猜押05銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（5大題型）

押題依據(jù)

猜

押3年南京

考情分析押題依據(jù)

考真題

點(diǎn)

仰

俯2023年

角南京卷第

問(wèn)23題；

從近年的南京中考數(shù)學(xué)來(lái)看，銳角三銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是中考

題

角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是必考內(nèi)容之一，的?？伎键c(diǎn)，也是我們南京中考數(shù)

2024年重點(diǎn)考查的是銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)學(xué)解答題的必考題;最近兩年涉及

方

南京卷第用，包括仰俯角問(wèn)題和方位角問(wèn)題；到的都是仰俯角問(wèn)題、方位角問(wèn)題

位

23題；一般在解答題的第23題進(jìn)行考查，難等，故考生復(fù)習(xí)的重點(diǎn)仍是這兩種

角

2022年度不大，重點(diǎn)掌握銳角三角函數(shù)的輔題型，同時(shí)注意下坡比問(wèn)題；這一

問(wèn)

南京卷第助線添加方法，學(xué)會(huì)“橫平豎直”的輔塊的問(wèn)題主要在于輔助線的添加，

題

23題；助線添加方式；考生要學(xué)會(huì)聯(lián)系生活把關(guān)鍵的邊長(zhǎng)求出來(lái)就可以解決

實(shí)際，準(zhǔn)確理解題意.此類問(wèn)題；

其

2021年

他

南京卷第

應(yīng)

23題；

用

題型一仰角俯角問(wèn)題

試卷第1頁(yè)，共20頁(yè)

（2025?江蘇南泉?一模）（跨學(xué)科融合）

1.如圖①，生活中人們常常利用定滑輪來(lái)升降物體.如圖②，某物體的初始位置在水平地

面上的C處，此時(shí)在將繩子拉直的A處測(cè)得定滑輪點(diǎn)尸的仰角為45。.繼續(xù)向后水平移動(dòng)1m

到3處測(cè)得定滑輪點(diǎn)P的仰角為37。，此時(shí)物體上升到。處.已知/M,8N均垂直于地面,

AM=BN=L6m,物體和定滑輪大小忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子總長(zhǎng)不變，求物體與定滑

343

輪的距離尸D的長(zhǎng)（結(jié)果精確到01m,參考數(shù)據(jù)：tan37。?！?，cos37。。-,sin37°?-,

455

V2?1.41).

P

圖①圖②

（2025?江蘇南京?一模）

2.南京青奧雙子塔是南京的地標(biāo)建筑物之一，對(duì)南京人民具有重要的生活意義.小文家住

在雙子塔附近，從她家陽(yáng)臺(tái)能看見雙子塔.如圖，42和。是雙子塔，小文從陽(yáng)臺(tái)正好能

看見雙子塔的塔頂在一條直線上，已知她眼睛距離地面10米，測(cè)得仰角為45。，此時(shí)她操控

無(wú)人機(jī)豎直向上飛了4秒到達(dá)點(diǎn)G處（無(wú)人機(jī)速度不變），測(cè)得塔頂C的仰角為又繼續(xù)

操控?zé)o人機(jī)豎直向上飛了5秒到達(dá)a處，測(cè)得塔頂A的仰角為已知雙子塔間的距離8。

為65米，求雙子塔和。的高度（結(jié)果精確到0.1）.

2sinal,cos￡，"，ta如紀(jì))

（參考數(shù)據(jù)：tana?j,

502561

（2023?江蘇南京?一模）（新情境）

試卷第2頁(yè)，共20頁(yè)

3.如圖，大樓/N上有一塊液晶屏幕，小明在坡面。處測(cè)得屏幕頂部/的仰角為30。，沿

坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來(lái)到C處，測(cè)得屏幕底部2的仰角

為48。，此時(shí)小明距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米，DE的坡度i=l：G，且。、

M、E、C、N、B、/在同一平面內(nèi)，M.E、C、N在同一條直線上，求液晶屏幕A8的長(zhǎng)度

711

（結(jié)果保留根號(hào)）.（參考數(shù)據(jù)：5Z?48°?—,tan48°?—）

（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）

4.如圖，平地上有一豎直旗桿從地面上的點(diǎn)C,D,E處測(cè)得旗桿頂端/的仰角分別

是56。19',26。34',45°.若點(diǎn)C,。之間的距離為加，用含機(jī)的代數(shù)式表示旗桿的高

和點(diǎn)C,￡之間的距離.（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：

5.如圖①，/用8是兩座垂直于同一水平地面且高度不同的鐵塔.小明和小麗為了測(cè)量?jī)?/p>

座鐵塔的高度，從地面上的點(diǎn)E處測(cè)得鐵塔頂端A的仰角為39。，鐵塔頂端C的仰角為27。,

沿著班向前走20米到達(dá)點(diǎn)尸處，測(cè)得鐵塔頂端A的仰角為53。.已知

ZABE=ZCDE=90°,點(diǎn)凡及。構(gòu)成的△E8D中，ZEBD=90°.

