2024年高考一輪復習100考點100講

第6章萬有引力與航天

第6.3講雙星與多星系統(tǒng)

【知識點精講】

1.雙星模型

雙星運動模型是指在天體運行中，兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的

某點做周期相同的勻速圓周運動的行星。雙星模型是天體運動的一種，在宇宙中普遍存在。

雙星模型特點：

（1）兩顆星做勻速圓周運動的向心力：由它們之間的萬有引力提供，等大反向，屬一對作用力和反

作用力。

（2）兩顆星做勻速圓周運動的周期、角速度相等，線速度與繞行半徑成正比。

（3）兩顆星做勻速圓周運動的半徑與該星的質量成反比。

2.多星模型

（1）定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期

相同.

⑵三星模型：

①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為尺的圓形軌道上運行（如圖

10甲所示）.

②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上（如圖乙所示）.

（3）四星模型;

①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運

動（如圖丙所示）.

②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心。，外圍三顆星繞。做

勻速圓周運動（如圖丁所示）.

第1頁共16頁

【方法歸納】

.對如圖所示的雙星系統(tǒng)

雙星各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即

GmxmiGmxmi

———=m\corr9\,———=m2co加92

兩顆星的周期及角速度都相同，即，T\=Ti,coi=a>2

兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：片+/2=￡

聯(lián)立解得兩顆星到圓心的距離片、尸2與星體質量成反比,即也一

m2ri

口

雙星的運動周期T=2K

\jG（冽1+加2）

4兀￡23

雙星的總質量mi+m2

7G

【最新高考題精練】

1.（2018?全國卷I20）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波.根據(jù)科學家們復原的

過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km,繞二者連線上的某點每秒轉動12圈.將兩

顆中子星都看做是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這

一時刻兩顆中子星（）

A,質量之積B.質量之和

C.速率之和D.各自的自轉角速度

【參考答案】BC

【名師解析】兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示

每秒轉動12圈，角速度已知

中子星運動時，由萬有引力提供向心力得

Gm\m2

mico2ri?

P

?=22②

l=n+r2?

第2頁共16頁

由①②③式得遜獸2=y/,所以〃?1+加2=4,

rG

質量之和可以估算.

由線速度與角速度的關系v=a)r得

v\—a>r\?

V2~COr2@

由③④⑤式得Vi+v2=a)(ri+r2)=a>l,速率之和可以估算.

質量之積和各自自轉的角速度無法求解.

2.(2015?安徽)由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其它星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星

體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心。在三角形所在

的平面內做相同角速度的圓周運動(圖6示為/、B.C三顆星體質量不相同時的一般情況)。若/星體質

量為2加，B、。兩星體的質量均為加，三角形的邊長為a,求：

(1)A星體所受合力大小FA;

(2)2星體所受合力大小油；

(3)C星體的軌道半徑Rc;

(4)三星體做圓周運動的周期7。

【名師解析】(1)由萬有引力定律，/星體所受8、C星體的引力大小為:

EG巴譬=6咚=/以。方向如圖4J。

ra

則合力的大小為：FA=2F^COS30°=2V3G，。

a

(2)同上，8星體所受/、C星體的引力大小分別為:

第3頁共16頁

mm2m2mmm2、,,

FAB=G^A^R=G——,FCB=rR=6十。萬向如

rTara

m2

F=FABCOS60°+FC5=2G——。

BXa

F^=FABsin600=百GW。

a

則合力的大小為：EB=JF;x+璋丫=V7G——?

V7

(3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點，Rc=a

~To

(4)三星體運動周期相同，對C星體,由Fc=FB=近G——=mRc

a"

a3

解得：T=?t

Gm

【最新模擬題精練】

1.(2023福建廈門四模)我國天文學家通過“天眼”在武仙座球狀星團中發(fā)現(xiàn)一個由白矮星P、脈沖星Q

組成的雙星系統(tǒng).如圖所示，P、Q繞兩者連線上的。點做勻速圓周運動，忽略其他天體對P、Q的影響.已

知P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，P、Q的總質量為距離為3運動周期均為7,則().

