第19講雙曲線及其標準方程

T模塊導航—素養(yǎng)目標?

模塊一思維導圖串知識1.結合教材實例掌握雙曲線的定義；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.掌握雙曲線的標準方程、幾何圖形，會用待定系

模塊三核心考點舉一反三數(shù)法求雙曲線的標準方程；

模塊四小試牛刀過關測3.通過雙曲線概念的引人和雙曲線方程的推導，提

高用坐標法解決幾何問題的能力.

模塊一思維導圖串知識

雙曲線的焦點三角形

6模塊二基礎知識全梳理-------------------------------

知識點1雙曲線的定義

1、定義：在平面內與兩個定點片、片的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于閨心|）的點的軌跡叫做雙

曲線.兩個定點片、鳥稱為焦點；兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距，表示為閨巴卜,

2、雙曲線的集合表示：尸=卜41皿|-|"||=2凡0<2°<內用｝.

3、要點辨析一V

（1）若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)。滿足約束條件：/

|阿卜|尸閭=2a<|片段（a〉0）,則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點心的一支；

若忸閭-|尸制=2。<陽引（a〉0）,則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點片的一支；

（2）若常數(shù)a滿足約束條件：||/蜀-歸6||=2a=閨用，

則動點軌跡是以Fi、F2為端點的兩條射線（包括端點）；

（3）若常數(shù)a滿足約束條件：歸國-歸耳||=2a〉|耳圖，則動點軌跡不存在；

(4)若常數(shù)。=0,則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。

知識點2雙曲線的標準方程

1、雙曲線的兩種標準方程

焦點位置焦點在X軸焦點在y軸

圖形

力VK

224-4=i(

標準方程土—匕=1(a>0，b>0)Q〉0,6>0)

/b2ab'

焦點坐標片(-c,o)、月(c,0)片(0,—c)、￡(0,c)

a,b,c的關系c2=a1+b2

2、待定系數(shù)法求雙曲線標準方程

根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪條坐標

「軸上，還是兩神都有可能____________

/根據(jù)焦點位置，設方程為畬由或3Q

飛夢>(。>0,6>0),焦點不定時，亦可設為

7n%2+ny2=l(zn-n<0)

已知條件列出關于a,6,c(m用的方程組|

解方程組，將a,b,c(m,n)代入所設方程

/即得所求_____________________

3、由雙曲線標準方程求參數(shù)范圍

22

(1)對于方程土+匕=1,當加〃<0時表示雙曲線；

mn

當加〉0,〃<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；

當加<0,〃>0時表示焦點在y軸上的雙曲線.

22

(2)對于方程----』—二1,當次〃>0時表示雙曲線；

mn

當加>0,”>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；

當加<0,〃<0時表示焦點在y軸上的雙曲線.

(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式，再

根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。

知識點3雙曲線的焦點三角形

求雙曲線中的焦點三角形心面積的方法

（1）①根據(jù)雙曲線的定義求出|歸耳|—|隼||=2。；

②利用余弦定理表示出|「片|、|尸鳥|、陽鳥|之間滿足的關系式；

③通過配方，利用整體的思想求出|尸片口尸聞的值；

④利用公式S=；x|尸/訃|P^|sinNF”?求得面積。

（2）利用公式S=；x|公用求得面積；

（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角=6,則面積s=_匕，結論適用于選擇或填空題。

tan—

2

模塊三核心考點舉一反三

:考點一雙曲線的定義及辨析考點四利用定義解決焦三角問題）

（考點二求雙曲線的標準方程）—雙曲線及其標準方程一（考點五利用定義解決最值問題二I

（考點三雙曲線方程的參數(shù)問江）一^^考點六與雙曲線有關的軌跡問題）

考點一：雙曲線的定義及辨析

在^例1.（23-24高二上?北京通州?期末）已知尸為雙曲線"-1=1右支上一點，6月為雙曲線的左

右焦點，|尸耳|-忸閭等于（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【解析】因為P為雙曲線=1右支上一點，所以|尸甲尸用=2。=6.故選：B.

