專題02解三角形及其應(yīng)用

考H點(diǎn)H聚焦

一、知識(shí)聚焦

題型1正（余）弦定理解三角形題型8三角形的角平分線問(wèn)題

題型2邊角互化的應(yīng)用題型9多三角形或四邊形中解三角

題型3判斷三角形解的個(gè)數(shù)題型10角或三角值的最值范圍

解三角形及其應(yīng)用

題型4判斷三角形的形狀題型11邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍

題型歸納

題型12三角形面積的最值范圍二）

題型5三角形的周長(zhǎng)與面積

題型6三角形的外接圓問(wèn)題題型13解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用

題型7三角形的中線問(wèn)題題型14解三角形的新定義問(wèn)題

?重H點(diǎn)m速H記］

知識(shí)點(diǎn)i：正、余弦定理及應(yīng)用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2&ccosA；

—？―=^—=—^=2R

內(nèi)容b2=c2+a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2-\-b2-2abcosC

b2~\-c2—a2

cosA=-------------；

(1)Q=2RsinA,b=2及sinB,c—2KsinC；2bc

(2)a:b:c=sinA:sin5：sinC；c2+tz2—Z?2

變形cosB=--------------；

lac

(3)-a+b+c—=q=2R

sin4+sin5+sinCsin/a2+b2-c2

cosC=--------------

2ab

【注意】若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定

角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角

和定理去考慮問(wèn)題.

2、解三角形中的常用結(jié)論

(1)三角形內(nèi)角和定理：在△/BC中，N+8+C=TI；變形：且士才=三一￡

222

(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

A_J_D「

?COSi=sinC.

①sin(/+B)=sinC；②cos(/+5)=—cosC；③sin—?—=cos—；

22

(3)三角形中的射影定理：在△45C中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角對(duì)大邊：在△/5C中，4>5=〃>b=sinZ>sinA

3、三角形常用面積公式

(1)S=：Q九(九表示邊Q上的高)；

(2)C=-acsinB=-bcsinA；

222

(3)S=$(a+b+c)(尸為內(nèi)切圓半徑).

知識(shí)點(diǎn)2：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

名稱意義圖形表示

/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)/視線

鉛四角水平

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視垂

線y角視線

\目標(biāo)

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻?/p>

北1

15。卷

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位

rr

角。的范圍是0°三。＜360。

例：（1）北偏東a：（2）南偏西a：

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角北1北t

銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）

【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問(wèn)題中對(duì)角的不

同描述.

（2）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果

是否符合實(shí)際情況.

可到司

》題型歸納

【題型1正（余）弦定理解三角形】

滿分技法

解三角時(shí)，正余弦定理的選擇：

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；

1.（23-24高一下?湖南?期中）在AABC中，角所對(duì)的邊分別為a,6,c.若a=2,6=4,cosC=:，則。=

（）

A.2B.4C.16D.2A/6

2.（23-24高一下?廣東廣州?期中）在中，4=60。,AC=4,BC=2^/3，則角B的值為（

A.45°B.45?；?35。C.90°D.135°

3.（23-24高一下?湖北?月考）AJBC中，角/B,C所對(duì)的邊分別為。,6,c,已知6==^,cos/=-=,

65

則a=()

AB

-"-經(jīng)

4.（23-24高一下?重慶?期中）”8C的內(nèi)角4SC所對(duì)邊分別為。，瓦。，a2+b2-c2^-ab,則角C的大

?。ǎ?/p>

【題型2邊角互化的應(yīng)用】

滿分技法

邊化角是正弦定理齊次比例關(guān)系非常重要的應(yīng)用，其主要特點(diǎn)是將混有邊角關(guān)系的條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角恒

等變換問(wèn)題,并從角的角度來(lái)審視三角形的特征，要熟練掌握邊化角的三角形考題的特征,一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件

中含有特殊數(shù)，如百（往往和特殊角有關(guān)）或者齊次特征明顯時(shí)，常進(jìn)行邊化角處理對(duì)于正弦定理與三角恒

等變換的綜合問(wèn)題，大多是基于三角形內(nèi)角和定理展開(kāi)的，故一般有兩種類型:一是利用相應(yīng)半角的互余關(guān)

系、角的互補(bǔ)關(guān)系研究三角恒等變換，進(jìn)而達(dá)到減元的目的,也就可以盯著目標(biāo)進(jìn)行三角恒等變換:二是利用

正弦定理求得相應(yīng)的角或者尋找相應(yīng)的邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)問(wèn)題，

5.（23-24高一下?甘肅天水?期中）在△48C中，角B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2acos8=c-2a,

Z）=2o,則（）

A.2a=3cB.3a=2cC.b=2cD.2b=c

c2b

6.（23-24高一下?湖北武漢?期中）己知。8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，6,c,且—+—=3cos/,

bc

1]?