試卷第3頁(yè)，共20頁(yè)

(1)圖②是圖①中的一部分，求鐵塔48的高度；

(2)小明說(shuō)，在點(diǎn)E處只要再測(cè)量N3E。，通過(guò)計(jì)算即可求出鐵塔CD的高度，若記NBED為

34

a,則鐵塔CD的高度是一.(用含々的式子表示)(參考數(shù)據(jù)：sin39。行,cos39。

3991434

tan39O?-,sin27°?—,cos27°~—,tan27°--,sin53O?-,cos53°--,tan530?-)

420102553

(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))

6.如圖，在山腳/,2處測(cè)得山頂C處的仰角分別為45。，68.2。，在山腰。處測(cè)得C的仰

角為53。.已知48=972m,AD=300V2m,求山頂C的高度(參考數(shù)據(jù)：

tan53°?—,tan68.2°?—.)

32

(2024?江蘇南京?二模)

7.如圖，某登山隊(duì)在山腳/處測(cè)得山頂2的仰角為31。，沿傾斜角為20。的斜坡前進(jìn)1000m

后到達(dá)。處，又測(cè)得山頂8的仰角為71.57。，求山的高度2C.(參考數(shù)據(jù)：

tan31°?0.60,sin20°~0.34,cos20°?0.94,tan71.57°~3.00.)

試卷第4頁(yè)，共20頁(yè)

B

（2024?江蘇南京?二模）

8.如圖，為了測(cè)量某學(xué)校旗桿的高度，將固定在旗桿頂端/上的繩子拉直后，繩子的

末端恰好可以落在截面為矩形跖的主席臺(tái)底的點(diǎn)C處，也可以落在主席臺(tái)上的點(diǎn)C'

處.主席臺(tái)高8為1m,//磁和44。。分別為72。,64。，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi).求

旗桿的高度.（參考數(shù)據(jù)：

sin72°y0.95,cos72°?0.31,tan72073.08,sin64°y0.90,cos64°?0.44,tan64°?2.05.）

題型二方位角問(wèn)題

（2025?江蘇南京?一模）

9.如圖，小明乘高鐵從南向北勻速行駛，速度為50m/s.小明在3處通過(guò)窗口看到遠(yuǎn)處兩

棵樹（記為C和。），此時(shí)C在小明的北偏東45。方向，。在小明的北偏東63.4。方向.7s后,

小明到達(dá)A處，此時(shí)。和。恰好都在自己的南偏東53.1。方向.求兩棵樹之間的距離

4

CD.（參考數(shù)據(jù)：tan63.4°?2,tan53.1°?j.）

（2025?江蘇南京?一模）

試卷第5頁(yè)，共20頁(yè)

10.如圖，港口8位于港口/的北偏西37。方向，港口C位于港口/的北偏東21。方向，港

口C位于港口2的北偏東76。方向.一艘海輪從港口/出發(fā)，沿正北方向航行.已知港口3

到航線的距離為24km,求港口C到航線的距離.（參考數(shù)據(jù)：

o3

tan21°?一,tan37°a―,tan76°?4.）

214

（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）

11.如圖，在東西方向的海岸線/上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN,在距碼頭西端M的正西方

向59.5千米處有一觀測(cè)站O,現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站。的北偏西37。方向，且與觀測(cè)站。相距

60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口龍W,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于

⑴求43兩地的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)

據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°~0.75）

（2025?江蘇南京?一模）

12.如圖，點(diǎn)C、D、E在同一水平線上，在A處測(cè)得點(diǎn)C在正北60m處，點(diǎn)。在北偏東

45°；在3處測(cè)得點(diǎn)E在北偏東37。，點(diǎn)A在北偏西60。，AB=80m,求。、E兩點(diǎn)間的距

離.（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：tan37°a0.75.）

試卷第6頁(yè)，共20頁(yè)

DE

（2024?江蘇南京?二模）

13.如圖，。處的一艘貨輪位于A處的一艘護(hù)衛(wèi)艦的北偏東22.6。方向，此時(shí)兩船之間的距

離ZC為26海里.兩船同時(shí)沿著正北方向航行，護(hù)衛(wèi)艦航行40海里到達(dá)5處，此時(shí)貨輪到

達(dá)。處，測(cè)得貨輪位于護(hù)衛(wèi)艦的北偏東53。方向.求貨輪航行的路程.（參考數(shù)據(jù)：

5125434

sin22.6°?—,cos22.6°?—,tan22.6°?一,sin53°?,cos53°?—,tan53°?—）

131312553

（2024?江蘇南京?一模）（新情境）

14.隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的普及，外賣已經(jīng)成為了人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?某天，小

