人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)下第十八章

平行四邊形18.1.2第1課時(shí)

平行四邊形的判定1.經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過(guò)程，體會(huì)類(lèi)比思想及探究圖形判定的一般思路。（重點(diǎn)）2.掌握平行四邊形的三個(gè)判定定理，能根據(jù)不同條件靈活選取適當(dāng)?shù)呐卸ǘɡ磉M(jìn)行推理論證.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.ABCD四邊形ABCD如果AB∥CD

AD∥BCBDABCDAC問(wèn)題1

平行四邊形的定義是什么？有什么作用？可以用平行四邊形的定義來(lái)判定平行四邊形，如：情境導(dǎo)入問(wèn)題2

除了兩組對(duì)邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質(zhì)？平行四邊形的對(duì)邊相等.平行四邊形的對(duì)角相等.平行四邊形的對(duì)角線互相平分.邊：角：對(duì)角線：情境導(dǎo)入思考我們得到的這些逆命題是否都成立？這節(jié)課我們一起探討一下吧.問(wèn)題3

平行四邊形上面的三條性質(zhì)的逆命題各是什么？?jī)山M對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；情境導(dǎo)入知識(shí)點(diǎn)一

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形知識(shí)講解平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC已知：四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.ABCD連接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共邊)，∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3，∴AB∥

CD,AD∥

BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.證明：1423知識(shí)講解例1如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．證明：Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四邊形PONM是平行四邊形．知識(shí)講解例2如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說(shuō)明四邊形DAEF是平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形．知識(shí)講解例3如圖,

AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形．知識(shí)講解問(wèn)題我們知道，兩組對(duì)邊分別平行或相等的是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊，它們滿(mǎn)足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能成為平行四邊形呢？猜想1：一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.等腰梯形不是平行四邊形，因而此猜想錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形知識(shí)講解猜想2：一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.梯形的上下底平行，但不是平行四邊形，因而此猜想錯(cuò)誤.知識(shí)講解BA

活動(dòng)如圖，將線段AB向右平移BC長(zhǎng)度后得到線段CD，連接AD，BC，由此你能猜想四邊形ABCD的形狀嗎？DC四邊形ABCD是平行四邊形猜想3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.知識(shí)講解ABCD證明思路作對(duì)角線構(gòu)造全等三角形一組對(duì)應(yīng)邊相等兩組對(duì)邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.知識(shí)講解ABCD21證明：連接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.在△ABC和△CDA中,AB=CD，

AC=CA，∠1=∠2，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴BC=DA

.又∵AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.知識(shí)講解BDAC平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.知識(shí)講解

例1如圖

，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD是平行四邊形.知識(shí)講解例2如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求證：四邊形BFCE是平行四邊形．證明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中，AC＝BD,∠A＝∠D,

AE＝DF

,∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形．知識(shí)講解

如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，AD=CE，CD=BE．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）連接DE，求證：四邊形CBED是平行四邊形．證明：（1）∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴AC=BC.在△ADC與△CEB中，AD＝CE

,

CD＝BE,

AC＝BC,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四邊形CBED是平行四邊形．知識(shí)講解平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC知識(shí)講解已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°，∴AD∥BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.同理得

AB∥

CD，證明：知識(shí)講解例3如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．知識(shí)講解如圖,將兩根細(xì)木條AC、BD的中點(diǎn)重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點(diǎn)，做成一個(gè)四邊形ABCD.轉(zhuǎn)動(dòng)兩根木條，四邊形ABCD一直是一個(gè)平行四邊形嗎？BDOAC猜想：四邊形ABCD一直是一個(gè)平行四邊形.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形知識(shí)講解平行四邊形的判定定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BODAC知識(shí)講解ABCDO

已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)，OB=OD(已知)，∠AOB=∠COD

(對(duì)頂角相等)，∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO,∴AB∥

CD,AD∥

BC∴四邊形ABCD是平行四邊形.知識(shí)講解例4如圖，□ABCD

的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

BODACEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AOAE=COCF,即EO=OF.又∵BO=DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形.知識(shí)講解拓展探究

昨天李明同學(xué)在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，不小心碰碎了實(shí)驗(yàn)室的一塊平行四邊形的實(shí)驗(yàn)用的玻璃片,只剩下如圖所示部分,他想回家去割一塊賠給學(xué)校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來(lái)的平行四邊形重新在紙上畫(huà)出來(lái)?然后帶上圖紙去就行了，可原來(lái)的平行四邊形怎么給它畫(huà)出來(lái)呢(A,B,C為三頂點(diǎn),即找出第四個(gè)頂點(diǎn)D)？ABC知識(shí)講解DABC方法依據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.方法一：知識(shí)講解DABC方法依據(jù)：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.方法二：知識(shí)講解DOABC方法依據(jù)：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.方法三：知識(shí)講解1.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是()

A.兩組對(duì)邊分別相等B.兩條對(duì)角線互相平分C.兩條對(duì)角線相等D.兩組對(duì)邊分別平行2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么當(dāng)AO=_____cm,BO=_____cm時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形.BODACC45隨堂練習(xí)2.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接DE，EF，BF，寫(xiě)出圖中除?ABCD以外的所有的平行四邊形.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC，AD=BC.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE=BE=DF=FC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，四邊形EFCB是平行四邊形，四邊形BEDF是平行四邊形.隨堂練習(xí)3.如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