F^2\\&+\lambda_2\|\mathbf{R}\mathcal{X}-\mathbf{R}(\mathcal{G}\times_1\mathbf{Z}^{(1)}\times_2\mathbf{Z}^{(2)}\times_3\mathbf{Z}^{(3)})\|_F^2+\lambda_3\|\nabla\mathcal{X}-\nabla(\mathcal{G}\times_1\mathbf{Z}^{(1)}\times_2\mathbf{Z}^{(2)}\times_3\mathbf{Z}^{(3)})\|_F^2\\&+\sum_{n=1}^{3}\rho_n\|\mathbf{A}^{(n)}-\mathbf{Z}^{(n)}+\frac{\mathbf{U}^{(n)}}{\rho_n}\|_F^2\end{align*}其中\(zhòng)rho_n是懲罰參數(shù)，控制輔助變量與原變量之間的約束強(qiáng)度。然后，通過(guò)交替求解以下子問(wèn)題來(lái)更新參數(shù)：固定\mathbf{Z}^{(n)}和\mathbf{U}^{(n)}，求解關(guān)于\mathcal{G}和\mathbf{A}^{(n)}的子問(wèn)題，得到\mathcal{G}^{k+1}和\mathbf{A}^{(n)k+1}。固定\mathcal{G}和\mathbf{A}^{(n)}，求解關(guān)于\mathbf{Z}^{(n)}的子問(wèn)題，得到\mathbf{Z}^{(n)k+1}。更新拉格朗日乘子\mathbf{U}^{(n)}：\mathbf{U}^{(n)k+1}\leftarrow\mathbf{U}^{(n)k}+\rho_n(\mathbf{A}^{(n)k+1}-\mathbf{Z}^{(n)k+1})。通過(guò)不斷迭代上述步驟，直到滿足收斂條件（如目標(biāo)函數(shù)值的變化小于某個(gè)閾值），從而得到優(yōu)化后的模型參數(shù)。ADMM的優(yōu)點(diǎn)是能夠有效地處理大規(guī)模問(wèn)題，具有較快的收斂速度和較好的穩(wěn)定性，尤其適用于高光譜圖像融合中涉及的大規(guī)模數(shù)據(jù)和復(fù)雜模型的求解。3.3模型的性能評(píng)估指標(biāo)3.3.1常用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)在評(píng)估基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型的性能時(shí)，常用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)是衡量融合圖像質(zhì)量的重要依據(jù)，它們從不同角度反映了融合圖像與原始圖像或參考圖像之間的差異。峰值信噪比（PeakSignaltoNoiseRatio，PSNR）是一種廣泛應(yīng)用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)，它基于均方誤差（MeanSquaredError，MSE）來(lái)衡量圖像中信號(hào)與噪聲的比例。PSNR的值越高，表示融合圖像與原始圖像之間的誤差越小，圖像質(zhì)量越好。其計(jì)算公式為：PSNR=10\log_{10}\left(\frac{MAX_{I}^2}{MSE}\right)其中，MAX_{I}是圖像像素值的最大值，對(duì)于8位灰度圖像，MAX_{I}=255；MSE是均方誤差，計(jì)算公式為：MSE=\frac{1}{m\timesn}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[I(i,j)-K(i,j)]^2這里I(i,j)和K(i,j)分別表示原始圖像和融合圖像在位置(i,j)處的像素值，m和n分別是圖像的行數(shù)和列數(shù)。例如，在對(duì)一幅高光譜圖像進(jìn)行融合實(shí)驗(yàn)中，若融合圖像的PSNR值為35dB，而另一幅融合圖像的PSNR值為30dB，則說(shuō)明前者的圖像質(zhì)量相對(duì)更高，與原始圖像的誤差更小。結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)（StructuralSimilarityIndex，SSIM）是一種考慮了圖像結(jié)構(gòu)信息的質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)，它從亮度、對(duì)比度和結(jié)構(gòu)三個(gè)方面來(lái)衡量圖像的相似性。SSIM的值越接近1，表示融合圖像與原始圖像的結(jié)構(gòu)越相似，圖像質(zhì)量越好。