專題02解三角形

1.在①ac=V5,②csinA=3,③c=舊6這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角

形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,且sin4=gsinB,C=g___________?

6

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】詳見解析

【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系,

設(shè)出長度長度，由余弦定理得到c的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理

由sinA=百sinB可得：:=V3,不妨設(shè)a=73m,b=m(m>0),

則：c2=a2+b2-2abcosC=3m2+m2-2xV3mxmx，=m?,即c=m.

若選擇條件①：

據(jù)此可得：ac=V3mxm=V3m2=V3,m=1,此時c=m=1.

若選擇條件②：

據(jù)此可得：cosA=^km2+m2-3m21

2bc2m22

貝!J：sinA=11—=*此時：csinA=mxf=3,貝！I：c=m=2百.

若選擇條件③:

可得2=2=1,=b,與條件c=V5b矛盾，則問題中的三角形不存在.

bmc

［方法二］:正弦定理

由C=—,A+B+C=IT,得A=----B.

66

由sinA=V3sinB,得sin(詈-B)=V3sinB,即］cosB+fsinB=V3sinB,

得tanB=—.由于0VB<m得B=所以b=c,A=—.

363

若選擇條件①:

由肅1=品‘得品=看'得2=百口

36

解得c=b=l,a=V5.所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時c=l.

若選擇條件②:

由csinA=3,得csinT=3,解得c=2百，貝！Jb=c=2

由~^7=告，得一^€=二，得a=V5c=6.

sinAsmCsin—sm-

36

所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時c=2百.

若選擇條件③：

由于c=V^b與b=c矛盾，所以，問題中的三角形不存在.

【整體點評】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題

的通性通法,也是最優(yōu)解；

方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A,可求出角B,從而可得b=c,A=字,B=C=g

再根據(jù)選擇條件即可解出.

2.在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA-ga=0.

(I)求角B的大??；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【答案】⑴B==；(II)(等,|］

【分析】(D方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；

(II)方法二：結(jié)合(I)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角

形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【詳解】(I)

［方法一］:余弦定理

由2bsinA=8a,得sin2A=(空)=三，即1—cos2A二號\

結(jié)合余弦定cosA=b,

即4b2c2—b4—c4—a4—2b2c?+2b2a2+2c2a?=3a2c2,

即a4+b4+c4+a2c2—2a2b2—2b2c2=0,

即+b4+c4+2a2c2—2a2b2—2b2c?=a2c2,

即(a2+c2—b2)2=(ac)2,

???△ABC為銳角三角形，???a2+c2-b2>0,

.*.a2+c2—b2=ac,

所以cosB='-b=

又B為△ABC的一個內(nèi)角，故B=］

［方法二］【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角

由2bsinA=V3a,結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=V3sinA,sinB=/

△ABC為銳角三角形，故B=g.

(II)［方法一］：余弦定理基本不等式

因為B=］并利用余弦定理整理得b2=a?+c2—ac,

即3ac=(a+c)2—b2.

結(jié)合ac<(等丫，得等W2.

由臨界狀態(tài)(不妨取A=］)可知.=

而AABC為銳角三角形,所以誓>,.

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=『++皆,

b2=a2+c2—ac,代入化簡得cosA+cosB+cosC=1（呼+1）

故cosA+cosB+cosC的取值范圍是三二

［方法二］【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合(1)的結(jié)論有:

1

cosA+cosB+cosC=cosA+-4-cos

.1.,V3.,1V3..,1.,1

=cosA——cosAd——sinA+-=——sinA+-cosA+-

222222

=sin（A+§+[

（0<-n-A<-仃

37T

由1r2可得：2<A<3-<A+-<—,

6

0<A<-2363

2

則sin（A+qC（今4,sin（A+=）+|e（等

即cosA+cosB+cosC的取值范圍是C?,I].

【整體點評】(I)的方法一,根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得a2+c2-b2=ac,

運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；(ID的三

種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形,

簡潔明快，確定為最優(yōu)解.

3.在平面四邊形4BC。中，^ADC=90°,Nd=45。，AB=2,BD=5.

(1)求COSNADB；

(2)若DC=2V2,求BC.

【答案】⑴~(2)5.

【分析】(1)方法一：根據(jù)正弦定理得到求得sin/ADB=g結(jié)合角的范圍，利用同角三

smZAsinZADB5

角函數(shù)關(guān)系式，求得cosNADB=J1-捻=￥；

(2)方法一：根據(jù)第一問的結(jié)論可以求得cos/BDC=sinNADB=?,在ABCD中，根據(jù)余弦定理即可求出.

