湖南省長沙市2025年中考數學模擬練習卷

一、單選題

1.《九章算術》記載的余和不足等概念體現了中國是最早采用正負數表示相反意義量的國家，若收

入10元記作+10元，則支出136元記作（）

A.+136元B.-136元C.0元D.-126兀

2.小明同學從正面觀察如圖所示的幾何體，得到的平面圖形是（

3.計算的結果正確的是（）

A.x6B.—x6D.x9

4

4.如圖，45〃8,47與8。相交于點￡.若NC=40。，則/A的度數是（）

C.41°D.42°

5.據黨中央2024年發(fā)布的中國共產黨黨內統(tǒng)計公報，截至2023年12月底，全國約共有黨員9675

萬.數據9675萬用科學記數法表示為（）

A.9.675xlO7B.9.675xlO3C.9.675xlO4D.9.675xlO6

6.“石阡苔茶”是貴州十大名茶之一，在我國傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)前后，某茶葉經銷商對甲、乙、丙、丁

四種包裝的苔茶（售價、利潤均相同）在一段時間內的銷售情況統(tǒng)計如下表，最終決定增加乙種包裝

苔茶的進貨數量，影響經銷商決策的統(tǒng)計量是（）

包裝甲乙丙T

銷售量（盒）15221810

A.中位數B.平均數C.眾數D.方差

7.《孫子算經》中記載了這樣一道題:“今有百鹿進城，每家取一鹿，不盡，又三家合取一鹿，恰盡”.問：

有多少戶人家？大意為：有100頭鹿，首先每戶分一頭鹿，發(fā)現還有剩余，將剩下的鹿給每3戶共分

一頭，恰好分完，若設共有x戶，則下列方程正確的是（）

A.xH—=100B.3x+l=1CXDC.xH—x=100D.——=100

333

8.如圖，在四邊形A3。中，AD//BC,添加下列條件后仍不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的

A.AD=BCB.AB//DCC.ZA=ZCD.AB=DC

9.某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下表.甲、乙兩名選手成績的

方差分別記為策和馥，則梟與的大小關系是（）

測試次數12345

甲510938

乙86867

A.踴＞黑B.梟＜黑C.%=S]D.無法確定

10.已知機＞〃＞0,若關于x的方程f+2x-3-m=0的解為占,々（%＜馬）-關于尤的方程

尤2+2x—3-〃=0的解為三，4（三＜三）.則下列結論正確的是（）

A.x3<x{<x2<x4B.xi<x3<x4<x2C.xx<x2<x3<x4D.x3<x4<xx<x2

二、填空題

11.在二次根式^/^中，字母〃的取值范圍是

12.因式分解：a2+2a+l=

計算用7+二的結果是

13.

a+1。+1

14.如圖，在墻壁中埋著一個未知半徑的圓柱形木材，現用鋸子去鋸這個木材，鋸口深CD=4cm,

鋸道AB=16cm,則這根圓柱形木材的半徑是—cm.

15.為了從甲、乙兩名射擊運動員中選出一人參加市錦標賽，特統(tǒng)計了他們最近10次射擊訓練的成

績，其中，他們射擊的平均成績都為8.9環(huán)，方差分別是*=0.8,s1=13,從穩(wěn)定性的角度看，的

成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）.

16.如圖，吊燈外罩呈圓錐形，它的底面周長為24;rcm,高為16cm,則該吊燈外罩的側面積是

cm2.（結果保留萬）

▲

三、解答題

17.計算：(^■-l)°+^-2sin60o-l202*.

4(2x-l)<3x+l

18.解不等式組：3x-8

----<x

5

19.人教版初中數學八年級下冊第64頁數學活動告訴我們一種折紙得特殊角的方法:

①對折矩形紙片A5cD,使AO與重合，得到折痕跖，把紙片展平;

②再一次折疊紙片，使點A落在EP上，并使折痕經過點8,得到折痕同時得到線段比V.請你

根據提供的材料完成下面的問題.

