八年級數(shù)學(xué)

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

A卷（共100分）

一、單選題（每小題4分，共32分）

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷.軸

對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

兩部分重合.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：B.

2.已知則下列結(jié)論不成立的是（）

xy

A.x~2Vy-2B.4xV-4yC.3x+lV3y+1D.—<—

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：A、由xVy,可得x-2Vy-2,成立，故本選項不合題意；

B、由xVy,可得-4x〉-4y,故本選項符合題意；

C、由xVy,可得3x+lV3y+L成立，故本選項不合題意；

D、由可得1<],成立，故本選項不合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.不等式的性質(zhì)：不等

式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式

的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

3.等腰三角形的一個角是40。，則它的頂角是（）

A.40°B.70°C.100°D.40?；?00。

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵.

分這個角為頂角和底角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得答案.

【詳解】解：當40。角為頂角時，則頂角為40。，

當40。角為底角時，則兩個底角和為80。，求得頂角為180°-80°=100。，

故選：D.

4.據(jù)氣象臺預(yù)報,2025年2月某日我區(qū)最高氣溫19℃,最低氣溫8℃,則當天氣溫/（℃）的變化范圍是（）

A.r>8B.r<i9c.8<r<19D.8<r<19

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)“2025年2月某日我區(qū)最高氣溫19℃,最低

氣溫8℃”得出答案即可.注意：t范圍包括8℃和19℃.

【詳解】解：.??2025年2月某日我區(qū)最高氣溫19C,最低氣溫8℃,

當天氣溫［℃）的變化范圍是8V19,

故選：C.

5.如圖，AABC中，NACfi=90。,NA5c=25。，以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到AA'3'C,且

B

A.65°B.60°C.50°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】先利用直角三角形兩銳角互余計算出4AC=65。，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得C4=C4',

ZA'=ZBAC=65°,NACA，等于旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NACA，的度數(shù)

即可.

【詳解】解：?.?NACB=90°,ZABC=25°,

:.ZBAC=65°,

???以點c為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到△A'3'C,且點A在邊43'上，

:.CA=CA',ZA'=ZBAC=65°,/ACA，等于旋轉(zhuǎn)角，

.-.ZCAA'=ZA'=65O,

ZAC4'=180°-65°-65°=50°,

即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°.

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.本題的關(guān)鍵在于依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，把已知條件和求解目標集中在一個等

腰三角形中.

6.已知一次函數(shù)y=（2m-3）x+2,y隨x的增大而減小，則機的取值范圍是（）

3333

A.m<——B.m>——C.m>—D.m<—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】由一次函數(shù)y隨尤的增大而減小得到2怯3<0,求出不等式的解集即可得到根的范圍.

【詳解】解：???一次函數(shù)廣（2祖-3）x+2,y隨x的增大而減小，

2m-3<0,

3

解得：加〈不，

2

3

則m的取值范圍是m<—.

2

故選：D.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次不等式，熟知一次函數(shù)尸質(zhì)+6（際0）,

當%>0時，y隨x的增大而增大；當左<0時，y隨x的減小而減小.

7.如圖，在VA5C中，已知AC=27,AB的垂直平分線交A3于點。，交AC于點E,若的周

A.23B.50C.27D.77

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出ABCE的周

長=4。+5c是解題的關(guān)鍵.根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=5E,然后

求出ABCE的周長=AC+3C,然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

【詳解】解：是線段AB的垂直平分線，

AE=BE,

.??△BCE(^^長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,

：.3C=50—27=23.

故選：A.

