流體力學(xué)中畢奧—薩伐爾定律的應(yīng)用及虛擬仿真實(shí)例徐陽(yáng)1陳有鵬1收稿日期：2025-4-9基金項(xiàng)目：山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J20240925）。作者簡(jiǎn)介：吳永萍，揚(yáng)州大學(xué)物理與科學(xué)技術(shù)學(xué)院教授，ypwu@。孫桂全，中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，sunguiquan@。通訊作者：收稿日期：2025-4-9基金項(xiàng)目：山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J20240925）。作者簡(jiǎn)介：吳永萍，揚(yáng)州大學(xué)物理與科學(xué)技術(shù)學(xué)院教授，ypwu@。孫桂全，中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，sunguiquan@。通訊作者：潘麗華，女，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和冷原子物理研究工作，lhpan@yzu.edu.cn。（1揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002；2中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院山西太原030051）摘要本文基于流體力學(xué)中的畢奧-薩伐爾定律及局域感應(yīng)近似，對(duì)兩個(gè)共軸渦旋環(huán)間相互作用所形成的“青蛙跳”現(xiàn)象進(jìn)行了虛擬仿真，重點(diǎn)探究了初始間距對(duì)動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果的影響。初始間距較大時(shí)，系統(tǒng)易發(fā)生經(jīng)典的青蛙跳行為；而初始間距較近時(shí)，則在穿越過(guò)程中，外側(cè)半徑較大的渦旋環(huán)會(huì)發(fā)生自環(huán)繞運(yùn)動(dòng)；并通過(guò)渦旋環(huán)的流速場(chǎng)解析說(shuō)明了渦旋環(huán)半徑變化、速度變化及自環(huán)繞行為的物理機(jī)制。另外也討論了三個(gè)共軸平行渦旋環(huán)間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，提出了三渦旋環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定周期性運(yùn)動(dòng)的條件。本文的虛擬仿真實(shí)例可用于矢量場(chǎng)的可視化。關(guān)鍵詞畢奧-薩伐爾定律；渦旋環(huán)；青蛙跳現(xiàn)象；虛擬仿真APPLICATIONOFBIOT-SAVARTLAWINFLUIDMECHANICSANDVIRTUALSIMULATIONEXAMPLESXUYang1,CHENYoupeng1,WUYongping1,SUNGuiquan2,PANLihua1(1SchoolofPhysicsScienceandTechnology,YangzhouUniversity,Yangzhou,Jiangsu225002;2SchoolofMathematics,NorthUniversityofChina,Taiyuan,Shaixi030051)AbstractBasedontheBiot-Savartlawandthelocalizedinductionapproximation,thispaperconductsavirtualsimulationoftheleapfroggingphenomenonformedbytheinteractionbetweentwocoaxialvortexrings.Thisstudyfocusesoninvestigatingtheimpactofinitialspacingonthedynamicevolutionoutcomes.Whentheinitialspacingislarger,thesystemispronetoexhibitclassicalleapfroggingbehavior;whereaswhentheinitialspacingissmall,duringthecrossingprocess,thevortexringwithalargerouterradiusundergoesself-orbitingmotion.Byanalyzingthevelocityfieldofavortexring,thephysicalmechanismsunderlyingthevariationsinvortexringradius,velocitychanges,andself-orbitingbehaviorareanalyticallyelucidated.Additionally,thedynamicbehaviorofthreecoaxialparallelvortexringsarediscussed,andconditionsforachievingstableperiodicleapfroggingmotioninthree-vortex-ringsystemsareproposed.Thevirtualsimulationexamplesinthispapercanbeusedforvectorfieldvisualization.KeywordsBiot-Savartlaw;vortexrings;leapfroggingphenomenon;VirtualSimulation“青蛙跳”現(xiàn)象最早由亥姆霍茲提出[1]并獲得了持續(xù)關(guān)注[2-8]，即：當(dāng)兩個(gè)共軸的圓形渦環(huán)同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，后面渦環(huán)加速并半徑減小，而前面渦環(huán)減速并半徑擴(kuò)大，直到后面渦環(huán)從前面渦環(huán)中穿梭過(guò)去，并循環(huán)往復(fù)。后續(xù)的研究結(jié)果[4]表明,渦旋對(duì)的動(dòng)力學(xué)結(jié)果取決于兩個(gè)渦旋環(huán)間發(fā)生穿越時(shí)的半徑比α。當(dāng)兩個(gè)渦旋對(duì)半徑比較小(α<0.172)時(shí)，小渦旋對(duì)會(huì)以較大速度脫離大渦旋對(duì)的作用而相互脫離；當(dāng)半徑比α>0.382時(shí)可獲得較穩(wěn)定“青蛙跳”結(jié)果；在中間區(qū)域則存在兩種不穩(wěn)定模式。相關(guān)的文獻(xiàn)結(jié)果主要描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程和結(jié)果，未給出明晰的渦旋環(huán)間相互作用的物理機(jī)制。本文中，我們通過(guò)介紹流體力學(xué)中的畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savartlaw,簡(jiǎn)記為B-S定律），并利用該定律分析渦旋環(huán)的流速場(chǎng)分布特征[9]。進(jìn)一步地，我們通過(guò)局域感應(yīng)近似[10-13]和數(shù)值模擬計(jì)算對(duì)兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果進(jìn)行了虛擬仿真，探究不同初始間距條件下渦旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從流速場(chǎng)角度對(duì)“青蛙跳”現(xiàn)象給出了定性解釋。另外，我們給出了一種較為穩(wěn)定的三個(gè)共軸渦旋環(huán)間的“青蛙跳”結(jié)果。1流體力學(xué)中的畢奧-薩伐爾定律通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，法國(guó)科學(xué)家畢奧和薩伐爾總結(jié)了電流元在真空中某點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即靜磁學(xué)中的B-S定律。流體力學(xué)中也有一個(gè)B-S公式，即渦絲元誘導(dǎo)速度公式，其數(shù)學(xué)公式的構(gòu)造與靜磁學(xué)中的B-S定律的數(shù)學(xué)公式類似。曲線渦絲段在觀察點(diǎn)P所誘導(dǎo)的速度由下式給出，(1)其中為環(huán)量，是從到點(diǎn)P的矢徑。一段渦旋線所誘導(dǎo)的速度則由整個(gè)渦旋線上渦絲的誘導(dǎo)速度求積。渦旋線的速度環(huán)流滿足，(2)其中為整數(shù)。渦旋環(huán)周圍的速度場(chǎng)的分布特征如圖1(a)所示，該結(jié)果可類比圓環(huán)載流線圈在過(guò)其直徑的平面上的磁感線分布。但與靜止的載流線圈磁場(chǎng)分布結(jié)果不同的是，流體中的渦旋環(huán)會(huì)由于速度場(chǎng)分布而具有軸向的自誘導(dǎo)運(yùn)動(dòng)速度[14]（圖1(b)）。(3)圖1（a）渦旋環(huán)周圍的速度場(chǎng)分布，可類比載流圓線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；（b）渦旋環(huán)的自誘導(dǎo)運(yùn)動(dòng)速度[15]2共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”現(xiàn)象2.1模型和原理如圖2所示，設(shè)置兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的初始狀態(tài)：它們初始半徑相等、初始位置分別為，則兩個(gè)渦旋環(huán)間距為。