惠在位于點(diǎn)力處的家中購(gòu)買了位于點(diǎn)K處某商家的外賣食品，外賣騎手收到商家派單后，

立即趕往點(diǎn)K處取餐，然后進(jìn)行配送.根據(jù)導(dǎo)航顯示，點(diǎn)K在點(diǎn)/的南偏西30。方向800行

米處，點(diǎn)/在點(diǎn)2的北偏東75。方向，3、K兩地相距400店米（48K<90。），點(diǎn)C在點(diǎn)K

的正西方向，點(diǎn)。分別在點(diǎn)K、點(diǎn)/的正東方向和正南方向.（參考數(shù)據(jù)：

V2?1.41,V5?2.24,&a2.45）

試卷第7頁(yè)，共20頁(yè)

北

(1)求42的長(zhǎng)度；

(2)騎手在點(diǎn)C處收到派單后立即趕往點(diǎn)K處取餐并開始配送，由于道路K-/正在維修，

騎手有兩條送餐路線可選擇：?K-B-A,速度為每分鐘320米：@K-D-A,速度為

每分鐘240米.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，騎手選擇哪條送餐路線才能更快地將外賣送到小惠家？

(2024?江蘇南京?二模)

15.如圖，避風(fēng)港M在島礁P正東方向上.一艘漁船正以40海里/小時(shí)的速度向正東方向航

行，在A處測(cè)得島礁P在北偏東45。方向上，繼續(xù)航行1.8小時(shí)后到達(dá)B處時(shí)測(cè)得島礁P在

北偏東22。方向，避風(fēng)港M在北偏東53。方向上.求此時(shí)漁船離避風(fēng)港的距離(參考數(shù)

據(jù)：tan22°?0.40,sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33)

北

16.如圖，某漁輪在航行中遇險(xiǎn)發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在/處獲悉后，測(cè)出該漁輪在

海軍艦艇的北偏東45。、距離為160海里的C處，并測(cè)得該漁輪正沿南偏東53。的方向行

進(jìn).海軍艦艇立即沿北偏東67.4。的方向前去營(yíng)救，與漁輪在2處相遇，求漁輪的航程3c

和海軍艦艇的航程N(yùn)8.(參考數(shù)據(jù)：sin53°=cos37°~0.80,cos53°=sin37°~0.60,

tan67.4°=2.4)

試卷第8頁(yè)，共20頁(yè)

題型三坡度坡比問(wèn)題

（2024?江蘇南京?二模）

17.如圖，小亮和小剛為測(cè)量某建筑物43的高度，他們都從C處出發(fā)，小亮沿著水平方向

步行48m到達(dá)。處，測(cè)得頂部A的仰角為56。；小剛沿著坡角為14。的坡道行至E處，分別

測(cè)得他沿垂直方向上升的高度即為9m、頂部A的仰角為37。，求該建筑物的高度.（參

考數(shù)據(jù)：tanl4°?0.25,tan37°?0.75,tan56°?1.50.）

I564，

RDFC

（2024?江蘇南京?一模）

18.為測(cè)量某建筑物BC的高度，在坡腳工處測(cè)得頂端C的仰角NC42為45。，沿著傾斜角

為18。的斜坡4D前行30m到達(dá)。處，此時(shí)測(cè)得頂端C的仰角NCDE為58。，求建筑

物BC的高度.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.30,cosl8°?0.95,tanl8°~0.32,

sin58°x0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60）

（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）（文化背景）

19.今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測(cè)量煙花的燃放高度，如圖，小李從3點(diǎn)出

發(fā)，沿坡度，=5:12的山坡走了260米到達(dá)坡頂/點(diǎn)，亮亮則沿2點(diǎn)正東方向到達(dá)離工

試卷第9頁(yè)，共20頁(yè)

點(diǎn)水平距離80米的C點(diǎn)觀看，此時(shí)煙花在與8、C同一水平線上的點(diǎn)。處點(diǎn)燃，一朵朵燦

爛的煙花在點(diǎn)。的正上方E點(diǎn)綻放，小李在坡頂/處看煙花綻放處E的仰角為45。，亮亮

在C處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為60。，（點(diǎn)N、B、C、D、￡在同一平面內(nèi)）.煙花燃放結(jié)束后，小

李和亮亮來(lái)到煙花燃放地幫忙清理現(xiàn)場(chǎng)的垃圾，他們清理時(shí)發(fā)現(xiàn)剛才燃放的煙花盒子上的說(shuō)

明書寫著煙花的燃放高度為430±5米，請(qǐng)你幫他們計(jì)算一下說(shuō)明書寫的煙花燃放高度（圖

中DE）是否屬實(shí)？（參考數(shù)據(jù)：后。1.414，百。1.732）

（2024?江蘇宿遷?一模）（文化背景）

20.某校組織九年級(jí)學(xué)生到三臺(tái)山森林公園游玩，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)想利用測(cè)角儀測(cè)量天和

塔的高度.如圖，塔前有一座高為的斜坡，已知CO=12m,NDCE=30°,點(diǎn)、E、

C、/在同一條水平直線上.某學(xué)習(xí)小組在斜坡C處測(cè)得塔頂部8的仰角為45。，在斜坡。

處測(cè)得塔頂部8的仰角為39。.