8.如圖，在VA3C中，AC=BC,ZACB=90°,M是AB邊上的中點，點。、E分別是AC、5C邊上

的動點，與。欣相交于點尸且"ME=90°.則下列5個結(jié)論：

(1)CD=BE；⑵△OEM是等腰直角三角形；

(3)AD+BE=AC；(4)四邊形CDME的面積會發(fā)生改變；

(5)ZCDM=ZCFE.其中正確的結(jié)論有()個

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判定定

理等知識點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出QW=4以=W,ZA^ZB=ZACM^ZBCM=45°,

ZAMC=ZBMC^90°,求出=根據(jù)全等三角形的判定定理推出△AMD之△CME,再逐

個判斷即可.能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?AC=BC,ZACB=90°,M是AB邊上的中點，

CM=AM=BM,ZB=ZACM=ZBCM=45°,ZAMC=ZBMC=90°,

ZAMD+ZCMD=90°,

■：ZDME=90°,

ZAMD+Z.CMD=Z.CME+ZCMD,

:.ZAMD=ZCME,

在AAMD和△CME中，

NA=ZMCE

<AM=CM,

ZAMD=ACME

.1△AMD均CME（ASA）,

.-.AD=CE,DM=EM,

:.AC-AD=BC-CE,即CD=BE,故（1）正確；

△￡）￡"是等腰直角三角形，故（2）正確；

:.AD+BE=CE+BE=CB=AC,故（3）正確；

四邊形CDME的面積為SYCDM+SyCEM~S'CDM+S'ADM~^NAMC，故不會發(fā)生改變，故（4）錯誤；

■：ZDME=9Q°,

NCDM=ZA+ZAMD=45°+ZAMD,Z.CFE=Z.CME+Z.FEM=45。+ACME,

:.NCDM=NCFE,故（5）正確；

故正確的有4個，

故選：C.

二、填空題（每小題4分，共20分）

9.已知點尸（加―3,1—機）在第二象限，則他的取值范圍為.

【答案】m<l

【解析】

分析】本題考查不等式組的解法，點所在的象限特征，先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公

共部分即可.解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式組的解法，屬于中考?？碱}型.

【詳解】解：..?點尸("Z—3,1—根)在第二象限，

m-3<0

?一,

1-m>0

解得：m<l,

故答案為：m<l.

10.已知等腰三角形的一邊長等于5,另一邊長等于2,則它的周長為.

【答案】12

【解析】

【分析】本題考查等腰三角形.熟練掌握等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和2,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角

形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當5是腰時，

V5+2>5,

...能構(gòu)成三角形.

.?.周長為：5+5+2=12.

當2是腰長時，

；2+2<5,

不能構(gòu)成三角形.

故答案為：12.

11.已知點Me2)與點N(l,b)關(guān)于原點成中心對稱，則2a+b的值為—.

【答案】-4

【解析】

【分析】利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特點可得6的值，然后計算即可.

【詳解】解：???點M(a,2)與點N(1,b)關(guān)于原點成中心對稱，

'.a=-1,b=-2,

則2a+b=-2-2=-4.

故答案為：-4.

【點睛】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，關(guān)鍵是掌握兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的橫坐標、

縱坐標符號都相反.

12.如圖，y=x+l和丁=依+3的圖象交于點尸，尸的橫坐標為1,則關(guān)于尤的不等式x+l<ox+3的解集

是______

【答案】X<1

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系根據(jù)兩函數(shù)的交點坐標，結(jié)合圖象即可確定出所求

不等式的解集.從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)丁=丘+匕的值大于（或小于）0的自變量X的取值

范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線丁="+匕在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的

集合.

【詳解】解：由圖知：當直線y=x+i的圖象在直線丁=依+3的下方時，不等式》+1<分+3成立；

由于兩直線的交點橫坐標為：x=l,

觀察圖象可知，當尤<1時，x+l<ax+3,即不等式x+l<av+3的解集為尤<1.

故答案為：x<l.

13.如圖，在VA3C中，ZC=90°.以點8為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交B4，BC于點、D，E；

再分別以。，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在/ABC內(nèi)部交于點作射線旗交AC于點

2

G.若AC=8,BC=6,則AG長為.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與

性質(zhì)等知識.根據(jù)基本作圖可判斷BG平分/8AC,過G點作GHLAC于再利用角平分線的性質(zhì)

得到=GC,證明RtACBG^RtAHBG,=6；設(shè)AG=x,然后在直角&AGH中由勾股定理建立

方程即可求解.