【詳解】(1)［方法1］：正弦定理+平方關(guān)系

在AABD中，由正弦定理得柴代入數(shù)值并解得sin/ADB=￡又因為BD>AB,所以

ZA>ZADB,即NADB為銳角，所以cos/ADB=，.

［方法2］：余弦定理

在AABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos45°,BP25=4+AD2-2x2xADxy,解得：AD=V2+V23，所以,

(V2+V23)2+25-4_V23

cosZADB=2x(V2+V23)x55

［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識

如圖，過B點作BEJ.AD,垂足為E,BF1CD,垂足為F.在RtzXAEB中，因為NA=45。，AB=2,所以

AE=BE=V2.在RtABED中，因為BD=5,則DE=VBD2-BE2=

所以cos/ADB=

［方法4］：坐標(biāo)法

以D為坐標(biāo)原點，玩為x軸，位為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略).

設(shè)NBDC=a,則B(5cosa,5sina).因為NA=45°,所以A(0,5sina+近).

從而AB=J(0-5cosa)2+(5sina+V5-5sina)2=2,又a是銳角，所以cosa=f,cosZADB=sina=-\/l-cos2a=.

(2)［方法1］：【通性通法】余弦定理

在ABCD,由(1)得，cos/ADB=W，BC2=BD2+DC2-2BD-DCcos(90°-ZADB)

=52+(2V2)-2x5x2V2sinZADB=25,所以BC=5.

［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識

作BF1DC,垂足為F,易求，BF=V23，F(xiàn)C=VX由勾股定理得BC=5.

【整體點評】(1)方法一：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對角，利用正弦定理和平方關(guān)系解三角形，屬于

通性通法；

方法二：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；

方法三：根據(jù)題意利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算.

方法四：建立坐標(biāo)系，通過兩點間的距離公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這是解析思想的體現(xiàn).

(2)方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法.

方法二：利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算.

n2

4.AA3C的內(nèi)角2、B、C的對邊分別為a、6、c,已知AABC的面積為

3sin?l

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.

【答案】(l)sinBsinC=|(2)3+V33.

【詳解】試題分析：(1)由三角形面積公式建立等式;acsinB=】J,再利用正弦定理將邊化成角，從而

23sinA

得出sinBsinC的值；(2)由cosBcosC=工和sinBsinC=白計算出cos(B+C)=-工，從而求出角A,根據(jù)題設(shè)

632

和余弦定理可以求出be和b+c的值，從而求出4ABC的周長為3+V33.

試題解析：(1)由題設(shè)得工acsinB=三，ipicsinB=^-.

23sinA23smA

由正弦定理得工sinCsinB=

23smA

故sinBsinC=

3

(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=一右，即cos(B+C)=—/

所以B+C=與，故A=］

12

由題設(shè)得-bcsinA=—a—，即be=8.

23smA

由余弦定理得b?+c2—be=9,即(b+c)2—3bc=9,得b+c=V33.

故4ABC的周長為3+V33.

點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公

式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見

的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者"已知一條邊的長度和它所

對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值“，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立

函數(shù)關(guān)系式，如丫=Asin(3x+(p)+b,從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體

的值直接利用余弦定理和給定條件即可.

5.在A4BC中，內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且滿足=asinb

⑴求A;

(2)若a=VH,BA-AC=3,A。是△ABC的中線，求A。的長.

【答案】(1)A=等

【分析】(1)由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

(2)由嬴?麗=3可得be=6,根據(jù)崩="而+而)以及余弦定理即可求出|而

【詳解】(1)=cos(]—：)=sin?

所以bsin&=asinB,

2

由正弦定理得：sinBsin^=sinAsinB,

A

sinBW0,???sin-=sinA,

2

sin-=2sin-cos-,,:AG(0,n),-G(0,-)sin-H0,

222k72k272

得COS2=工，即A=2,

2223

???AA=—211.

3

(2)vBA.AC=3,

???bccos(n—A)=3,得be=6,

由余弦定理得：b2+c2=a2+2bccosA=13,

AD=1(AB+AC),

___>1___?_?i7

|AD|2=-(AB+AC)2=-(c2+b2+2bccosA)=-

所以I而I=1,

即AD的長為子.