EC

⑴求DE的長(zhǎng);

（2）求塔的高度.（tan39。取0.8,G取L7,0取1.4,結(jié)果取整數(shù)）

（2024?江蘇南京?二模）

21.為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng).如圖,

在一個(gè)坡度，=1:2.4的山坡上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹8.測(cè)得古樹底端C到山腳點(diǎn)/的距離

AC=26m,在距山腳點(diǎn)/水平距離16m的￡處，測(cè)得古樹頂端。的仰角N/助=48。，（古

試卷第10頁(yè)，共20頁(yè)

樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹8與直線垂直），求古樹CA的高

度.（參考數(shù)據(jù)：sin48°~0.73,cos48°?0.67,tan48°?l.l）

（2024?江蘇南京?三模）

22.如圖，為了測(cè)量大樓48的高度，小明在C點(diǎn)測(cè)得大樓頂端A的仰角為45。，從C點(diǎn)沿

傾斜角為37。的斜坡走到點(diǎn)。，再水平向左走16m達(dá)到點(diǎn)E,在此處測(cè)得大樓頂端A的仰角

為76。，同時(shí)測(cè)得大樓底端B的俯角為45。，求大樓N8的高度.（參考數(shù)據(jù)：tan37o=0.75,

tan76°?4.）

（2024?江蘇南京?一模）

23.如圖，保定市某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（。），放

置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳/處測(cè)得宣傳牌底部。

的仰角為60。，沿該中學(xué)圍墻邊坡N2向上走到8處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45。.已知山

坡43的坡度為力=1:3AB=2而m,4E=8m.

試卷第11頁(yè)，共20頁(yè)

⑴求點(diǎn)B距水平面AE的高度瓦7；

（2）求宣傳牌CD的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2023?江蘇南京?一模）（新情境）

24.圖①是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)和單板滑雪大跳臺(tái)的比賽場(chǎng)館，別名

“雪飛天”.我們畫出一個(gè)與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)￡尸、起跳區(qū)CD都與地面N8

平行.助滑坡DE與著陸坡/C的長(zhǎng)度之和為80m.已知所到N2的距離是CD到的距

離的3倍，乙4=30。，〃為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，乙EDM=37。.求斯到48的距離.（參考

數(shù)據(jù)：sin37yo.60,cos37yo.80,tan37yo.75.）

①

題型四解直角三角形中的光線問(wèn)題

（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）（跨學(xué)科融合）

25.學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈8的位置如圖所示，己知坡長(zhǎng)

AC=12m,坡角a為30。，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角￡為27。，最近

端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60。，A、B、C、。在同一

平面上.求CD的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos27°?0.89,

（2024江蘇南京?二模）（跨學(xué)科融合）

26.小明家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過(guò)窗戶照進(jìn)房間里，小明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知

識(shí)測(cè)量了這個(gè)路燈的高.如圖1所示，路燈頂部/處發(fā)光，光線透過(guò)窗子DC照亮地面的長(zhǎng)

度為EF,小明測(cè)得窗戶距離地面高度。O=lm,窗高CD=1.5tn,某一時(shí)刻，=hn,

EF=4m,其中8、。、E、尸四點(diǎn)在同一條直線上，C、D、。三點(diǎn)在同一條直線上，且

AB1.BE,CO1.OE.

試卷第12頁(yè)，共20頁(yè)

圖1圖2

（1）求出路燈的高度

（2）現(xiàn)在小明想讓光線透過(guò)窗子。C照亮地面的最遠(yuǎn)端位置離右墻角點(diǎn)F的距離為2m,如圖

2所示，需將路燈的高度升高多少米？此時(shí)光線照亮地面的最近端位置離。點(diǎn)的距離是

多少？（畫出圖形并解答）

（2024?江蘇南京?二模）

27.如圖，一艘潛艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行，其潛望鏡的最高點(diǎn)尸距海

面28m.潛艇水手在航程為78m（即尸0=78m）的兩個(gè)位置分別透過(guò)潛望鏡觀測(cè)正前方岸

上凸起的崖壁測(cè)量到入射光線的MC,與海面的夾角分別是19.8。,38.7。，折射光線

CP,與海面的夾角分別是45。,54.4。.求崖壁M到海面的距離.

