6.2排列與組合6.2.1排列復習導入

在上節(jié)例8的解答中我們看到，用分步乘法計數(shù)原理解決問題時，因做了一些重復性工作而顯得繁瑣.能否對這類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢？為此，先來分析兩個具體的問題.l問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法？

此時,要完成的一件事是“選出2名同學參加活動，1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動”，可以分兩個步驟：

第1步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選1人，有3種選法；

第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從剩下的2人中去選，有2種選法.新知探索l問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法？

新知探索l

顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù).可以分三個步驟來解決這個問題：

第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；

第2步，確定十位上的數(shù)字，當百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法；

第3步，確定個位上的數(shù)字，當百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取，有2種方法.新知探索l

由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.新知探索l

新知探索l思考1：上述問題1，2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).

問題3：有12個車站，共需準備_____種客票.問題4：甲、乙、丙三人站成一排的站法共有____種.注：①互異性：選取的p個元素不能重復出現(xiàn).②有序性：要考慮元素的排列順序——判斷是否為排列問題的關鍵.③兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素和元素的排列順序完全相同.如：甲乙、乙甲是不同的排列.④p＜n時的排列叫選排列，p＝n時的排列叫全排列.12選2的選排列甲乙丙的全排列新知探索l

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列，123與132雖然元素相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.[例1]判斷下列問題是否為排列問題.(1)A,B,C三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同);(2)選2個小組分別去植樹和種菜;(3)選2個小組去種菜;(4)選10人組成一個學習小組;(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員.判斷是不是排列問題,要抓住排列的本質特征(1)取出的元素無重復.(2)取出的元素必須按順序排列.元素有序還是無序是判斷是不是排列問題的關鍵.[例2](1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù),共有多少個不同的兩位數(shù)?解:(1)由題意作樹形圖,如圖所示,故所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12個.(2)寫出從4個元素a,b,c,d中任取3個元素的所有排列.解:(2)由題意作樹形圖,如圖所示,故所有的排列為abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24個.[針對訓練]兩名老師和兩名學生合影留念,寫出老師不在左端且相鄰的所有可能的站法,并回答共有多少種.解:由于老師不站左端,故左端位置上只能安排學生.設兩名學生分別為A,B,兩名老師分別為M,N,此問題可分兩類:由此可知,所有可能的站法為AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8種.[例3](1)有7本不同的書,從中選3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法?解:(1)解決這個問題分三步:第一步,從7本書中,選一本給第一個同學,有7種方法;第二步,從剩下的6本書中,選一本送給第2名同學,有6種方法;第三步,從剩下的5本書中,選一本送給第3名同學,有5種方法,所以共有7×6×5=210(種)不同的送法.解:(2)解決這個問題分三步,第一步,從7種書中,買一本送給第一名同學,有7種送法,第二步,從7種書中,買一本送給第2名同學,有7種送法,第三步,再