解答題專項(xiàng)練：與對(duì)稱有關(guān)的最值模型歸納練2025年中考數(shù)學(xué)

三輪復(fù)習(xí)備考

1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,D、E分別是AB和BC上的點(diǎn).把△ABC

沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B，

(1)如圖1,點(diǎn)B，恰好落在線段AC的中點(diǎn)處，求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)B，落在線段AC上，當(dāng)BD=BE時(shí)，求B，C的長(zhǎng)；

(3)如圖3,E是BC的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出AB，的最小值

AAA

-

ok

圖1圖2圖3

2.請(qǐng)用圖形變換(對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn))解決下列各題:

>1|

A

APn^7P

S~-------------生0EF

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形A8CD中，AD//BC,CDLBC,ZABC=60°,AD=8,BC=12,若

P是邊上的任意一點(diǎn)，則ABPC周長(zhǎng)的最小值為一

(2)如圖2,已知M(0,1)、P(2+面，3)、E(a,0)、F(a+1,0),問(wèn)a為何值時(shí)，

四邊形PMEF的周長(zhǎng)最??？

(3)如圖3,尸為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB=2,PC=3,ZBPC=150°,M、N為邊A3、

AC上的動(dòng)點(diǎn)，且請(qǐng)直接寫(xiě)出PM+PN的最小值.

3.如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF〃:BC交

BE的延長(zhǎng)線于F,連接CF.

（2）若NBAC=90。，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的情況下，點(diǎn)M在AC線段上移動(dòng)，請(qǐng)直接回答，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到什么位置時(shí),

MB+MD有最小值.

4.如圖，二次函數(shù)、=以2+"+1的圖象交x軸于點(diǎn)A（-2,0）、3（1,0）,交,軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。

是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E〃y軸交x軸于點(diǎn)E,線段CB的延長(zhǎng)線交。E于

點(diǎn)、M,連接31、BD交于點(diǎn)、N,連接AD.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)S.OEM=S的E時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)及sin/D4E；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)尸是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DP+^AP的最小值.

如圖，已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè)），與y軸交于

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

(1)求點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸/上的-個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APBC周長(zhǎng)的最小值；

(3)若點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A.C不重合)，過(guò)點(diǎn)E作無(wú)軸的垂線，與拋物

線交于點(diǎn)E與x軸交于點(diǎn)G.則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在E尸=2EG?若存在，求

出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/是第一、三象限的角平分線.

(1)由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(2,0),請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明

B(5,3)、C(-2,5)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)的位置，并寫(xiě)出他們的坐標(biāo)：B'

C_________

(2)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,6)關(guān)于第一、三

象限的角平分線I的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(不必證明)；

(3)己知兩點(diǎn)。(1,-3)、E(-1,M),試在直線L上畫(huà)出點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離

之和最小，求QD+QE的最小值.

7.如圖1所示，正方形ABCD的面積為S,AABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD

內(nèi)，AC是對(duì)角線，點(diǎn)P是AC上任意一點(diǎn)，連接PD、PE.

試在圖2中通過(guò)作圖標(biāo)使PD+PE最小的點(diǎn)P的位置(保留作圖痕跡)，并求出PD+PE最小

值為多少？

圖1圖2

8.如圖1,平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))兩點(diǎn)的

(1)求平行四邊形ABCD的面積;

(2)若P是第一象限位于直線BD上方的一點(diǎn)，過(guò)P作于E,過(guò)E作軸于

H點(diǎn)，作PFUy軸交直線BD于F,F為BD中點(diǎn)，其中△PEF的周長(zhǎng)是4+4&;若M為線

段AD上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接HN,NM,求“N+MW-叵。M的最小

10

值，此時(shí)y軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G,當(dāng)|CG-MG|最大時(shí)，求G點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在(2)的情況下，將小AOD繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到AA，8,如圖2,將線段

沿著x軸平移，記平移過(guò)程中的線段OD為O'。"，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S,使

得以點(diǎn)O',D",E,S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.問(wèn)題探究

(1)如圖①，在△ABC中，AB=AC,/B=30。，AB=3,則的長(zhǎng)為；

(2)如圖②，四邊形ABC。中，DALAB,CB±AB,AD=3,AB=5,BC=2,P是邊4B

上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+P。的最小值；

問(wèn)題解決

(3)某山莊有一營(yíng)地，如圖③，營(yíng)地是由等邊AABC和弦與其所對(duì)的劣弧圍成的弓形

組成的，其中AC=600m,AB所對(duì)的圓心角為120。，點(diǎn)。是48上的一個(gè)取水點(diǎn),A￡)=200m,

連接CO交AB于點(diǎn)工管理員計(jì)劃在今石上建一個(gè)入口P，在P。、尸8上分別建取水點(diǎn)M、

N.由于取水點(diǎn)之間需按D-M-NT。的路徑鋪設(shè)水管，因此，為了節(jié)約成本要使得線段

DM、MN、柳之和最短，試求DW+MN+N。的最小值.

