第七章空間向量與立體幾何

7.1.1空間幾何體(題型戰(zhàn)法)

知識(shí)梳理

一簡單幾何體

1.柱體

(1)棱柱

側(cè)面積：5側(cè)=。！(直)，5側(cè)=。/(C：直截

面周長，1：斜棱長)

體積:P=S底

(2)圓柱

表面積：S表=5側(cè)+5上+5卜.

側(cè)面積：5側(cè)=。〃

體積：V=S&h

2.錐體

(1)棱錐

側(cè)面積：S=4C7r(C為底面周長，分為斜高)

2

體積：%=；S底/z

(2)圓錐

表面積：S表=%+s底

側(cè)面積：岳則=3。/

體積：展;S底力

3.臺(tái)體

(1)棱臺(tái)

體積：腺=；(S上+5下+心方)?力

(2)圓臺(tái)

表面積：S=Ry：+I+4/+々/)

體積：%?(02+八々+42),力

4.球體

表面積：S=4^r2

體積：V=-7vr3

3

二空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

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1.球的外接

R_Va2+b2+c2

(1)長方體外接球半徑計(jì)算公式為：-2

V3

R=-a

(2)正方體外接球半徑計(jì)算公式為：2

R---u

(3)正四面體外接球半徑計(jì)算公式：4(。為棱長)

(4)正棱錐外接球的半徑計(jì)算方法：頂點(diǎn)，球心，底面外接圓的圓心三點(diǎn)共線，可利用直角三角形求解;

即：八(h-R)2=R2(其中：：■為底面外接圓的半徑，可通過正弦定理進(jìn)行計(jì)算，力為三棱錐的高，R為

外接球的半徑)

(5)直三棱柱的外接球半徑計(jì)算方法：/+〃2=尺2(力為直棱柱高的一半，r為三角形外接球的半徑)

(6)直角四面體的外接球球心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處。

2.球的內(nèi)切

(1)正方體的內(nèi)切球半徑為：-；長方體無內(nèi)切球。

2

(2)直三棱柱的內(nèi)切球滿足條件：(1)棱柱的高為內(nèi)切球半徑的2倍，即：h=2r(2)記三棱柱底面三

邊長為a,6,c；貝!|g(a+6+c)r=S(S為底面三角形的面積)

2

(3)正三棱柱的內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：lar=^a,r=^a

246

(4)三棱錐的內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：1(S1+S2+S3+S4)7?=K

(5)正四面體內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：r=^a

12

(6)四棱錐內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：1(S1+S2+S3+S4+S5)A=F

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一柱體的表面積

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典例1.底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（）.

AanA/3「々百n嗔V3

.A.?3B?—C?3H-----JD.3H-----

242

變式11.正六棱柱的底面邊長為2,最長的一條對角線長為2百，則它的表面積為（）

A.4(3>/3+4)B.12(73+2)

C.12(273+1)D.3(6+8)

變式12.如圖，在正方體480/出/GD中，三棱錐。」耳。的表面積與正方體的表面積的比

為（）

A.1：1B.1：V2C.1：V3D.1：2

變式13.以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積

等于（）

A.8兀B.4兀C.8D.4

變式14.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4萬的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積是（）

A.84+16乃2B.2萬+4/C.4%+167r?D.8〃+4/

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題型戰(zhàn)法二柱體的體積

典例2.如圖，在四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD是正方形，底面N8C。，&4=4,/8=1,

那么該四棱柱的體積為（）

A.1B.2C.4D.8

變式21.底面邊長為2,高為1的正三棱柱的體積是（)

D.：

A.V3B.1L?------

變式22.正三棱柱NBC-48c中所有棱長均為2,點(diǎn)￡是則棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列判斷,

正確的是（）

A.正三棱柱的側(cè)面積是4+2夜

B.正三棱柱的體積是3

C.當(dāng)E是84中點(diǎn)時(shí)，/E與平面/CG4所成角的正弦值為十

D./￡+￡￡的最小值為26

變式23.如圖，在矩形Z8C。中，AB=3,BC=2,將矩形繞邊ZB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成

一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為（）

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A.3兀B.6兀C.12兀D.16兀

變式24.已知正三棱柱的體積為逅，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個(gè)側(cè)面的對角線長

2

為（）

A.1B.V3C.2D.V6

題型戰(zhàn)法三錐體的表面積

典例3.已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2,則該四棱錐的表面積為（）

A.4百B.4若

C.4百+4D.475+4

變式31.《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，

在四棱柱ABCD-44q4中，棱錐4-ABCD即為陽馬，已知/4=2/3=28C=2,則陽馬4-ABCD

的表面積為（）

A.2+V5B.3+45C.3+2石D.4+2石

變式32.已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2,側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上