P\。Q/

A.P的質量小于Q的質量B.P的線速度小于Q的線速度

C.P受到的引力小于Q受到的引力D.若總質量M恒定，則Z越大，7越大

【參考答案】AD

【名師解析】

.P受到的引力與Q受到的引力為相互作用力，大小相等；設P的質量為加p,Q的質量為加Q,由萬有引

力提供向心力可得

第4頁共16頁

GmpmQG/加Q

Z2Z2

可得

mprp=加Q\

由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑,可知P的質量小于Q的質量，故A正確，C錯誤;

2nr

根據(jù)v=

由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑,可知P的線速度大于Q的線速度，故B錯誤;

根據(jù)由萬有引力提供向心力可得

2

Gmpm04%2GmpmQ4^-

g=叫亍4，—?二叫3產今

可得G（mp+mQ）=GM=亍-爐

若總質量〃恒定，則上越大，T越大，故D正確。

2、（2023北京魯迅中學質檢）“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個星球的半徑均遠小于兩者之間的

距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點做勻速圓周運動。如圖

所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質量為〃小B星球的質量為優(yōu)2,它們球心之間的距離為乙引力常量為G,

則下列說法正確的是（）

A.B星球的軌道半徑為掰2L

加1+m2

B.A星球運行的周期為二-------

\G（啊+m2）

C.A星球和B星球的線速度大小之比為僅1：m2

D.若在。點放一個質點，則它受到兩星球的引力之和一定為零

【參考答案】、B

【名師解析】

第5頁共16頁

由于兩星球的周期相同，則它們的角速度也相同，設兩星球運行的角速度為根據(jù)牛頓第二定律，對A

星球有：G%二加⑷（

對B生球有G—-——m2coG

L

得。：弓二加2：加1

m丁m,

又…”,得9’2=VT故A錯誤;

mm

*日用Ci24萬2_

根據(jù)G1,2=m.，r\~-L

1

1}mx+加2

解得周期7=2加L，B正確;

vcor、m.

A星球和B星球的線速度大小之比上A=、=二，C錯誤;

vBa）r2mx

F_Gm2m_GGmm22mm

。點處的質點受到B星球的萬有引力B丫；（my

2xL

、加1+加2?

lGFm,m--------G-m-,-m---------------

受到A星球的萬有引力'K（加27丫，故質點受到兩星球的引力之和不為零，故D錯誤。

L

、加］+加2）

3.（2023福建漳州三模）廈門大學天文學系顧為民教授團隊利用我國郭守敬望遠鏡積累的海量恒星光譜,

發(fā)現(xiàn)了一個處于寧靜態(tài)的中子星與紅矮星組成的雙星系統(tǒng)，質量比約為2:1,同時繞它們連線上某點。做

勻速圓周運動，研究成果于2022年9月22日發(fā)表在《自然?天文》期刊上。則此中子星繞。點運動的

()

A.角速度大于紅矮星的角速度

B.軌道半徑小于紅矮星的軌道半徑

C.向心力大小約為紅矮星的2倍

D.線速度小于紅矮星的線速度

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【參考答案】BD

【名師解析】

雙星系統(tǒng)中，由于兩星在相同時間內轉過的角度相等，則雙星系統(tǒng)的角速度相等，即中子星繞。點運動的

角速度等于紅矮星的角速度，A錯誤；

八

m,m.,22

根據(jù)G---二iriyO）0,G---=丫2

LL

解得」=2

m2r\

即星體質量越大，軌道半徑越小，根據(jù)題意中子星質量大，可知，中子星繞。點運動的軌道半徑小于紅矮

星的軌道半徑，B正確；

雙星系統(tǒng)中，有星體之間的萬有引力提供向心力，可知，中子星繞。點運動的向心力大小等于紅矮星的向

心力大小，C錯誤；

根據(jù)丫=?！?，根據(jù)上述，雙星系統(tǒng)角速度相等，中子星的軌道半徑小一些，則中子星繞。點運動的線速

度小于紅矮星的線速度，D正確。

4.（2023河南洛陽等4市三模）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，質量為M的地球和質量為小的

