1.3探索三角形全等的條件（2）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

1.（2022秋?湖南衡陽?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小明設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑A8的卡鉗，問：在卡鉗的設(shè)

計(jì)中，要使。C=A3,貝UA。、BO、CO,。。應(yīng)滿足下列的條件是（

B.AO=COMBO=DOC.AC=BDD.BO=DO

【答案】B

【解析】如圖,連接CD

AO=COS.BO=DO,乙AOC=LBOD（對(duì)頂角相等），所以△AOCg/XBO。,則￡>C=AB.故選B.

2.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AD1AB,AE1AC,AD=AB,AE=AC,則下列各式正確的是（）

A.AABDACEB.AADF=△AEG

C.ABMF=AGCMD.AADC=△ABE

【答案】D

【解析】證明：,??4D14B,AELAC,

：.^.DAB=Z.EAC=90°,

???^DAB+乙BAC=乙EAC+乙BAC,即ND4C=Z.BAE,

在AaDC和AABE中,

AD=AB,

Z.DAC=Z-BAE,

AC=AE,

ADC三△4BE（S4S）.

3.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC和中，AB=DE,AB〃DE,運(yùn)用“SAT判定△ABC0

△DEF,需補(bǔ)充的條件是（）

A.AC=DFB.NA=/DC.BE=CFD./ACB=NDFE

【答案】C

［分析】證出ZABC=ZDEF,由SAS即可得出結(jié)論.

【詳解】解：補(bǔ)充理由如下：

'：AB//DE,

，ZABC=ZDEF,

若要利用SAS判定，B、D選項(xiàng)不符合要求，

若A：AC=DF,構(gòu)成的是SSA,不能證明三角形全等，A選項(xiàng)不符合要求，

C選項(xiàng)：BE=CF,

'：BE=CF,

:.BC=EF,

在AABC和ZkOEP中，

（AB=DE

{/.ABC=乙DEF,

IBC=EF

.,.△ABCgADEF（SAS）,

故選：C.

4.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是AABC的中線，E,尸分別是4。和4。延長線上的點(diǎn)，且

DE=DF,連接8凡CE.下列說法正確的是（）

①BD=CD；?ZBAD^ZCAD；③4BDF四ACDE；@BF//CE；⑤CE=AE

B

A.①②B.③⑤C.①③④D.①④⑤

【答案】C

【分析】①根據(jù)三角形的中線直接進(jìn)行判斷即可；

②一般三角形一條邊上的中線不一定是這條邊所對(duì)的角的平分線；

③根據(jù)“SAS”直接進(jìn)行判斷即可；

④根據(jù)三角形全等的性質(zhì)直接判定/歹=NDEC,根據(jù)平行線的判定方法得出結(jié)果；

⑤根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以判定CE=BF,不能判定CE=AE.

【詳解】解：①?.?&￡＞是"BC的中線，

：.BD=CD,故①正確；

②為AABC的中線，

：.BD=CD,NBA。和/C4￡)不一定相等，故②錯(cuò)誤；

-BD=CD

③在△2。/和△CUE中,N8DF=Z.CDE,

.DF=DE

：./\BDF^ACDE(SAS),故③正確；

?VABDF^ACDE,

/.NF=ZDEC,

：.BF||CE,故④正確；

⑤,：WDF/XCDE,

：.CE=BF,故⑤錯(cuò)誤；

綜上分析可知，①③④正確，故C正確.

故選：C.

5.(2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知N1=N2,添加一個(gè)條件,使△ABC0ZiBAD(SAS)

【答案】AC=BD

【分析】根據(jù)已有的一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，利用SAS判定兩三角形確定，即可添加AC=8。即可

【詳解】解：：△A2C與△5W，具有和41=42,一邊和一角對(duì)應(yīng)相等，

根據(jù)SAS判定兩三角形確定，需添加夾角的另一邊，

二添力口AC=B。，

在AABC和ABAD中，

AC=BD

zl=z2,

AB=BA

：.△ABC三△BAD(SAS)

故答案是：AC=BD.

6.(2021秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知NC4B=ND2E,ABD=AACE(SAS),需加的兩個(gè)條件是

【答案】AB=AC,AD=AE

【分析】根據(jù)NC4B=NZME得至!UC4E=4BAD,根據(jù)SAS添力口條件即可；

【詳解】V^CAB=/.DAE,

：.^CAE=^BAD,

當(dāng)月B=AC,AD=AE時(shí)，得至ABD幺力CE(SAS)；

故答案是：AB=AC,AD=AE.

7.(2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，AB1CF,垂足為B,AB||DE,點(diǎn)E在CF上，CE=FB,AB=DE,

依據(jù)以上條件可以判定△ABC三△DEF,這種判定三角形全等的方法，可以簡(jiǎn)寫為

C

F

【答案】SAS

【分析】先利用平行線的性質(zhì)和垂直定義證明4BC=乙DEF=90。，再得出CB=EF,然后得出是利用S4S

證明兩個(gè)三角形全等.

【詳解】解：'：AB||DE,

J.Z.ABC=乙DEF,

'：CE=BF,CE為公共部分，

ACB=EF,

又；AB=DE,

△ABC=△DEF（SAS）.

故答案為：SAS.

8.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，。是8C上的一點(diǎn)，CA=CD,CE平分交AB

于點(diǎn)E,連接。E,若NA=100°,ZB=45°,則°.

【答案】55

【分析】根據(jù)SAS證明A4CE四△OCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/CDE=/A=100。，再根據(jù)三角形

外角的性質(zhì)可求/BED

【詳解】解：平分/ACB,

/.NACE=ZDCE,

在AACE與ADCE中，

(CA=CD

\/.ACE=Z.DCE,

ICE=CE

：./\ACE^/\DCE(SAS),

AZCD￡=ZA=100°,

VZB=45°,

：.ZBED=ZCDE-ZB=100°-45°=55°.

