2024年廣東中山小欖中學(xué)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)5月月考

一、單選題

1.根據(jù)分類變量久與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到f=7.52.已知PJ226.635)=0.01,則依據(jù)小

概率值a=0.01的％2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷變量久與y()

A.獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率是0.01

B.不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率是0.01

C.獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01

D.不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01

2.已知變量x,y之間的線性回歸方程為9=2x+l,且變量x,y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，

則下列說法正確的是()

X2468

y58.213m

A.m=17

B.變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.該回歸直線必過點(diǎn)(5,11)

D.x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位

3.某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次

考試，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為/(%)=備e與等，X6R且P(70WXV

110)=0.8,則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為()

A.2000B.3000C.4000D.5000

5.某電視臺計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同

的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則

不同的播放方式有()

A.144種B.72種C.36種D.24種

9

6.對任意實(shí)數(shù)X,有%9=劭+%（%+1）+。2（久+1）2+。3（%+1）3T--1-a9（x+I）,則（）

A.cig=1B.a?=36C.cti+a2+…+cig=-1D.a。-a1+a2一,??一cig=-512

7.若函數(shù)/（為=歷（3，-x+1）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的最大值為（）

A.e-1B.e~2C.eD.—2

8.下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，

小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程

中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別

編號為0,1,2,3,4,5用X表示小球落入格子的號碼，則下面計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.P（X=O）=或B.P（X=5）.C.E（X）=|D.D(X)=：

二、多選題

9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的（）

A.3)'=二B.(￡)'=*C.［上(2久)D.(xexy=(%+l)ex

10.已知函數(shù)f（x）=意，則下列結(jié)論正確的是（）

A.x=e是函數(shù)/（%）定義域內(nèi)的極大值點(diǎn)

B./（久）在（l，e2］上的最小值為e

C.比=6是函數(shù)/（X）定義域內(nèi)的極小值點(diǎn)

D.fO）在定義域內(nèi)既無最大值又無最小值

11.已知事件A,B發(fā)生的概率分別為P（A）=LP（B）=2,則下列說法中正確的是（）

43

A.若A與8互斥，則P(AUB)=j1B.若A￡B,則尸(AB)=：

——11

C.若4與8相互獨(dú)立，則尸（AB）=—D.若尸（AB）=—,則A與8相互獨(dú)立

42

三、填空題

12.已知函數(shù)f（x）=#-x+|,則函數(shù)/（久）在［0,2］上的最大值為.

13.統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（〃，M）的隨機(jī)變量X只取口-3。，“+3可中的值，簡稱為

3c原則.假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（400，d）（單位:

g）,某天生產(chǎn)線上的檢測員隨機(jī)抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g,他立即判斷生產(chǎn)線出

現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修.由此可以得出，。的最大值是.

3

14.在高三的一個(gè)班中，有二的學(xué)生數(shù)學(xué)成績合格，若從班中隨機(jī)找出10名學(xué)生，那么數(shù)學(xué)成績合格的學(xué)

生人數(shù)則J~3,0,：）,則P（J=左）取最大值時(shí)k=

四、解答題

15.在（2x+2）n（n€N*）的展開式中，第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.

（1）求”的值

（2）求展開式中的第7項(xiàng).

16.某校舉辦乒乓球與羽毛球比賽，要求每個(gè)學(xué)生只能報(bào)名參加其中一項(xiàng).從報(bào)名參加比賽的學(xué)

生中隨機(jī)選取男生、女生各75人進(jìn)行調(diào)查，得到如下2x2列聯(lián)表

a0.10.050.010.0050.001

兒2.7063.8416.6357.87910.828

性別比賽項(xiàng)目合計(jì)

乒乓球組羽毛球組

男生502575

女生354075

合計(jì)8565150

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生選擇乒乓球還是羽毛

球是否與性別有關(guān)聯(lián).

（2）從調(diào)查的女生中，按組別采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取15人.若從這15人中

隨機(jī)抽2人，記X為抽到乒乓球組的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

2n^ad-bc)n=a+b+c+d

附：Z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.已知函數(shù)/'(x)=*—3bu：.

(1)求/(久)的最小值；

(2)設(shè)g(久)=/+：一3,證明：/(%)<5(%)

18.為了加快實(shí)現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該

公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y(單位：億元)的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1一

10分別對應(yīng)年份2013-2022.根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①y=bx+a,②丫=c+作為年研發(fā)投

入y關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù),

計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：

[10

表中公"7=6》

z-=i

(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回

歸方程模型？并說明理由；

(2)根據(jù)(1)中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)

投入.附：對于一組數(shù)據(jù)(x/%)，(x2>y2),???,(xn>yn),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線夕=A+嬴的斜率和截距的

f（%-可（％-刃

最小二乘估計(jì)分別為公=i=l.a-y-bx.

?（西-元『

1=1

八年研發(fā)投入歹（億元）

85■

80-????

75■.■??

70-?

65）-?

O12345678910年份代碼x

圖1

之10（七-寸101010

yFZ（%-方（圖—元）

?=1i=\Z=1Z=1

752.2582.54.512028.35

19.己知函數(shù)”%)=依2+—,若函數(shù)“X)在點(diǎn)處的切線方程為y=3.