月球運動情況如圖所示。地球和月球在相互引力的作用下都繞某一定點。做勻速圓周運動，且兩者的中心

和。三點始終共線，兩者始終分別在。點的兩側，測得月球做圓周運動的周期為九。但我們在平常近似

處理問題時，常常認為月球是繞地球中心做勻速圓周運動的；這種情況下得到月球繞地球中心做圓周運動

的周期為不。則下列關系正確的是（）

【參考答案】D

【名師解析】

設月球到。點的距離為地球到。點的距離為馬；月球繞。點做勻速圓周運動時，有

GMm4/

（八+“

第7頁共16頁

地球繞。點做勻速圓周運動時，有

GMm,,47之

---------5=M——r,

（八+2）邛

聯(lián)立可得

G{M+m）4萬2

（4+々）

（八+“不

若認為月球是繞地球中心做勻速圓周運動，則有

GMm4/

---------=m可（八+4）

（。+弓）~

可得

GM4/

聯(lián)立可得,故選D。

5.（2023河北九師聯(lián)盟質檢）“雙星”是宇宙中普遍存在的一種天體系統(tǒng)，這種系統(tǒng)之所以穩(wěn)定的原因

之一是系統(tǒng)的總動量守恒且總動量為0,如圖所示，/、3兩顆恒星構成雙星系統(tǒng)，繞共同的圓心O互相

環(huán)繞做勻速圓周運動，距離不變，角速度相等,已知/的動量大小為0,/、8的總質量為/、8軌道

半徑之比為左，則8的動能為（）

1

32B」+"kp

C（1獷

2。+后）河,2kM'2kM

【參考答案】B

【名師解析】

設/、2的質量分別為九乙、〃B，軌道半徑分別為。、匕，相互間的萬有引力充當向心力，則有

2

M&rz=MB<yrB

根據(jù)題意

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9：4=左

AD

綜合解得MB=半

1+左

4、5組成的系統(tǒng)總動量守恒且總動量為0,則5的動量大小與4的動量大小相等，即4的動量大小為p,

2

P。+后）22

則5的動能為“故選Bo

2%2kM

6.（2023重慶信息聯(lián)考卷3）如圖所示是宇宙中存在的某三星系統(tǒng)，忽略其他星體的萬有引力，三個星體

/、B、C在邊長為d的等邊三角形的三個頂點上繞同一圓心。做勻速圓周運動。已知N、B、C的質量分

別為2加、3m、3m,引力常量為G,則下列說法正確的是（）

A.三個星體組成的系統(tǒng)動量守恒

B.N的周期小于8、C的周期

C.N所受萬有引力的大小為拽”

d2

D.若8的角速度為①，則/與圓心。的距離為3勺以

針療

【參考答案】AD

【名師解析】

該系統(tǒng)屬于穩(wěn)定的三星系統(tǒng)，三個星體的角速度、周期相同。動量大小不變，運動過程中總動量不變，A

正確，B錯誤；

A所受萬有引力的大小為F=乖1G=6百G病,?錯誤；

屋屋

若3的角速度為①，則也/的角速度為④，則根據(jù)66Gm?=2/02r

d2

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則/與圓心。的距離為66Gm-

=2m①2r

d2

則/與圓心。的距離為廠=油包，D正確。

d2a>2

7.(2023云南部分重點高中期中)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的“三星系統(tǒng)"，如圖所示，三顆質量均

為M的恒星位于等邊三角形的三個頂點上，任意兩顆恒星的距離均為￡,三顆星繞其中心。做勻速圓周運

動。忽略其他星體對它們的引力作用，引力常量為G,三顆恒星均可視為質點。求：

(1)每一顆恒星所受的萬有引力的大??；

(2)每一顆恒星轉動的角速度大小。

Q

A

/、

/\

O--------------------O

【參考答案】(1)尸=GG￡;(2)0)=1^^-

VL

【名師解析】

(1)任意兩顆恒星之間的萬有引力大小

F_M2

…r下

則任意一顆恒星所受合力大小

F=2F0cos30°

解得

F=6G4

(2)每顆恒星運動的軌道半徑

J?=-￡cos30°

3

根據(jù)萬有引力提供向心力有

F=MCO2R

第10頁共16頁

解得

8.宇宙空間有一種由三顆星體/、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形/2C的三個頂點

上，繞一個固定且共同的圓心。做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，其軌道半徑以十廣七忽略其他星

體對它們的作用，可知這三顆星體)

A.線速度大小關系是VA>VB>VC

B.加速度大小關系是

C.質量大小關系是加戶加B>MC

D.所受萬有引力合力的大小關系是兄=FB=FC

【參考答案】C

【名師解析】：三星體系中三顆星的角速度。相同，軌道半徑以由o=ro可知〃由。

=廠02可知z<g<牝，故A、B錯誤；設等邊三角形4BC的邊長為0,由題意可知三顆星受到萬有引力的

合力指向圓心。，有詈〉詈，mA>ms,同理可知加B>加c,所以，〃4加6機c,故C正確；根據(jù)兩個分

力的角度一定時，兩個力的大小越大，合力越大可知，F(xiàn)A>FB>FC,D錯誤.

9[2021?河南南陽市聯(lián)考]（多選）為探測引力波，由中山大學領銜的“天琴計劃”，將向太空發(fā)射三顆

完全相同的衛(wèi)星（SCI、SC2、SC3）,這三顆衛(wèi)星構成一個等邊三角形陣列，地球恰好處于該三角形的正中

心，衛(wèi)星將在以地球為中心、高度約為10萬公里的軌道上運行，針對確定的引力波源進行引力波探測.如

圖所示，這三顆衛(wèi)星在太空中的分列圖類似樂器豎琴，故命名為“天琴計劃”.已知地球同步衛(wèi)星距離地

面的高度約為36萬公里.以下說法正確的是（）

SCI

/地球\

?----------------?

