數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

6

i.已知集合I—則如。=（）

A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,5}D.{0,1,2,5}

【答案】B

【解析】

【分析】首先把集合尸用列舉法表示出來，再運用交集的運算進行求解即可.

A

【詳解】若丁二——，ywN,則％+1是6的正因數(shù)，而6的正因數(shù)有1,2,3,6,

x+1

A

所以。=xeNy=——,yeN}={0,l,2,5},

因為。={聞一1<%<5},

所以PcQ={0』,2},

故選：B.

2.已知z=—-—,貝！］|z|=()

2-2i11

A.2B.1C.—D.—

42

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則計算出復數(shù)Z,再計算復數(shù)的模.

【詳解】由題意知［二百i2―i((2)+(22i)=21丁2i-2=一1丁1

故選：C.

3.已知忖=G，W=1.若(a+2—)_La,則cos(a?=()

AeRV3「石n6

A.---------D.----------U.U.

3232

【答案】B

【解析】

--3

【分析】根據(jù)向量垂直可得。力=-一，代入向量夾角公式即可得結果.

2

【詳解】因為(〃+2石)_L〃，且忖=百,忖=1,

/—?—?\—>—2—*—?rrir2q

則"+2Z?)?q=a+2a-b=Q,可得a.方二-務〃=--

rr

/rr\?也_

所以cos(〃力=穆-2_F^3

故選：B.

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S”,且S3=〃2q,則“口=7”是“｛4｝的公比為2”的()

A,必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列的性質，分別判斷充分性與必要性即可.

【詳解】設等比數(shù)列｛a“｝的公比為4,

由S3=q+%+%=q+qq+qq2=q(i+q+q2)=>wi+^+^2-m,

當加=7時，l+q+/=7,解得4=2或q=—3,充分性不成立;

當（7=2時，\+q+q2=m=7,必要性成立.

所以“加=7”是“{%}的公比為2”的必要不充分條件.

故選：A

5.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為,則此正四棱錐

的體積為（）

A.60百B.60后c.120&D.18OV15

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱柱及正四棱錐的體積公式可得正四棱錐的高與斜高的關系式，進而可得解.

如圖所示，正四棱柱為ABC?！狝gGA，正四棱錐Q—ABC。,

設底邊邊長AB=a,高OQ=屈,

則O.E=,0。；+西=J15+,,

又正四棱柱的側面積$=4ABOOX=4岳a,

正四棱錐的側面積S2=4：4小0]石=2，15+；。2”，

則4^15^0=2J15+；〃-a,解得a=6#>>

所以正四棱錐體積V=|SABCD?。0]=平/=60小，

故選：B.

—,x>0,

6.已知函數(shù)/■(%)=12)則"％)圖象上關于原點對稱的點有()

-|x2+2x|,x<0,

A.1對B.2對C.3對D.4對

【答案】C

【解析】

【分析】作出/(%)的圖象，再作出函數(shù)y=,xN0,關于原點對稱的圖象，進而數(shù)形結合判斷即可.

【詳解】作出/(%)的圖象，再作出函數(shù)y=,x20,關于原點對稱的圖象如圖所示.

因為函數(shù)y=,x>0,關于原點對稱的圖象與y=—,+2/x<0,圖象有三個交點，故/(%)圖象上

關于原點對稱的點有3對.

7.已知函數(shù)"X)=gcos21-|sin2|+V3sin|cosj,函數(shù)/⑺的圖象各點的橫坐標縮小為原來的；

(縱坐標不變)，再向左平移￡個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若方程2g(力-加=1在

xe0,—上有兩個不同的解占，x2,則石+々的值為()

兀兀兀

A.—B.—C.—D.JT

632

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡/(%),根據(jù)圖象變換求出g(x),將方程2g(x)-加=1轉化為g(x)="，由函數(shù)

g(x)圖象的對稱性求出答案.