⑵求445N的度數.

20.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、重午節(jié)、重五節(jié)、天中節(jié)等，日期在每年農歷五月初五，是集祈

福辟邪、拜神祭祖、歡慶飲食和娛樂為一體的民俗大節(jié).某校今年6月開設了以“端午”為主題的活動

課程，每位學生可在“折紙龍”、“做香囊、“采艾葉””與“包粽子”四門課程中任意且只選擇其中一門,

學校統(tǒng)計調查了本校部分學生的選課情況，小明據此繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖表信息

回答下列問題:

某校學生活動課程選課情況條形統(tǒng)計圖某校學生活動課程選課

(2)該校共有2000名學生，若每間教室最多可安排40名學生，試估計開設“包粽子”課程的教室至少需

要幾間.

21.如圖，在扇形498中，ZAOB=120°,OA=2,分別以A、B兩點為圓心，大于長為半徑

2

畫弧，兩弧交于點C,連接OC與弧A3交于點P,連接A8與OC交于點。.

0

(1)求證：射線OC為-493的角平分線;

(2)求線段PD的長度.

22.今年以來，長沙文旅各項數據增長強勁，長沙也是國內熱門旅游目的地之一，4月29日，五一

商圈累計客流量將近120萬人次，其中外地游客占比65%左右，長沙新消費品牌因人流量大也業(yè)績喜

人，文和友5天接待客人約30萬人次.

⑴請你根據以上信息，判斷以下三種說法是否正確.(對的打“卡，錯的打“x”)

①4月29日當天，長沙五一商圈本地游客占比45%左右.()

②今年長沙文和友五一期間平均每天接待客人約6萬人次.()

(2)另據一報道：長沙2021年五一假期，共接待游客約200萬人次，在2023年五一假期，共接待游

客約288萬人次，若2021年至2023年的年平均增長率保持相同，求出長沙2021年至2023年五一假

期接待游客人次的年平均增長率.

23.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,。是A3上一點，CD=BC,過點。作DF/AC于點尸,

過點C悴CE〃AB交DF的延長線于點E.

BL--------

⑴求證：四邊形DBCE是平行四邊形.

(2)若8。=6,sinA=^,求DE的長.

24.如圖1,A、B、C是。。上三點，AC=CB，Q4=l,延長04,BC交于點E,過點。作3E的

平行線交射線C4于點孔連接跖.

^)一B

圖1圖2

⑴求證：ZACE=NCOE；

(2)如圖2,若AE=EF,求CF的長；

(3)設AE的長為x,記△AOC,AAEC,NAFO,四邊形OCE廠的面積分別為S「s2,S3,$4.

一111

小樂：存在實數X,使得不+不=不成立；

小善：對于任意實數無，都有524H成立.

請判斷以上兩位同學的說法是否正確，并選擇其中一個進行證明或說理.

25.我們約定，在直角坐標系中，若不相同的兩個點4(%,4)、3(%也)滿足(4+%)2+俯+可=。，

則稱4、8互為“沖刺點”，若函數y上存在一組沖刺點，則稱函數y為“沖刺函數”.

(1)判斷下列函數是否為“沖刺函數”，對的在括號里打7”，錯的打“x”.

①y=2x+l()；

②

;X

?y=x*+lx+1()；

(2)是否存在A、B兩點既是一次函數＞=T+6上的“沖刺點”，又是二次函數〉=依2+法+。(。工0)上的

“沖刺點”，若存在，求出這樣的“沖刺點”坐標，若不存在，說明理由.

⑶若“沖刺函數"丁=加+3+。("0)上的“沖刺點”為A、8兩點，若尸為函數,=加+彳+°(°70)上

一動點，且該拋物線上有且只有3個點尸滿足△上4B的面積為1,若以48為頂點的正方形邊長為1,

求c值.