不失一般性，我們?cè)O(shè)且渦旋環(huán)自左向右運(yùn)動(dòng)，取不同的初始間距進(jìn)行結(jié)果討論。圖2兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的初始狀態(tài)設(shè)置根據(jù)B-S定律，單個(gè)渦旋環(huán)在空間位置矢量處形成流速場(chǎng)，由下式給出(4)其中環(huán)路積分表示沿著渦旋環(huán)的渦線積分一周。由于兩個(gè)渦旋環(huán)都彼此處在另一個(gè)渦旋環(huán)形成的流速場(chǎng)中，根據(jù)局域感應(yīng)近似[10-13]，并忽略能量耗散以及摩擦，渦旋環(huán)上的任意一點(diǎn)的速度由以下公式得出：(5)其中或，式中第一項(xiàng)表示渦旋環(huán)的自誘導(dǎo)速度；第二項(xiàng)表示的是另一個(gè)渦旋環(huán)所產(chǎn)生的速度場(chǎng)，這里不在渦旋環(huán)上，所以不存在發(fā)散問(wèn)題。由于系統(tǒng)存在軸對(duì)稱性，我們關(guān)注渦旋環(huán)在過(guò)軸的豎直平面內(nèi)的參數(shù)變化，即徑向參數(shù)和軸向位置參數(shù)，則渦旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)軌跡由下列方程組自洽迭代得到[16]：(6)式中即對(duì)應(yīng)的位置矢量，和分別為渦旋環(huán)在處所產(chǎn)生的流速的軸向分量和徑向分量。2.2計(jì)算結(jié)果2.2.1兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”現(xiàn)象當(dāng)兩個(gè)渦旋環(huán)間距較大時(shí)，比較容易得到經(jīng)典的“青蛙跳”現(xiàn)象，如圖3所示，渦旋環(huán)的位置-半徑（x-R）圖可以給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。初始時(shí)刻兩個(gè)渦旋環(huán)的半徑相等，由于相互作用，后面的渦旋環(huán)半徑減小并增速，而前面的渦旋環(huán)半徑增大并減速，從而發(fā)生穿越；穿越后，則循環(huán)往復(fù)。我們分析了在此過(guò)程中兩個(gè)渦旋環(huán)的位置-時(shí)間（x-t）關(guān)系，如圖4(a)，可以看出它們的位置交替曲線；從圖4(b)對(duì)應(yīng)的速度-時(shí)間（v-t）曲線,可以看出兩個(gè)渦旋環(huán)都保持了沿x軸向前的運(yùn)動(dòng)速率，任意時(shí)刻都保持大于零的速度即。圖3初始間距的兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖圖4初始間距的兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”過(guò)程：(a)位置-時(shí)間圖；(b)速度-時(shí)間圖減小兩個(gè)渦旋環(huán)的初始間距，當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了臨界的自環(huán)繞現(xiàn)象，如圖5(a)所示，這是由于兩個(gè)渦旋環(huán)在發(fā)生穿越時(shí)，在外側(cè)的渦旋環(huán)出現(xiàn)了較短時(shí)間段內(nèi)x方向上的負(fù)速度（圖5(b)-(c)）。圖5初始間距的兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”：(a)半徑-位置圖；(b)位置-時(shí)間圖；(c)速度-時(shí)間圖當(dāng)兩個(gè)渦旋環(huán)的間距減小為時(shí)，則半徑較大的渦旋環(huán)在運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)自環(huán)繞[6-7]，且在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)具有反向速度即，如圖6所示。上述動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果可以由渦旋環(huán)的速度場(chǎng)分布給出定性解釋：（1）當(dāng)渦旋環(huán)之間有較大間距時(shí)，若某個(gè)渦旋環(huán)處于其他渦旋環(huán)的后（前）方即如圖1(a)所標(biāo)識(shí)的（）點(diǎn)位置處，則其半徑減?。ㄔ龃螅┎殡S自誘導(dǎo)速度的增大（減?。＃?）當(dāng)渦旋環(huán)臨近或相互穿越時(shí)，半徑較大的渦旋環(huán)受到小渦旋環(huán)平面內(nèi)而在渦線外側(cè)的速度場(chǎng)影響，即如圖1(a)所標(biāo)識(shí)的1、2、5位置處，三處的流速都沿x軸負(fù)方向。