【變式1-1］（23-24高二上?北京?月考）化簡方程J（x+57+y2-J（x_5『+y2=8的結果是（）

A/J-1BX?/_1cd九1D

A1B-3=1

-T-T--互一正-i2516

【答案】D

【解析】設尸(x,y),^(-5,0),5(5,0),則由已知得歸/|-|尸邳=8,

即動點P到兩個定點45的距離之差的絕對值等于常數(shù)8,5L\AB|=10,且8<10,

所以根據(jù)雙曲線的定義知，動點尸的軌跡是以42為焦點,實軸長為8的雙曲線.

22

設雙曲線方程為：則2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,

所以/=02_f=9,所以雙曲線方程為4-4=1

169

即化簡方程加+5)°+下-&-5丫+下=8的結果是二4=1.故選:D.

169

【變式1-2](23-24高二上?廣東東莞?期中)設￡、&是兩定點，出耳|=6,動點P滿足|尸團一|尸乙1=4,

則動點尸的軌跡是()

A.雙曲線B.雙曲線的一支C.一條射線D.軌跡不存在

【答案】B

【解析】依題意，￡、巴是兩個定點，尸是一個動點，

且尸滿足1s|-|尸乙|=4<|與圖，所以動點P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B

【變式1-3](23-24高二下?四川廣安?月考)(多選)在平面直角坐標系尤0中，已知點』(-2,0),2(2,0),尸

是一個動點，則下列說法正確的是()

A.若忸⑷+歸身=4,則點尸的軌跡為橢圓

B.若倒-網=2,則點尸的軌跡為雙曲線

C.若|尸川2-|尸B|2=4,則點尸的軌跡為一條直線

D.若|方+旃目方-麗則點尸的軌跡為圓

【答案】BCD

【解析】對于選項A：\P^+\PB\=A=\AB\,則點P的軌跡為線段故A錯誤；

對于選項B：歸旬-|尸圳=2<4=^^，則點P的軌跡是雙曲線，故B正確；

對于選項C：設尸(xj),由|尸/「_|尸切2=%可得。+2)2+了2_@-2)2_必=4,

化簡得X=；,表示一條直線，故C正確;

對于選項D：由|百+而|=|莎-9可得莎?麗=0，

則點尸的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.故選：BCD.

考點二：求雙曲線的標準方程

2.（23-24高二上?廣東茂名?期末）雙曲線經過點（-1,0）,焦點分別為片（-2,0）、凡（2,0）,則雙曲

線的方程為（）

A.—-v2=1B.x2-^=lC.—~y2=1D.上=1

2-23-3

【答案】D

【解析】由題意知。=1,C=2,所以/=才一°2=4一1=3,

所以雙曲線的方程為旦=1.故選：D.

3

【變式2?1】（23?24高二上?全國?課后作業(yè)）已知點片（-4,0）,工（4,0）,曲線上的動點P到片的距離之差

為6,則曲線方程為（）

A.————=l(x>0)

97v7

22

c-"y-y=1(^>0)

【答案】A

【解析】由題意可得|尸片|-|尸聞=6<|4閭=8,

由雙曲線定義可知，所求曲線方程為雙曲線一支，且方=6,2c=8,即。=3,c=4,

所以/=c2-a2=16—9=7.

22

又因為焦點在X軸上，所以曲線方程為5_一3=1口>0）.故選:A.

22

【變式2-2］（23-24高二上?湖北武漢?月考）以橢圓土+匕=1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標準

916

方程為（）

x2c/LD/

AB.