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

AD

C

10.熱愛(ài)學(xué)習(xí)的小明同學(xué)在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：

在X軸上有兩個(gè)點(diǎn)它們的坐標(biāo)分別為6，0）和（c,。）.則這兩個(gè)點(diǎn)所成的線段的長(zhǎng)為

-c|；同樣，若在y軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,6）和（0,d）,則這兩個(gè)點(diǎn)所成的線段的長(zhǎng)

為|b-d|.如圖1,在直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P2,其坐標(biāo)分別為（a,b）和（c,d）,

分別過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中直角邊PiQ=\a-c\,P2Q=\b

-d\,利用勾股定理可得：線段PR的長(zhǎng)為-域+0-

根據(jù)上面材料，回答下面的問(wèn)題：

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6,-1）,B（6,5）,則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)；

（2）若點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（-3,0）,且8=6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是二

（3）如圖2,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,0）,點(diǎn)C是y軸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上，求△ABC周長(zhǎng)的最小值.

11.如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)E,ZDAB=ZCDB=9Q°,ZABD

=45°,Z￡)CA=30°,AB=yj6.

(1)求AE的長(zhǎng).

(2)求△AOC的面積.

(3)若。是A8的中點(diǎn)，尸是。8邊上的點(diǎn)，連接A尸和P。得至UAAPQ,試探究AAP。的周

長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出AAP。周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方形0ABe，點(diǎn)C(0,4),將長(zhǎng)方形。42c沿AC折疊，

使得點(diǎn)B落在點(diǎn)。處，C。邊交x軸于點(diǎn)E,NO4c=30。.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2,在直線AC以及y軸上是否分別存在點(diǎn)M,N,使得AEMN的周長(zhǎng)最?。咳绻?/p>

存在，求出AEMN周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)尸為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線AP交直線CD于點(diǎn)Q,是否存在點(diǎn)P使得△CP。為等

腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出N。4P的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2備用圖

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是卜班,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(0,1),點(diǎn)3和點(diǎn)

C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)尸是直線A3位于y軸右側(cè)部分圖象上一點(diǎn)，連接CP,已知

c—J_V

n^BPC_2AABC?

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

(2)如圖2,△AOC沿著直線AC平移得A4OC,平移后的點(diǎn)?與點(diǎn)C重合.點(diǎn)尸為直

線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸尸+!尸C'的值最小時(shí)，請(qǐng)求出尸尸+!尸C'的最小值及此時(shí)點(diǎn)產(chǎn)的坐

22

標(biāo)；

(3)如圖3,將△P3C沿直線P4是翻折得APBG,點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一動(dòng)點(diǎn)，在直線P4上

是否存在一點(diǎn)使得以點(diǎn)“、N、尸、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線A8與x軸交于點(diǎn)A(加，0),與y軸交于點(diǎn)8(0,

71),且相，"滿足：+")2+|71—6|=0.

(1)求：①機(jī)，〃的值；②S/A8E的值;

(2)。為OA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以8。為直角邊作等腰直角△8DE,連接EA,求直線EA

與y軸交點(diǎn)廠的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，且ZOAE=30°,AF平分/OAE,點(diǎn)M是射線

AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段。4上一動(dòng)點(diǎn)，試求0M+MN的最小值(圖1與圖2中點(diǎn)A的

坐標(biāo)相同).

15.如圖，在MAABC中，ABAC=90°,NC=30。，BC=4,。。是VABC的外接圓，D

(1)求證：DA是。。的切線；

(2)OP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，/3PC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，尸3+PC的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值；若不能,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

《解答題專項(xiàng)練：與對(duì)稱有關(guān)的最值模型歸納練2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考》參考答案

1.(1)|；(2)3；(3)773-3

【分析】(1)設(shè)CE=x,則BE=6-x；在RtABCE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解

方程即可解決問(wèn)題.

(2)如圖2中，作BHLAB于H.連接BBI首先證明BC=BH,設(shè)BC=BH=x,構(gòu)建方

程即可解決問(wèn)題.

