黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月

月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=i(l+i),則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量。=(x,l),b-(3,x),若Z/珠,則實(shí)數(shù)x=()

A.—y/3B.y/3C.+-\/3D.0

0jr

3.在V4BC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,若。=3,a=2,C=—,貝！jsin/=

()

A.—B.C.-D.—

3332

4.如圖，己知善=萬，就=5，元=4前，0=3赤，則無=()

5.已知向量萬，5滿足|刈=|司=2,\a+b|=2V3,則向量&在向量5上的投影向量等于()

1_1_1r1-

A.-uB.—aC.—bD.—b

2222

6.如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對岸

航行.已知船在靜水中的航行速度彳的大小為=6km/h,水流速度E的大小為

忖|=2km/h,船的速度與水流速度的合速度為人那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是

()

試卷第1頁，共4頁

A'

A

-----1

A.船頭方向與水流方向垂直B.cosv1；v2=--

C.|^|=4V2km/hD.該船到達(dá)對岸所需時(shí)間為3分鐘

7.在V/8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知17cos2-工6=。，J3.VABC

2

的外接圓直徑為4,貝IJV/8C周長的最大值為（）

A.4B.4+26C.8+473D.6石

8.在V48c中，已知4B=2,AC=3,若點(diǎn)。為V/BC的外心，點(diǎn)“滿足2詼=荻，則

AO-AM^（）

17511

A.—B.一C.—D.3

623

二、多選題

9.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若2/4,6//c?則&//-

B.若/心=彼.己且140,貝U）=不

C.在V4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,/>5是sin/>sin8的充要

條件

D.在V4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若acos/=bcosB,貝!]VN8C

是等腰三角形

10.在VN8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若c=3,b=l,4=三,角A的

平分線/D交5C于。，則下列說法正確的是（）

A.AD=-AB+-ACB.S.=—

44ABC2

0,?_3A/3n,._V21

C.A,D-.......D.cos^-A,nDC------

87

11.在V/BC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為“，b,c,且tan4+tanB=--一,則下

acosB

列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

71

AA.AJ=-

4

B.若V/BC為銳角三角形，且6=2,則該三角形面積的范圍為(1,2)

C.設(shè)麗=」一就，且AD=1,則6+2c的最小值為我

2b+c7

D.若V48c的面積為2,a,b,c邊上的高分別為4,h2,h3,且4%為=，，則〃的

最大值為16收+16

三、填空題

12.設(shè)zeC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足lV|z|V3的點(diǎn)Z的集合形成的圖形面積

為.

13.已知V/8C的三個(gè)內(nèi)角N、B、C所對的邊分別是。、b、c,且0:6:c=2:3:4,貝!]VN8C

的最小角的余弦值為.

14.在VN8C中，|直+齊心|=12,|就+與|=6,PA+2PC^mAB>m&R,則VN8C面

積的最大值為,此時(shí)而.蘇的最小值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/'(》)=麗?萬，向量應(yīng)=(2sinx+6cosx,sinx),拓=(cosx,-石sinx).

(1)求函數(shù)/(無)的周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；

TTTT

(2)當(dāng)-y,y,求函數(shù)〃尤)的值域.

16.已知向量3=(1,2),1=(加,3),c=(7,-5),且R-3山昆.

⑴求百司；

⑵求向量1與訝-3的夾角的余弦值.

17.已知V/BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若c=3,a2+c2-ac=b2,D

為線段NC中點(diǎn)，且晅.

2

⑴求。；

(2)求sin4值.

18“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)發(fā)展理念，哈三中學(xué)生發(fā)展中心開

展“播種校園綠色，守護(hù)綠色校園”種植活動.已知教學(xué)樓下有一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形

試卷第3頁，共4頁

空地/02進(jìn)行改造.如圖所示，平行四邊形OMW區(qū)域?yàn)閷W(xué)生的休息區(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤熬G

植”區(qū)域，點(diǎn)尸在弧上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段CM和線段03上，且|0/|=50m,

7T

ZAOB=-,設(shè)公OB=0.