44-T916916

【答案】A

【解析】由橢圓方程上=1可知橢圓的焦點坐標為（0,±7）,上下頂點坐標為（0,±4）,

916

所以雙曲線的頂點為（o,±7）,a=不，焦點為（O,±4）,c=4,b2=c2-a2=9,

所以雙曲線方程為廣-二=1.故選：A

79

22

【變式2-3］（23-24高二上?山東青島?月考）與橢圓C：―+^-1共焦點且過點P（2,板）的雙曲線的標

156

準方程為（）

2222

A/LB.匕-匕=1c；D.土-匕=1

16763916

【答案】C

,2

【解析】由題意不妨設所求雙曲線的標準方程為三

a年“

則°=后？=3,即橢圓與所求雙曲線的公共焦點為耳（-3,0）,工（3,0）,

由雙曲線的定義可知仍聞桃卜~（2+3）2+2-1（2-3）I2+2=3>/3-V3=2V3=2a<2c=6=|^|

所以〃=A/3,c=3,b=所-3=V6，

所以所求雙曲線的標準方程為二-己=1.故選：C.

36

考點三:雙曲線方程的參數(shù)問題

22

3.（23-24高二下?安徽蕪湖?月考）已知方程〃二+二二=1表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數(shù)加

m-32-m

的取值范圍是（

2,||,3

A.(-oo,2)B.C.(3,+oo)D.

【答案】A

2x2

【解析】由上+--=1,得二

m-32-m2-m3-m

22

因為方程表示焦點在X軸上的雙曲線,

m-32-m

12—m>0

所以Q八，解得加<2.故選：A.

【變式3-1］（23-24高二上?天津靜海?月考）若方程（l+M-—/，2口表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)

m的取值范圍為.

【答案】m<-\

-1

【解析】由（1+7〃）X~-叩-=1變形得到11,

1+mm

因為方程（l+M--〃沙2=1表示焦點在了軸上的雙曲線，

—<0

所以，解得加<一1,

-----<0

4+m

故答案為：m<-\.

22

【變式3-2］（23-24高二上?江西新余?月考）若方程+工=1表示雙曲線，則實數(shù)冽的取值范圍

m-7m-\

是.

【答案】（1,7）

22

【解析】由方程上一+」二=1表示雙曲線，則滿足（%-7）（7-1）<0,解得1<加<7,

m-7m—\

所以實數(shù)小的取值范圍是（L7）.

故答案為：（1,7）.

【變式3-3］（23-24高二上?江蘇常州?期中）若方程//+（1-表示焦點在夕軸上的雙曲線，則實數(shù)

m的取值范圍為（）

A.m<0B.?>1C.0<m<lD.，w<l且“zwO

【答案】A

【解析】因方程%表示焦點在y軸上的雙曲線，

fl—m>0

則有八，解得加<0,

m<0

所以實數(shù)加的取值范圍為機<0.故選：A

考點四：利用定義解決焦三角問題

△2］例4.（23-24高二上?遼寧葫蘆島?期中）已知耳，心分別是雙曲線C：L=1的上、下焦點，過耳

的直線/交C于43兩點，若的長等于虛軸長的3倍，則叫的周長為.

【答案】36

【解析】由題意得M3|=3x"=12,則|/刃+忸閶=|/周+2a+|8同+2a=|/+12=24,

所以△/8g的周長為用+忸用+|/同=36.

故答案為：36.

【變式4-1］（23-24高二上?山東泰安?月考）設片，工是雙曲線：-1=1的兩個焦點，P是該雙曲線上一點,

且，碼尸用=2:1,則△尸耳己的面積等于

【答案】12

【解析】由雙曲線=可得。=0,6=2,則°=J/+6?=3，

因為P是該雙曲線上一點，且1s|：|尸用=2:1,可得|尸盟_|尸周=2君,

即忸周=4石"閭=26，

可得cos"芹_M±KLML.(4后+(2回-62_4

在△尸耳區(qū)中,」付?L2Ml明-2x4乖x2后-5

3

可得sin/￡Pg=y,

所以△尸耳乙的面積為S=；忸片歸國sinNFFB=1X4V5X2A/5X|=12.

故答案為：12.