其計(jì)算公式為：SSIM(I,K)=\frac{(2\mu_{I}\mu_{K}+C_1)(2\sigma_{IK}+C_2)}{(\mu_{I}^2+\mu_{K}^2+C_1)(\sigma_{I}^2+\sigma_{K}^2+C_2)}其中，\mu_{I}和\mu_{K}分別是原始圖像和融合圖像的均值，\sigma_{I}^2和\sigma_{K}^2分別是它們的方差，\sigma_{IK}是它們的協(xié)方差，C_1和C_2是常數(shù)，用于避免分母為零的情況。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于一幅包含復(fù)雜地物的高光譜圖像，若融合圖像的SSIM值達(dá)到0.9，說(shuō)明該融合圖像在結(jié)構(gòu)上與原始圖像非常相似，能夠較好地保留原始圖像的地物結(jié)構(gòu)信息。均方根誤差（RootMeanSquareError，RMSE）也是一種常用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)，它直接反映了融合圖像與原始圖像像素值之間的平均誤差。RMSE的值越小，說(shuō)明融合圖像與原始圖像越接近，圖像質(zhì)量越高。其計(jì)算公式為：RMSE=\sqrt{\frac{1}{m\timesn}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[I(i,j)-K(i,j)]^2}在高光譜圖像融合實(shí)驗(yàn)中，若RMSE值為5，表示融合圖像與原始圖像的平均像素誤差為5，通過(guò)比較不同融合方法的RMSE值，可以直觀地判斷哪種方法得到的融合圖像與原始圖像的誤差更小。這些常用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)從不同角度對(duì)融合圖像的質(zhì)量進(jìn)行了量化評(píng)估，PSNR主要關(guān)注圖像的噪聲水平，SSIM注重圖像的結(jié)構(gòu)相似性，RMSE則直接反映了像素值的誤差。在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)綜合使用這些指標(biāo)來(lái)全面評(píng)估融合圖像的質(zhì)量，以便更準(zhǔn)確地判斷融合模型的性能。3.3.2針對(duì)高光譜圖像融合的評(píng)估指標(biāo)針對(duì)高光譜圖像融合，除了常用的圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)外，還有一些特有的評(píng)估指標(biāo)，這些指標(biāo)能夠更準(zhǔn)確地反映高光譜圖像融合后的光譜特性和空間特性的保持情況，為評(píng)估融合模型的性能提供了更全面的視角。光譜角距離（SpectralAngleMapper，SAM）是一種衡量?jī)蓚€(gè)光譜向量之間角度差異的指標(biāo)，它用于評(píng)估融合圖像與原始高光譜圖像在光譜特征上的相似程度。SAM的值越小，說(shuō)明融合圖像的光譜特征與原始高光譜圖像越接近，光譜保真度越高。其計(jì)算公式為：SAM(\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2)=\arccos\left(\frac{\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2}{\|\mathbf{s}_1\|\|\mathbf{s}_2\|}\right)其中，\mathbf{s}_1和\mathbf{s}_2分別是原始高光譜圖像和融合圖像中對(duì)應(yīng)像素的光譜向量，\cdot表示向量的點(diǎn)積，\|\cdot\|表示向量的模。在對(duì)高光譜圖像進(jìn)行融合時(shí)，若某一融合方法得到的融合圖像與原始高光譜圖像的SAM值為0.1弧度，而另一種方法的SAM值為0.2弧度，則說(shuō)明前者在光譜特征的保持上表現(xiàn)更好，融合圖像的光譜信息更接近原始圖像。相對(duì)無(wú)量綱全局誤差（ErreurRelativeGlobaleAdimensionnelledeSynthèse，ERGAS）是一種綜合考慮空間分辨率和光譜分辨率的評(píng)估指標(biāo)，它以百分比的形式表示融合圖像與原始高光譜圖像之間的相對(duì)誤差。ERGAS的值越小，說(shuō)明融合圖像在空間和光譜方面與原始高光譜圖像的差異越小，融合效果越好。其計(jì)算公式為：ERGAS=100\times\frac{h}{l}\sqrt{\frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}\frac{MSE_b}{\mu_^2}}其中，h和l分別是高光譜圖像和全色圖像的空間分辨率，B是高光譜圖像的波段數(shù)，MSE_b是第b個(gè)波段的均方誤差，\mu_是第b個(gè)波段的均值。