----+-----=-----,則sinB=（）

tanAtanCtanB

V15

7.（23-24高一下?四川眉山?月考）在AABC中，角4民。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知csinC-asin/=46sin8,

r-1r/SinZ/、

且cosC=一一,貝——=（）

2屈576

~Y2

8.（23-24高一下?廣西欽州?期中）設(shè)“BC的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為凡4G若"3C的周長(zhǎng)為

siib4+sin5-sinC

【題型3判斷三角形解的個(gè)數(shù)】

滿分技法

1、從代數(shù)上來(lái)說(shuō)，可由“大邊對(duì)大角”來(lái)判斷；

2、從幾何上來(lái)說(shuō)，已知兩邊及一邊對(duì)角，解三角形（三角形多解問(wèn)題）

在△/BC中，已知a,6和/時(shí)，解的情況如下：

當(dāng)力為銳角時(shí)：

僅有一個(gè)解

a>ba<b

僅有一個(gè)解僅有一個(gè)解

9.（23-24高一下?天津河西?期中）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中有唯一解的是（）

A.々=20,6=11,5=30。B.a=6,c=4,C=60°

C.b=18,c=20,5=120。D.4=30,6=25,4=150。

10.（23-24高一下?山東青島?期中）在“3C中，內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列判斷正確的是

（）

A.8=30。，c=4,b=5,有兩解B.B=30。，c=4,6=3.9,有一解

C.8=30。，c=4,6=3,有一解D.8=30。，c=4,b=\,無(wú)解

11.（23-24高一下?福建三明?期中）在中，a=x,b=2,8=45。，若滿足條件的有且僅有一

個(gè)，則x的取值范圍是（）

A.（O,2]U｛2拒｝B.（2,2夜）C.（0,2川｛2匝｝D.（0,20）

12.（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期中）在AABC中，44=30。，NC=2百，滿足此條件“BC有兩解，

則邊長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A.（2百,4）B.（3,2我C.(2省,+(?)D.(百,2百)

【題型4判斷三角形的形狀】

滿分技法

判斷三角形形狀的兩種途徑

1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；

2、邊化角：通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.

13.（23-24高一下?重慶?期中）在。8C中，內(nèi)角4民。所對(duì)邊分別為a,6,c,若6cosZ+acosB=6,貝1J/8c

的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

14.（23-24高一下?安徽宿州?期中）在AABC中，內(nèi)角4昆C的對(duì)邊分別為見(jiàn)仇。,若滿足2acos3=c,則

該三角形為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定

A「一J-）

15.（23-24高一下?福建福州?期中）在^ABC中，角43,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin29=1,則^ABC

22c

的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

16.（23-24高一下?陜西西安?期中）（多選）在。8C中，角48,C的對(duì)邊分別為。,仇。，下列四個(gè)命題中

正確的是（）

A.若6cosC+ccos3=b,則“3C是等腰三角形

B.若asin/+6sin8>csinC,則“8c為銳角三角形

C.若」^=—L=則一定是等邊三角形

cosZcos5cosC

D.若acos/=6cos_8,則AASC一定是等腰三角形

【題型5三角形的周長(zhǎng)與面積】

滿分技法

1、三角形面積公式的使用原則：對(duì)于面積公式S=l06sinC=lacsin2=16csin/,一般是使用哪一個(gè)角就使

222

用哪一個(gè)公式；

2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；

3、三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=（a+by-2ab將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問(wèn)題.

17.（23-24高一下?云南昆明?月考）在A/BC中，角/,B,。的對(duì)邊分別是a,b,c,且三邊滿足

（a+6+c）（a-6+c）=4收，臺(tái)=:，貝UA/BC的面積為（）

A.2-V2B.4-2V2C.2+V2D.4+2V2

18.（23-24高一下?福建三明?期中）在AABC中，已知6=2,8=30。，sin/=JisinC,則“3C的面積

為（）

A.4B.V3C.2D.1

19.（23-24高一下?江蘇南京?月考）已知。，b,。分別是“8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且”。。..

b2-cosB

（1）求3;

C

（2）若cosC=:,“3C的面積為求“BC的周長(zhǎng).