【變式4-2］（23-24高二上?福建漳州?月考）若耳區(qū)是雙曲線反-且=1的兩個焦點，尸是雙曲線左支上的

916

點，且△耳尸石的面積是16,則|尸用

【答案】32

22

【解析】由L-匕=1,得/=9,/=16,即。=3/=4,

916

所以c?=/+/=9+16=25，即c=5,

根據(jù)已知條件做出圖形如圖所示

則由雙曲線的定義知，|尸鳥|-|尸片|=2〃①，|￡￡|=2c②，

由余弦定理得閨工閆尸工1+1尸印2_21啊尸印cose③，

7h2

聯(lián)立①②③，得|兩川尸月|=-------

1-cos0

S^FPF=—\PE\'\PF2\sm0=—x————xsin，='=16日口，01

△詼21112121—cos。0，Wtan-=l,

ian—2.

2

乂o<e〈兀，所以0<?<9，?=丁，所以4=?,即e=g.

2224242

所以△片尸乙為直角三角形，

所以。即=JWH"I=16,解得|尸片H尸耳|=32.

故答案為：32.

【變式4-3](23-24高二上?江蘇揚州?月考)已知雙曲線二一2￡=1,0且是它的兩個焦點,。為坐標原

94

點，尸是雙曲線右支上一點，cos/耳典=一丁則戶。|=()

A.V10B.V15C.275D.屈

【答案】A

【解析】設點P坐標為k外匕,),馬>0,

222

由題意可知。2=9,從=4,C=a+bf

貝I]Q=3,6=2,c=V13?|尸片|-10&|=2〃=6.

在△耳尸工中，由余弦定理可得：

cosZFnF_M±MzML_(附H*『+2*叫'

12

2\PF,\\PF2\2煙儼工|

即一建6z+2|尸川尸閶一（2店）,解得中小尸￡卜§.

521Ml明

34

因為cos/片尸片=一,，則sin/月尸片=^.

因為S/用nJp/PEjsin4甲線=；山閭同，

所以;x5xg=；x2舊x〉」,解得卜J=[^.

考點五：利用定義解決最值問題

雙曲線C：工一上=1的左焦點為尸，尸是雙曲

5.（22-23高二下?寧夏石嘴山?月考）已知46,4）,

45

線C的右支上的動點，則|產用-|力|的最大值是（）

A.-1B.2C.V109D.9

【答案】D

【解析】若C為雙曲線右焦點C（3,0）,^]\PF\-\PC\=2a=4,\AC\=5,

而|以以尸。-|/。，僅當PC/共線且A在尸,C之間時等號成立,

所以|尸尸|-|均歸-—|尸。+|/。=4+5=9,當PC4共線且A在尸,C之間時等號成立.故選：D

22

【變式5-1］（22-23高二上?福建福州?期末）已知工（0,4）,雙曲線?一?=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,

點尸是雙曲線左支上一點，貝（尸旬+|尸鳥|的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【解析】由雙曲線二一亡=1,貝1」/=4萬=5,即C2=/+62=9,且［（一3,0）3（3,0）,

45

由題意，|尸工卜|尸片|=如

|融|+|尸月卜|尸H+2a+\PF\2M凰+2a=732+42+4=9,

當且僅當4尸，耳共線時，等號成立.故選：C.