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于一幅空間分辨率為10m的高光譜圖像和空間分辨率為2m的全色圖像進(jìn)行融合，若融合圖像的ERGAS值為2.5%，則表示該融合圖像在空間和光譜方面與原始高光譜圖像的相對(duì)誤差為2.5%，通過(guò)比較不同融合方法的ERGAS值，可以評(píng)估它們?cè)诰C合保持圖像空間和光譜特性方面的能力。相關(guān)系數(shù)（CorrelationCoefficient，CC）用于衡量融合圖像與原始高光譜圖像在每個(gè)波段上的相關(guān)性，它反映了融合圖像對(duì)原始高光譜圖像光譜信息的保留程度。CC的值越接近1，說(shuō)明融合圖像與原始高光譜圖像在該波段上的相關(guān)性越強(qiáng)，光譜信息保留得越好。對(duì)于第b個(gè)波段，其相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：CC_b=\frac{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(I_{ijb}-\overline{I}_b)(K_{ijb}-\overline{K}_b)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(I_{ijb}-\overline{I}_b)^2\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(K_{ijb}-\overline{K}_b)^2}}其中，I_{ijb}和K_{ijb}分別是原始高光譜圖像和融合圖像在第i行、第j列、第b個(gè)波段的像素值，\overline{I}_b和\overline{K}_b分別是它們?cè)诘赽個(gè)波段的均值。在高光譜圖像融合實(shí)驗(yàn)中，若某一波段的CC值為0.95，說(shuō)明該波段在融合圖像中的光譜信息與原始高光譜圖像的相關(guān)性很強(qiáng)，融合過(guò)程較好地保留了該波段的光譜特征。這些針對(duì)高光譜圖像融合的評(píng)估指標(biāo)，從光譜角度和空間角度對(duì)融合圖像進(jìn)行了全面的評(píng)估，為評(píng)價(jià)基于低秩張量表示的高光譜圖像融合模型的性能提供了專業(yè)、準(zhǔn)確的依據(jù)，有助于深入分析融合模型在保持高光譜圖像特性方面的優(yōu)勢(shì)和不足。四、低秩張量表示高光譜圖像融合算法設(shè)計(jì)4.1算法流程設(shè)計(jì)4.1.1數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理是基于低秩張量表示的高光譜圖像融合算法的重要起始步驟，它能夠有效提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，為后續(xù)的融合操作奠定良好基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)預(yù)處理主要包括對(duì)高光譜圖像和其他相關(guān)圖像（如全色圖像）進(jìn)行歸一化、去噪等處理。在歸一化處理方面，其目的是將圖像的像素值統(tǒng)一映射到特定的范圍，消除不同圖像之間由于傳感器靈敏度、光照條件等因素導(dǎo)致的像素值差異，使后續(xù)處理更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確。常用的歸一化方法有線性歸一化和零均值歸一化。線性歸一化是將圖像的像素值線性映射到[0,1]或[-1,1]區(qū)間。對(duì)于高光譜圖像\mathcal{X}，其像素值x_{ijk}（i表示行，j表示列，k表示波段），通過(guò)線性歸一化公式y(tǒng)_{ijk}=\frac{x_{ijk}-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}（映射到[0,1]區(qū)間）或y_{ijk}=2\times\frac{x_{ijk}-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}-1（映射到[-1,1]區(qū)間）進(jìn)行歸一化，其中x_{min}和x_{max}分別是圖像像素值的最小值和最大值。這種方法簡(jiǎn)單直觀，能夠快速將圖像像素值調(diào)整到統(tǒng)一范圍。零均值歸一化則是使圖像的像素值均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。首先計(jì)算圖像的均值\mu和標(biāo)準(zhǔn)差\sigma，然后通過(guò)公式y(tǒng)_{ijk}=\frac{x_{ijk}-\mu}{\sigma}對(duì)像素值進(jìn)行歸一化。