6.在△ABC中，角4SC所對的邊分別為a,b,c.已知a=2魚/=5,c=g.

(I)求角C的大小；

(II)求sin/的值；

(III)求sin(2/+J的值.

【答案】(I)c=:(II)sinA=^；(III)sinf2A+=)=—.

413\4/26

【分析】(I)直接利用余弦定理運算即可；

(II)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先計算出sinA,cosA,進(jìn)一步求出sin2A,cos2A,再利用兩角和的正弦公式計算即可.

【詳解】(I)在△ABC中，由a=2V2,b=5,c=g及余弦定理得

「a2+b2-c28+25-13\[2

cosC—■—產(chǎn)=,

2ab2X2V2X52

又因為ce所以c=?；

(II)在^ABC中，由C=U,a=2y[2,c=及正弦定理，可得sinA=竺處=二?—紅亙；

4cV1313

(III)由a<c知角A為銳角，由sinA=哈可得cosA=V1—sin2A=帶3

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=―,cos2A=2cos2A—1=—,

1313

所以sin(2A+-)=sin2Acos-+cos2Asin-=-x—+—x—=

v474413213226

【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)

運算能力，是一道容易題.

7.在銳角三角形中，角的對邊分別為a,b,c,而為85在荏方向上的投影向量，且滿足2csinB=

V5|GD|.

(1)求cosC的值；

(2)若b=V3,a=3ccosB,求Z8C的周長.

【答案】⑴1

(2)273+V2

【分析】（1）依題意可得|而|=bcosC,即可得到2csinB=V^bcosC,利用正弦定理將邊化角，即可得到

2sinC=V5cosC,再由平方關(guān)系計算可得；

（2）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及（1）的結(jié)論得到sinB=V^cosB,從而求出sinB、cosB,

再由正弦定理求出c,即可求出a,從而得解.

【詳解】⑴由而為正在而方向上的投影向量，則|E|=bcosC,

又2csinB=V5|CD|,即2csinB=V5bcosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=V5sinBcosC,

在銳角ABC中，Be（0^）,則sinB>0,即2sinC=V^cosC,

由CE（04），則cos2c+si112c=1,整理可得COS?C+[cos2c=1,解得cosC=1（負(fù)值舍去）.

(2)由a=3ccosB,根據(jù)正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在^ABC中，A+B+C=ir,則sin(B+C)=3sinCcosB,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

由(1)可知cosC=|,sinC=「1—cos2c=貝！JsinB=\/^cosB,

JcosDB=一

由si/B+cos2B=1,則5cos2B+cos2B=1,解得〈?(負(fù)值舍去)，

.DV30

sinB=——

I6

根據(jù)正弦定理，可得上=白，則c=^b=V^,a==V3,

smBsmCsmB2

故^ABC的周長C^ABC=a+b+c=2^/3+V2.

8.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點。在邊AB上，乙4=二BD=CD,AD=2.

4

⑴若BD=爭,求c；

(2)若a=2A/2,求4ABC的面積.

【答案】(l)c=2+VIU或c=2+半

(2)4或3-V3.

【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得b,從而求得BD,即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，由正弦定理化簡得cos。=sin（乎-2。），再由正弦定理即可得到c,結(jié)合三角形的面積公

式即可得到結(jié)果.

在AACD中NA=」AD=2,CD=BD=—b,由余弦定理得，

43

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosA=22+b2-4bcos-=4+b2-2迎b

4

A(yb)2=4+b2-2V2b,化簡得2b2-90+18=0,

解得b=3/，或b=券.

.-.BD=^b=^x3V2=V10,或BD=隹b=^x^=?.

333322

C=AB=AD+BD=2+Vio,或c=AB=AD+BD=2+手，

綜上可得c=2+VI^,或c=2+等.

(2)在ABCD中BD=CD,設(shè)NB=NBCD=e,則NBDC=TT-2。，

；a=2或，由正弦定理得福=黑，'CD=焉.