20.（23-24高一下?安徽?月考）在。3c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知2gacsin8=/-62-c2

（1）求A；

（2）若a=且。3C的周長(zhǎng)為1+6+近，求。的面積

【題型6三角形的外接圓問(wèn)題】

滿分技法

利用正弦定理：」L=_L=，=2R可求解三角形外接圓的半徑.

sinAsinBsinC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過(guò)三角函數(shù)的范圍來(lái)求半徑的范圍.

21.（23-24高一下?寧夏石嘴山?期中）在23c中，己知.=4行，6=1，C=f，則的外接圓的直

徑為（）

A.4A/3B.5C.572D.672

22.（23-24高一下?福建莆田?期中）在“3C中，角/、2、C所對(duì)的邊分別為°、6、c,且ccosB+bcosC=",

若8+C=2Z,則外接圓半徑為.

23.（22-23高一下,湖北黃岡,期末）在中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ccosA=（42b-a）cosC.

若/==，點(diǎn)。在邊4B上，AD=BC=1,則的外接圓的面積是（）

.2+A/3「4+06+-y/3、8+

A.----------7tD.----------兀C.----------7tD.-----------71

3333

24.（23-24高一下?福建寧德?期中）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：@2bsinA=atanB,?a（sinA-sinC）=bsinB-csinC,

從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題.（選出一種可行的條件解答，若兩個(gè)都

選則按第一個(gè)解答計(jì)分）

在A/LSC中，a,b,。分別為內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊，若.

（1）求2；

（2）若“3C的面積為46，求“3C外接圓半徑的最小值.

【題型7三角形的中線問(wèn)題】

滿分技法

1、中線長(zhǎng)定理：在A4BC中，皿是邊BC上的中線，貝＞1/82+/。2=2（3。2+/。2）.

2、中線向量化：^2AD=AB+AC（核心技巧）得力2=：（/+c2+26ccos/）（結(jié)論）.

3、鄰角互補(bǔ)應(yīng)用：

核心技巧：ZADB+ZADC=1=>cosZADB+cosZADC=0

在A/CDrH右..??DA~+DB~—AB~

在KADB中有：cosNADB=---------------;

2DAxDB

在AADC中有：cosZADC=.

2DAxDC

25.（23-24高一下?重慶?期中）已知AA8C的內(nèi)角月，3,C的對(duì)邊分別為〃也c,若〃=8力=9,c=7.則3c邊

上的中線期的長(zhǎng)為.

26.（23-24高一下?江蘇南通?期中）如圖，在AABC中，己知AB=4,AC=10,ZBAC=60°,M,N分別為3C,/C

邊上的中點(diǎn)，/M,BN相交于點(diǎn)p.

(1)求3C；

(2)求cos/AffW的值.

27.（23-24高二下?廣西柳州?期中）在AASC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

2asinC=3bsinA,cos4=g.

（1）證明："BC為等腰三角形.

（2）若。是邊2。的中點(diǎn)，AD二用,求的面積.

28.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在“8C中，角4SC所對(duì)的邊分別為d6,c,241bcosAsinB+acos25-a=0.

（1）求tarM的值；

（2）若.=夜，點(diǎn)“是48的中點(diǎn)，且CW=1,求“3C的面積.

【題型8三角形的角平分線問(wèn)題】

滿分技法

如圖，在A48C中，AD平分NBAC,角4,B,C所對(duì)的邊分別為用4c

（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：ABAC=2ABAD=2ZCAD

（2）內(nèi)角平分線定理：/D為A48c的內(nèi)角NBNC的平分線，貝1］絲=9.

ACDC

說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就

可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。

（3）等面積法：因?yàn)镾AABD+SAACD=SAABC，所以［c,力Ds譏5+,力Ds譏T=gbcs譏4

2，A

所以（b+c）AD=26ccos3整理的：AD=笠"（角平分線長(zhǎng)公式）

2b+c

2兀

29.（23-24高一下?廣東深圳?期中）在“3C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別是。也c,且NB/C=三，平

分NBAC交BC于D,40=1,a=2囪，則/8C的面積為.

30.（23-24高一下?山東青島?期中）在“3C中，角/、3、C的對(duì)邊分別為a"、c,若6=[cosC+q-sinC

4D是“3C的角平分線，點(diǎn)Z）在8C上，AD=M，b=3c,則。=（）

A.-B.-C.-D.4

333

31.（23-24高一下?江蘇連云港?期中）已知“BC滿足sin?/=sin?8+sii?C+sin8sinC.