【詳解】根據(jù)題意可得/(x)=gcosx+G..(兀

——sinx=sm%+一

26

所以g(x)=sin=sin2x+-\,

I3

cc,,7兀兀兀，3兀

Q0V%V—,—?2xH—?—,

12332

r-j

所以g(x)在0,2上單調(diào)遞增，在卷，3上單調(diào)遞減，g(x)關于工=彳對稱,

J.乙JL乙JL乙乙

且g(o)=g-1,

方程2g(x)-加=1等價于g(x)="有兩個不同的解不々，

C兀71

.,.玉+/=2X—

6

故選：A.

8.若關于x不等式ln(G；)Vx+6恒成立，則當,VaWe時，e"I—Ina的最小值為()

e

A.—F1B.e—1C.1D.e

e

【答案】C

【解析】

【分析】構建/(x)=ln(ar)—x—Z?,分析可知/(尤)的定義域為(0,+8),且/(x)WO在(0,+8)內(nèi)恒成立,

利用導數(shù)可得InaW〃+1,整理可得e"i—Ina之a(chǎn)—Ina，構建g(a)=a—lna,L?a<e,利用導數(shù)求其

e

最值即可.

【詳解】f(x)=ln(cvc)-x-b,

因為LwaVe,可知的定義域為(0,+8),所以/(%)W0在(0,+8)內(nèi)恒成立，

e

11—y

又因為/''(x)=——1=---,

XX

令/(%)>0,解得0〈無<1；令尸0)<0,解得1>1；

可知/(可在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

則/(x)w/(l)=lna—1—〃W0,可得lna<Z?+l,則e"】2^=4，

可得e"i—InaNa—lna，當且僅當Ina=Z?+1時，等號成立，

令g(a)=a-lna,‘VQVe,則g'(a)=l—工=^--,

eaa

令g'(a)>0,解得l<a<e；令g'(a)<0,解得

e

可知g(a)在(l,e］內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則g(a)?g⑴=1,

即eHi—lna之a(chǎn)—lna21，當且僅當。=1/=—1時，等號成立，

所以e"i—Ina的最小值為1.

故選：C.

【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題

(1)分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題;

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值;

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題;

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值;

第三步：構建不等式求解.

二.多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分)

9.已知3“=5”=15，則下列結論正確的是()

A.lg?>lgZ?B.a+b-abD.a+Ab>9

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)指對互化與運算以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC,利用基本不等式即可判斷

D.

【詳解】由題可得a=log315>log33=l〉0,b=log515>log55=1>0,

..0<—二logi53<logi55=—，即0<—<—9所以

abab

對于A,因為a>Z?>0,所以lga>lgZ?,故A正確；

對于B,Q—+—=log3+log5=log15=1,,\a+b=ab,故B正確；

ab151515

對于c,因為a>3>0,所以［g］，故c錯誤；

對于D,因為a>Z?>0,—l—=1,

ab

所以a+4b=(a+4人)［工+工］=5+竺+0?5+2、^^=9,

yab)abyab

4/?a

當且僅當一=—,即a=2Z?時等號成立，這與已知3"=5〃矛盾，所以。+必>9,故D正確.

ab

故選：ABD.

10.若數(shù)列｛an｝滿足％=1,?2=1,(?>3,〃eN+),則稱數(shù)列｛廝｝為斐波那契數(shù)歹(J,

又稱黃金分割數(shù)列，則下列結論成立的是()

A.%=13B.2%=*+%+2(〃N3,neN+)

C.%+%+%*I%023—。2024D./+。4+。6+,々2024—々2025

【答案】AC

【解析】

【分析】利用斐波那契數(shù)列的定義結合遞推關系一一判定選項即可.

【詳解】對于A,由題可得4=2,%=3，/=5，/=8，%=13,故A正確；

對于B,因為an+2=an+l+%=an+4T+an=2an+an_I,又a”=an_,+an_2,

所以。,+2+。.-1+?！?2=3?！?%1，BP^an=an+2+an_2,故B錯誤;

對丁'C,〃2024—〃2023+〃2022—〃2023+〃2021+〃2020—L—〃2023+〃2021+L++Q2

—%023+“2021+L+/+4，故C正確；

又寸D,〃2025—〃2024+〃2023一〃2024+〃2022+〃2021一〃2024+“2022+L++生

—。2024+%022+L+/+%+，故D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，在邊長為4的正方體ABCD-44GA中，E,尸分別是棱與q,G2的中點，尸是正方形