《湖南省長沙市2025年中考數學模擬練習卷》參考答案

題

號

答

案

1.B

【分析】此題考查了正數與負數.根據正數和負數表示相反意義的量，收入記為正，可得支出的表示

方法.

【詳解】解：收入10元記作+1。元，則支出136元應記作-136元，

故選：B.

2.A

【分析】本題考查的是幾何體的三視圖，根據主視圖是從物體的正面看得到的視圖解答即可.

【詳解】解：從正面看到的平面圖形為等腰梯形.

故選：A.

3.B

【分析】運用積的乘方法則、塞的乘方法則即可得出結果.

故選：B.

【點睛】本題考查了積的乘方法則、塞的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、塞的乘方法則是解題的

關鍵.

【分析】根據“兩直線平行，內錯角相等”可直接得出答案.

【詳解】解：AB〃CD,NC=40。，

ZA=NC=40。，

故選B.

【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是掌握“兩直線平行，內錯角相等”.

5.A

【分析】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中IV同＜10,〃

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【詳解】9675萬=96750000=9.675x1()7,

故選：A.

6.C

【分析】根據眾數的意義結合題意即可得到乙的銷量最好，要多進即可得到答案.

【詳解】解：由表格可得，

22>18>15>10,眾數是乙，

故乙的銷量最好，要多進，

故選C.

【點睛】本題考查眾數的意義，根據眾數最多銷量最好多進貨.

7.C

【分析】本題考查一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.設共

有無戶，根據“有100頭鹿，首先每戶分一頭鹿，發(fā)現還有剩余，將剩下的鹿給每3戶共分一頭，恰

好分完，”，即可得出關于龍的一元一次方程，此題得解.

【詳解】解：???共有x戶，

則由題意可得，x+1x=100,

故選：C.

8.D

【分析】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質等知識；熟記平行四邊形的判定方法是

解題的關鍵.由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可.

【詳解】解：A.'.,AD//BC,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，故選項不符合題意；

B.VAD//BC,AB//DC,

四邊形ABC。是平行四邊形，故選項不符合題意；

C.?：AD//BC,

：.ZA+ZABC=180°,

?/ZA=ZC,

：.ZABC+ZC=180°,

：.AB//CD,

四邊形ABC。是平行四邊形，故選項不符合題意；

D.VAD//BC,AB=DC,

四邊形ABCD可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項符合題意；

故選：D.

9.A

【分析】先分別求出甲、乙的平均數，再求出甲、乙的方差即可得出答案.

5+10+9+3+8

【詳解】解：甲的平均數為=7,

5

甲的方差為策=g［（5_7y+（10_7）2+（9—7）2+（3_7）2+（8-7）2卜6.8,

8+6+8+6+7

乙的平均數為=7,

5

乙的方差為策=g［（8-7）?+（6-7?+（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2］=0.8,

V0.8<6.8,

故選：A.

【點睛】此題主要考查了平均數及方差的知識.方差的定義：一般地設〃個數據，4，尤2,…X”的

平均數為工=?%+%+7”），則方差5。=：［（玉—工『+（w-X『+...+k“-X）［,它反映了一組數據的波動

大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

10.B

【分析】把全％看做是直線y=機與拋物線＞=尤2+2苫-3交點的橫坐標，把苫3,X4看做是直線＞=〃與

拋物線y=/+2x-3交點的橫坐標，畫出對應的函數圖象即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，設直線y=機與拋物線y=*+2x-3交于4、8兩點，直線＞=〃與拋物線

y=Y+2x-3交于C、。兩點，

Vm＞n＞0,關于x的方程V+2x-3-機=0的角軍為玉,々（藥＜%）,關于x的方程Y+2元-3-〃=0的

解為X3*%（三＜%）,

西，孫巧匕分別是A、B、C、。的橫坐標,

X,<%<%4<尤2，

故選B.