7T_

(1)當(dāng)e=z時(shí)，求而.而的值；

0

(2)請用。表示線段0N的長度，并寫出學(xué)生的休息區(qū)域OMPN的面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

(3)擬在陽影停域種植一些花草，費(fèi)用為6元/n?,求總費(fèi)用少關(guān)于6的函數(shù)關(guān)系式，并求其

最小值.

19.定義：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若非零向量位=(°力)，函數(shù)的解析式滿足

f(x)=asinx+bcosx,則稱/(x)為兩的伴隨函數(shù)，而為/(無)的伴隨向量.

⑴若向量而為函數(shù)/(x)=2sin[+的伴隨向量，求前的坐標(biāo)；

(2)若函數(shù)“X)為向量兩=(24,7)的伴隨函數(shù)，在VN8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,〃C)恰好為函數(shù)〃x)的最大值.

(i)若N/CB的角平分線交N2于點(diǎn)。，c=2,求的最大值；

(ii)在銳角V/8C中，求7=反+：的范圍.

ab

試卷第4頁，共4頁

《黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案BCABCCBAABDAD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】計(jì)算出z=-l+i,則可選出答案.

【詳解】z=i（l+i）=-l+i,

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（-U）,在第二象限.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄縕=Q,1),3=(3,x),a!lb

所以/=3,得x=+V3.

故選：C

3.A

【分析】利用正弦定理即可得到答案.

【詳解】由正弦定理二----,得..〃smCVj.

sinZsinCsm4=--------

c"T

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算法則即可求出.

【詳解】由前^4麗，得皮=：前=：（就一方），而歸=3行，

—?—?—?3（—?—1—?（31、一?3—?5—3

所以。￡=Z）C+CE=—/C—+—C4=------\AC——AB=——b——a

4、>3（43）4124

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算得到小3=2,再利用投影向量的定義，即可求解.

【詳解】因?yàn)閨,|=出1=2,|3+J|=2j§,^]\a+b^=a2+2a-b+b2=12,

即4+2無萬+4=12得至!1展6=2，

答案第1頁，共14頁

a-bb1f

所以&在讓的投影向量是W?網(wǎng)=5,,

故選：c.

6.C

【分析】先根據(jù)航程最短的條件確定船頭方向，再利用向量關(guān)系求cos〈G，g〉、合速度后|以

及渡河時(shí)間.

【詳解】當(dāng)航程最短時(shí)，船的實(shí)際航線應(yīng)垂直河岸，此時(shí)船在靜水中的速度G應(yīng)斜向上游，

船頭方向與水流方向不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

設(shè)船在靜水中的速度又與水流速度用的夾角為凡因?yàn)榇膶?shí)際航線垂直河岸，所以斗、v2

與合速度恐構(gòu)成直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得年HEcos(l80°-。).

已知口|=6km/h,收21=2km/h,貝2=6cos(180°-0),即cos(180°-6)=；,根據(jù)誘導(dǎo)公式,

可得—cos6=],所以cos6=—即cos"],%〉=—§x—彳，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由G、馬與合速度行構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可得W|=Jlk『-1用f.

將口|=6km/h"引=2km/h代入，可得|/|=-2?=J36-4=后=4瓜m/h，C選項(xiàng)

正確.

Q41

河寬1=400米=0.4千米,合速度|M|=4V5km/h,可得/=不方=io也

將氣h換算為分鐘,所以：點(diǎn)X60=36■分鐘w3分鐘，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

7.B

【分析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出角A,再結(jié)合正弦定理求出邊

最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出V/2C周長的最大值.

【詳解】已知acosB-‘6=c,由正弦定理可得。=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC.

2

將其代入已知條件可得:sinNcos8-'sin8=sinC.