（1）求A；

（2）若4D為。BC的角平分線，AB=6,ZC=3,求的周長(zhǎng).

32.（23-24高一下?福建廈門?期中）記的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知26-c=2acosC.

（1）求角A的大小；

（2）若。點(diǎn)在線段8c上，且/。平分/3/C,若BD=2CD,且/。=百，求。.

【題型9多三角形或四邊形中解三角形】

滿分技法

在面對(duì)幾何圖形時(shí)，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中利用正、余弦定理，特別時(shí)涉及到公共邊時(shí),

要利用公共邊來(lái)過(guò)渡，即利用公共邊創(chuàng)造互補(bǔ)或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.

33.（22-23高一下?山東東營(yíng)?期末）在平面四邊形/BCD中，已知3+。=兀，4B=2,8c=4及，3=4,

AD=2亞,則四邊形48co的面積是（）

A.4（后+網(wǎng)B.4（行+⑸C.4便+⑸D.4（V3+V6）

34.（23-24高一下?四川?期中）在凸四邊形/3CD中，若48=1,BC=2,CD=3,DA=4,ZABC=120°,

貝l|cos4CD=.

35.（23-24高一下?浙江?期中）已知四邊形N8CD內(nèi)接于圓。，且滿足N8=l,AD=3,BC=CD=2,

則圓。的半徑為（）

A.—B.—C.—D.V21

332

36.（22-23高一下?河南平頂山?期末）如圖所示，四邊形ABCD的外接圓為圓O,BC=2,AC=3,tanS=-2VL

D

(1)求sin/NCB；

(2)若NCOD=ZAOD,求ND的長(zhǎng).

【題型10角或三角值的最值范圍】

滿分技法

求解三角形的角度范圍問(wèn)題，常見(jiàn)解題思路為：

（1）對(duì)所給條件做出分析，根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適定理表達(dá)所求角度，若已知邊長(zhǎng)值較多則考慮余弦定理,

已知角度大小則考慮正弦定理；

（2）根據(jù)角度的具體表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，討論有關(guān)變量的具體定義域；

（3）選擇三角函數(shù)求值域或基本函數(shù)求值域方式，在所求定義域內(nèi)求得對(duì)應(yīng)值域，即可得到問(wèn)題所求的角

度相關(guān)范圍大小.

37.（23-24高一下?天津河西?期中）在銳角中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且0=3,

，則b的取值范圍是（）

A.(0,6)B.(0,273)C.(百,2四)D.(336)

38.（23-24高一下?四川成者上期中）在銳角中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且滿足

（a+6+c）（a+6-c）=39.則回■的取值范圍為（）

V3空

C.(V3+co)

23

39.（23-24高一下?山東青島?期中）在銳角“3C中，角48,C的對(duì)邊分別為0,仇c,AABC的面積為S,

若sin（Z+C）=^J,貝UtaM的取值范圍為（）

b-a

40.(23-24高一下?安徽宿州?期中)給出以下三個(gè)件:①2aZ?cosC=/+/一4,②23cos4+acosB)=/,

112

③7■三+七=’?請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解.已知在銳角“BC中，內(nèi)

tan/tan5bsinZ

角43,C的對(duì)邊分別為。，"c,且.

（1）求邊長(zhǎng)c；

（2）若AJBC的面積S』BC=6，求角C的最大值.

【題型11邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍】

滿分技法

求解與邊長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，正余弦定理的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵步驟，常見(jiàn)的解答思路一般表現(xiàn)為：

（1）根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選擇合適的定理并代人具體值，得到與問(wèn)題所求的對(duì)應(yīng)關(guān)系等式；

（2）根據(jù)關(guān)系等式以及三角形三邊之和、內(nèi)角和關(guān)系特點(diǎn)，得到具體關(guān)系等式或不等式；

（3）通過(guò)運(yùn)算，求出問(wèn)題所求邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)具體取值范圍.

41.（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期中）在銳角三角形N8C中，4瓜-2bc=a1-（b-占,°=右，貝!

周長(zhǎng)的取值范圍是（）.

A.（2百,3+百]B.（3,2e+2]C.（3+百,30]D.（3,3+6]

42.（23-24高一下?黑龍江大慶?期中）在AABC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為AABC的面積,

a=2,且2s=a2-（b-c）2,則“3C的周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.（2,275]B.（4,2A/5+2]C.（6,275+2]D.（4,75+2]

43.（23-24高一下?重慶渝中?期中）在中，內(nèi)角4SC的對(duì)邊分別為a,b,c,AN8C的面積為S,已知c=2,

且。2+/=4病+4.