(3)如圖3中，連接AE,EB\AB\在△AB舊中，利用三角形長(zhǎng)三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)如圖1中，

圖1

:點(diǎn)落在AC的中點(diǎn)，

，CB，=；AC=4,

設(shè)CE=x,則BE=6-x,

由折疊得：B'E=BE=8-x,

在RtAB'CE中,由勾股定理得x2+42=(6-x)2

解得：x=|.

即CE的長(zhǎng)為g.

(2)如圖2中，作BH_LAB于H.連接BB，.

圖2

:EB=EB',DB=DB',BE=BD,

答案第1頁(yè)，共32頁(yè)

???BE=EB'=B'D=DB,

???四邊形BEBD是菱形，

???ZBrBD=ZBrBE,

VBrC±BC,B'H_LAB,

???B'C=B'H,設(shè)B'C=B'H=x.

在RtAABC中，VBC=6,AC=8,

22

***AB=76+8=IO,

,**SAABC=SABCB,+SAABB,,

???g?AC?BC=g?BC?x+gxABxx,

x=3,

ACBM.

(3)如圖3中，連接AE,EB',AB'.

,,AE=58?+3?="s/73,

VEB=EC=EB,=3,

.,.AB,>AE-BE,,

AAB>5/73-3,

；.AB，的最小值為歷-3.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，

三角形三邊的關(guān)系，以及翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì),

找出圖形中隱含的等量關(guān)系，借助勾股定理列方程進(jìn)行解答.

答案第2頁(yè)，共32頁(yè)

2.（1）12+7336；（2）a=1丑時(shí)，四邊形PMEE周長(zhǎng)最??；（3）PM+PN的最小值為舊.

4

【分析】（1）如圖1（見(jiàn)解析），先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出ABPC周長(zhǎng)

最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)，從而可得CC'

的長(zhǎng)，然后利用勾股定理可得3C'的長(zhǎng)，由此即可得出答案；

（2）如圖2（見(jiàn)解析），要使四邊形PMEF的周長(zhǎng)最小，只需ME+尸尸最??；先利用平移、

軸對(duì)稱的性質(zhì)得出旌=加2/，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出尸+尸尸最小時(shí)，點(diǎn)F的位

置，然后利用待定系數(shù)法求出直線尸叫的解析式，從而可得a的值；

（3）如圖（見(jiàn)解析），先將ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理求出

PA的長(zhǎng)，再將A4pM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短確認(rèn)

尸河+PN最小時(shí)，點(diǎn)N的位置，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'B交AD于尸，，則CD=C6

由軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)ABPC周長(zhǎng)最小，最小值為

BC+BP+CP=12+BP'+PC'=12+BC

作于H

AD//BC,CD±BC

：.AD1CD

ZAHC=NDCH=ZADC=90°

.,?四邊形ADCH是矩形

:.AD=CH,AH=CD

BC=12,AD=S

:.CH=8,BH=BC—CH=12-8=4

在RtAABH中，ZABH=60°,ZBAH=90°-ZABH=30°

.-.AB=2BH=8,AH=dAB?-BH。=4出

CD=CD=AH=4A/3

/.CC=2CD=8A/3

BC=A/BC2+CC,2=7122+（8^）2=^36

則NBPC周長(zhǎng)的最小值為12+BC'=12+A/336

答案第3頁(yè)，共32頁(yè)

圖1

（2）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，則只要私+尸尸最小，四邊形PMEF

的周長(zhǎng)將取得最小值

如圖2,將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），連接加丁

則MCM）,四邊形MEFM1是平行四邊形

:.ME=MlF

作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)知2,連接尸

則“式1,-1）,M2F=MtF

ME+PF=MF+PF=M2F+PF

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)MzI,尸共線時(shí)，加2尸+尸尸最小，最小值為利區(qū)

設(shè)直線PM2的解析式為y=rnx+n

m+n=-1

將點(diǎn)加2（1，T），「（2+",3）代入得＜

(2+\/6)m+n=3

476-4

m=------

5

解得

476+1

n---------

5

則直線PM2的解析式為y=生色心X-還出

將點(diǎn)尸（a+1,0）代入得生/（“+1）_皿111

=0

解得“=

4

故當(dāng)a=?^時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小;

4

答案第4頁(yè)，共32頁(yè)

(3)如圖3-1中，將ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,連接PE

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZAEC=NBPC=150°,NPCE=60°,AE=BP=2,PC=EC=3

.?.APCE是等邊三角形

ZPEC=60°,PE=PC=3

ZAEP=ZAEC-APEC=90°

PA=y/AE2+PE2=A/22+32=屈

如圖3-2中，將A4PM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AA7W,連接PF,交AC于點(diǎn)D

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZPAF=60°,AF=PA=屈,PM=NF

是等邊三角形，PF=PA=A

:.PM+PN^NF+PN

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，NF+PN最/b,最小值為PF

故PM+PN的最小值為岳.