2

因?yàn)?+B+C=7i,刃口么sinC=sin(兀~(A+B))=sin(4+B).

則sinAcos5-』sin8=sin4cosB+cos4sin5,移項(xiàng)可得一工sin5=cosAsinB.

答案第2頁，共14頁

因?yàn)榕_￡(0,兀)，所以sinBwO,兩邊同時(shí)除以sinB可得cosZ=-；.

又因?yàn)?40,兀)，所以/=吃.

己知V/8C的外接圓直徑為4,即2尺=4,由正弦定理可得

a=2RsinA=4xsin-=4x^-=26.

32

7T

6=2Ksin5=4sin5,c=2AsinC=4sinC.且。=兀一/一5二——B.

3

貝！JVABC的周長上=a+b+c=273+4sinB+4sin(^-5).

根據(jù)兩角差的正弦公式和輔助角公式，可得：

/T1

L=2g+4sin5+4(-^-cos5—^sin5)=2^+4sinB+2-^cos5-2sin5

=2g+2sinB+26cosB=2G+4sin(B+g

因?yàn)锽e(O,g,所以8+1嗚爭.

當(dāng)3+三=1,即8=6時(shí)，sin(B+；)取得最大值1.

此時(shí)V/2C周長的最大值為26+4x1=4+26.

故選：B.

8.A

【分析】將而用商與就表示出來，再利用外心的性質(zhì)求出前.萬與加.就，最后根

據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算求出粉應(yīng).

【詳解】已知2而？=標(biāo)，即兩=；齊心.

根據(jù)向量加法的三角形法則可得而=刀+詼，將9代入可得：

_____??1____?____,1____?____?O____?1____?

AM=JB+-BC=AB+-(AC-JB)=-AB+-AC

3333

設(shè)。為中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)。為V/8C的外心，則。即麗.標(biāo)=().

又因?yàn)橥?君=(1萬+而＞萬=詼?益+方。刀.

由于萬。萬=0，S.AD=^AB,則而.方二；2瓦方=：兩2.

—■—?1,

已知/B=2,所以/O-4B=—x2?=2.

2

同理，設(shè)￡為NC中點(diǎn)，則》?就=(荏+的)=+的?就.

答案第3頁，共14頁

因?yàn)橛?/=0，SLAE=^AC,所以而?蕭就

已知力。=3,所以力。?4。=5乂32=5?

____2—?1___

將+代入刀.而可得：

—?----?—.2—?1—?2—?—?1-.—??1Q438917

AO^AM=AO^（-AB+-AC）=-AO-AB+-AOAC=+2+詼=t=t=——

333333232666

故選：A.

9.ABD

【分析】A選項(xiàng)零向量和任意向量平行，若3=0，即便1//B且B//H，）與也不一定平行.

B選項(xiàng)2?,=B?,可化為（萬-B）./=o,這只能說明與］垂直，不能得出萬=幾

nh

C選項(xiàng)正弦定理--=——=2R,大角對大邊，/>2則。>6,能推出sin/>sin8；反之

sm/sm8

也成立，所以是充要條件.

D選項(xiàng)由正弦定理把。cos/=bcosB化為sin24=sin28,因?yàn)?/,2Be（0,2兀），所以2/=26

或24=兀-28,三角形可能是等腰或直角三角形.

【詳解】當(dāng)月=0時(shí)，對于任意向量&和3都有1//B且彼/分，但此時(shí)4與己不一定平行.所

以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由&2=力己可得根據(jù)向量數(shù)量積的分配律，即m-B）e=o.

當(dāng)己力。時(shí)，只能說明與1垂直或者）=心B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

在V4BC中，根據(jù)正弦定理—一二—=一—=2R（H為V45C外接圓半徑），可得

sinAsmBsmC

a=2Rsin/,b=2RsinB.

若4>B,則（大角對大邊），即2RsinZ〉2AsinB,所以sin4〉sin5；反之，若

sinA>sinBf則2Rsin/>22?sinR,即a>b,所以4>8.