【變式5-2］（23-24高二上?江蘇蘇州?月考）已知雙曲線C:口-反=1的下焦點為尸，/（3,7）,P是雙曲

45

線C上支上的動點，貝U仍/卜|尸川的最大值是（）

A.不存在B.8C.7D.6

【答案】A

【解析】依題意“=2,6=病,0=3,下焦點尸（0,-3）,設上焦點片（0,3）,

27-342

雙曲線的漸近線方程為y=x，直線/的斜率為百=3＞正，

所以延長耳工時，與雙曲線沒有交點，|/用=存了不=5,

設延長如"交雙曲線上支于4，

依題意，戶是雙曲線C上支上的動點，

根據(jù)雙曲線的定義可知|尸尸|-|以|=2〃+|尸照-|尸/|=4+|尸周一|尸4

-|一耳閆尸耳卜網|＜卜耳|,當尸在片點時等號成立，則-54忸用-|上4|＜5,

所以-1V4+|尸周一|尸H＜9,所以0W4+歸耳|一|尸/卜9,

所以04忸尸尸川＜9,所以仍尸卜忸川的最大值不存在?故選:A

【變式5-3］（23-24高二上?浙江金華?月考）已知圓C：x2+（y-4）2=l上有一動點p,雙曲線二-仁=1

97

的左焦點為尸，且雙曲線的右支上有一動點。，則|尸。|+|。川的最小值為（）

A.472-1B.472-5C.4V2+7D.4A/2+5

【答案】D

【解析】???在雙曲線一己=1中，1=9,及=7,

97

c2=16,下（—4,0）,

設雙曲線的右焦點為瑪，則6（4,0）,

。在雙曲線的右支上，

\QF\-\QF2\=2a=6,^\QF\=\QF2\+6,

由題知，圓心C（0由）,半徑r=l,尸在圓。上，.?』尸0n0C|—1,

則|尸0|+1。尸|=|尸。|+1馴|+62|QC|+|Q閶+5,

當C,Q,乙三點共線且Q位于另兩點之間時，|0。+|0閭取得最小值為「用=4夜,

此時|尸。|+|"3。。+|0凰+5=472+5,

尸。|+|0盟的最小值為4拒+5.故選：D.

考點六:與雙曲線有關的軌跡問題

6.（23-24高二上?湖南常德?月考）與圓苫2+必=1及圓/+/-8工+12=0都外切的圓的圓心在（）

A.橢圓上B.雙曲線上的一支上C.拋物線上D.圓上

【答案】B

【解析】由圓0：/+”=1可知，圓心G（O,O）,半徑廠=1,

圓G：/+-8x+12=0化為標準方程（X-4）2+產=4,

圓心G（4,0）,半徑火=2,

因此圓心距|CC|=4>R+r=3,所以兩圓相離，

設與兩圓都外切的圓的圓心為C,半徑為《，

則滿足|CG|=Ri+r,|CC2卜居+R,所以|CC2|Tcq|=R--l<3,

即圓心C的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離,

根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，

即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.

【變式6-1］（23-24高二上?河北滄州?月考）已知/（3,2）,3（-3,-2）,若動點M滿足直線阪4與直線MB的斜

率之積為;，則動點M的軌跡方程為（

A.y2-----=1,xw±3B.-----y2=l,xw±3

33

2—

Cr.y-----=1D.——y2=1

33

【答案】A

【解析】設“（XJ）,由題意可得匕!

T=整理可得/一

丫2

即動點M的軌跡方程為V-\=1,XH±3,故選：A.

【變式6-2］（23-24高二上?四川綿陽?期末）如圖，定圓。的半徑為定長一，A是圓。外一個定點，尸是圓

。上任意一點.線段AP的垂直平分線/與直線OP相交于點。，當點P在圓。上運動時，點。的軌跡是（）

C.雙曲線D.圓

【答案】C

【解析】連接。4、CM,如圖所示:

p

因為/為力的垂直平分線，所以尸

所以||四-|。。||=］四-依。卜10尸1=，為定值，

又因為點A在圓外，所以|。4|>］。尸］,

根據(jù)雙曲線定義，點。的軌跡是以。、A為焦點，7?為實軸長的雙曲線.故選：C.

【變式6-3］(23-24高二上?重慶?期中)已知加(-2,0),圓C:--4x+/=0,動圓P經過M點且與圓C相

切，則動圓圓心P的軌跡方程是()

A.x23=1(%>1)B.方―>2=1(x26)