BCBC

圖3-1圖3-2

【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題,考查了圖形變換(對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn))、等邊三角形的

答案第5頁(yè)，共32頁(yè)

判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握理解并靈活運(yùn)用圖形變換是解題關(guān)鍵.

3.(1)見(jiàn)解析；(2)四邊形ADCF是菱形，理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAFE=/DBE,利用AAS定理證明AAEFg^DEB；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DC,得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得到AD=DC,證明四邊形ADCF是菱形；

(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可.

【詳解】(1)證明：：AF〃:BC,

ZAFE=ZDBE,

在AAEF和ADEB中，

'NAFE=NDBE

<ZAEF=ZDEB,

AE=DE

.'.△AEF^ADEB；

(2)四邊形ADCF是菱形，

理由如下：VAAEF^ADEB,

.\AF=BD,

VBD=DC,

；.AF=DC,又AF〃BC,

?1?四邊形ADCF是平行四邊形，

VZBAC=90°,AD是BC邊上的中線，

；.AD=DC,

???四邊形ADCF是菱形；

(3)連接BF交AC于M,

則點(diǎn)M即為所求,

:四邊形ADCF是菱形,

，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱,

；.MD=MF,

答案第6頁(yè)，共32頁(yè)

MB+MD=MB+MF=BF,即MB+MD有最小值.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定以及軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，

掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.(1)y=--x2--x+l；(2)4(2,—2),叵;(3)更

【分析】(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)代入y=ax2+bx+l,解方程組即

可得到結(jié)論；

(2)由條件可得BE?DE=OE?EM,設(shè)D(a,-；x2—gx+l),則可表示BE、DE、OE、EM的

長(zhǎng)，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長(zhǎng)，貝屋in/DAE的值可

求；

(3)作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FHXAD于點(diǎn)H,交軸于點(diǎn)P,則/DAE=/HFD,

DP+@AP=FP+HP,此時(shí)FH最小，求出最小值即可.

5

【詳解】解：(1)把點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)3(1,0)代入＞=加+法+1得

J_

a=

4a-2b+1=02

，解得

…=0工，

b=

2

二次函數(shù)的表達(dá)式為＞=-gx+1；

(2)?..二次函數(shù)的表達(dá)式為》=Y-g無(wú)+1,

令尤=0,得y=l,

...點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0,1).

設(shè)直線BC的解析式為y=履+M左w0),

fn=1[k=—1

,c，解得I,

[左+〃=0[n=l

直線BC的解析式為y=-X+1.

..?小/勿軸，...5.“=；0不雨，SADBE=^BE-DE.

,**S^OEM=S.DBE，，OE-EM=BE-DE.

設(shè)a,—耳/—51+1),貝ljQ+1),

答案第7頁(yè)，共32頁(yè)

11

:.BE=a—1,EM=a—1,OE=a,DE=—a9H—a—1,

22

ci?(a—1)=(a—I)],/+——1j?

解得。=2,a=l（舍去），a=—l（舍去）,

????(2,-2),

AE=OA-\-OE=2+2=4,DE=2,

AD=y/AE2+DE2=742+22=275，

DF2_V5

sinZDAE=——

AD245~~5~

（3）如圖，作點(diǎn)。關(guān)于九軸的對(duì)稱點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作由1AD于點(diǎn)H,交工軸于點(diǎn)尸，連接

DP,^\DP=FP,

???ZAED=90°,

??小口PH百

??sin/DAE==,

AP5

PH=—AP,

5

，DP+—AP=FP+HP,由垂線段最短可知此時(shí)FH長(zhǎng)度最小,

5

VZAPH=ZFPE,：.ZDAE=ZHFD,

DH=DF-sinZHFD=4x—=^-,

55

【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂

線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾

何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相

答案第8頁(yè)，共32頁(yè)

關(guān)問(wèn)題.

5.(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,。)，點(diǎn)8坐標(biāo)為(-1,0).點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3).點(diǎn)。坐標(biāo)為

(-1,4)；(2)△周長(zhǎng)的最小值為3應(yīng)+而；(3)存在點(diǎn)E(-2,1),使得EF=2EG.