（說(shuō)明：圖中點(diǎn)C,D,P,。在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：tanl9.8°?0.4,

（2024?江蘇鹽城?二模）（跨學(xué)科融合）

28.我們?cè)谖锢碚n中學(xué)過(guò)，光從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖1,記入射角為折

smCL

射角為尸，我們把〃=「稱為水的折射率.為了觀察光的折射現(xiàn)象，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：如圖

smp

2,?為一圓柱形敞口容器的縱切面，5C=32cm,容器未盛水時(shí)激光筆從。處發(fā)射光

線，點(diǎn)。，A,C恰好共線，此時(shí)/R4C=53。.往容器內(nèi)注水，當(dāng)水面所到達(dá)容器高度一

4

半時(shí)，激光筆在容器底面光斑落在點(diǎn)G處，測(cè)得坂=16cm.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-

34

cos53°a,tan53°?-).

5

試卷第13頁(yè)，共20頁(yè)

:“法線

入射角a:

7^空氣

:折射角B

圖1

（1）求入射角a的度數(shù);

（2）若CG=7cm,求光線從空氣射入水中的折射率

（2024?江蘇南京?三模）（跨學(xué)科融合）

29.學(xué)科綜合

SillCL

我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,我們把

sinp

稱為折射率（其中a代表入射角，方代表折射角）.

觀察實(shí)驗(yàn)

為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管可以看見水底的物塊

C,但不在細(xì)管所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形N皮花為矩形，點(diǎn)A,C,

8在同一直線上，測(cè)得2尸=12cm,OF=16cm.

（1）求入射角a的度數(shù).

43

（2）若5C=7cm,求光線從空氣射入水中的折射率〃.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,

4

tan53°p—）

3

（2024?江蘇泰州?一模）（跨學(xué)科融合）

30.如圖是一名軍事迷設(shè)計(jì)的潛水望遠(yuǎn)鏡，MN//GA//PQ//BH,AB//NP,兩個(gè)反光鏡

KI//CD,直線MV、G/之間的距離為5cm,ZMNP=122。.與MN平行的一束光線經(jīng)兩

個(gè)反光鏡反射后沿尸射出，其中.（參考值：sin29°?0.49,cos29°?0.87,

tan290?0.55,sin58°20.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60)

試卷第14頁(yè)，共20頁(yè)

⑴當(dāng)G、N、/三點(diǎn)共線時(shí)，求反光鏡KI的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）已知/8=4米，求點(diǎn)/到直線8"的距離.

（2024?江蘇南京?三模）（跨學(xué)科融合）

31.如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面2點(diǎn)后折射光線AD射到池

底點(diǎn)。處，入射角N48M=30。，折射角NZ）8N=22。；入射光線NC射到水池的水面C點(diǎn)

后折射光線CE射到池底點(diǎn)E處，入射角//CAT=60。，折射角

ZECN'=40.5°.DE//BC,MN、MN為法線.入射光線N3、NC和折射光線2D、CE

及法線MN、都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)/到直線8c的距離為6米.

⑴求5c的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如果=8.72米，求水池的深.（參考數(shù)據(jù)：④取1.41,百取1.73,sin22。取0.37,cos22。

取0.93,tan22°IX0.4,sin40.5°取0.65,cos40.5°取0.76,tan40.5°取0.85）

（2023?江蘇泰州?二模）（跨學(xué)科融合）

32.中國(guó)建筑師以潛望鏡為靈感設(shè)計(jì)了一個(gè)在私密空間內(nèi)也能享受到窗外美景的未來(lái)公共衛(wèi)

生間（如圖1）.該建筑總高8E=6.2m,剖面設(shè)計(jì)如圖2,BELED,CDLED,AB//CG//ED,

點(diǎn)、F為CG與BE的交點(diǎn),FE=3.2m,其中即為平面鏡，在墻面2C上也全部安裝與之貼合

的鏡面，HI//BC,HI=0.6m,HE=\2m,記與CG的夾角為a,N8與G尸之間為外界光

線入射的區(qū)域.（提示：法線垂直于平面鏡，入射角等于反射角，外界射入的均為與地面平

行的水平光線）

試卷第15頁(yè)，共20頁(yè)

圖1圖2圖3

⑴如圖3,當(dāng)a=60。時(shí)（其中區(qū)為入射光線，HK為反射光線，ZK為法線）：

①求乙的度數(shù)；

②若入射光線必經(jīng)平面鏡8c反射后，剛好到達(dá)平面鏡印的最頂端〃處成像，求該入射

光線與地面的距離；

（2）當(dāng)a=45。時(shí)，利用圖2分析，要在不影響觀景體驗(yàn)的同時(shí)盡可能地節(jié)約建筑成本，可以在

8c邊上安裝鏡面時(shí)減少_米耗材.（直接在橫線上填寫答案，參考數(shù)據(jù)：72=1.41）

題型五解直角三角形的其他應(yīng)用

（2025?江蘇蘇州?一模）

33.如圖，某型號(hào)訂書機(jī)的主要部件托板。/與手柄的長(zhǎng)度相等，均為10.7cm,其中托

板分為彈簧長(zhǎng)為1.2cm的推動(dòng)器。E和書釘E4三段，連桿的一端通過(guò)銷子尸與手柄相

連，另一端可在。/段滑動(dòng)，當(dāng)托板與手柄的夾角張開到一定大小時(shí)，連桿勾住推動(dòng)

器的一端。并隨著/NO3的增大拉動(dòng)推動(dòng)器向銷子。方向移動(dòng).現(xiàn)測(cè)得銷子。，尸之間的

距離為3.5cm,連桿與推動(dòng)器的長(zhǎng)度之和等于銷子尸到手柄端點(diǎn)3的距離.