的高為石，則這個(gè)三棱錐的表面積為（）

A.4+3V3+V15B.4+V3+2V15

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C.4+V3+V15D.4+2V3+V15

變式33.若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（）

2799

A.—兀B?—〃■C.3萬D.—71

424

變式34.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為胃，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比

為（）

A.3:2B.2:1C.4:3D.5:3

題型戰(zhàn)法四錐體的體積

典例4.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為石，那么它的體積為（）

A.V3B.273C.2D.275

變式41.已知直三棱柱/8C-NBC的體積為6,則三棱錐夕C的體積是（）

A.5B.-4C.3D.2

變式42.如圖,長方體ABCD-44cH的體積是36,點(diǎn)E在棱cq上，且CE=2EJ,則三棱錐E-BCD

C.4D.6

變式43.在“3C中，^=—,AB=AC=4,以8C所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的

面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）

,1667r口146兀廠兀c兀

A.-----H.--------（，.--------I）.----

3333

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變式44.交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設(shè)施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12,側(cè)

面積為65兀，則該圓錐體交通錐的體積為（）

C.100兀D.300兀

題型戰(zhàn)法五臺(tái)體的表面積與體積

典例5.已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.80B.240C.350D.640

變式51.若一個(gè)圓臺(tái)如圖所示，則其側(cè)面積等于（）

A.6B.6兀

C.3石兀D.6y/~5n

變式52.圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是兀，4兀，側(cè)面積是6無，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（)

A.空nB.2島C.逋JiD.逋71

363

變式53.已知圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為6,若該圓臺(tái)的體積為104兀，則其母線長為

（）（注：圓臺(tái)的體積廠=?（S上+S下+心上5下），）

A.2MB.2VHc.VioD.V13

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變式54.如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長分別為15cm和

10cm,高為15cm.“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”.貝該“升”的“平開喲可裝

（1000cm3=1L）（）

A.1.9LB.2.2LC.2.4LD.4.6L

題型戰(zhàn)法六球體的表面積與體積

典例6.一個(gè)球的體積為36兀，則這個(gè)球的表面積為（）

A.97rB.187rC.36〃D.727r

變式61.表面積為4萬的球的體積為（)

44c4―16%c32〃

A.-B.-7iC.—D.—

3333

變式62.一個(gè)球的表面積為144萬，則這個(gè)球的半徑為（)

A.6B.12C.6兀D.12?

變式63.如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9,那么兩個(gè)球的體積之比為（

A.4：9B.2：3C.8：27D.4：27

變式64.已知兩個(gè)球的表面積之比為1：9,則這兩個(gè)球的體積之比為（

A.1：V3B.1:3C.1:9D.1:27

題型戰(zhàn)法七外接球問題（柱體或可還原為柱體的錐體）

典例7.我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡墉（dao）,周四丈八尺,

高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表

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面積約為（）（注：1丈=10尺，%取3）

A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺

變式71.已知正三棱柱所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.64?tC.84兀D.144兀

變式72.《九章算術(shù)?商功》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體成為鱉腌.在鱉席/BCD中，ABI

平面5c0,BCLCD,且NB=1,8C=2,CD=3,則四面體NBCD外接球的表面積為（）

14兀

A.—B.7兀C.13KD.14兀

變式73.據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉IT'為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)

“鱉膈“，PA^&ABC,AB1BC,且PA=AB=BC=2,三棱錐夕卜接球表面積為（）

A.10萬B.12%C.14萬D.1671

變式74.在四面體/BCD中，AB=AC=BC=C,D4_L平面4BC,且/。=2,則該四面體的外接

球的表面積是（）

A.B.迪萬C.4萬D.8%

33

題型戰(zhàn)法八外接球問題（正棱錐、圓錐'臺(tái)體）

典例8.一個(gè)正四面體的棱長為2,則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（）

A.B.2?C.3萬D.2y叵兀

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變式81.某圓錐的母線長為4,高為3,則該圓錐外接球的表面積為（）

一256兀

B口196萬

A.16TT-丁C.24萬D-、

變式82.已知正四棱錐尸-A8CD中,AB=46,PA=2/,則該棱錐外接球的體積為（）

32兀c16兀

A.4兀BC.16兀D.——

-T3

變式83.在正三棱錐尸-中,PA工PB,P到平面ABC的距離為2,則該三棱錐外接球的表

面積為（)

167r

A.36%B.16萬C.亍D.4%

變式84.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3石■兀，則該圓臺(tái)的外接球半徑為（）

AV105口V65C際nV105

￡).------LJ.----------

54?44

題型戰(zhàn)法九內(nèi)切球問題

典例9.已知正方體的表面積為24,設(shè)它的外接球的表面積為S,它的內(nèi)切球的體積為則S與

%的值分別為：（）