在AACD中，ZADC-20,ZACD=—-20,

4

V2

ADCD2cose

由正弦定理得~9即"―：5T

sinzACDsinAsin-

sin(詈28)4

化簡得cosB=sin(于—2。)

sing-e)=sin(y-2e),VO<0<^.,.0<|-0<|,-J<y-20<y.

e=y-2?；?-04-^-20=11,解得e=(或e=春

當(dāng)e=N時，ZACB=AC=BC=2V2,...△ABC為等腰直角三角形,

42

得到△ABC的面積為SAABC=Tx2&x2證=4；

當(dāng)。/ZACB—)2TT

3

在4ABC中由正弦定理得'y=

sinzACB，

.a.廠2金

??c=^―--sinC=-f=-f=2百

smAV2

2

；.△ABC的面積為SAABC=-x2V2x2V3xsin—=2遙x正追=3-舊,

2124

綜上可得4ABC的面積為4或3-百.

9.已知/(無)=sinwc(3>0),其圖象相鄰對稱軸間的距離為忘若將其圖象向左平移居個單位得到函數(shù)y=

g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及圖象的對稱中心；

(2)在鈍角AaBC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,6,c,若/住)=。0求干+烹的取值范圍.

【答案】(l)g(x)=sin(2x+有，對稱中心為(—工+7,0)(keZ)

(2)[4V3,5V2)

【分析】(1)根據(jù)f(x)的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出3,再根據(jù)圖像平移得到y(tǒng)=g(x),由對

稱中心公式求得結(jié)果；

(2)由1|)=8《-9得出人田,(：三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡年+意，再利用導(dǎo)數(shù)求函

數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果.

【詳解】(1)已知f(x)的圖象相鄰對稱軸間的距離為泉則T=TT.

由周期公式得，1=含=!1,3>0,

心|

所以0)=2,f(x)=sin2x,

g(x)=sin[2(x+?=sin(2x+

令2x+—=ku,所以x=——+

6122

故函數(shù)y=g(x)的對稱中心為(—工+?,0)(kEZ)

(2)由題意得，f(|)=sinB,g(q-力=sin[2(U+U=sin(A+；),

所以sinB=sin(A+]).

所以B=A+：或A+B=](舍)，

所以C=；—2A.

因為在鈍角△ABC中，所以0<A<],0<C<]

所以0<A<巴，

4

EH2c,52sinC,5

則--1------=--------1------

bcosAsinBcosA

2cos2A52(2COS2A—1)+53

=-------—I-------=-------------------------=4cosAH--------

cosAcosAcosAcosA

令t=cosA,(p(t)=4t+|,tG(今1)，(P'(t)=4一1，

當(dāng)日VxV中時，q/(t)>0；當(dāng)/<x<l時，(pz(t)>0；

可得隼(t)在住片)單調(diào)遞減，在惇1)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=f,即A='時，隼①有最小值48；

cp(y)=5VXq>⑴=7,所以(p(t)<5V2

故,+ms\e[4"乃,5V2).

10.在銳角△28C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=6,2sin(X+C)+2bsin(F+C)=7舊.

(1)求角B的大小；

(2)若前=3DC,BD=V37,求c的值.

【答案】(1)B=g

⑵9

【分析】(1)由sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,代入2sin(A+C)+2bsin(B+C)=7遮得2sinB+

2bsinA=7A/3,再由正弦定理得出bsinA=6sinB,即可求出sinB,結(jié)合△ABC是銳角三角形即可得出角B的

大小；

(2)由前=3玩得AD=2DC,設(shè)4BDA=。，CD=x,貝！JAD=2x,AC=3x,由余弦定理得出cos4BDA,

cos/BDC和coszJVBC,整理得出關(guān)于c的方程，求解即可得出c的值.

【詳解】(1)在4ABC中，因為sin(A+C)=sinB,sin(B+C)=sinA,

所以2sinB+2bsinA=7A/3,

由正弦定理，知」T=一N，且a=6,則bsinA=6sinB,

sinAsinB

所以2sinB+12sinB=74,解得sinB=如,

又因為△ABC為銳角三角形，故B=g.

(2)因為通=3玩，所以點D在線段AC上，且AD=2DC,

設(shè)NBDA=。，CD=x,則AD=2x,AC=3x,

在4BDA中，由余弦定理，知COSNBDA=cos0=經(jīng)笑W①，

4V37x

在ABDC中，由余弦定理，知COSNBDC=cos(n-e)=—cos。=爺0②，

'J2V37X

由①+②，整理得6x2+39-c2=0,即x2=3③，

6

在AABC中，coszABC=-—c2~9—=即36+c2-9x2=6c④，

12c2

將③代入④，整理得c2+12c-189=0,解得c=9或c=-21(舍去)，

故c=9.