【分析】(1)當(dāng)y=0時(shí)，-X2-2X+3=0,求得：點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,0)；

令x=0,求得C坐標(biāo)為(0,3)；化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)APBC的周長(zhǎng)為PB+PC+BC,BC為定值，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小.即

可求解；

(3)設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,x+3),點(diǎn)F(x,-x2-2x+3),則EF=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x,

EG=x+3,即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)y=0時(shí)，-尤2-2X+3=0,

解得打=-3,X2=l,.,.點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(T,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,...點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3).

-(尤+1)2+4

.?.點(diǎn)。坐標(biāo)為(-1,4)；

(2)△PBC的周長(zhǎng)為P8+PC+8C,

為定值，，當(dāng)P8+PC最小時(shí)，APBC的周長(zhǎng)最小.

,點(diǎn)A,點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸I對(duì)稱，

連接AC,交/于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求的點(diǎn).

VAP=BP,/.PB+PC+BC^AC+BC.

VA(-3,0),B(-1,0),C(0,3),

--AC—3y/2,，BC=J10,

.,.△PBC周長(zhǎng)的最小值為3虎+標(biāo)；

圖3)

答案第9頁(yè)，共32頁(yè)

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=fcv+6,得。，人.

[-3k+b-0n

解得k=1,b=3.

直線AC的解析式為y=尤+3.

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,無(wú)+3),點(diǎn)歹(x,-N-2x+3),

則￡F=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x,EG=x+3.

當(dāng)所=2EG時(shí)，有-N-3X=2(X+3).

解得尤7=-2,X2=~3(舍去)

當(dāng)彳=-2時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為(-2,1).

，存在點(diǎn)E(-2,1),使得EF=2EG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，軸對(duì)稱最短的性質(zhì)，勾股定理，二次函

數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和

幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

6.(1)(3,5),(5,-2).(2)6,。)(3)則

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸為第一、三象限的角平分線，結(jié)合圖形得出B二。兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由(1)的結(jié)論，并與B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行比較，得出一般規(guī)律；

(3)由軸對(duì)稱性作出滿足條件的Q點(diǎn)，結(jié)合勾股定理，得出結(jié)論.

【詳解】(1)如圖，由點(diǎn)關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱可知：B,(3,5),C(5,-2).

故答案為(3,5),(5,-2)；

坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線1的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(b,a).

故答案為(b,a)；

答案第10頁(yè)，共32頁(yè)

(3)由(2)得，D(1,-3)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)D，的坐標(biāo)為(-3,1),連接DE交直線1

于點(diǎn)Q,此時(shí)點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，=1展+5?=回,

.;QD+QE的最小值為：咽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題和軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題是解

答此題的關(guān)鍵.

7.作圖見(jiàn)解析；最小值為世

【分析】連接BE,交AC于點(diǎn)P,連接DP,PD+PE=PB+PE=BE最小，求出BE長(zhǎng)即可.

【詳解】解：連接BE,交AC于點(diǎn)P,連接DP,

?點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,

；.PD=PB,

PD+PE=PB+PE=BE最小,

:正方形ABCD的面積為S,

AB=,

又「△ABE是等邊三角形,

；.BE=AB=,

故所求最小值為君.

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)正方形知識(shí)的考查，熟練掌握正方形的性質(zhì)，得出PD+PE=PB+PE=BE最

小，是解決本題的關(guān)鍵.

8.(1)S平行四邊形ABCD=48；(2)G(0,),見(jiàn)解析；(3)滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為17,-2)

或(1-36,8)或(1+36,2),見(jiàn)解析.

【分析】(1)解方程求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，在RtAAOD中，求出OD即可解決問(wèn)題.

(2)首先證明4EHB也是等腰直角三角形，以HE,HB為邊構(gòu)造正方形EHBJ,連接JN,

答案第11頁(yè)，共32頁(yè)

延長(zhǎng)JE交0D于Q,作MT_LOD于T,連接JT.在RtADMT中，易知MT=?DM,

10

根據(jù)對(duì)稱性可知：NH=NJ,推出HN+MM-巫DM=NJ+MN-MTWJT,推出當(dāng)JT最小時(shí)，

io-

HN+MM-?DM的值最小.如圖2中當(dāng)點(diǎn)M在JQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，HN+MM-巫DM的

1010

值最小，此時(shí)M(-1,5),作點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)M1連接CM1延長(zhǎng)CM咬y軸于點(diǎn)G,

此時(shí)ICG-MGI最大，求出直線CM，的解析式即可解決問(wèn)題.

(3)分五種情形分別畫(huà)出圖形，利用菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)一一求解即可.