（1）如圖①，當(dāng)連桿勾住點(diǎn)。時(shí)，若DFLOB,求此時(shí)書釘?shù)拈L(zhǎng)度（結(jié)果精確到O.lcin,參

考數(shù)據(jù)：J48.25a6.946,A/23.75~4.873）;

試卷第16頁(yè)，共20頁(yè)

⑵如圖②，已知一條新書釘?shù)拈L(zhǎng)度為3.5cm,當(dāng)裝好一條新書釘且連桿勾住點(diǎn)。時(shí)，求

cosZAOB.

（2025?江蘇宿遷?一模）

34.如圖①，舂碓是我國(guó)上世紀(jì)鄉(xiāng)村農(nóng)用工具，形狀呈Z型，將其抽象成如圖②的平面圖

形，呈工型的48C可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，其中A,O,8三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)。在直線

上，BCLAB,OA=60cm,BC=50cm,05=120cm,初始時(shí)/BOM=37°.

（1）如圖②，求初始時(shí)點(diǎn)A到MN的距離；

（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在上W上時(shí)，求點(diǎn)A在豎直方向上上升了多少厘米.（結(jié)果保留

1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin370?0.6,cos370?0.8,tan37°?0.75）

（2025?江蘇南京?一模）（新情境）

35.立竿見影.

如圖①，在平地上豎立一根直竿04,太陽(yáng)每天東升西落，直竿在陽(yáng)光下的影子隨之變

化.研究表明，南京地區(qū)的影端軌跡（直竿影子頂端的軌跡）在春分日、秋分日是正東西向

的直線，在其它時(shí)候是雙曲線的一支，日期與軌跡形狀的對(duì)應(yīng)情況如圖②所示.在老師指

導(dǎo)下，鼓樓區(qū)的幾位同學(xué)在學(xué)校進(jìn)行了如下探索.

（1）某一天甲同學(xué)在操場(chǎng)上觀測(cè)到竿影頂端的3處標(biāo)記點(diǎn)，位置如圖①所示，則他的這次觀

測(cè)大約在季節(jié).（填“春夏”或湫冬”）

（2）4月20日，乙同學(xué)從10:00到14:00每隔lOmin標(biāo)記一次影端的位置.

①當(dāng)天的影端軌跡最接近圖②中的哪條線？

②他選用了兩處標(biāo)記點(diǎn)確定出正東西方向，請(qǐng)指出他確定方向的方案和道理.

試卷第17頁(yè)，共20頁(yè)

（3）如圖③，丙同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室中用燈光模擬出“在春分日，直竿。4的影端軌跡為正東西向的

直線/”，丁同學(xué)提出：在地平面上放置一個(gè)三棱柱形狀的木斜坡，其下沿緊挨著竿底。

且08指向北偏西45。方向（俯視圖如圖④所示），影端軌跡有何變化？

①在圖④中用粗線畫出落在坡面上的影端軌跡；

②已知。到直線/的距離為15cm,斜坡坡角為30。，春分日正午時(shí)分太陽(yáng)光線與地平面的夾

角約為58。，此時(shí)影端落在斜坡上的N處，求N到地平面的距離（精確到0.1cm）.

（參考數(shù)據(jù)：tan58°?1.60,76-2.45.）

（2025?江蘇蘇州?一模）（文化背景）

36.中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季.如圖1的圭表所示，夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影

最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù).如圖2,在示意圖中，產(chǎn)

生日影的桿子垂直于地面，長(zhǎng)10尺.在某地夏至日正午時(shí)分，桿子在太陽(yáng)光

線龍。照射下產(chǎn)生的日影為NP；在該地冬至日正午時(shí)分，桿子在太陽(yáng)光線兒依照射下

產(chǎn)生的日影為N。.已知N/PN=73.4。，N"=26.6°,求春分和秋分時(shí)日影的長(zhǎng)度（結(jié)

果精確到01尺）.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6o~0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°~0.50,

sin73.4°合0.96,cos73.4°?0.29,tan73.4°-3.35）

（2025?江蘇蘇州?一模）（跨學(xué)科融合）

37.某液壓式千斤頂有兩根支撐桿，如圖①，支撐桿4D可繞N點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，支撐桿。的一端

與/。桿相連，另一端C在液壓棒的推動(dòng)下沿B尸滑動(dòng).已知支撐桿的長(zhǎng)度72cm,CD

的長(zhǎng)度為61cm,點(diǎn)/至I]8/的距離48為11cm.