（1）求C；

（2）求屬一°的取值范圍.

44.（23?24高一下?安徽?月考）在銳角中，內(nèi)角45,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知：2Q-26cosc=c,

absinB-2sirt4=bsiih4

（1）求b和角B；

/、為2a—6+2cge/土HE

(2)求---------的取值氾圍.

b

【題型12三角形面積的最值范圍】

滿分技法

針對(duì)三角形面積進(jìn)行提問(wèn)的取值范圍問(wèn)題，屬于中等難度的一類解三角形問(wèn)題、可在選擇填空或解答題中

遇見(jiàn)其“身影”解答這類問(wèn)題，主要思路在于借助公式將面積問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或基本不等式求

最值，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出具體完整的解答，這些解題思路在解題過(guò)程中具體可表現(xiàn)為：

（1）對(duì)所求三角形大致形狀做出分析，明確選擇面積求解公式；

（2）運(yùn)用正余弦定理，取得三角形邊長(zhǎng)、角度具體值，將其代人面積公式中得到具體表達(dá)式；

（3）根據(jù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用函數(shù)求值域思路或基本不等式求臨界值思路，得到具體的范圍大小，即對(duì)

應(yīng)問(wèn)題所求的面積范圍值.

45.（23-24高一下?江西?月考）在^ABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為。也c,且歐=16A/3,17COSC+3ccosA=0,

則面積的最大值為（）

A.6GB.4^3C.375D.6

46.⑵-24高一下?福建泉州?月考）在銳角^ABC中，。、b、c分別是角K、B、C所對(duì)的邊，己知"=—

6cosn

且6=6,則銳角。8C面積的取值范圍為（）

A.（0,473）B.（46,9石]C.D.（0,66]

47.（23-24高一下?浙江?期中）已知"8C的內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為。也c且加=ba,Gcos/）與

〃二（sinC,c）垂直.

（1）求A大??；

（2）若6C邊上的中線長(zhǎng)為也，求的面積的最大值.

2

48.（23-24高一下?山西?月考）在中，內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,且

A-\-C1

q(sin---------sinAcosC)=—csin2A.

（1）求角B的大小;

（2）若“BC為銳角三角形，且°=2而，求“3C的面積的取值范圍.

【題型13解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用】

滿分技法

正、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形（主要是三角形與四邊

形）問(wèn)題中的應(yīng)用，因此利用幾何圖形本身及實(shí)際問(wèn)題中涉及到的術(shù)語(yǔ)（如方位角等）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切?

在三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理即可.

49.（23-24高一下?云南大理?期中）如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離，飛機(jī)沿水平方向在48兩點(diǎn)進(jìn)

行測(cè)量，48,在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).已知飛機(jī)在A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得在B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得

AABM=60°，NNBM=15°,AB=2千米,則ACV=()

\—V2)

(提示:sinl5°=sin(60°—45°

A.n+0千米B.4-2百千米C.百+1千米D.4行-2指千米

50.（23-24高一下?山東泰安?期中）如圖，在測(cè)量河對(duì)岸的塔高48時(shí)，測(cè)量者選取了與塔底E在同一水平

面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,并測(cè)得NADC=120。，/BCD=15°，CD=20百米，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的

仰角為30°，則塔高羽=（）

C.15血米D.11百米

51.（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期中）某同學(xué)打算測(cè)量一座塔即的高，他在山下/處測(cè)得塔尖。的仰

角為45。，再沿/C方向前進(jìn)20米到達(dá)山腳點(diǎn)8,測(cè)得塔尖點(diǎn)。的仰角為60。，塔底點(diǎn)￡的仰角為30。，那

么在下列選項(xiàng)中，塔高最毯近（）米.（參考數(shù)據(jù)：6句.7,1.4）

D

A.31.33B.31.94C.32.45D.33.21

52.（23-24高一下?遼寧沈陽(yáng)?期中）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖/BCD所示.為考

慮露營(yíng)客人娛樂(lè)休閑的需求，在四邊形/BCD區(qū)域中，將三角形N3D區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形8co

區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊/3、BC、CD、。/修建觀賞步道，對(duì)角線3。修建隔離防護(hù)欄，其中CD=100米，

7T

3c=200米，//一.

3

（1）若9=150米，求燒烤區(qū)的面積？

（2）如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄？

（3）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形N5CD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花

卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，求滿足上述條件時(shí)的長(zhǎng)度.

