用空間向量的方法解立體幾何問題高考考點(diǎn)考點(diǎn)解讀利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系1.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識證明平行與垂直2．考查向量的數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系以及建立空間直角坐標(biāo)系的方法利用空間向量求線線角、線面角、面面角以具體幾何體為命題背景，直接求角或已知角求相關(guān)量利用空間向量解決探索性問題或其他問題1.常借助空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)探求點(diǎn)的存在問題2．常利用空間向量的關(guān)系，設(shè)某一個(gè)參數(shù)，利用向量運(yùn)算探究平行、垂直問題備考策略本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)加強(qiáng)對空間向量概念及空間向量運(yùn)算律的理解，掌握空間向量的加、減法，數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算等．(2)掌握各種角與向量之間的關(guān)系，并會應(yīng)用．(3)掌握利用向量法求線線角、線面角、二面角的方法．預(yù)測命題熱點(diǎn)：(1)二面角的求法．(2)已知二面角的大小，證明線線、線面平行或垂直．(3)給出線面的位置關(guān)系，探究滿足條件的某點(diǎn)是否存在.知識整合1．向量法求空間角(1)異面直線所成的角：設(shè)a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則兩異面直線所成的角滿足cosθ＝____.(2)線面角設(shè)l是斜線l的方向向量，n是平面α的法向量，則斜線l與平面α所成的角滿足sinθ＝____.(3)二面角①如圖(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝____________.②如圖(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足______________________.(4)點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離d＝_________.2．利用向量方法證明平行與垂直設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)線線平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb?__a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2__.(2)線線垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝__0__?__a1a2＋b1b2＋c1c2＝0__.(3)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝__0__?__a1a3＋b1b3＋c1c3＝0__.(4)線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?__a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3__.(5)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝kv?__a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4__.(6)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝__0__?__a3a4＋b3b4＋c3c4＝0__.3．模、夾角和距離公式(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))__，cos〈a，b〉＝__eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))__.(2)距離公式設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).易錯(cuò)警示1．利用向量證明位置關(guān)系時(shí)，因沒有交代清楚定理的條件致誤利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系時(shí)，對于法向量的平行、垂直一定交代清楚涉及向量所在的直線、平面是否滿足定理的條件．例如證明l∥α，需要證明l的方向向量與平面的法向量垂直，但一定要交代l?α這一條件．2．在求角的時(shí)候忽略角的范圍致誤應(yīng)用空間向量求角的時(shí)候，易忽視異面直線所成角的范圍(0，eq\f(π,2)]；二面角的范圍[0，π]．3．角的理解和公式的記憶不準(zhǔn)確致誤在求異面直線所成的角的時(shí)候，注意異面直線所成角的應(yīng)是其方向向量的夾角或補(bǔ)角；二面角應(yīng)是其法向量的夾角或補(bǔ)角．空間向量求直線和平面的夾角公式是sinθ＝eq\f(l·n,|l|·|n|)(l是直線的方向向量，n是平面的法向量)．感悟真題，體會規(guī)律1．如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．2．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．3．圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖②中的二面角B－CG－A的大?。?．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且eq\f(PF,PC)＝eq\f(1,3).(1)求證：CD⊥平面PAD.(2)求二面角F－AE－P的余弦值．(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且eq\f(PG,PB)＝eq\f(2,3).判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．5．如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求證：BF∥平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E－BD－F的余弦值為eq\f(1,3)，求線段CF的長．規(guī)律總結(jié)利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系．(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素．(3)通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系．(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．跟蹤訓(xùn)練如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.利用空間求量求空間中的角典題例析(一)利用空間向量求線線角、線面角例2如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC.(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．(二)利用空間向量求二面角例3如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面ACE；(2)設(shè)PA＝1，∠ABC＝60°，三棱錐E－ACD的體積為eq\f(\r(3),8)，求二面角D－AE－C的余弦值．規(guī)律總結(jié)：1．利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)．(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．2．利用空間向量求線線角、線面角的思路(1)異面直線所成的角θ，可以通過兩直線的方向向量的夾角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.(2)直線與平面所成的角θ主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角φ求得，即sinθ＝|cosφ|.3．利用空間向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)或通過二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角．4．利用空間向量求點(diǎn)到平面距離的方法如圖，設(shè)A為平面α內(nèi)的一點(diǎn)，B為平面α外的一點(diǎn)，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).跟蹤訓(xùn)練如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的正弦值．.例4如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，(1)求證：D1E⊥A1D；(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D1－MC－D的大小為eq\f(π,6)？若存在，求出AM的長，若不存在，說明理由．規(guī)律總結(jié)：利用空間向量求解探索性問題的策略(1)假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論．(2)在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)