22

C.X?-匕=1D.---y2=1

33-

【答案】C

【解析】圓C：X2-4X+J?=O,gp(x-2)2+/=4,圓心為C(2,0),半徑,-2,

設動圓尸的半徑為R,

若動圓尸與圓C相內切，則圓C在圓尸內，

所以|尸叫=尺，1Pq=尺-2,所以1PM-|PC|=2<MC|=4,

所以動點P是以河(-2,0)、C(2,0)為焦點的雙曲線的右支，且a=l、c=2,所以b=J7=7=百，

所以動圓圓心P的軌跡方程是V-：=1(x21),

若動圓尸與圓C相外切，所以|尸閭=及，|尸。=尺+2,所以忸。|一|尸叫=2<|九?=4,

所以動點尸是以州(-2,0)、C(2,0)為焦點的雙曲線的左支，且0=1、c=2,

所以b=yjc2—a2—A/3>

2

所以動圓圓心P的軌跡方程是--1(x47),

2

綜上可得動圓圓心尸的軌跡方程是V—匕=1.故選：c

3

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

22

1.（23-24高二上?山東煙臺?期末）已知雙曲線的方程為則該雙曲線的焦距為（）

54

A.2B.4C.245D.6

【答案】D

【解析】雙曲線的方程為：￡-4=1，

54

可得。=石，6=2,所以c=JQ2+廿=3，

所以雙曲線的焦距長為：2c=6.故選：D.

2.（23-24高二上?寧夏吳忠?期末）已知雙曲線的實軸長為4,焦點為（-4,0）,（4,0）,則該雙曲線的標準方

程為（）

【答案】A

22

【解析】根據(jù)題意設雙曲線的標準方程為：0-J=l（a>0,6>0）.

a2b2v7

'2a=4

a=2

則<。=4,解得：<

Z)=2A/3

c2—a1+b2

所以雙曲線的標準方程為X-A=i.故選：A

412

3.（23-24高二上?北京?期末）已知是平面內兩點，且|幺切=6,判斷當尸點滿足下列哪個條件時其軌

跡不存在（）

A.|P/|+|P81=2024B.\PA\-\PB^2024

C.|7^|x|PS|=2024D.|尸/1+1P8|=2023

【答案】B

【解析】對于A選項：|尸聞+1尸M=2024>MM，軌跡為橢圓；

對于B選項：41Tp同=2024>MM，軌跡不存在.；

對于C選項：1=2024,尸的軌跡存在，

對于D選項：|尸/|+|尸目=2023>|/4,軌跡為橢圓；故選:B.

22

4.（23-24高二上?河北張家口?月考）若方程表示雙曲線，則小的取值范圍是（）

m+3m-6

A.加<-3或加>6B.-3<m<6

C.加<一6或加>3D.-6<m<3

【答案】B

【解析】由題意得（團+3）（〃-6）<0,解得-3〈冽<6.故選:B.

22

5.（23-24高二下?上海?月考）設尸是雙曲線,-導1上一點，片，工分別是雙曲線左右兩個焦點，若回|=9,

則忸工|等于（）

A.1B.17C.1或17D.5或13

【答案】B

22

---—=1的a=4,6=2V5,c=6）

1620

由雙曲線的定義可得幟胤T尸用|=2a=8.

因為忸片|=9,所以|9-|尸引=8,得忸用=1或17,

若歸閭=1,則P在右支上，應有|尸閭2c-a=2,不成立；

若|P閭=17,則尸在左支上，應有歸乙性c+a=10,成立.故選：B.

6.（23-24高二上?遼寧沈陽?月考）與圓A：（x+5y+/=49和圓3：（x-5p+/=1都外切的圓的圓心「

的軌跡方程為（）

22

A.土-匕=1B/1

34916

22

c-D=1(x23)

-T16

【答案】D

【解析】圓（X+5）2+/=49的圓心為-5,0）,半徑為7,

圓（x-5）2+j?=i的圓心為/（5,0）,半徑為1,

再由圓尸與圓A、圓B都外切，設圓P的半徑為廠（廠>0）,

PA>PB

則|尸/|=.+7,|尸目」+1,所以

PA-PB=6<|/刈=10'

因此，由雙曲線的定義可得圓心P的軌跡為雙曲線的右支,

且該雙曲線的焦距為2c=|/同=10,實軸長為2a=|尸尸同=6,

所以c=5,a=3,t^b2=c2—a2=16>

22

所以所求圓的圓心尸的軌跡方程土-匕=1（x23”故選：D.