【詳解】解：過G作于H,

?.?ZC=90°,AC=8,BC=6,

AB=VAC2+BC2=782+62=10-

?.-ZC=90°,

.-.GC±BC,

又〈GHLAB,8G平分/ABC,

:.GH=GC,

BG=BG,

RUCBG^RtAHBG（HL）,

:.BH=BC=6,

:.AH=AB-BH=\G-6=^,

設(shè)AG=x.

則AH2+GH2=AG2,即：42+（8-x）2=x2,

解得：x=5,

:.AG=5,

故答案為：5.

三、解答題（共48分）

14.解不等式（組）.

（1）5x—7<3（x+1）

7-3%>l?

⑵<2x-lx—2小

I32

【答案】（1）xW5

(2)-4<x<2

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟和判斷

不等式組解集的口訣.

（1）按照解一元一次不等式的一般步驟，求出不等式的解集即可；

（2）按照解一元一次不等式的一般步驟，求出各個不等式的解集，然后求出不等式組的解集即可.

【小問1詳解】

解：5x-7W3（x+l）,

5x—7<3x+3，

2x<10,

%<5；

【小問2詳解】

7-3x21①

解：'2x-lx-2小，

I32

解不等式①得2,

解不等式②得x>T,

二不等式的解集為-4〈尤W2.

15.如圖，平面直角坐標系中，VA5C的頂點都在正方形（每個小正方形邊長為單位1）網(wǎng)格的格點上.

（2）將VA5C向右平移3個單位長度得△451G，在坐標系中畫出并求出這個變化過程中VA3C掃過

的面積；

（3）畫出7ABe繞點C逆時針時針旋轉(zhuǎn)90°的AC&B?.

【答案】（1）等腰直角三角形

17

（2）作圖見解析，這個變化過程中VA5C掃過的面積為工

（3）見解析

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識點，熟練掌握以上知識點是解答本題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理及其逆定理即可判斷；

(2)分別作出三個頂點的對應(yīng)點，再順次連接即可得到平移后的圖形，再根據(jù)這個變化過程中VA5C掃過

的面積=S四邊形ACGA+S"4G，即可求解；

(3)作出點A、8繞點C逆時針時針旋轉(zhuǎn)90。的對應(yīng)點，再順次連接即可.

【小問1詳解】

解:VAB2=22+12=5-3=12+22=5，502=12+32=10，

：.AB2+AC2=BC2,且AB=AC,

」.△ABC是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

【小問2詳解】

解：如圖所示：

由(1)知VA3C是等腰直角三角形，且A3=AC=行，

???這個變化過程中VABC掃過的面積=S四邊形.Ga+5AB|Ci=3x2+1xV5xV5=y；

【小問3詳解】

解：如圖所示：

16.某種商品的進價為400元，出售時標價為500元，商店準備打折出售，但要保持利潤率不低于10%,

則至多可打幾折？

【答案】至多可打八八折

【解析】

【分析】根據(jù)公式：利潤率=利潤+進價X100%,設(shè)至多可打x折，即可列出不等式，求出不等式的解集

即可完成.

【詳解】解：設(shè)至多可打x折，

由題意得：——X100%>10%

400

解得：x>0.88

答：至多可打八八折.

【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握利潤率公式：利潤率=利潤+進價x100%,是解題關(guān)

鍵.

17.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZBAC=2ZB,D為BC上一點、,過點。作。ELAB,垂足為￡,連接

AD,若CD=DE=1,求AB的長.

【答案】AB=2^3

【解析】

【分析】由“HL”可證RfzVLDC哈利△的>￡,可得/BAC=30°,由直角三角形的性質(zhì)可求

2

解.

【詳解】解：在AABC中，ZC=90°,ZBAC=2ZB,

：.ZBAC=60°.

在Rt^ADC和Rt^ADE中,

AD=AD

CD=DE'

：.RtAADC^RtAADE(HL),

1

ZCAD=ZBAD=-ZBAC=30°,

2

在中，ZAED=90°,ZEAD=30°,

AD=2DE=2,

???在中，ZC=90°,

???AC=JAZ）2—CD2=4^-L=y[3，

在ZkABC中，ZC=90°,ZB=90°-ZBAC=30°,

：.AB=2AC=2y/3-

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一

半.也考查了勾股定理，證明4c=30。是解題的關(guān)鍵.