【題型14解三角形的新定義問(wèn)題】

滿分技法

解三角形的新定義問(wèn)題通常涉及到對(duì)三角形的基本性質(zhì)和定理的創(chuàng)新應(yīng)用。解題時(shí)，首先需要理解新定義

的具體內(nèi)容，包括它的定義、性質(zhì)和應(yīng)用場(chǎng)景。然后，根據(jù)新定義的特點(diǎn)，選擇合適的數(shù)學(xué)工具和方法進(jìn)

行解題。

53.（23-24高一下?廣東河源?期中）閱讀材料：材料一：我國(guó)南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出

了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為。，中斜為6,大斜為。，則三

角形的面積為5=??；[/,2_（"^￡）2],這個(gè)公式稱之為秦九韶公式；材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所

著的《度量論》或稱《測(cè)地術(shù)》中給出了用三角形的三條邊長(zhǎng)表示三角形的面積的公式，即已知三角形的

三條邊長(zhǎng)分別為4,6,C,則它的面積為S=-6)5-c),其中p=g(a+6+c),這個(gè)公式稱之為海

倫公式；請(qǐng)你結(jié)合閱讀材料解答下面的問(wèn)題：

(1)證明秦九韶公式與海倫公式的等價(jià)性；

(2)已知AABC的面積為24,其內(nèi)切圓半徑為2,a=8,6<c,求6c.

54.(23-24高一下?廣東佛山?期中)三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn).當(dāng)MBC

內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件/尸/8=/尸3。=/尸C4=6時(shí)，則稱點(diǎn)P為“8c的布洛卡點(diǎn)，角6為布洛卡角.如圖，

在中，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為。，b,c,記/3C的面積為S,點(diǎn)P為小的布洛卡點(diǎn)，其

布洛卡角為夕

(1)若6=30。.求證：①/+/+,2=4有S;②“BC為等邊三角形.

(2)若/=2。求證：sin2A=sin5sinC.

55.(23-24高一下?廣東江門?月考)正等角中心(positiveisogonalcentre)亦稱費(fèi)馬點(diǎn)，是三角形的巧合點(diǎn)

之一.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一

點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)“8C的三個(gè)內(nèi)

角均小于120°時(shí)，使得ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°的點(diǎn)。即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)“BC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于

120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知。8C的內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,

(1)若csinC-asin4=(c-6)sin5,

①求A；

②若be=2,設(shè)點(diǎn)P為"8C的費(fèi)馬點(diǎn)，求評(píng)?麗+麗?京+京?成；

(2)若cos2c+2sin(/+2)sin(N-2)=l,設(shè)點(diǎn).為“5C的費(fèi)馬點(diǎn),|尸目+|尸。|=/|尸⑷,求實(shí)數(shù)f的最小

值.

56.（23-24高一下?山東青島?期中）法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三

角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂

點(diǎn)”.在“8C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且10。皿笥0]=7-cos2/,以48,3C,/C為邊向

外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為q,a,O3.若。=3,AO0，a的面積為拽，求的面積.

4

?過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.（23-24高一■下?江西宜春,期中）在中，角4民。的對(duì)邊分別為。也。，若Q=3,6=4,c=V?f,則

C=（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

2.（23-24高一下?湖北武漢?月考）在“BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。，已知°=a=2,

4=；,則角8=（）

57r兀1、.71—兀57r471

A.一B.一或一C.一D.一或一

12124121212

bc

3.（23-24高一下?江蘇連云港?期中）在三角形“BC中，若一-=——，則”3C是（）三角形.

cosCcosS

A.等腰△B.等腰△或RMC.等腰直角3D.RtA

4.（23-24高一下?云南昆明?月考）在中，角43,C所對(duì)的邊分別為。也c,已知"6=1工=6，則^ABC

的外接圓面積為（）

A.2兀B.y/3TlC.兀D.V2K

5.（23?24高一下?天津?期中）一個(gè)人騎自行車由4地出發(fā)向正東方向騎行了2km到達(dá)8地，然后由3地向

南偏東300方向騎行了2km到達(dá)C地，再?gòu)?。地向北偏東30°方向騎行了8km到達(dá)。地，則4。兩地的距離

為（）

A.2V19kmB.56kmC.2V83kmD.6km

6.（23-24高一下?江蘇南通?期中）在“3C中，角48,C所對(duì)的邊分別為6,c,茗c—b=2bcosA,則一J