A4G2內(nèi)的動點，則下列結論正確的是（）

A.若DP//平面CEE,則點P的軌跡長度為20

B.若AP=JI7，則點尸的軌跡長度為2兀

C.若尸是正方形的中心，0在線段所上，則PQ+CQ的最小值為4近

D.若尸是棱A耳的中點，則三棱錐尸-CE"的外接球的表面積是41兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出相應圖形，先證明平面6DW//平面CEE,再結合給定條件確定動點軌跡，求出長度即

可判斷A；建立空間直角坐標系，根據(jù)題意確定動點軌跡，求解長度即可判斷B，將平面CEF翻折到與

平面4片。12共面，連接PC，與跖交于點。，此時PQ+CQ取到最小值，利用勾股定理求出

PQ,CQ即可判斷C,先找到球心，利用勾股定理得出半徑，求出外接球的表面積即可判斷D.

【詳解】如圖，取4A，44的中點為N,M,連接MN,DN,BD,BM,NE,用鼻,

所以MN//42,又E,歹分別是棱用C1,GA的中點,

所以EF//B1A，版以MNIIEF,

ACVtZ平面CEF,EFu平面CEF,

：.MN/mCEF,

因為N,E分別是棱A，，耳G的中點，所以NE//CD,且NE=CD,

所以四邊形CDNE為平行四邊形，

所以ND//CE,又NDq平面CEF,CEu平面CEF,

:.ND//平面CEF,

又MN「ND=N,MN,NDu平面BDNM,

所以平面502W//平面CEE,

點P是正方形A4G2內(nèi)的動點，且DP//平面CEF,

所以點P的軌跡為線段腦V,由勾股定理得.=后百=2血，故A正確;

如圖，以A為原點，以A3,AD,A4]所在直線為x軸，y軸，z軸,

由題意得A(0,0,0),設P(x,y,4),

AP=y]x2+y2+16=V17，

所以必+>2=1,所以點尸的軌跡為A為圓心，半徑為1的1個圓,

[兀

所以點尸的軌跡長度為一?2兀=—.故B錯誤；

如圖，將平面CEE翻折到與平面4與GR共面,

連接PC,與EF交于點Q，此時PQ+CQ取到最小值,

22

?CE=CF=72+4=2A/5-且PE=PF=2，

所以點。為跖的中點，所以PQ=EQ=；萬萬=后,

所以CQ=y/CE2-EQ~=V20-2=372，

即PQ+CQ的最小值為40，故C正確;

DyF

如圖，連接尸E,交耳。|于點。1，連接？E,

若P是棱A片的中點，則NbEP=90°,

所以EP是?。克饨訄A的一條直徑，所以。1是！F跖外接圓的圓心，

過點。1作平面ABCD的垂線，則三棱錐尸-CEF的外接球的球心。一定在該垂線上,

連接0P,設。旦=/,則22+『=店，

22

連接0C,1AC=174+4=2A/2,所以(4—f『+(2后J=R2,

所以22+『=(4—/1+已后了，解得/=g,

所以小

所以三棱錐P—CEF的外接球的表面積為S=47tH2=41兀，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：三棱錐外接球的半徑的求法：

(1)先找兩個面的外心；

(2)過外心作所在平面的垂線，兩垂線的交點即為球心；

(3)構造直角三角形，利用勾股定理求出半徑.

有時無須確定球心的具體位置，即只用找一個面的外心，則球心一定在過該外心與所在平面的垂線上.

第II卷

三.填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.曲線y=X3+3%2+7%+4所有切線中，斜率最小的切線的方程是.

【答案】4x-y+3=0.

【解析】

【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求最小值，即可求切線的斜率，以及代入切線方程，即可求解.

【詳解】由題意y'=3f+6X+7=3(%+1)2+4,

所以％=—1時，y，n=4,又X=—1時，y=-I，

所以所求切線的方程為y+l=4(x+l),即4x—y+3=0.

故答案為：4x-y+3=o.

13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A,B,C處測得其頂點尸的仰角分別為30。，

60°,45°,且A5=BC=50米，則塔的高度OP=米.