2

18.如圖，在VA3C中，ZACB=9Q°,AC=BC=6.點D,E分別為AC,的中點，點P為線

段OE上一動點（不與點。重合），將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CM,連接AP,BM,

PM,PM交BC于點N.

（1）求證：AP=BM；

（2）求證：PD1+PE2=2PC2；

（3）在點尸運動過程中，能否使ACMN為等腰三角形？若能，請直接寫出PD的長；若不能，請說明理

由.

【答案】（1）見詳解（2）見詳解

（3）3行或3或微2

【解析】

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CM,ZPCM=90°,進一步得到ZACP=ZBCM，結(jié)合AC=,

可證得△ACWABCM即可得到AP=BM-,

（2）過點C作CHLDE交DH于點H,有題意可得ZCDH=ZCED=ZDCH=45°,則DH=EH=CH,

結(jié)合勾股定理即可證得PZP+PE?=（OH+HP）2+（“E—.）2=2。。2成立；

⑶由題意得A5=60，NC45=NC84=45。，且。E為VA3C中位線，有CD=CE=3,DE=3。

①當CN=CM,此時，點P、點N和點E重合，則。？=即；②當MN=CM,得NCNM=45°,且

ZMCN=ZDCP=ZCPD=67.5°,則。尸=￡>C；③當MN=CN,則ZAO/=ZWC=45。，

ZMCN=ZDCP=45°,則。2=。尸=變。。即可.

【小問1詳解】

證明：???線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到。0,

:.CP=CM,ZPCM=90°,

ZACB=90°,

ZACP+ZPCB=ZPCB+ZBCM=90°,

：.ZACP=ZBCM,

*/AC=BC,

AACP^ABCM(SAS),

AP=BM^

【小問2詳解】

證明：過點C作CH，JDE交DH于點H,如圖，

■:AC^BC,

/.Z.CDH=ZCED=NDCH=45°,

：.DH=EH=CH,

???CH2+HP-=CP2,

：.PD2+PE2=(DH+HP)2+(HE-PH^=2(PH2+O/2)=2PC2；

【小問3詳解】

VAC=BC=6.ZACB=9Q0,

；?AB=66，ZCAB=ZCBA=45°,

..?點。，E分別為AC,BC的中點，

；.￡>￡為VABC中位線，

CD=CE=3,DE=3>/2,

①當CN=CM,此時，點P、點N和點E重合，則。p=磯>=3J5；

②當MN=CM,

'：線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CM,

NCNM=45°,

NMCN=g（180?！?5。）=67.5。

由（1）得/MCN=ZDCP=675°,

則Z.CPD=180°-67.5°-45°=67.5°,

:?DP=DC=3；

③當MN=CN,則NAO/=NWC=45°,

由（1）得NMCN=NDCP=45°,

DP=CP=—CD=—；

22

故的長為3夜或3或，2；

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用.

B卷

一、填空題（每道題4分，共20分）

%+4>7

19.若關(guān)于x的不等式組〈無解，則。的取值范圍為.

x<a

【答案】a<3

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，先解不等式組，根據(jù)不等式組無解進行計算即可解答.熟練掌握

不等式組無解是解題的關(guān)鍵.

元+427①

【詳解】解:

②

解不等式①得：%>3,

由不等式②得：x<a,

???不等式組無解，

:.a<3,

故答案為：a<3.

2x+y=5m+6

20.已知方程組〈;的解X，y都是正數(shù)，則相的取值范圍是_______.

x-2y=-17

【答案】777>|

【解析】

【分析】此題考查了解一元一次不等式組，以及解二元一次方程組，將加看作已知數(shù)，表示出x與九根據(jù)

題意列出不等式，求出不等式的解集即可得到加的范圍.弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

2x+y-5m+6x=2m-l

【詳解】解：方程組《得:

x-2y=-17y=m+8

2m-l>0

根據(jù)題意得:

m+8>0

解得：m>3,

故答案為：m>^.