另外，由于臨近小渦旋環(huán)渦線位置處的反向速度更大；隨著與渦線間距的增大，反向速度值逐漸變小。所以當(dāng)兩個(gè)渦旋環(huán)初始間距較近時(shí)，穿越時(shí)渦環(huán)半徑比（）的數(shù)值較大，從而導(dǎo)致外側(cè)大渦環(huán)的自環(huán)繞運(yùn)動(dòng)。圖6初始間距的兩個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”：(a)半徑-位置圖；(b)位置-時(shí)間圖；(c)速度-時(shí)間圖2.2.2三個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”現(xiàn)象當(dāng)系統(tǒng)擴(kuò)展至三個(gè)共軸渦旋環(huán)時(shí)，三體相互作用使得系統(tǒng)發(fā)生規(guī)律“青蛙跳”現(xiàn)象的條件更為苛刻[5,17]。我們嘗試了多種情形，發(fā)現(xiàn)只有中間渦旋環(huán)較小的三角構(gòu)型[17]可以得到周期性“青蛙跳”結(jié)果，且需要合適的初始間距。我們?nèi)〕跏及霃?，的三角?gòu)型，如圖7(a)所示，調(diào)節(jié)它們之間的初始間距，進(jìn)行了討論。當(dāng)初始間距為及其附近的參數(shù)區(qū)間時(shí)，可以得到較好的周期性“青蛙跳”結(jié)果，如圖7所示。圖7(b)的位置-時(shí)間圖和圖7(c)半徑-位置軌跡圖可以看出：中間小渦環(huán)先穿越前方的大渦環(huán)；之后后方的大渦環(huán)半徑變小發(fā)生一次穿越；之后循環(huán)往復(fù)。周期性穿越過(guò)程中，按從左往后的渦旋環(huán)位置排序進(jìn)行如下形式的相互穿越：123→132→312→321→231→213→123→…。若減小初始間距，在穿越過(guò)程中大渦環(huán)也會(huì)發(fā)生一定的自環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，給出了初始間距的演化結(jié)果。圖7初始間距的三個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”：(a)三角構(gòu)型；(b)位置-時(shí)間圖；(c)半徑-位置圖圖8初始間距的三個(gè)共軸渦旋環(huán)的“青蛙跳”：(a)位置-時(shí)間圖和(b)半徑-位置圖若增大渦環(huán)之間的初始間距，則很快就出現(xiàn)臨界的間距值，在時(shí)得到不穩(wěn)定動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果，其中一個(gè)渦旋環(huán)會(huì)脫離其他兩個(gè)渦旋環(huán)的作用，而另外兩個(gè)渦旋環(huán)則呈現(xiàn)出由相互作用而導(dǎo)致的兩者之間的青蛙跳行為，如圖9所示。比較初始間距分別為（圖9左）和（圖9右）的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：初始間距越大，脫離得越快。圖9初始間距（左）和（右）的三個(gè)共軸渦旋環(huán)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程：(a1)(a2)位置-時(shí)間圖；(b1)(b2)半徑-位置圖3結(jié)論流體力學(xué)中的B-S定律在空氣動(dòng)力學(xué)、海洋學(xué)與氣象學(xué)和渦旋動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。本文基于B-S定律及局域感應(yīng)近似，對(duì)不同初始間距的兩個(gè)共軸渦旋環(huán)之間的“青蛙跳”現(xiàn)象進(jìn)行了分析。我們的模擬結(jié)果有助于直觀地理解“青蛙跳”現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)起因。另外我們討論了初始位置呈三角構(gòu)型的三個(gè)共軸渦旋環(huán)動(dòng)力學(xué)演化，指出在一個(gè)相對(duì)較窄的初始間距參數(shù)范圍內(nèi)可觀察到穩(wěn)定的三個(gè)渦旋環(huán)間的“青蛙跳”現(xiàn)象。參考文獻(xiàn)HelmholtzH.Onintegralsofthehydrodynamicalequations,whichexpressvortexmotion[J].PhilosophicalMagazine,1867,33:485-510.LoveAEH.Onthemotionofpairedvorticeswithacommonaxis[J].Proceedingsofthe

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