因此，是sin/>sinB的充要條件，。選項(xiàng)正確.

已知QCOS/=bcos5,由正弦定理b=2R,可得a=2EsinZ,b=2RsinB,貝lj

smAsinB

2RsinAcosA=2RsinBcosB,KPsin2A=sin2B.

因?yàn)?"￡（0,兀）,所以242340,2兀），那么2/=25或24=71—2瓦

當(dāng)2/=23時(shí)，A=B,V4BC是等腰三角形；

答案第4頁，共14頁

7T

當(dāng)2/=71-28時(shí)，A+B=-,V48c是直角三角形.

2

所以僅由acos/=bcos3不能得出VABC一定是等腰三角形,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

10.AD

【分析】對于選項(xiàng)A,用角平分線定理得當(dāng)=下==,推出麗=:瑟，再把而用武與

DCAC14

___,1jr

%表示.對于選項(xiàng)B,用三角形面積公式S=]bcsin4,代入b=l,c=3,計(jì)算面

積判斷.對于選項(xiàng)C,根據(jù)5皿=S“BD+Sq分別表示出三個(gè)三角形面積列方程求AD.對

于選項(xiàng)D,先在用余弦定理求AD,再求5C、CD,最后在△45。用余弦定理求

cosZADC.

【詳解】在V/8C中，是角A的平分線，則黑=嚕.

BD3—?3—?

已知c=3,b=1,即45=3,AC=1,所以---=—,那么5。二—5C.

DC14

因?yàn)槎?方+而=方+3而=方+3同心一徑)=匕5+次,所以選項(xiàng)A正確.

4444

根據(jù)三角形面積公式SMBC=；6Csin/.

已知c=3,b=l,N=g,則s=J_xix3xsin色=*3乂"=逋79，所以選項(xiàng)B

3232242

錯(cuò)誤.

因?yàn)镾?ABC=^AABD+S/CD-

ory1A1A

由名，4=詈，S^ABD=-AB-AD-sm-,S^ACD=-AC-AD-sin-,可得

3A/31.兀1.兀

---=—xADx3xsin—H--xADxlxsin—?

42626

即￡l=Lx/Ox(3+l)xL,^-=AD,解得逋。迪，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

422448

A

在AABD中，根據(jù)余弦定理BD1=AB2+AD2-2AB-AD-cos-.

由前面計(jì)算可知ND=士8,AB=3,cos-=cos-=^,貝U

4262

SD2=32+(—)2-2X3X^X所以BD二班.

442164

在△48。中，再根據(jù)余弦定理求cosN/OC,cosZADC=AD+CD~AC,CD=-BC,

2ADCD4

答案第5頁，共14頁

3C2=^S2+^C2-2y45-yiC-cos^=32+l2-2x3xlxcos-=7,所以BC=V7,CD=—.

34

2￥JjH

則c°s^C=44a=七步=群—,所以選項(xiàng)口正確?

2x------x------------------

4488

故選：AD.

11.ABD

【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得到sm°=.smC從而得到tan/=l,求

出/=；判斷A,利用V/BC為銳角三角形求出Bl(：,$,再結(jié)合正弦定理和三角形面積公

式表示出S“BC，最后利用正切函數(shù)性質(zhì)求解取值范圍判斷B,將麗就變形為

AD=-^-AB+^—AC,兩邊平方后得到，+弓=,8+2后,再利用基本不等式“1”的妙

用求解最值判斷c,利用三角形面積公式，得到左=4后，/=444=g=逑，利用余

abca

弦定理及基本不等式求出a2>872-8,從而求出/的最大值判斷D即可.