【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關系，正確把一元二次方程的解轉換成直線與拋物

線交點的橫坐標是解題的關鍵.

11.a>8

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據二次根式中被開方數大于等于0即可求解.

【詳解】解：由題意知4-82。，

解得a>8,

故答案為：a>8.

12.(17+1)2.

【分析】直接運用完全平方公式進行分解即可.

【詳解】解：a2+2a+l=(a+l)2.

故答案為：(?+1)2

【點睛】本題考查了因式分解，掌握完全平方公式是解題關鍵.

13.3

【分析】本題考查分式的加減.熟練掌握同分母分式相加減，分母不變，分子相加是解題的關鍵.注

意結果要化為最簡分式或整式.

同分母分式相加，分母不變，分子相加，進行計算即可.

［詳解】J±+^_=3a+3=3(a+l)=3

〃+1Q+1〃+1Q+1

故答案為：3.

14.10

【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用.設圓心為0,連接。4,8,依題得，D為AB

的中點，則O,D,C三點共線，ODLAB,設圓的半徑為％,由8=4,則OD=x-4,再用勾股定

理列出等量關系求解即可.

【詳解】解：如圖，設圓心為。，連接OAOD,

依題得，。為的中點

則0,9C三點共線，ODLAB

設圓的半徑為無，由CD=4,則8=尤-4

,/AB=16

AD=—AB=8

2

在比AAZJO中，由勾股定理得

(x-4)2+82=x2

解得x=10.

故答案為：10.

15.甲

【分析】本題主要考查方差的知識，解答本題需掌握方差的意義；根據題意得到甲、乙兩人成績的

方差分別為：s看=0.8,s]=13；然后再結合方差的意義并比較出甲和乙的方差即可得到結論.

[W1=0.8,4=13

..s甲＜s乙，

根據方差越小，越穩(wěn)定，

故選甲，

故答案為：甲.

16.240萬

【分析】本題考查了求圓錐的側面積，解題的關鍵是掌握圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長

等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐母線長，以及扇形面積公式.

先求出底面半徑，再求出圓錐的母線長，最后根據扇形=[0,即可解答.

【詳解】解：???該圓錐底面周長為24?cm,

，該圓錐底面半徑為24萬+4+2=12(cm),

根據勾股定理可得：該圓錐母線=712r710=20(011),

該吊燈外罩的側面積=g>=gx24%x20=240萬(cm?),

故答案為：240%.

17.6

【分析】】本題考查了實數的運算，先根據零指數幕，二次根式的性質，特殊角的三角函數值化簡各

式，然后再進行計算即可解答.

【詳解】原式=1+2冉=2x：-I=g.

2

18.-4<x<l.

【分析】分別解出兩不等式的解集，再求其公共解.

4(2x-l)<3x+l?

【詳解】］"〈逆

解不等式①得：X<1,

解不等式②得：x>-4,

所以不等式組的解集為：

【點睛】此題考查解一元一次不等式組，求不等式組的解集應遵循以下原則：同大取較大，同小取較

小，小大大小中間找，大大小小解不了.

19.(1)1

(2)60°

【分析】本題考查折疊的性質，三角函數的應用，理解折疊的性質是解本題的關鍵；

(1)根據折疊判斷線段關系即可計算比值；

EB1

(2)由(1)可知——=-,可得到/硒3=30。，繼而得到ZEBN,即可得解；

BN2

根據折疊得到對應的邊角關系是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：由折疊可知：AB=BN,AE=BE=^AB,

L

???EB=2AB=1，

BN~AB~2

故答案為：g；

(2)由折疊可知：EF上AB,

EB1

在中，sinNENB=——

BN2

ZENB=3b0,

/EBN=90°-ZENB=90°-30°=60°,

，ZABN=60°.

20.(1)50人,圖見解析

(2)18間

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖結合，用樣本估計總體，求扇形統(tǒng)計圖中圓心角，結合

條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖統(tǒng)計圖求出相關數據是解題的關鍵.