（1）求a,b的值;

(2)求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(3)當(dāng)尤>0時(shí)，若存在常數(shù)f>0,使得方程/(x)=，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解石,々，求證：X1+X2>2.

參考答案

1.D2.C3.D4.B5.B6.D7.B

8.B

【解析】設(shè)4=“向右下落”，則％=“向左下落”，PQ4)=P(%)=%

因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶柎aX等于事件4發(fā)生的次數(shù)，

而小球下落的過程中共碰撞小木釘5次，所以X?8(嗎)，

對于A：P(X=0)=(1—)=或，故A正確；

對于B：P(X=5)=⑨=或，故B錯(cuò)誤；

對于C：=5x1=|,故C正確；

對于D：D(X)=5x^(1=故D正確；

故選：B.

9.A,C,D

10.B,C,D

11.A,C,D

【解析】對于已知與互斥，則=：+[=^,故正確，

A,ABP(4uB)431ZA

對于B,已知4UB,則P(8|4)=l,故P(4B)=；x1=>故B錯(cuò)誤，

對于C,若A與B相互獨(dú)立，則PQ4后)=P⑸xP⑻=(1—P(4))(l—P(8))=(1—J(1—|)=+

故C正確，

對于D,易知需=9P(%)=1故需=p(⑷，則A與B相互獨(dú)立，故D正確.

故選：ACD

12.6-

13.5

14.8

【解析】由數(shù)學(xué)成績合格的學(xué)生人數(shù)f~B(10，|),可得P(f=k)=Ct。?(I)""(1-|)10'=婚?奈

則滿足a>C片1■篇■且療o.a>制尸?篇"，

解得烏Wk〈軍且kGN*,所以k=8,

44

所以P（f=k）取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為8.

故答案為：8.

15.

（1）7

【解析】第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，即礙，或，第構(gòu)成等差數(shù)列.

所以2鬣=禺+鬃，即=n+且neN*,n>3.

整理，得?I?-9?i+14=0,解得?1=7或?1=2（舍去）.

（2）14%-2

/1、廠3

［解析］〃+1="（2X）7-1英）=27-C外7-/,

令r=6,則T7=2c外-2=14%-2,

故展開式中的第7項(xiàng)為14X-2.

16.

（1）與性別有關(guān)聯(lián)，理由見解析

150X(50X40-25X35)2

【解析】Z2=---?6.109gt；3.841,

75x75x85x65

故可以在a=0.05的情況下，得到該校學(xué)生選擇乒乓球還是羽毛球與性別有關(guān)聯(lián);

⑵蓑

【解析】女生中，乒乓球組與羽毛球組選取人數(shù)比例為35：40=7：8,

故選取的15人中，選取乒乓球組的有15x，=7人，選取羽毛球組的有15x=；=8人,

故X的可能取值為0,1,2,

P（X=0）=導(dǎo)/P（X=1）=等建,P（X=2）噫

故X的分布列為

X012

481

p

15155

數(shù)學(xué)期望為EX=0XA+1XS+2X*=3

1515515

3

33(X-1)

17.(1)因?yàn)?(x)=V—31nx,x〉0,貝ij/'(%)=3%2—二

X

令/(%)<0,得?！垂鈜l；令/'(%)>0,得％>1；

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,包)上單調(diào)遞增，

所以/(%)的最小值為/(l)=l-31nl=l.

2R3

(2)因?yàn)?(%)=%3-31n%,g(%)=d+——3,

%

2431

所以由/(%)〈g(x),得13-31nx?x3T----3,即ln%T----1>0,

XX

111Y-]

令/z(x)=lnx+——l,x>0,貝!!/z'(x)=-----7=~

XXXX

令h'(x)<0,得0<x<l；令〃'(％)>0,得尤>1；

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

則h(x)>/z(l)=lnl+l-l=0，即Inx+L-1NO恒成立，

%

所以/(x)Wg(x).

18?【解析】

18.

(1)選擇模型②，理由見解析

【解析】根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動(dòng)性很大，說明擬合關(guān)系較差；模型②的殘差波動(dòng)性很

小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.

(2)y=60,825+63&預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)投入86.025億元.

【解析】設(shè)C=后所以y=c+dt,

所以2=X=空=6.3,￡=y-dt=60.825,

所以y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=60.825+63五,

令％=16,則y=60.825+6.3X4=86.025,

即預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)投入86.025億元.

19.

bb

(1)因?yàn)?(%)=依2十一，所以—(%)=2以——y,

XX

/⑴=3Itz+Z?=3

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為y=3,所以，了，即

f(1)=0[2a-b=0

〃二1

解得’.

[b=2

2

(2)由(1)可得/Xx)=x92+—是定義域?yàn)?―8,0)U(0,+8),

X

m,,,、c22X3-22(X-1)(X2+X+1)

則/(%)=2x--3=——=--------二---------，

XXX

因?yàn)?+%+1=1%+工]+。>0,

I2)4

所以當(dāng)x<0或0<x<l時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)_f(x)>0,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,也).

(3)由(1)可得當(dāng)x>0