【詳解】解：(1)由孝/一2氐一64=0得到x=-2或6；

AA(-2,0),B(6,0)；

在RtAADO中，VZAOD=90°,AD=2而，OA=2；

..ODAM-OA2=6,

VOB=6,

.?.OD=OB=6,

.,.△BOD是等腰直角三角形，

S平行四邊彩ABCD=AB?OD=8X6=48；

(2)如圖1中，

VEHXOB,

ZEHB=90°,

VABOD是等腰直角三角形，

ZEBH=45°,

???AEHB也是等腰直角三角形，

以HE,HB為邊構(gòu)造正方形EHBJ,連接JN,延長(zhǎng)JE交OD于Q,作MT_LOD于T,連接

答案第12頁(yè)，共32頁(yè)

JT,在RtADMT中，易知MT=，^DM,

10

:四邊形EHBJ是正方形，

根據(jù)對(duì)稱性可知：NH=NJ,

AHN+MM-巫DM=NJ+MN-MT<JT,

10

/.當(dāng)JT最小時(shí)，HN+MM-巫DM的值最小,

10

VJT<JQ,

.?.JT<OB=6,

AHN+MM-^DM的最小值為6.

10

如圖2中，：PF〃y軸，

.,.△PEF是等腰直角三角形，設(shè)PE=EF=a,則PF=&a,

由題意2a+723=4+472，

a=272，

VFB=FD,

???F(3,3),

AE(1,5),

當(dāng)點(diǎn)M在JQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，HN+MM-aDM的值最小，此時(shí)M(二,

作點(diǎn)M關(guān)

103

于y軸對(duì)稱點(diǎn)M，，連接CM，，延長(zhǎng)CM咬y軸于點(diǎn)G,此時(shí)|CG-MG|最大,

VC(8,6),(-,5),

3

???直線CM，的解析式為y=三3x+詈114，

答案第13頁(yè)，共32頁(yè)

(3)存在.設(shè)菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)為J.

①如圖3-1中，當(dāng)O，D"是對(duì)角線時(shí)，設(shè)ES交x軸于T.

,,,

.,.ES±OD)

，直線ES的解析式為y=gx+5—g,

在RtAJTO,中，易知0，J=3,/TO，J=30。，

；.0T=2后，

，o]#+l,0,D1-孚,3,

/師3]

VJE=JS,

(7/?、

???可得S1----丁，一2，

I3J

②如圖3-2中，當(dāng)EO，=(rD〃=6時(shí)，可得四邊形SEOD〃是菱形，設(shè)O，(m,0).

答案第14頁(yè)，共32頁(yè)

s

圖3?2

則有：（m-1）2+52=36,

??m=1+^/TT或1-y/Tl，

???CT（1+而，0）或（1-而，0）（如圖3-3中）,

???D〃（1+而-36，3）,

"2+而一3百/；

I2）

VJS=JO\

5（1-3月,8）,

③如圖3-3中，當(dāng)EOH/D"時(shí)，由②可知0'(1-而，0).同法可得5(1-36,8)

答案第15頁(yè)，共32頁(yè)

.-.m=1+472(圖5中情形)，或m=l-4&,

。"(1一4點(diǎn),3),。'(1一40+34,0),

/2-4A/2+3A/35)

"I2'2』

：JD"=JS,

可得S(1+36，2),

0'(1+4應(yīng)+3/0),

.j(2+4返+3君5^

VJDMS,

...可得S(1+3y13,2),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為1一己-，一2或(1-36,8)或(1+3有,2).

答案第16頁(yè)，共32頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題，

解直角三角形，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思

想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

9.（1）3A/3；（2）5拒；（3）（600-2006）機(jī)

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作利用三角函數(shù)解直角三角形求，再根

據(jù)等腰三角形的三線合一得到BC=2BD,即可得到答案.

（2）作點(diǎn)C關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)C,連接C'D交A2于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)D4到點(diǎn)E,使得AE=BC,

連接C'E,此時(shí)，的值最小.在Rt^DEC',利用勾股定理求C'。即可.

（3）做輔助線，補(bǔ)全外接圓。。，連接C。，延長(zhǎng)CO交A3于G,連接“，延長(zhǎng)OD交

于P,作點(diǎn)。關(guān)于C尸對(duì)稱點(diǎn)），作點(diǎn)。關(guān)于尸2對(duì)稱點(diǎn)ZX,連接O7T,交PC于點(diǎn)M,

交P8于點(diǎn)N.連接尸,〃D,ND,肱V.過(guò)尸作尸。，。'?！ㄓ赒.當(dāng)PD最小,6、M、

N、。"在同一條直線上時(shí)，0M■+MN+N。取得最小值，即最小值為MZy+MN+NE>〃=DZ>',

從而可得答案.