試卷第18頁(yè)，共20頁(yè)

圖①

圖③

⑴千斤頂?shù)钠鹗迹ㄊ掌穑顟B(tài)如圖②所示，止匕時(shí)b，求8C的長(zhǎng)；

⑵如圖③，為抬高某物體，液壓棒推動(dòng)點(diǎn)C從起始位置滑動(dòng)到點(diǎn)C,此時(shí)支撐桿DC’與3尸

所夾的4D'C'尸=a,且sina=黑，求點(diǎn)C滑動(dòng)的距離CC'的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.

（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）

38.小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，

老師在該廠房頂部安裝一平面鏡九W與墻面N8所成的角3V3=118。，廠房高/8=8

m,房頂/〃與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地

面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少？（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin34%0.56,

tan34°=0.68,tan56°=1.48）

（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）

39.如圖，商場(chǎng)自動(dòng)扶梯從一樓到三樓與水平面所成的角度分別是：30。和37。，每層樓自

動(dòng)扶梯爬坡的坡面長(zhǎng)度相同，如果從一樓到二樓的層高為5米，求一樓到三樓的層高是

多少米？（忽略樓層之間厚度，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75）

試卷第19頁(yè)，共20頁(yè)

V

D

CH

（2024?江蘇南京?一模）

40.如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角1一般要滿

足50。</<75。.現(xiàn)有一架斜靠在墻上的梯子，為了能夠安全使用，該梯子前后移動(dòng)的最大

距離/。為1.9m.使用這架梯子最高可以攀上多高的墻？

（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19,sin75°?0.97,cos750-0.26,

試卷第20頁(yè)，共20頁(yè)

1.3.8m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問(wèn)題），熟練掌握仰角的定義及解直角

三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)D4交8c于點(diǎn)G,則CG=/M=DN=1.6m,在

Rtv/PG中，根據(jù)正切定義可得出尸G=NG,設(shè)尸G=/G=x,在Rt/XBG尸中，

NGDP=37°,根據(jù)正切的定義得出tan37。*==—解方程求出x,然后根據(jù)勾股定理求

4x+1

出AP和AP,進(jìn)而求出從/處移動(dòng)到8處，物體上升的高度，即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)D4交于點(diǎn)G,則CG=4W=DV=L6m,

PG=AGtanZPAG=AG-tan450=AG,

設(shè)尸G=/G=x,

在RtZkBG尸中，ZGDP=37°,

PG

tanZGDB=,

BG

3x

tan37°?-=——,

4x+1

解得x=3,

:.PG=AG=3,BG=4,

???AP=sJPG2+AG2=3A/2?4,23m>PB=^PG2+BG2=5，

二從/處移動(dòng)到8處，物體上升了5-4.23=0.77m,

PD=3+1.6—0.77=3.83?3.8m.

2.雙子塔工2的高度為315.0米，CD的高度為250.0米

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，設(shè)無(wú)人機(jī)的速度為vm/s,C/=EJ=mi,利用三角函數(shù)值列出對(duì)應(yīng)方程，求解即

可.

【詳解】解：如圖，設(shè)無(wú)人機(jī)的速度為皿1/5,。/=￡7=刈1,

答案第1頁(yè)，共42頁(yè)

BDF

:.EG=4wn,HG=5vm,GN=EJ=xm,CN=CJ-NI=（x-4v）m,

EI=AI=PH=EJ+IJ=（65+x）m,

：.AP=AI-PI=65+x-（4v+5v）=（65+x-9v）m,

"=空=』二，ta^=65+.-9v^25

GNx3PH65+x61

:.v=20,x=240,

.?.CL>=C/+A/=x+10=250.0（m）,/3=//+8/=65+x+10=315.0（m）,

答：雙子塔N8的高度為315.0米，CD的高度為250.0米.

3.液晶屏幕的長(zhǎng)度為(10G-2)m.

【分析】本題考查了解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。PJL/N,垂足

為尸，過(guò)點(diǎn)。作O0JLME,垂足為Q,則四邊形DQV?為矩形，DQ=PN,DP=QN,先

求出8N222,在RtzXOQE中，求出。尸=QV=30+10&,在RM/DP中，求出

NN=20+10g,即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DPLMV,垂足為尸，過(guò)點(diǎn)。作。垂足為。，則

四邊形DQV?為矩形，DQ=PN,DP=QN,

在RSBCN中，ZBCN=48°,

答案第2頁(yè)，共42頁(yè)

Vtan48°=——,CN=20,

CN

???BN?22,

在RtZXOQE中，DE的坡度;1：百，DE=20,

DQ=10,EQ=10y/3,

DP=QN=30+1043,

在RM4D尸中，ZADP=30°,

Ap

???tan30°=—,

DP

???4P=lO+lo5

???/N=2O+1O5

.../2=3-3'=20+10百-22=（10石-2）111,

答：液晶屏幕的長(zhǎng)度為（10君-2）m.