【詳解】對于A,由題意得tan4+tan5=---------,

acosB

,—r、Efsin/sin5sinC

由正弦定理可得——-+—-=—-——-)

cosAcosBsinZcos6

sinAsinB_sin/cosB+cos4sinB_sin(4+B)_sinC

rnj?——=

cosAcos3cos4cos3cos4cos3cos/cos8

sinCsinC__口「?十八曰小有

故--------------------,因?yàn)?M＜。＜兀且cosB位于分母位置，

cosAcosBsinAcosB

所以sinCwO,cos5wO,得到一--二一-一,

cosAsinA

即tan/=l,又0＜4＜兀，所以4=故A正確，

4

對于B,因?yàn)閂/3C為銳角三角形，所以。<8<],0<C<1,

而C=1-8e(0g),解得耐(；令，

由三角形面積公式得SABC=-x^xcx2=旦,

“BC222

JI

2

由正弦定理得白，解得2sinC_2sin('+4),

smBSmC0=飛『sin8

2(fsinB+gwsB)

V2sinB+A^COSB也,

sin5sinBtanB

答案第6頁，共14頁

則S“BC=1+」，因?yàn)?1(：與，所以tanBe(1,+8),

tan542

則」e(0,1),故i+」e(l,2),即故B正確,

tan6tan6

對于C,因?yàn)辂?一^—前，^AD-AB=—^-—(AC-AB

2b+c26+c'

(2bc

得到石_赤=一^%———AB,故Z5=AB+AC

2b+c2b+cc+2bc+2b

22

462c2cb462c22

----------T+------------------------------------HX

(c+2b)2(c+2b)2(c+2b>2

862c2?2c2b2?4?2c2：](10+4V2)^r

J2(c+26)22(c+26)22(c+2b)2-'討2(c+2b?

故(c+26>=(5+2收)6?。2,c+26=75+20加，

則"2C=7I室(b+2c)

=,5+—+—5+2

V5+2V2Vbc

當(dāng)且僅當(dāng)6=。時(shí)取等號，所以b+2c的最小值不為隨，故C錯(cuò)誤,

7

對于D,結(jié)合三角形面積公式得1=2,g帥2=2,3=2,

222

r174,44j64

則%=一,%=7，47=—，岫rr2%=~'

abcabc

==

又因?yàn)镾AABC=sin/=gbc-~^~~^~2,所以6c=4^/2，

結(jié)合余弦定理得a2=b2+c2-6bc>2bc-^2bc=(2-物x4力=8亞-8,

貝卜=4〃/3=g=述

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等號成立,

abca

得至lj_128<128_128(8亞+8)_128(8五+8)

=16逝+16,故D正確.

一/一8亞-8一(8尬-8)(8/+8)-64

故選：ABD

12.87t

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義確定點(diǎn)Z的集合所表示的圖形，再根據(jù)圓的面積公式計(jì)算

該圖形的面積.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為|2|.

答案第7頁，共14頁

已知l?|z區(qū)3,這表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離大于等于1且小于等于3,所以點(diǎn)Z的集合形成的

圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑。二1和半徑弓二3的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)(包括內(nèi)外圓周).

半徑為3的圓的面積S?=71X3?=9兀，半徑為1的圓的面積H="仔=兀.

所以圓環(huán)的面積S=S2—S]=9兀一兀=8兀.

故答案為：871.

7

13.-/0.875

【分析】由題設(shè)可得A最小，利用余弦定理可求其余弦值.

【詳解】因?yàn)椤?b:c=2:3:4,故可設(shè)a=2左,b=3鼠c=4左4>0),

因?yàn)椤?lt;b<c，

故答案為：.

O

39

14.12——

5

【分析】作出輔助線，利用向量線性運(yùn)算得到|萬4=6,|反卜12,利用三角形面積公式求出

最值.再建立坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)知識求最值即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)45為線段。石的三等分點(diǎn)，因?yàn)?/p>

|拓+就|二|加+%-函=|29+%|=|方+%|=|反>12,

|就+函■通+前-麗|=|2萬+就H麗+就|二衣|=6，

則邑雙=；⑤3=3/9?『琲由功以43912X6=12,

當(dāng)且僅當(dāng)NOCE=90。時(shí)，等號成立，

故V48c面積的最大值為12.