11.如圖，在△ABC中，4B=4C=曰BC,點。在AB延長線上，且力。=|皿

J._p,sinz.i4CD

⑴求際F；

(2)若AABC面積為舊，求CD.

【答案】⑴言

【分析】(I)設(shè)BC=gt(t>0),利用余弦定理求得A=亨，再在AACD和△BCD中兩次利用正弦定理即

可求出比值.

(2)利用三角形面積公式即可求出(I)問的t值，再利用余弦定理即可.

【詳解】(I)因為AB=AC=9BC,設(shè)BC=gt(t>0),則AB=AC=t,

由余弦定理得cosA=AB?黑［Be?=冬薩=_i因為人(0,K),

ZAD-ACIX.z

所以A=—,ZABC=ZBCA=",ZCBD=—

366

CDsinz.ACDCDsinz.ACD

在小ACD中,由正弦定理得AD==^CDsinzACD,

sinA~~21F

sinT

CDsinz.BCDCDsinzBCD

在4BCD中,由正弦定理得BD=：~5TT=2CDsinZ.BCD,

sinz.CBDsin—

6

5廣一，?孚CDsinziACD5

因為AD=5BD,所以；CDSMBCD2

5V3

整理得sinzACD

sinzBCD21

(2)由AD=|BD得AB=|BD,

由⑴得：t2sin*=祗所以t=2,

在4BCD中,BC=Bt=2V3,BD=-AB=ZCBD=—,

336

由余弦定理得

CD=7BC2+BD2-2BC-BDcoszCBD

=J(2A/3)2+g)2-4V3xx(-f

12.在①(2b—c)cos力=acosC,②asinB=43bcosA,③acosC+V3csin4=b+c,這三個條件中任選一

個，補充在下面問題中，并完成解答.

問題：銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知.

⑴求A;

(2)若b=2,。為AB的中點，求CD的取值范圍.

【答案】(l)A=g

⑵河,2)

【分析】(1)由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡即可；

(2)利用向量的幾何意義與數(shù)量積，通過條件先計算得c6(1,4),再得而2=((c—2尸+3,由二次函數(shù)

的單調(diào)性計算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)若選①，(2b—c)cosA=acosC=>2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

,:A、B>C￡(0,0,sinB70ncosA=[nA=：；

若選②,asinB=V3bcosA=>sinAsinB=V3sinBcosA,

?:A、B>C6(。，1)，???sinBH0=>sinA=V3cosA=>tanA=V3=>A=^；

若選③acosC+V3csinA=b+c=>sinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sinC

=sinAcosC+V3sinCsinA=sin(A+C)+sinC=>V3sinCsinA=sinC(cosA+1)

,:A、B、CE(0/)，???sinCW0=V5sinA-cosA=1=2sin(A-J

1717c.71

fffiA--6=>A—=-=A=-.

6663

如圖所示，設(shè)熊=己前=b,則前=b—乙|c|=c,|b|=b,b-c=c,

AB-BC=c-(b—c)=c—c2<0

「△ABC是銳角三角形,=cC(1,4),

ACBC=b(b-c)^4-c>0

CD-|c-b^CD2=Jc2-b-c+b2=i(c-2)2+3e[3,4),當(dāng)c=2時取得最小值，故|而|G[V3,2).

13.在△力BC中，內(nèi)角4,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,44；,sinC+sin(B-4)=&sin2a.

(1)求角a的取值范圍；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，并求6的值.

①sinC=今c=2g；②B=4+:,c=V^；③sinA=1,C>B,4C邊上的中線長為遮+1；

注：如果選擇條件①、條件②、條件③分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(i)Ae(0用

(2)答案見解析

【分析】(1)應(yīng)用兩角和差公式結(jié)合正弦定理可求得正弦值范圍，最后求出角的范圍；

(2)由正弦定理結(jié)合余弦定理邊角轉(zhuǎn)化求出邊長即可.

【詳解】(1)在△ABC中，C=F—(A+B),所以，sin(A+B)+sin(B-A)=V2sin2A.即，2sinBcosA=

2V2sinAcosA.