(2x-l<5

21.關(guān)于x的不等式組八恰有三個整數(shù)解，則相的取值范圍是

x-m>0

【答案】0</n<l##l>m>0

【解析】

分析】本題主要考查解不等式組，可先用機表示出不等式組的解集，再根據(jù)恰有三個整數(shù)解可得到關(guān)于機

的不等式組，可求得加的取值范圍.求得不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

21K5①

【詳解】解：《

x-m>0②

解不等式①可得x?3,

解不等式②可得》>根，

由題意可知原不等式組有解,

原不等式組的解集為m<x<3,

???該不等式組恰好有三個整數(shù)解,

?.?整數(shù)解為1,2,3,

故答案為：OV〃z<l.

22.如圖，點尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，PA=6，PB=3,尸。=2有，則工.+28也=?

【答案］交叵

4

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將AAPC繞

點A旋轉(zhuǎn)60。得到AAEB,過點3作所，AP于點可證△AEP是等邊三角形，由勾股定理的逆定理

可得NBPE=90。,求得加'的長，利用三角形的面積公式求解即可，添加恰當?shù)妮o助線，構(gòu)造特殊三角形

是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將繞點A旋轉(zhuǎn)60。，根據(jù)等邊三角形ABC中AC=A6,故可得到過點8作

6尸，"于點尸，

；.AE=AP=6,BE=PC=3,NQ4E=60。,

.?.△AEP是等邊三角形，

:.EP=AP=0，ZAPE=60°,

■.■BE1^PC2=12,PB2+PE2=9+3=12,

BE2=PE2+PB2>

:.ZBPE=90°,

.?.ZBPF=30°,

13

:.BF=—PB=—,

22

QNEPB=90。,

ZBPC=180-90°=90°f

S^PB+SRPBC=—X^X^+—X3X243=5'.

故答案為：”Yl.

4

23.如圖，ZABC=3Q°,AB=4,BC=2,點。是射線B4上的動點，將線段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)

120°,得到線段ED,連接CE、AE,則CE+AE的最小值是.

【答案】2芯

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用軸對稱解決最短路徑問題，勾股定理，

解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意證明三角形全等，找點E的運動路線.

在射線3c上取點E連接。f，使NBDF=120。,作直線BE.再由旋轉(zhuǎn)得出條件，證明

/XBDE^^FDC,由對稱得C'E=CE,CE+AE=C'E+AE,由兩點間線段最短可知，點E在點E

處，CE+AE取最小值，最小值為的長，連接最后用勾股定理求解.

【詳解】解：如圖，在射線5c上取點R連接。尸，使NfiDP=120。，作直線5E.

；.ZDFC=NDBF=30。,

BD=FD.

由旋轉(zhuǎn)得，ZEDC=120°,ED=CD.

：.NEDB+ZBDC=NEDC=120°.

/BDC+ZCDF=ZBDF=120°.

:.ZEDB=NCDF.

在VBDE和△EDC中，

ED=CD

<ZEDB=ZCDF,

BD=FD

：.ABDE均FDC（SAS）.

：.ZABE=ZDFC=30°.

:NABE為定角,點B為定點，

...點￡在直線班上，

作點C關(guān)于直線BE的對稱點C,連接AC'交班于笈，當點E在點笈處時CE+AE取最小值，（由對

稱得C'E=CE,CE+AE=C'E+AE,由兩點間線段最短可知，點E在點E'處，CE+AE取最小

值，最小值為C'A的長），

連接則5。'=5。=2,NC'BE=NCBE,

?：ZCBE=ZABE+ZABC=60°,

：.ZABC'=ZCBE+ZABE=90°.

AC'=y/AB2+C'B2=742+22=275，

CE+AE的最小值為2如，

故答案為：26.

二、解答題（本大題共3個小題，24題8分、25題10分，26題12分，共30分）

24.中華人民共和國生態(tài)環(huán)境部第32號令《排污許可管理辦法》將自2024年7月1日起施行，我市治污

公司為了更好的治理污水，改善水質(zhì)，決定購買10臺污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，其中每

臺的價格，月處理污水量如下表：

A型B型

價格（萬元/臺）64

處理污水量（噸/月）240180

（1）設(shè)購買A型號設(shè)備x臺，要求購買污水處理設(shè)備的資金不高于52萬元，并且該月要求處理污水量不

少于2000噸，請列不等式組求出x所有可能的取值.