【詳解】證明：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD23c

,JAB^AC,N8=30°,AB=3

BD=cos30°-AB=—x3=—

22

'：AB=AC,ADJ.BC

BC=2BD=36

故答案3不.

(2)作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'D交AB于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)D4到點(diǎn)E,使得AE=3C',

連接C'E,止匕時(shí)，PC+PD的值最小.

答案第17頁(yè)，共32頁(yè)

D

C

點(diǎn)c與點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱,BC=2

：.PC=PC',BC'=BC=2

：.PC+PD^PC+PD=C'D,AE=BC=2

：.DE=AD+AB=3+2=5

\'DA±AB,CB1AB,

：.AEUBC

，四邊形AEC3是矩形，

，NE=90o,EC'=AB=5

:.在RtADEC'中，利用勾股定理：DCJDE:+EC?=后+勾=5近

此時(shí)，PC+PD的值最小，即尸C+BD=OC'=5j5.

(3)補(bǔ)全外接圓0。，連接C。，延長(zhǎng)CO交A3于G,連接OD,延長(zhǎng)OD交。。于尸，作

點(diǎn)。關(guān)于CP對(duì)稱點(diǎn)),作點(diǎn)。關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)。〃，連接ZZD",交PC于點(diǎn)交PB

于點(diǎn)N.連接MD,ND,MN,過(guò)P作尸于。.

答案第18頁(yè)，共32頁(yè)

?1,點(diǎn)。關(guān)于CP對(duì)稱點(diǎn)Di,作點(diǎn)D關(guān)于PB對(duì)稱點(diǎn)D"

：.MD=MD,ND"=ND,

：△ABC是等邊三角形

NCP8=/C4S=60。（同弧所對(duì)圓周角相等）

'/ZDTPM=ZDPM,ZITPN=ZDPN（根據(jù)對(duì)稱性）

ZLfPiy=2ZCPB=120°,

:點(diǎn)D關(guān)于CP對(duì)稱點(diǎn)OC,點(diǎn)。關(guān)于尸8對(duì)稱點(diǎn)

/.PD=piy,PD=piy

,PD=piy=piy

ZPD"D'=ZPD'D"=30°,

PQLD'D"

D'Q=D"Q=PE?'.cos30。，

D'D"=2Pzycos30°=2PDcos30°=^3PD,

...當(dāng)尸￡）最小且以、M、N、￡>"在同一條直線上時(shí)，OM+MN+N。的最小，即

MD'+MN+ND"=D"D',

為等邊△ABC的外心，

0為等邊△ABC的重心，CG±AB,AG=BG=-AB=300,

"2

DG=AG-A￡>=300-200=100,

GC3

CG=AB.sin60°=600x—=300A/3,OG=1005OC=20073,

2

,DG_OG

,AG-CG5

ZDGO=ZAGC,

..ADOGSAACO,

.OPOG_1

,AC-CG-35

:.OD=200,

...OP=OC=200?

:.PD=OP-OD=200A/3-200,

D'D"=6PD=:/-200）=600-200?

答案第19頁(yè)，共32頁(yè)

.?.DM+肱V+DN的最小值是（600-200君）相.

【點(diǎn)睛】本題主要利用對(duì)稱性求“最短”問(wèn)題，綜合了軸對(duì)稱的基本性質(zhì)、三角函數(shù)解直角三

角形、勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答

此題的關(guān)鍵，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到合適的點(diǎn)，是解答此題的關(guān)鍵.

10.（1）6；（2）（0,3君）或（0,-36）；（3）26+4夜.

【分析】（1）根據(jù)線段長(zhǎng)度計(jì)算方法計(jì)算即可；

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,b）,根據(jù)線段長(zhǎng)度計(jì)算方法計(jì)算即可；

（3）找到點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A（-1,4）,連接AB交y軸于點(diǎn)C,此時(shí)AA8C周長(zhǎng)的

最小，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度計(jì)算方法即可求解.

【詳解】解：⑴VA（6,-1）,B（6,5）,

AB=^（6-6）2+（-1-5）2=6.

故答案為：6；

（2）設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,b）,

則在RtAOCQ中，82=002+002,gp（-3-0）2+（0-/?）2=62,

解得b=±3百.

所以C的坐標(biāo)為（0,36）或（。，-3石）.

故答案為：（。，36）或（0，-36）；

（3）如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,4）,A'C=AC,

「△ABC的周長(zhǎng)=48+AC+CB=A8+/rC+CB,其中線段AB的長(zhǎng)為定值，

.,.當(dāng)C點(diǎn)為與y軸的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A8即為4C+CB的最小值，△ABC的周長(zhǎng)最小，

止匕時(shí)△ABC的周^z=AB+A'C+CB=AB+A,B.