故答案為：55.

9.（2022秋?廣東河源?八年級(jí)校考期末）如圖，已知：AD=BC,AD||BC,E,F是4C上兩點(diǎn)，且力尸=CE.

AB

;

DC

求證：DE=BF.

證明：???AD||BC（已知）

??2=N（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

???AF=CE（已知）

（等式的基本性質(zhì)）

即4E=CF

在△ADE和ACBF中

-.AADE=△CBF（）

DE=BF（）

【答案】4;C；AF—EF=CE-EF；AD=BC；乙4=NC；AE=CF-,SAS；全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA=NC,根據(jù)等式的性質(zhì)得到4E=CF,然后證明4ADECBF即可

得到結(jié)論.

【詳解】證明：?.?4DIIBC（已知）

.?.乙4=NC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

???AF=CE（已知）

AF-EF=CE-EF（等式的基本性質(zhì)）

即力E=CF

在△?!￡）￡1和小CBF中

AD=BC

Z4=4

.AE=CF

■■■^ADE=△CBF（SAS）

。石=2/（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

故答案為：a；c；AF-EF=CE-EF-,AD=BC；入4=NC；AE=CF；"SAS"；全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

10.（2023春?陜西西安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如右圖||CD,AB=CD.

求證：AADC=△CBA.

【分析】由ZB||CD,得4ACD=ZAB,再利用"SAS”即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：||CD,

：./.ACD=Z.CAB,

AB=CD

在AADC與ACB4中：l^ACD=^CAB,

AC=CA

：.AADC=^CBA("SAS")

11.(2023春?福建福州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在△48C中，4D18C于點(diǎn)。，4。=BD,點(diǎn)E在2。上,

DC=DE.求證：4DAC=LDBE.

【分析】證明△4DC三ABDE,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：:ADIBC于點(diǎn)D,

AADC=Z.BDE=90°,

在△4。。和4BCE中，

-AD=BD

AADC=乙BDE,

、DC=DE

.??△ADC三△BDE(SAS),

???Z.DAC=Z-DBE.

12.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，。是4E的中點(diǎn)，AB//CD,且AB=CD.求證：2ABe芬CDE.

B

【解析】根據(jù)線段中點(diǎn)定義可得/C=EC,再利用平行線的性質(zhì)得乙4=乙DCE,根據(jù)S/S定理判定/

△COE即可.

【答案】證明：???點(diǎn)C是線段4E的中點(diǎn),

AC=CE,

vAB//CD,

Z-A=Z-DCE,

在和中,

AB=CD

Z-A=乙DCE,

AC=CE

?,△ABCQACDE{SAS).

提升練

1.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方形力BCD中，AB=10cm,點(diǎn)E在線段力D上，且4E=6cm,

動(dòng)點(diǎn)P在線段48上，從點(diǎn)4出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BC上.以vcm/s的速度由點(diǎn)B向

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AE/IP與APBQ全等時(shí)，u的值為（）

A.2B.4C.4或2D.2或,

【答案】D

【分析】當(dāng)4EAP^iiP8Q全等時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)E4=PB,AP=BQ時(shí)，△APE=△8QP②當(dāng)4P=

BP,4E=BQ時(shí)，XAEP竺&BQP,分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問題的基本數(shù)量關(guān)系求解即可.

【詳解】當(dāng)AEAP與APBQ全等時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)E4=PB,AP=BQ時(shí)，

△APE=△BQP,

AB=10cm,AE=6cm,

??.BP=AE=6cm,AP=4czn,

.?.BQ=AP=4cm；

??,動(dòng)點(diǎn)P在線段/B上，從點(diǎn)4出發(fā)以2on/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：4+2=2s,

u的值為：4+2=2cm/s；

②當(dāng)4P=BP,AE=BQ時(shí)，4AEP沿ABQP,

AB=10cm/AE=6cm,

AP=BP=5cm/BQ=AE=6cm,

5+2=2.5s,

2.5v=6,

...V=ycm/s.

八12

故f的值為2czn/s或Fcm/s.

故選：D.

2.如圖，在四邊形2BCD中，ZB=ZC,AB=20cm,BC=15cm,點(diǎn)E為4B的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上

以5si/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).

￡

BPC

⑴若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，ABPE與ACQP是否全等?請(qǐng)說明理由.

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，某時(shí)刻能夠使△BPE與△CQP

全等？

【答案】(l)ABPE與ACQP全等.

理由如下：

?.?點(diǎn)E為AB的中總,AB=200",

11

：.BE=^AB=^x20=10(cm).

■:點(diǎn)P、。的速度都是5cm/s,

二經(jīng)過IsJs,BP=5cm,PC=BCBP=155=lO(cm),CQ=5cm.

在"PE與ACQP中，

BE=CP,

乙B—zC,

.BP=CQ,

.?△BPEm&CQP(SAS).

Q)MBPE與△CQP全等.

①若CQ=BE=10cm,^\BP=CP=I5cm,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為％=]0+（7.5+5尸爭(zhēng)tvw/s）;

②若CP=BE=lQcm,BP=CQ=5cm點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為%=5+（5+5）=5（c?t/s）

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，

???VQ=5cmls舍去，

.??點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為箓〃次時(shí),某時(shí)刻能夠使△■BPE與ACOP全等.

拓展練

（2019秋?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期中）附加題：（1）已知：如圖①，在AAO3和ACOD中，OA=OB,OC=OD,

乙AOB=LCOD=60°,求證：@AC=BD；②/APB=60。.

o

（2）如圖②，在AAOB和△COD中，若OA=OB,OC=OD,