【答案】10715

【解析】

【分析】設PO=/z,在Rt^POA,RtAPOB,Rt^POC分別根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出

OA,OB,OC,最后利用余弦定理進行求解即可.

【詳解】設塔的高產(chǎn)O=/z,

P

在RtAJYM中，OA=°n=s/3h,同理可得。5=且丸，OC=h,

tan30°3

在AQAC中，NOBA+NOBC=兀,貝!lcosNOBA=—cosNOBC,

OB?+AB?-OB?+BC?-

2OBAB2OBBC

1"+502—3/-/12+502-/?2

即^—R-------=--—R-------，解得〃=10厲.

2x—Ax502x9/2x50

33

所以塔的高度為10而米.

故答案為：10后.

14.己知[44|=1,當“22,〃wN*時，4+1是線段447的中點，點尸在所有的線段44+1上，若

|A/|W2,則2的最小值是

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)中點坐標公式可得4+2=4伊包("eN*),進而可得｛%+「”“｝等比數(shù)列，即可利用累加

法求解a〃=gl—1—J，由極限即可求解.

【詳解】不妨設點4(0,0)、4。,0)，設點4(a“,0)(〃eN)

+n+

則數(shù)列｛即｝滿足q=0,a2=l,an+2=^'[neN*),

所以，an+2~an+l-~，

所以，數(shù)列是首項為。2一《1=1，公比為-J的等比數(shù)列，

當〃22時,an=q+(出一)+(43-02)+?,?+

〃i=。也滿足%=§j,故對任意的〃wN*

2(1Y??

所以"A"=1而一］—5=_，故42*

+003I2y33

故答案為：一.

3

四.解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S〃+2=2a”.

(1)求的及數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)在%與%+i之間插入〃個數(shù)，使得這(〃+2)個數(shù)依次組成公差為d”的等差數(shù)列，求數(shù)列<的前

<?>

幾項和

n

【答案】(1)%=4,an=2fnGN"

⑵(=3-審

【解析】

【分析】(1)先將〃=1代入題干表達式計算出4=2,再將“=2代入題干表達式即可計算出4的值，當

心2時，由S〃+2=2a“，可得S“_i+2=2a“_i，兩式相減進一步推導即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛“是以2為首

項，2為公比的等比數(shù)列，從而計算出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結果寫出4與am的表達式，再根據(jù)題意可得a.+i—為=5+1)4,通過計算出

點的表達式即可計算出數(shù)列的通項公式，最后運用錯位相減法即可計算出前〃項和7；.

【小問1詳解】

由題意，當〃=1時，S]+2=q+2=2〃],解得%=2,

當〃=2時，512+2=2a2，即%+%+2=2%，解得%=4,

當〃22時，由S〃+2=2%,可得S〃_I+2=2%T，兩式相減，可得%=2%—2a〃T，

整理，得4=24_1，.?.數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

.?.4=2.2"T=2",neN*.

【小問2詳解】

1

由(1)可得，an=2",cin+l=2",

在an與4+1之間插入〃個數(shù)，使得這("+2)個數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列,

則有4+1—。0=5+1)4,

?d2"」=比

"--F1?<2"'

.111234n+1

=--H

T=—I-----1-----1----1—72—r3~i-----1-------

"4d2dn2222"

丸=2XQ+3x1)+...+〃.[￡]+(〃+i)1：

J___1

兩式相減得三=2111n+1n+13〃+3

--1---1--------------=1+

2122232"2n+12n+i~2~2n+i9

.U=3—暇

16.設VABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且有2Z?cos[A—=〃+c,

(1)求角B：

(2)若AC邊上的高力二——b，求cosAcosC.

4

【答案】(1)

(2)--

8

【解析】

【分析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得角B的大小;

(2)由等面積法可得尸=2ac，再由正弦定理可得sinAsinC的值，再由cos5=—cos(A+C),可得

cosAcosC的值.