由于/。位=90。，|皮|=6,|反;|=12,則點(diǎn)42為線段DE的三等分點(diǎn)，

則。(0,6),￡(12,0),/(4,4),3(8,2),C(0,0),設(shè)P(x,y),由四+2定=優(yōu)冠得，

(4一x,4—y)+2(-x,—y)=m(4,-2),Bp(4-3x,4-3y)=(4m,-2m),

貝1」4-3%=4加,4-3、二一2加,mGR,得4-3x=-2(4-3y),

整理得至！J,%+2y—4=0,則尸(一2y+4/).

貝U而同=(4+2y,2-y>(2y,4_y)=(4+2y)(2y)+(2_y)(4_y)=5y、2y+8,

答案第8頁，共14頁

―?—?1o39—?-?39

即心.4=5「+2^+8=5(歹+二)2+不，meR,則歹ER,則尸

139

當(dāng)X-玄時(shí)，麗衣取得最小值，最小值為三

39

故答案為：12；—.

4P

cE^X

57r7i

15.⑴最小正周期為萬，單調(diào)遞增區(qū)間為k兀一五上兀+石，kwZ.

⑵HM

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換得〃x)=2sin(2x+qj,從而得到

其最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

7TTT

(2)利用整體法得2x+§e，萬,從而得到其值域.

【詳解】(1)fW=(2sinx+y/3cosxjcosx-\5-sin2x

=2sinxcosx+\^~cos2x-^-sin2x

=sin2x+6cos2x=2sin2x-\----,

I3j

則其最小正周期為T=m27r=%，

.’)1)1')1

令2k兀----<2xd——<2k兀+一%￡Z,

232

S77Jr

解得k兀------<x<k7i-1-----,keZ,

1212

547T

則其單調(diào)遞增區(qū)間^-―,^+—,keZ.

(2)因?yàn)?貝+一飛，冗,

則其值域?yàn)?sin2sin|,即卜百,2].

16.(1)7130；

力3V10

--io-,

【分析】(1)利用向量加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出加的值，再利用向

答案第9頁，共14頁

量的模長公式計(jì)算即可.

（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算向量的夾角.

【詳解】（1）由題意，a-3ft=（l-3m,-7）,c=（7,-5）,

因?yàn)樗?一3勺1=7（1-3加）+35=0,解得〃？=2.

則B=(2,3),2B-"=(-3,ll),

所以|2行一己|=’(一3/+112=底.

(2)由(1)可知，3=(2,3),=

a-\a-b)-1-23師

所以COS（4,4

麗一「耳/10

故向量”與^的夾角的余弦值為-嚕.

17.⑴”2；

⑵理.

【分析】（1）根據(jù)余弦定理得8=g■7T,再利用向量中線定理和數(shù)量積運(yùn)算律即可得到答案;

（2）首先求出6=療，再利用正弦定理即可得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)閍?+/-0C=6?,貝U〃+C2-/=℃,

貝IcosB='d=—ac=-1,

laclac2

因?yàn)?e(O/),所以8=(.

因?yàn)辂?：(0+就)，則而2=:(或+就

即BQ=~^BA+2BABC+BC卜

即*112c兀2

—c+2acxcos—+a，代入。=3,化簡得/+3?+3〃=19,解得Q=2或-5（舍去）,

43

則。=2.

答案第10頁，共14頁

B

(2)^^Ja2+c2-ac=b2,即2?+3?-2x3=/，解得6=77.