(1)用“包粽子”的人數除以36%,即可求出被調查的總人數，再利用總人數減去選擇“折紙龍”“做香

囊”與“包粽子”的人數，即可得到選擇“采艾葉”的人數，補全條形統(tǒng)計圖即可.

(2)用總人數乘樣本中“包粽子”所占百分比得出選擇“包粽子”課程的人數，再除以40即可.

【詳解】(1)由選“包粽子”人數18人，在扇形統(tǒng)計圖中占比36%,可得18+36%=50,

本次調查抽取的學生人數為50人.

其中選“采艾葉”的人數：50-(8+10+18)=14.

補全條形統(tǒng)計圖如下：

某校學生活動課程選課情況條形統(tǒng)計圖某校學生活動課程選課

情況扇形統(tǒng)計圖

答：估計開設“包粽子”課程的教室至少需要18

21.(1)見解析

(2)1

【分析】本題考查作圖一基本作圖，全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、解直角三角形，

熟練掌握全等三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵.

(1)連接AC,BC,根據全等三角形的判定證明△AOCgABOC,可得NAOC=/BOC,即可得

出結論.

(2)結合等腰三角形的性質可得ZAOD=|ZAOB=60°,ZADO=90°，貝UOD=OA?cos60°=2xg=1,

則P￡>=OP—OD=1.

【詳解】(1)證明：連接AC,BC,

由作圖可知，AC=BC,

'：OA=OB,OC=OC,

：.AAOC^ABOC(SSS),

：.ZAOC=ZBOC,

：■射線OC為ZAOB的角平分線.

(2)解：VOA=OB,OC為NAOB的平分線，

ZAOD=-ZAOB=60°,OCLAB,

2

：.ZADO=90°.

在RGAOD中，OO=Q4-COS60°=2XL=1,

2

?/OP=OA=2,

：.PD=OP-OD=1.

22.(l)x,q；

(2)20%.

【分析】(1)根據外地游客的占比可求本地游客的占比，根據“文和友5天接待客人約30萬人次”

可求出平均每天接待客人的數量，從而作出判斷；

(2)設年平均增長率為無，根據“共接待游客約200萬人次，在2023年五一假期，共接待游客約288

萬人次”，可列出方程，求解即可.

【詳解】(1)解：①：外地游客占比65%左右，

/.本地游客占比為1-65%=35%,

故4月29日當天，長沙五一商圈本地游客占比45%左右是錯誤的.

②文和友5天接待客人約30萬人次，

.?.平均每天接待客人約為30+5=6(萬人次)，

故今年長沙文和友五一期間平均每天接待客人約6萬人次是正確的.

故答案為：①x；②N.

(2)設長沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增長率為x.根據題意，得

200(1+域=288

解得：占=0.2=20%,X2=-2.2(不合題意，舍去)

答：長沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增長率為20%.

【點睛】本題考查實際問題與一元二次方程，讀懂題意，根據等量關系列出方程是解題的關鍵.

23.(1)見解析

⑵9

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，三角函數的定義，勾股定理，熟練掌握平行四邊形

的性質是關鍵.

(1)根據垂直的定義得到NDE4=90。，根據平行線的判定定理得到即可證明結論.

(2)根據平行線的性質得到NA=NACE根據平行四邊形的性質得到廷=8￡>=6,根據三角函數的

定義得到印=2,設3C=x,。尸=x-2,根據勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)證明：?.?小，AC,

:.ZDFA=9O0,

vZBC4=90°,

:.NDFA=NC,

BC//DF,

QCE//AB,

四邊形DBCE是平行四邊形；

(2)解：QCE//AB,

:.ZA=ZACE,

■.?四邊形DBCE是平行四邊形，

CE=BD=6,

?

smA4=一1,

3

.-.ZAC￡=—=-,

CE3

.-2,

設CD=DE=BC=x,則止=x—2,

■：CD2-DF2^CE1-EF2,

x2-(x-2)2=32,

解得x=9.