【小問1詳解】

因為2bcos(A——I—+c,

由正弦定理可得2sinB[，cosA+立sinA〔=sinA+sinC,

(22J

即sinBcosA+->J3sinAsinB=sinA+sin(A+B)

即sinBcosA+石sinAsin5=sinA+sinAcosB+cosAsinB,

所以由sinBsinA=sinA+sinAcosB，

在三角形中，sinA>0,

所以上sinB-cos3=1，

（jri1jrfyrSJi

即sinB—二=7,因為區(qū)￡（0,?）,則B——7下

o^oo

_「兀7Critn兀

可rZ得c33----=—,則3=—.

663

【小問2詳解】

因為AC邊上的高/?=且6，

4

所以=?.當武絡/①

=-acsinB=-acx

又s△ADC

ABC22朱魯②

由①②可得。2=2ac，

由正弦定理可得sir?3=2sinAsinC，

兀3

結合（1）中3=—可得sinAsinC=—,

38

因為cos_B=—cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=—,

1311

所以cosAcosC=sinAsinC——=------=——.

2828

17.如圖1,在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E為CD中點，將VADE沿AE

折起，連結BD，CD,且3。=4,如圖2.

(1)求證：圖2中的平面ADE_L平面A6CE；

(2)在圖2中，若點E在棱上，直線AF與平面A5CE所成的角的正弦值為回，求點E到平面

10

DEC的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）型1

15

【解析】

【分析】（1）連接BE,利用勾股定理證明BELOE,BELAE,再根據(jù)線面垂直的判定定理證得BE，平

面ADE，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

（2）以點E為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

連接班，

由題意AD=DE=2,ZADE=60°,ZBCE=120°,

則VADE為等邊三角形，

由余弦定理得BE?=4+4—2x2x2x[—g）=12,所以BE=2?，

則DE2+BE2=BD2,AE2+BE2=BD2,

所以BE±DE,BEJ_AE,

又AEcDE=E,AE,u平面ADE,

所以BE，平面ADE，

又BEu平面ABCE,所以平面4）E_L平面ABCE；

【小問2詳解】

如圖，以點E為原點，建立空間直角坐標系，

則4（2。0）,網(wǎng)0,26,0），4-1,6,0）,。（1,0,百）,石（0,0,0）,

設r>E=AD5（0W；lWl）,

故反=（-1,如,0）,加=（1,0,有），詼=卜1,2括,-月），

AD=AD+DF=（-1,0,A/3）+2（-1,273,-A/3）=（-1-2,2A/32,A/3-A/32）,

因為z軸垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一條法向量為m=（0,0,1）,

化簡得3%+82—3=0,解得4=g或；l=—3(舍去),

設平面DEC的法向量為為=(羽％z),

n-EC-x+y/3y=0

則有＜_.可取為=(后,1,一1卜

n-EDx+A/3Z=0

026?6

所以點尸到平面。EC的距離為處國3332厲.

75~^5~

18.已知函數(shù)/(x)=sinx+ln(x+l)-ax,且y=f(x)與x軸相切于坐標原點.

(1)求實數(shù)。的值及/(%)的最大值;

71

(2)證明：當工￡—,71時,/(X)+2x〉g；

6

(3)判斷關于x的方程/'(x)+x=0實數(shù)根的個數(shù)，并證明.

【答案】(1)a=2,最大值為0

(2)證明見解析(3)2個，證明見解析

【解析】

【分析】(1)由((。)=。求出。的值，即可得到/(%)解析式，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出

函數(shù)的最大值；

「兀［11「兀］

(2)依題意即證當—,Ji時sinx+ln(x+l)>—,記根(x)=sinx+ln(x+l)——,xe一,兀,當

71571［571

xe時直接說明即可，當了￡”,兀，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；

166」I6」

(3)設/z(x)=/(x)+x,XG(-1,+OO),當xe(T,O)時，由(1)知/(x)</(0)=0,則/(x)+x<0,

當尤e(0,2時，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理判斷函數(shù)的零點，當了€［兀,”)時，

h(x)<1+ln(x+1)-%,令l(x)=l+ln(x+l)-x(x>7r),

利用導數(shù)說明/(x)在區(qū)間［無,+8)上單調(diào)遞減，即可得到/(x)<。，從而說明函數(shù)在［兀,+8)無零點，即可得

解.