35

4.旗桿的高為:加，點(diǎn)C,E之間的距離為了加

44

【分析】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直的定義

得到乙45。=/ABE=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???45，?！?

ZABD=/ABE=90°,

ZADB=26。34',/力。8=56。19',

47?AR

tan/ADB=——^0.5,tanZACB=——M.5,

BDBC

:.BD=2AB,BC=-AB,

3

,/CD=m,

2

:.BD-BC=2AB——AB=CD=m,

3

3

/.AB=—m,

4

?.?ZAEB=45°,

3

BE=AB=—m,

4

答案第3頁(yè)，共42頁(yè)

2335

CE—BC+BE=—x—YYI—m=—YYI,

3444

35

答：旗桿45的高為:加，點(diǎn)C,E之間的距離為了加.

44

5.(1)鐵塔的高度約為2亨40米

160

⑵---------米

7cosa

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵.

（1）設(shè)鐵塔的高度為x米，在RM/8尸中，解直角三角形可得麻的長(zhǎng)，在中,

解直角三角形可得BE的長(zhǎng)，再根據(jù)5尸+EP=8E建立方程，解方程即可得;

（2）先求出8E的長(zhǎng)，再在RtABED中，解直角三角形可得?！甑拈L(zhǎng)，然后在Rt^CDE中,

解直角三角形即可得.

【詳解】（1）解：設(shè)鐵塔的高度為x米,

由題意得：/AFB=53°,ZAEB=39°,跖=20米,

???ZABE=90°,

.?.在RM/B尸中,BF=___—=一-一米,

tanAAFBtan53°'

x

在RtAME中,BE=——米,

tanZAEBtan39°

???BF+EF=BE,

-—+20=--

tan53°tan39°

20tan39°-tan530240八八

解得％=---------------B(術(shù)),

tan53°-tan3907

答：鐵塔45的高度約為24^0米.

(2)解：由題意得：ACED=2T,ABED=a,

AB20tan53°

由（1）可知，BE=米,

tan39°tan53°-tan39°

???ZEBD=90°,

BE20tan53°

???在Rt^BED中,DE米,

cosABEDcoscr(tan53°-tan39°)

???NCDE=9。。，

cn「廠20tan53°-tan270160

???在RtZ\CZ)￡中,CD=DE?tanZCED=-------；----------------------?---------（米）,

cosa(tan53°-tan39°)7cosa

故答案為：-米--.--

7cosa

答案第4頁(yè)，共42頁(yè)

6.h=780m

【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用——仰角問(wèn)題.添加輔助線，構(gòu)建直角三角形、矩形,

熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)，矩形性質(zhì)，正切定義，構(gòu)建一元一次方程，是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)C作CFL/B于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作。E2AB于￡,作DGLC廠于G,得四邊形。EFG是

矩形，得DE=FG,DG=EF,根據(jù)N/=45°,AD=30Qy/2,得/￡=300,GF=300,

得CG=〃-300,得DGx--------------,EFx--------—,根據(jù)AF土啰，AB=972,得

445

300+%""°)+”=972,解得〃=780.

45

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF148于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作。￡工48于E,作。GLC尸于

G,

則/DEF=ZDGF=/GFE=90。,

???四邊形。EFG是矩形，

DE=FG,DG=EF,

???NA=45°,

ZADE=90°-ZA=45°f

,?AD=300也，

??AE=DE=—AD=300,

2

.-.GF=300,

-CF=h,

CG=CF-GF=h-300,

???/COG=53。，

二/二上『小T。),

tan5304

3(/2-300)

???EF?△-----L,

4

???AB=68.2°，

答案第5頁(yè)，共42頁(yè)

CFh2h

???BF=-------

tanN5tan68.2°

???AB=972,

3（A-300）2h

???300+--------L+—=972,

45

解得力=780.

7.620m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問(wèn)題.設(shè)PC=x.解直角三角形，分

別求出。尸=4?sin20Op340,Z/=4Q-cos200a940,BE=DE?tan7L57。R3X,根據(jù)

RF

tan71.57°=—,求出x的值，即可得到結(jié)果.

DE

【詳解】解：過(guò)。作。垂足為尸，DELBC,垂足為E,

設(shè)"=x.

在RM4D廠中,

?.?sin20°=—,cos20°=—

ADAD

DF=AD-sin20°?340,AF=AD?cos20°?940.

在RtABOE中,

RF

vtan71.57°=—

DE

BE=DE?tan71.57°?3x

在RM4BC中,

??"1。嘿

八r3%+340

0.6?-----------

940+x

“日280

解得x=~

??.5C=3x+340=620.

答案第6頁(yè)，共42頁(yè)

答：山的高度為620m.

8.旗桿的高度約為19m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

延長(zhǎng)CD交于點(diǎn)G,根據(jù)題意可得：CD=