根據(jù)正弦定理得已=乙，即可=耳，解得sinN=也.

sinAsmB——7

0<e<5S=W(sm26+當(dāng)一土,。"〈土

3633

(3)W=-5000V3(sin2。+。+2500兀+250073,0<0<~；%。=2500(兀-G)

63

【分析】(1)在AOPM中由正弦定理求得尸M,(W,即可由數(shù)量積的定義求得結(jié)果；

(2)在AO尸M中由正弦定理用6表示結(jié)合三角形的面積公式，即可求得結(jié)果,

再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取得最大值時(shí)對應(yīng)的仇

(3)根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形面積，進(jìn)而求出陰影部分面積，得到費(fèi)用函數(shù)關(guān)系式,

借助三角函數(shù)性質(zhì)求最值即可.

7T2717T

【詳解】(1)根據(jù)題意，在尸M中，/MOP=7，/PMO=——，/MPO=7,又8=50,

636

50PMOM

OPPMOM

故由正弦定理可得：V311

sinZPMOsinZMOPsinZMPO

222

解得PM=OM=ON=1°必

3

50也50611250

故同頡=OMxONxcos/AOB=---X----X—

3323

27r7T

(2)在△OPN中，NONP=——,NOPN=——0,

33

ON50

ONOP日…7IOOA/3.71

由正弦定理得'即sin.2兀，即ON=------sin

sin/ONP1-6?sm—

sinZOPN333

則停車場面積

5

S=2s“OPN=o尸.ON?sin6=50X^y^sin[￡°]sin8=°Q°^in/inf『9

答案第11頁，共14頁

=5000Gsi“sin71e,其中o<e《,

3

S=?smesinj3s?4旦。s"4ne］

3(3)322

=3asmOc°so，m2。］

3122J

=5000^^sm2,+lcos2,_lL2500^^sin2,+lcos2._n

3(444J3(222J

="］（sin26+%f="（sin26七）差.

貝US=2500G（sin2。+-）-您。8,o<6><-.

3633

（3）設(shè)陰影部分面積為S陰影，扇形空地/OB面積為S扇形，則S陰影=S扇形-S.并且

1兀1250

秘=一x一x502=----兀

形23

而。1250250073..“兀、125073_0兀

則

少=6S陰影=6("?無一"啖:(sin26^,12^鳴=-50006sin2分/2500*250073

,貝！］沙=-5000V3(sin20+-)+2500兀+2500^3,0<6><-.

63

―.、r八/八/兀LLt、t兀c八兀5兀

因?yàn)?<0<；,所以:<29+：<L，

3666

則當(dāng)2。+2=力即。==時(shí)，-5000?sin28+。取得最小值，則總費(fèi)用少取得最小值.

6266

求得%。=-500073+2500n+250073=2500兀一25004=2500(兀-百).

19.⑴兩=（百,1）;

4

⑵⑴H；

「12768A

（ii）人T'TT?J

【分析】（1）利用兩角和正弦公式展開結(jié)合題意即可求解；

（2）⑴利用輔助角公式結(jié)合題意可求角C,利用等面積法可表達(dá)出角平分線長，結(jié)合余弦

定理和基本不等式可求出最大值；

答案第12頁，共14頁

(ii)利用正弦定理邊化角，再利用內(nèi)角和消元，再利用和差化積和積化和差公式，再利用熟

悉函數(shù)的單調(diào)性可求出值域.

【詳解】(1)由已知得：/(x)=2sin[x+E]=2(sinxcos"cosxsin3=&inx+cosx,

根據(jù)題意可知：而二(后1)；

(2)⑴根據(jù)題意由0M=(24,7)可知:/(x)=24sinx+7cosx,

利用輔助角公式得：/(%)=25sinx+(cosx)=25sin(x切),

724

其中sin(p=—,cos(p=—,

當(dāng)1+9=5時(shí)，/(x)取到最大值/(C),

jr24

所以C+9=5,貝［jsinC=sinCOS(p=-j

25

71夕"sin夕二春

同理cosC=cos

由二倍角公式得：cosC=2cos2--1=—=>cos2-=—sin2-「nsiJq,

如圖，由三角形面積可得:S…SZ何吟今皿