【小問1詳解】

由題意知，/(0)=0且/(0)=0,

,//'(X)=cosxH——----a,

X+1

.-./，(0)=2-?=0,解得0=2,

；./(尤)=sinx+ln(九+l)-2x,xe(-1,+<?),

則/'(x)=cosx+----2,

x+1

當尤20時，cosx<l,」一VI.故/'(x)<0,

x+1

所以/(幻在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)?/(0)0.

當一l<x<0時，令g(x)=cosx+^----2,

%+1

貝Ug'(x)=_sinx—1,

(x+1)-

1

,.--sinxe(0,l),0>1,g'(x)<0,

(x+1)

f\x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，則f\x)>/'(0)=0,

???/(x)在區(qū)間(—1,0)上單調(diào)遞增，則/(x)</(0)=0,則皿=〃0)=0.

綜上所述，a=2,/(x)的最大值為0.

【小問2詳解】

因為/(%)=sinx+ln(%+l)-2x,

7111

要證當工￡—,7i時/(%)+2%>—,即證sinx+ln(x+l)>—,

622

記根(x)=sinx+ln(x+l)-/,xe—,7i

兀571I

當一,—時，一<sin%?l,ln(x+1)>0,

662

/.m(x)=sinx+ln(x+1)——>0；

當——,71時，mr(x)=COSXH----

I6_x+1

記n(x)=m'(x)=cosx+,則n'(x)=-sinx-------不<0,

x+1(x+1)-

.?.m(x)在區(qū)間［g,兀上單調(diào)遞減，則加(x)〈加=—#+/%<(),

\5兀

則雙%)在區(qū)間工■，兀上單調(diào)遞減,

/.m(x)>m(7i)=sin兀+In(兀+1)--=ln(7i+l)--1>0,

711

綜上所述，當-,71時，f(%)+2x>-.

【小問3詳解】

設/z(x)=/(x)+%=sinx+ln(x+l)-x,XG(-1,+8),

/./z'(x)=cosx+---1,

x+1

當X￡(—1,0)時，由⑴知/(x)v/(0)=0,

故/(%)+%</(%)<0,

故/(%)+%=。在區(qū)間(―1,0)上無實數(shù)根.

當％=0時，%(0)=0,因此。為/(%)+%=。的一個實數(shù)根.

當次￡(0,兀)時，/z"(x)=cosx+---1單調(diào)遞減，

x+1

又"(0)=1>0,/Z(7i)=--—2<0,

71+1

，存在不?(0,兀)，使得〃'(5)=0，

所以當0<x</時h'(x)>0,當/<%<兀時〃0)<0,

/7(x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(％,兀)上單調(diào)遞減，

/4I)>/i(0)=0,又h(7i)=ln(7t+1)-兀<2-兀<0,

.?./(x)+無=0在區(qū)間(天,兀)上有且只有一個實數(shù)根，在區(qū)間(0,%］上無實數(shù)根.

當無￡［兀,+00)時，h(x)<1+ln(x+1)-x,

令/(x)=l+ln(x+l)-%(x27r),

1—Y

r(x)=------1=—<o,

x+lX+1

故/(X)在區(qū)間［兀,+8)上單調(diào)遞減，/(無)</(兀)=ln(l+兀)一兀+1<3-兀<0,

于是/(%)+x<。恒成立.故/'(x)+x=0在區(qū)間［兀,+℃)上無實數(shù)根，

綜上所述，F(xiàn)(x)+x=0有2個不相等的實數(shù)根.

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴?/p>

等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)

性、極(最)值問題處理.

19.對于任意正整數(shù)”進行如下操作：若見為偶數(shù)，則對〃不斷地除以2,直到得到一個奇數(shù)，記這個奇

數(shù)為4”；若〃為奇數(shù)，則對3〃+1不斷地除以2,直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為4.若4=1,則稱正

整數(shù)”為“理想數(shù)”.

(1)求20以內(nèi)的質數(shù)“理想數(shù)”；

(2)已知冊=加一9.求機值；

⑶將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列也｝,記也｝的前〃項和為S“，證

明：

【答案】(1)2和5為兩個質數(shù)“理想數(shù)”

(2)m的值為12或18

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“理想數(shù)”概念，結合列舉法可解；

(2)分析題意知道4,=m-9必為