SC3SC2

A.三顆衛(wèi)星具有相同大小的加速度

B.從每顆衛(wèi)星上可以觀察到地球上大于士的表面

C.三顆衛(wèi)星繞地球運動的周期一定小于地球的自轉周期

D.若知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運動周期T,則可估算出地球的密度

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【參考答案】：ABC

【名師解析】根據(jù)畔=%。，可解得加速度。=黑，由于三顆衛(wèi)星到地球的距離相等，故繞地球運動

的軌道半徑「相等，則它們的加速度大小相等，選項A正確；由題圖可知三顆衛(wèi)星所組成的三角形的內角

均為60。，則每顆衛(wèi)星關于地球的張角小于60。，所覆蓋地球的圓心角大于120。，故從每顆衛(wèi)星上可以觀

察到地球上大于？的表面，選項B正確；衛(wèi)星運行時由萬有引力提供向心力有弗=加普r,解得周期7=

271償，由于三顆衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，故三顆衛(wèi)星繞地球運動的周期小于地球

7GM

同步衛(wèi)星繞地球運動的周期，即小于地球的自轉周期，選項C正確；若知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球

的運動周期7,根據(jù)隼=心蒼廠，解得席，由于地球的半徑未知，不能計算地球的質量，也不能計

算出地球的體積，故不能估算出地球的密度，選項D錯誤.

10如圖，天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為/的等邊三角形三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓

做周期為7的勻速圓周運動.已知引力常量為G,不計其他星體對它們的影響，關于這個三星系統(tǒng)，下列

說法正確的是（）

A.三顆星的質量可能不相等

B.某顆星的質量為胃

C.它們的線速度大小均為入加

T

D.它們兩兩之間的萬有引力大小為嗎'

9GP

【參考答案】BD

【名師解析】軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對

cos30°3

第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相

同，故這兩顆星的質量相同，所以三顆星的質量一定相同，設為加，則2理cos30。解得機

PT13

久三，它們兩兩之間的萬有引力尸=蠅=6A錯誤，B、D正確；線速度大小為。=型

3GFP-9G74T

2兀兀/

C錯誤.

T3~3T

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11.如圖為某雙星系統(tǒng)4、8繞其連線上的。點做勻速圓周運動的示意圖，若4星的軌道半徑大于3星的

軌道半徑，雙星的總質量雙星間的距離為乙其運動周期為九貝!!()

A.4的質量一定大于3的質量B.N的線速度一定大于8的線速度

C.L一定,M越大，7越大D.〃■一定，工越大，7越大

【參考答案】BD

【名師解析】設雙星質量分別為丸4、mB,軌道半徑分別為R/、RB,角速度相等，均為。，根據(jù)萬有引

rrL2

力定律可知：齦等=mAa)2RA,G^=mBcoRB,距離關系為：RA+RB=L,聯(lián)立解得：也=&,因為RA>RB,

所以/的質量一定小于3的質量，故A錯誤；根據(jù)線速度與角速度的關系有：VA=CORA>VB=O)RB9因為

21T

角速度相等，半徑用>心，所以4的線速度大于5的線速度，故B正確；又因為丁=3，聯(lián)立可得周期為：

co

T=2K\―,所以總質量M一定，兩星間距離￡越大，周期7越大，故C錯誤，D正確.

vGM

12.宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的

引力作用.設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為〃?，半徑均為尺四顆星穩(wěn)定分布在邊長為工的正方形的四

個頂點上，其中乙遠大于A已知萬有引力常量為G,忽略星體的自轉，則關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的

是()

A.四顆星做圓周運動的軌道半徑為乙

2

B.四顆星做圓周運動的線速度均為；鞏2+—

C.四顆星做圓周運動的周期均為27rA/,2f

(4+72)Gm

D.四顆星表面的重力加速度均為黑

R2

【參考答案】CD

【名師解析】如圖所示，

四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑取任一頂點上的星體為研究對象,

2

它受到其他三個星體的萬有引力的合力為尸金=也G”+G-p^.由尸各=尸向=加方=〃/?，解得

G(y2L)2rF

第13頁共16頁

(4+1)G，故A、B項錯誤，C項正確；對于在星體表面質量為加o的物體,

4J,T=2K

受到的重力等于萬有引力，則有moguG’等,故且=渭,D項正確.

R2R2

13.(2023北京育才中學三模)引力波探測于2017年獲得諾貝爾物理學獎。雙星的運動是產生引力波的

來源之一，假設宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點在二者萬有引

力作用下做勻速圓周運動，測得P星的周期為7,P、Q兩顆星的距離為/,P、Q兩顆星的軌道半徑之差

為(P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑)，引力常量為G,求:

(1)Q、P兩顆星的線速度之差△"；

(2)Q、P兩顆星的質量之差△加。

【參考答案】⑴”*

【名師解析】

(1)尸星的線速度大小

。星的線速度大小

2項

v廣〒

則P、。兩顆星的線速度大小之差為

必一