零均值歸一化能夠使圖像數(shù)據(jù)具有更好的統(tǒng)計(jì)特性，在一些對(duì)數(shù)據(jù)分布要求較高的算法中表現(xiàn)出更好的性能。去噪處理也是數(shù)據(jù)預(yù)處理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因?yàn)楦吖庾V圖像在采集和傳輸過(guò)程中容易受到噪聲的干擾，如高斯噪聲、椒鹽噪聲等，這些噪聲會(huì)影響圖像的質(zhì)量和后續(xù)的融合效果。常用的去噪方法有高斯濾波、中值濾波和小波去噪等。高斯濾波是一種線性平滑濾波，它通過(guò)對(duì)圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)與其鄰域內(nèi)的像素點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)平均來(lái)實(shí)現(xiàn)去噪。其核心是一個(gè)高斯核函數(shù)，該函數(shù)根據(jù)像素點(diǎn)與中心像素點(diǎn)的距離來(lái)分配權(quán)重，距離越近，權(quán)重越大。對(duì)于高光譜圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)(i,j)，其在第k個(gè)波段的去噪后像素值y_{ijk}通過(guò)公式y(tǒng)_{ijk}=\sum_{m=-n}^{n}\sum_{l=-n}^{n}g(m,l)x_{i+m,j+l,k}計(jì)算得到，其中g(shù)(m,l)是高斯核函數(shù)，n是鄰域半徑。高斯濾波在去除高斯噪聲方面效果顯著，能夠有效平滑圖像，減少噪聲的影響，但同時(shí)也會(huì)使圖像的邊緣和細(xì)節(jié)部分變得模糊。中值濾波是一種非線性濾波方法，它將圖像中每個(gè)像素點(diǎn)的鄰域內(nèi)的像素值進(jìn)行排序，然后取中間值作為該像素點(diǎn)的去噪后像素值。對(duì)于高光譜圖像中像素點(diǎn)(i,j)在第k個(gè)波段的像素值，將其鄰域內(nèi)的像素值x_{i+m,j+l,k}（m,l表示鄰域內(nèi)的位置）進(jìn)行排序，取中間值作為y_{ijk}。中值濾波在去除椒鹽噪聲等脈沖噪聲方面表現(xiàn)出色，能夠很好地保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，但對(duì)于高斯噪聲等連續(xù)噪聲的去除效果相對(duì)較弱。小波去噪則是利用小波變換將圖像分解為不同頻率的子帶，然后對(duì)高頻子帶中的噪聲進(jìn)行閾值處理，再通過(guò)小波逆變換重構(gòu)去噪后的圖像。小波去噪能夠在有效去除噪聲的同時(shí)，較好地保留圖像的高頻細(xì)節(jié)信息，對(duì)于復(fù)雜噪聲情況下的高光譜圖像去噪具有較好的效果。在對(duì)高光譜圖像和全色圖像進(jìn)行配準(zhǔn)時(shí)，確保兩者在空間位置上精確對(duì)應(yīng)至關(guān)重要。這是融合的基礎(chǔ)，因?yàn)橹挥袌D像在空間上對(duì)齊，后續(xù)的信息融合才具有意義。采用基于特征點(diǎn)匹配的配準(zhǔn)算法，通過(guò)提取高光譜圖像和全色圖像中的特征點(diǎn)，如尺度不變特征變換（SIFT）特征點(diǎn)或加速穩(wěn)健特征（SURF）特征點(diǎn)，然后利用特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出圖像之間的變換矩陣，從而實(shí)現(xiàn)圖像的精確配準(zhǔn)。SIFT算法通過(guò)檢測(cè)圖像中的尺度空間極值點(diǎn)，計(jì)算其特征描述子，然后通過(guò)特征描述子之間的匹配來(lái)尋找對(duì)應(yīng)點(diǎn)。SURF算法則是基于加速穩(wěn)健特征的提取，利用積分圖像和Hessian矩陣來(lái)快速檢測(cè)特征點(diǎn)，其特征描述子的計(jì)算也更加高效。通過(guò)這些特征點(diǎn)匹配算法，能夠準(zhǔn)確找到高光譜圖像和全色圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)的融合提供準(zhǔn)確的空間位置基礎(chǔ)。4.1.2低秩張量分解與融合低秩張量分解與融合是整個(gè)算法的核心部分，它通過(guò)對(duì)高光譜圖像和其他相關(guān)圖像進(jìn)行低秩張量分解，挖掘圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和信息，然后將分解后的低秩張量進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)高光譜圖像的融合目標(biāo)