916''

二、多選題

7.（23-24高二下?浙江?開學考試）已知以“wR,則方程//+⑵2=1表示的曲線可能是（）

A.兩條直線B.圓

C.焦點在x軸的橢圓D.焦點在了軸的雙曲線

【答案】ABC

【解析】對A,因為九"eR,所以可取機=0,〃=1,

貝!J有＞=1或＞=T，表示兩條直線，A正確；

對B,因為加、“eR,所以可取機=1,〃=1,則有/+了2=1,表示圓，B正確；

1-

對C,因為加、"WR,所以可取加=不〃=1,則有一+J2=1,表不焦點在X軸的橢圓，C正確；

對D,因為所以該曲線方程不可能為焦點在y軸的雙曲線，D錯誤；故選:ABC.

8.（23-24高二上?四川雅安?月考）已知左、右焦點分別是￡,耳的雙曲線:-必句上有一點尸（見〃）（加,

力＞0）,且cos/月尸工=上，貝U（）

A.sin/甲岑=叵B.|尸片||「馬=16

16

C.△尸耳鳥的面積為31D.耳巴的周長為12+2退

【答案】AD

【解析】由題知。=2,b=l,則c=V?壽因為尸在第一象限，所以|尸￡|一戶閭=4.

附「+附『-年與『15

在△納心中,因為cosN片Pg=

2Ml叫16

所以sin/耳Pg=J1-cos2/片尸耳=’一=浮，A正確;

21

且（|尸匐-|產工『=16=20-+尸蜀|尸工|,可得|尸耳歸閭=32,B錯誤；

O

所以s△曄=；|尸盟平日sinZFFB=332x泮5，C錯誤；

因為（|小|+|尸￡『=（忸耳|一|產"/+川尸聞忸用=144,所以|尸片|+忸用=12,

故△尸片工的周長為12+2石，D正確.故選：AD.

三、填空題

9.（23-24高二上?福建廈門?月考）若點P是雙曲線C:反-且=1上一點，耳，鳥分別為C的左、右焦點,

412

閥|=9,則|尸引=.

【答案】5或13

【解析】設雙曲線。的半焦距為c>0,則a=2,6=26,c=J/+62=4，

因為歸耳尸厘=|9-|尸/=4,解得|尸閭=5或|尸閶=13,

經檢驗均符合題意；所以1PBi=5或13.

故答案為：5或13.

22

10.（23-24高二下?廣西?月考）以橢圓二+二=1的長軸端點為焦點、以橢圓焦點為頂點的雙曲線方程

84

為.

【答案】《_片=1

44

22

【解析】橢圓年+［=1的焦點為仕2）,長軸上的頂點為（±2后,0）,

22

設所求雙曲線方程為三-二=1（凡6>0）,

a2b2\）

所以。=2,c=J/+6'=2收，所以6=2,

所以雙曲線方程為二-片=1.

44

22

故答案為：—-^=1

44

22

11.（23-24高二上?江蘇宿遷?期中）已知P是雙曲線工-匕=1上的點，尸為雙曲線的右焦點，點A的坐

97

標為（5,1）,則陽+陷的最小值是.

［答案］V82-6/-6+V82

【解析】由已知可得，/=9，及=7,

如圖，設雙曲線左焦點為耳,

因為點A在雙曲線右支內部，要使?尸尸i+i尸a最小，則點尸應在雙曲線的右支上.

根據(jù)雙曲線的定義可得，|尸耳|-|尸尸|=2。=6,

所以，忸川=歸尸卜6.

所以，附|+網=閥|+網76.

由圖象可知，當4尸,片三點共線且如圖示位置時，|尸胤+|/卻有最小值|/月|.

又看(-4,0),所以|/用=J(一4一54+(0-Ip=府,

所以，陽|+眼-6有最小值短一6,即附|+陷有最小值短-6.

故答案為：782-6.

四、解答題

12.(2023高二?全國?專題練習)求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8；

(2)焦點在x軸上，經過點尸(4,-2)和點0(2#,2收).

(3)經過點尸(-3,2b)和0(-6亞,-7).

22(尺、

(4)已知與橢圓上+匕=1共焦點的雙曲線過點尸一三，-戈

492412J

【答案】(2)《一片=1；(3)匕一二=1；(4)/一廣=1

16984257524

222222

【解析】(1)由已知得，