又因為AK]所以COSAWO,所以sinB=V^sinAG(0,l],由正弦定理得，b=V2a,所以A為銳角，所以sinAG

(。，苧,所以Ae(0,

(2)選①因為sinC=￥，Ce(0,ir),所以C=：或拳

當(dāng)C=(時，A=TT—：—B=手—B,sinB=/sinA=V^sinG—B)=cosB+sinB,所以cosB=0,即B=g,

所以由正弦定理得嚕=3,所以b=2逐；

0sin-

2z

當(dāng)C=亨時，A=n—午一B=；—B,sinB=V2sinA=V2sin（；—B）=cosB—sinB,所以cosB=2sinB,

所以sinB=g,所以由正弦定理得等=強所以b=等；

25

選②B=A+%sinB=V2sinA=V2sin（B—2）=sinB—cosB,所以cosB=0,

即B=；,所以由正弦定理得《=2，所以b=^；

2V2sin-

22

選③因為sinA=],由（1）知Ae（0，H，所以A=]sinB=&sinA=',所以B=:或B=乎，且C>B

所以B=N,C=TC—二―二=空，

46412

又因為b=&a,由余弦定理得：

（V3+I）2=a24--a2—2xax—ax-娓,解得a=2,所以b=V2a=2V2.

14.記△力的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,hc,已知△48C的面積為S=亨（a2+一。2）,c=2四.

（1）若求Q;

4

（2）。為4B上一點，從下列條件①、條件②中任選一個作為已知，求線段CD的最大值.

條件①：CD為NC的角平分線；條件②：CD為邊4B上的中線.

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】⑴傷+夜

⑵3

【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理即可三角形的面積公式即可得到C=%再由正弦定理即可得到結(jié)果;

（2）若選①，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；若選②，由2而=鬲+而，再結(jié)合余弦定理與

基本不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）因為S=f（a2+b2—c2）,

4

由余弦定理可得：a2+b2—c2=2abcosC,所以S=3?2abcosC,

4

由三角形的面積公式可得S=-absinC,所以立-2abcosC=工absinC,

242

所以tanC=?又C6（0,TT）,故C=g.

由正弦定理得，癮=金

.71n,TI.nV2+V6

且sinA=sin(B+C)=sin]=sin-cos-+cos-sin-=-------

43434

a2V3

所以?V2+V6-V3，故有a=A/6+V2.

F-T

（2）選擇條件①:

在^ABC中，由余弦定理a24-b2—c2=2abcosC,得a2+b2-12=ab,

2

2

即(a+b)=12+3ab<12+3(個)，故a+b<4V3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2次時，等號成立,

又因為S/kCDA+S^CDB=S^ABC

所以CD=倜3=V3((a+b)2-12)

a+b3(a+b)

V3/12V3

=至(a+b)-<=3

a+b3

故CD的最大值為3.

選擇條件②:

由題2而-CA+CB,平方得4|而r=以2+屈2+2區(qū).而=b2+a2+2abcosC=a2+b2+ab,

在△ABC中，由余弦定理得a?+b2-12=ab,

即(a+b)2=12+3ab<12+3(軍)；所以(a+b)2<48.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2次時，等號成立，

2222

故有4|CD|2=a+b+ab=(a+b)—ab=(a+b)—⑦嗎=|(a_(_b)2+4<36,

從而|CD|<3,故CD的最大值為3.

15.在△ABC中，B豐C,sinB+sinC=cosB+cosC.

⑴求A;

(2)若在△ABC內(nèi)(不包括邊界)有一點滿足CM=2M4=2MB,且41MC=90。，求tan/ACB.

【答案】(1)A=：

【分析】（1）運用輔助角公式化簡后解方程即可.

（2）在△MBC中運用正弦定理得9與＜p關(guān)系式，在RtAMBC中求得sin。與cos。的值，兩者聯(lián)立求解即可.

【詳解】（1）因為sinB+sinC=cosB+cosC,

所以sinB—cosB=cosC—sinC,

所以V^sin(B—：)=V^sing—C),即sin(B—()=sing—C),

又0<B,CVm則一乙VB-?V史，一巴<N-C<N,

,444444

故BW-C或(B-3+e-c)=n,

又因為B—-+--C=B—C=it不合題意，

44

故B—2=U—C,

44

所以B+C=；,

所以A=]

(2)由(1)知，A=-,

2

設(shè)NACM=e,又MA=MB,則NMAB=NMBA=e,

設(shè)NACB=<p,則NABC=；-(p,如圖，

在AMBC中，由正弦定理得二

sinQ-(p-0jsm((p-0)

又因為MC=2MB,

所以2sin((p-0)=cos((p+0),

BP2(sin(pcos0—coscpsinQ)=coscpcosO—sin(psin0@,

由MC=2AM,ZAMC=90。得，sin6=看cos6=意

代入①式整理得，V5sin(p=專coscp,則tancp=

故tanZ_ACB=

16.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinB+cosC=%也，cosB+sinC=漁龍紀(jì)

44

⑴求A;

(2)若a=W,求三角形ABC的周長.