:.DE=9.

24.(1)見解析

⑵庭

(3)小樂不正確，小善正確，證明見解析

【分析】(1)通過圓的半徑相等，得到等腰三角形，即可求解.

(2)通過已知條件的邊相等，得到角相等，得到線段平行，根據平行四邊形的性質，即可求解.

(3)S]:邑=OA:EA,S?=xS],S3=邑：尤2=$1：龍，假設S、AEF=S4，S3:邑=OA:EA=1:x,S4=St,

即可求證.

【詳解】⑴證明：：AC=C8,

ZCOA=ZBIC,

：A、C兩點都在圓上,

：.OA=OC,

1ono_/

△AOC為等腰三角形，ZCAO=ZACO=---------------

180。—NCOA

同理=

2

???ZACE=ZCOE=40°,

：.ZACE=ZCOE.

(2)解：,：AE=EF,

：.ZAEF=ZAFE,

?.?ZCAO=ZACO=ZEAF,

JZACO=ZAEF,

：.CO//EF,

?；CE〃OF,

???四邊形COEE為平行四邊形,

CA=AF=-CF,

2

■:CE//OF,

：./OFC=/ECF,

ZCOE=ZECF,

：./OFC=/COE,

,/ZCOF=ZCOF,

???△COAsQO,

,CACO

~~~，CF9=2，

COCF

?*-CF=血.

(3)證明：小樂不正確，小善正確，

理由如下，

小樂：'：S2=OA:EA,

??S?~,

?:CE//OF,

21

：.S3:S2=OA:EA,

??S3=S2:%=S]:X,

111

下-+不=三不成立.

小善：假設=￡成立.

:邑=OA:EA=l:x,

???S4=H,

.??S-4^=^+52+53+54-4^,

(X-if

——乙52

x

：.S24sl.

【點睛】本題考查了圓的性質，解題關鍵在于熟練掌握平行線的性質，平行四邊形的性質.

25.⑴①x；②/③x

(2)不存在，理由見解析

(3)。＞0時，°=一0或一2；。＜0時，c=0或2

【分析】(1)根據(q+/了+俯+打卜。，得出一組沖刺點在直角坐標系中關于原點對稱，然后對三

個函數圖象進行判斷即可確定結論；

(2)先根據函數＞+b上有“沖刺點，，，得出6=0,然后把兩個函數解析式聯立得出關于x的一元

二次方程，由根與系數的關系得出4+芍=-'-0,進而得出兩函數不會存在共同的“沖刺點”；

a

(3)根據“沖刺點”的關于原點對稱，設出4、2兩點的坐標并代入y=G：2+x+c(awO),求出兩點坐

標進而判定A3兩點在直線,=彳上，然后由以42為頂點的正方形邊長為1,結合△麻的面積為1,

得出點P的軌跡所在兩條直線的解析式，再由拋物線分別與兩條直線有且僅有3個交點，得出拋物線

與其中一條直線相切，進而通過兩條直線分別與拋物線的解析式聯立，由根的判別式△=()求出C值.

【詳解】(1)解：根據題意，(%+/)2+俯+匈=0,則q=-2，4=也，A、8兩點關于原點對稱，

故"沖刺函數'’存在一組沖刺點，這組沖刺點在平面直角坐標系里關于原點對稱.

①對于y=2x+l,其圖象為未經過原點的直線，則y=2x+l圖象上不存在關于原點對稱的兩個點，

故y=2x+l不是“沖刺函數”.

故答案為：X；

②?；y=」是反比例函數，其圖象是中心對稱圖形，

X

；?函數y上存在多組沖刺點，如(1,-1)和則函數y=!是“沖刺函數”；

故答案為：?；

③函數y=#+2x+l的圖象為一