答案第20頁(yè)，共32頁(yè)

=3)2+(4-0)2=2反A'B^^(-l-3)2+(4-0)2=4>/2.

所以△ABC的周長(zhǎng)的最小值為2省+4&?

【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查了勾股定理，兩點(diǎn)的距離公式，軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，

解決此題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間的距離公式.

11.(1)2；(2)-+3入；(3)存在，尾廊；

22

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F在RaAFB中，求出在放△AEF中，求

出AE即可；

(2)首先在AAB。中求出DE的長(zhǎng)度，從而求出C。的長(zhǎng)度，通過(guò)SAACD=SAAOE+

SACOE求解即可；

(3)第一步：確定點(diǎn)尸的位置，即作點(diǎn)A關(guān)于直線3。的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接。歹交于點(diǎn)尸，

則AAP。的周長(zhǎng)最小值是尸Q+QA的值；第二步：根據(jù)勾股定理得到產(chǎn)。即可求解.

【詳解】(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作A/UBO于點(diǎn)凡貝UNAFB=90。.

VZCDB=90°,/I=30°,

.?.Z2=Z3=60°.

在放反4尸8中，Z4=45°,AB=m,

:.AF=BF=^,.

在放AAEF中，/3=60。，AF=6,

：.EF=1,AE=2；

(2):在AA3￡)中，ZDAB^90°,ZABD^45°,AB=正,

：.DB=26,

:.DE=DB-BF-EF=出-1,

答案第21頁(yè)，共32頁(yè)

:.CD=6DE=3-6'

，SAACD=SAADE+SACDE

=^DEAF+^CDDE

=gx(6—l)x6+gx(3—Q)x(宕—1)

_-3+373

2--

(3)存在.如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線8。的對(duì)稱點(diǎn)E連接。尸交8。于點(diǎn)P,

則此時(shí)AAPQ的周長(zhǎng)最小，其最小值是P。十。4的值，連接8足

：△A3。是等腰直角三角形，且垂直平分AR

ZABF=90°,BF=AB=屈.

22

/.FQ=^BQ2+BF2=亨,

AAPQ周長(zhǎng)的最小值為R國(guó).

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，以及最短路徑問(wèn)題等,

熟練掌握并靈活運(yùn)用基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

12.(1)點(diǎn)。坐標(biāo)(26,-2)；(2)存在，AEMN的周長(zhǎng)最小值為8；(3)存在，Z(MP=15°

或60。

【分析】⑴利用矩形的性質(zhì)和4240=30。得到AO=4&,ZCAB=6Q°,再由折疊的性質(zhì)

AD=4,/。4。=30。，過(guò)點(diǎn)。作。尸，A。于R可求得DF、AF,進(jìn)而可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；

(2)如圖，利用“將軍飲馬”模型，分別作E關(guān)于y軸、AC的對(duì)稱點(diǎn)Q、H,連接QH,則

答案第22頁(yè)，共32頁(yè)

QH就是周長(zhǎng)的最小值，進(jìn)一步求出點(diǎn)E、點(diǎn)Q、點(diǎn)H坐標(biāo)，即可解得QH的長(zhǎng)，即周長(zhǎng)的

最小值；

(3)要使得△CP。為等腰三角形，需分三種情況討論求解：①若CP=CQ；②若PQ=CQ;③

若CP=PQ,進(jìn)一步推導(dǎo)求解即可.

【詳解】解：(1):四邊形A0C2是矩形，

，OC=A8=4,

VZOAC=30°

：.AC=2CO=S,AO=y/3CO=4y/3,ZCAB=60°,

:長(zhǎng)方形。45c沿AC折疊，使得點(diǎn)5落在點(diǎn)。處，

：.AD=AB=4,ZCAD^60°,

：.ZDAO=30°,

如圖1,過(guò)點(diǎn)。作。于凡

圖1

'：DF±AO,/DAO=30。，

：.DF=^AD=2,AF=6DF=26

；.OF=AO-AP=2如，

點(diǎn)。坐標(biāo)(2^/3,-2)；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作y軸的對(duì)稱點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)X,連接G8交y軸于點(diǎn)N,

與AC交于M,即△EMN的周長(zhǎng)最小值為GH,

答案第23頁(yè)，共32頁(yè)

圖2

VZOAZ）=30°,AD=4,ZAZ）C=90°

，AE=巡，