（2）設(shè)購買設(shè)備的總資金為y萬元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出最省錢的購買方案及y的最小值.

【答案】（1）x可取的值為4,5,6

（2）購買A型號設(shè)備4臺，B型號設(shè)備6臺，所需費用最少為48萬元

【解析】

【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識.熟練掌握一元一次不等式組的應(yīng)

用，一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)購買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺，則購買8型設(shè)備（10-%）臺，依題意得，

6x+4(10-x)<52

，求解可得號<尤<6,然后求整數(shù)解即可;

240%+180(10-%)>2000

（2）依題意得，y=6x+4（10-x）=2x+40,由2>0,可知y隨x的增大而增大，進而可求最值.

【小問1詳解】

解：設(shè)購買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺，則購買8型設(shè)備（10-力臺,

'6x+4(10-x)<52

依題意得，《

240x+180(10-%)>2000'

解得：WAx",

可取的值為4,5,6.

【小問2詳解】

解：依題意得，y=6x+4（10-x）=2%+40,

,/2>0,

隨X的增大而增大,

.?.當X=4時，y取得最小值，止匕時，y=2x+40=48,

答：購買A型號設(shè)備4臺，2型號設(shè)備6臺，所需費用最少為48萬元.

4

25.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=耳》+8交x軸、y軸于A、B兩點，直線丁=履+5交x軸、y

軸的正半軸于。、C兩點，OC=OD,兩直線相交于點E.

備用圖

(1)求上的值與線段AB的長;

若尸為直線AB上一動點,連接/C、FD,當SACDF=10時，求點尸的坐標;

(3)若下為線段AE上的動點,G為線段上的動點，當△O0G之△GR9時，求點G的坐標.

【答案】（1）左=—1,AB=10；

360

或（-3,4）；

(2)75T

1124

(3)

【解析】

【分析】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到平行線的性質(zhì)、面積的計算、三角形全等等，證明

S-CDF=S《DN是解題的關(guān)鍵.

_4

（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，得到左值，直線y=§x+8交x軸、y軸于A、B兩點,則點A、3的

坐標分別為：（—6,0）、（0,8）,則AB=10；

117

(2)由FN〃CD,則NCDE=SACLW=]XDNx%=萬乂§m+8_5x5=10,即可求解;

(3)由AODG之△GFO,得到ED=OD=5,即可求解.

【小問1詳解】

解：：直線y=Ax+5交y軸于c,則當x=0時，y=5,

.?.C(0,5),

OC=5,

,/OC=OD

OD=5

.-.D（5,0）,

將點。的坐標代入函數(shù)表達式得：0=5左+5,

解得，上=—1,

則直線的表達式為：y=-x+5,

4

???直線y=§x+8交x軸、y軸于A、3兩點，

當％=0時，y=8,當y=。時，］=一6,

點42的坐標分別為：（—6,0）、（0,8）,

則AB=J（_6_0/+（0-8『二10；

【小問2詳解】

解：過點尸作直線FN〃C。交x軸于點N,設(shè)點E8

4

則直線五N的表達式為：y=-(九一加)+§加+8,

則點N[(M+8,O],則ND=|gm+8—5|,

117

FN//CD,則SgE=low=DNxw=gx-m+8-5x5=10,

、3

解得：加=—3或一，

7

貝ij點尸坐標為卜,亍[或(—3,4)；

【小問3詳解】

解：如圖，

'B

c

當△ODG之△GF'O時，OD=GF,OF=DG,

.?.四邊形DOFG是平行四邊形,

O/平行于直線CD：y=-x+5,

則OF解析式為丁=一工

y=-x

聯(lián)立《4，

y=-x+8

-3

24

x=-----

7

解得

24

二

，,一

/點坐標為J|2424

(77

,/OD=GF=5豆OD〃GF,

(2424)1124

；.G坐標為［一亍+5,亍I即

7'7

1124

綜上，點G坐標為

7'了

26.在VA3C中，AC=3,BC=4,AB=5,將VA5C繞點2