【答案】（l）A=g

V6+2V3+3V2

()2

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的正弦公式求解;

(2)利用兩角差的正弦、余弦公式可解得sinB="，sinC=在警，進(jìn)而利用正弦定理即可求周長.

24

【詳解】(1)由sinB+cosC=比且，cosB+sinC=恒包^

44

可得siMB+cos2C+2sinBcosC==|+$①,

COS2B+sin2C+2cosBsinC=2f。=|+乎②，

加②可得，

sin2B+COS2B+cos2C+sin2C+2(sinBcosC+cosBsinC)=2+V3,

即2+2sin(B+C)=2+但所以sin(B+C)=y,

所以sin(B+C)=sin(n—A)=sinA='，

因為A?0f,所以A=g.

(2)因為sinB+cosC=^^,B+C=n-A=y,

所以sinB+cosC=sinB+cos(g—B)=方R

BP(V3+2)sinB-cosB=③;

又因為cosB+sinC=^*，B+C=n-A=y,

所以cosB+sinC=cosB+sing-B)=丑詈

即(b+2)cosB+sinB=漁等生④;

聯(lián)立③④解得，sinB=cosB=y,

zi>>-DirV6+V2..6V6+3V2

KAsinB+cosC=-------，cosBo+sinC=--------，

44

解得sinC=匹，cosC=三

44

又因為a=g,人苦’所以導(dǎo)=2R=2,

所以b=2RsinB=42,c=2RsinC=

2

所以三角形ABC的周長為a+b+c=V3+V2+"返=加打血

17.在銳角A4BC中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且2c2=(a2+c?=b2)(taiM+tanB).

(1)求角a的大小；

(2)若邊a=&,邊BC的中點為D,求中線力。長的取值范圍.

【答案】(l)A=g

4

rVio2+V2-.

(2)(W，一

【分析】(1)由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角;

(2)El3|AD|2=i(AB+AC)2,結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍,即可應(yīng)用三

角函數(shù)值域求出范圍

【詳解】(1)由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB),

BPc=acosB(tanA+tanB),

由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB

sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB

cosAcosBcosA

vsinCH0,???sinA=cosA,即tanA=l,

VAe(0,0,.-,A=J

(2)由余弦定理得：2=b?+c2-夜be,則b2+c2=2+&bc.

111

|AD|2=-(AB+AC)2=-(c2+b2+V2bc)=-(1+V2bc)

由正弦定理得二=c_a

sinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsin一B)=(sinBcosB+sin2B)=V2(-cos2B+sin2B)+V2

=2sin(2B—

9+企

0<B<-

因為△ABC是銳角三角形，所以31r2即已<B<N,

0<--B<-42

42

則汴2B-汴:，曰＜si￡2B-J)<1,.-.bee(2V2,2+V2].

中線AD長的取值范圍是(產(chǎn),警].

18.在AaBC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,hc,且a?—匕2=口或0$8—3bc

⑴求力；

(2)若a=6,2'BD=DC,求線段4D長的最大值.

【答案】⑴：

(2)273+2

【分析】(1)根據(jù)余弦定理，化簡可得b2+c2-a?=be,即可得出cosA=|,再根據(jù)A的范圍，即可得出答

案；

(2)解法一：由已知可得出前=2通+3而，平方整理可得說2="b2+4c2+2bc),再結(jié)合條件，根

339

據(jù)基本不等式，即可得出答案；

解法二：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,由正弦定理可得R=2百.作出△ABC的外接圓，結(jié)合圖象，可得出AD

過圓心。時，AD的長取得最大值.作0E1BC,構(gòu)造直角三角形，求出0D=2,即可得出答案.

【詳解】(1)因為a?—b?=accosB—[be,

所以根據(jù)余弦定理，可得a?-b2=ac?立產(chǎn)-；be,

2ac2

所以b2+c2—a2=be,所以COsA=b+：a—2

2bc2

因為Ae(0,n),所以A=g.

(2)解法一：因為2前=玩，所以2(而一品)=近一麗,

所以而通+工而，

33

22