2024-2025學(xué)年度高二年級4月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若直線2x—V—1=0與直線以+2y_3=0垂直，則“=()

A.-1B.；C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用兩條直線互相垂直列式求解.

詳解】由直線2x—丁-1=0與直線以+2y—3=0垂直，得2a—2=0,所以a=l.

故選：C

2.如果隨機(jī)變量X?N(3Q2),且尸(X>1)=0.72,則P(XN5)=()

A.0.28B.0.36C.0.72D.0.56

【答案】A

【解析】

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出概率.

【詳解】由隨機(jī)變量X?N(3,/),且P(X>l)=0.72,

所以P(X>5)=P(X<1)=1-P(X>1)=0.28.

故選：A

22

3.已知橢圓E：與+==l（a〉6〉0）的上、下頂點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)分別為A,2,片,F2,且四邊形A45月

a2b2

是正方形，則E的離心率為（）

A.@B.立C.-

323

【答案】B

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合得到b=c,結(jié)合求出離心率.

【詳解】由題意得4。=。工，i^b=c,

又儲="+。2_2c2,

則￡的離心率為￡=口=變.

aV22

故選：B

4.直線/：3x-4y+m=0（加＞0）與圓。：爐+產(chǎn)=16相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)。=—8時機(jī)的值為

（）

A.10B.8C.6D.4

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量積的定義求出205,進(jìn)而求出圓心到直線距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解.

【詳解】依題意，OAOB=4x4cosXAOB=—8＞解得＜：0544。3=—/,而NAO3e[0,兀],

2冗IT

則ZAOB=——，ZOAB=—,于是點(diǎn)。到直線/的距離d=|QAIsinZOAB=2,

36

\m\

因此歷方=2,而加＞0,所以加=10.

故選：A

5.已知雙曲線C：吞―丁=1.〉0),其左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,過點(diǎn)耳的直線交C的左右兩支分別

于48兩點(diǎn)，且優(yōu)司=田與，|AB|=8,則C的實(shí)軸長為()

A.1B.6C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義列式求出。，進(jìn)而求出實(shí)軸長.

【詳解】設(shè)|工8|=根，則|8I|=/n,|43|=2a+「,|耳A|=/n-2a,

因此IAB|=|F}B|—|FXA|=(2a+m)—(in—2a)=4a=8,解得a=2,

所以C的實(shí)軸長2a=4.

故選：D

2

6.已知函數(shù)/(x)=W匚(x〉l)有最大值-8,則a的值為()

x1

A.-2B.-4C.-8D.-12

【答案】A

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)參數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論得出其單調(diào)性，再由最大值解方程可得a=-2.

，/、2ax(x-l)-ax2ax(x-2)/、

【詳解】易知/(x)=—*—=/，、/,且xe(l,+a))；

(x—1)(x-1)

令/''(x)=0,解得尤=2或％=0(舍)；

顯然當(dāng)a=0時不合題意，

當(dāng)a<0時,若xe(l,2),易知廣(力>0,此時函數(shù)〃可在(1,2)上單調(diào)遞增，

若xe(2,”)，易知/''。:卜。，此時函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)遞減；

所以〃力在x=2處取得極大值，也是最大值，即/(2)=4a=—8,

解得。=—2,符合題意；

當(dāng)a〉0時，若xe(l,2),易知/'(x)<0,此時函數(shù)〃%)在(1,2)上單調(diào)遞減，

若xe(2,y),易知r(x)>0,此時函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)遞增；

此時了(%)無最大值，不符合題意；

綜上可知，a——2.

故選：A

7.用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個區(qū)域，相鄰兩個區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，則不

同的涂色方法有()

A.240B,480C.420D.360

【答案】C

【解析】

【分析】按照分類加法和分步乘法計(jì)算原理，對5個區(qū)域進(jìn)行分步、分類涂色即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區(qū)域CADEB,

C區(qū)域有5種顏色可選，A區(qū)域有4種顏色可選，D區(qū)域有3種顏色可選；

若E區(qū)域與D區(qū)域顏色相同，E區(qū)域有1種顏色可選，則B區(qū)域有3種顏色可選；

若E區(qū)域與D區(qū)域顏色不同，E區(qū)域有2種顏色可選，則B區(qū)域有2種顏色可選；

再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有5x4x3x(lx3+2x2)=420種.

故選：C

8.將數(shù)列｛2〃-1｝和｛3"｝中所有的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列｛/｝(若有相同元素，按重復(fù)方式

計(jì)入排列)，則數(shù)列｛4｝的前50項(xiàng)和為()

A.2160B.2240C.2236D.2490

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意得到數(shù)列｛4｝的前50項(xiàng)和%中有｛2〃-1｝中元素46個，｛3〃｝中元素4個，再求

$50即可.

【詳解】由題知：｛2〃—1｝中第50個數(shù)為2x50—1=99,第41個數(shù)為2x41—1=81,

因?yàn)?4=81<99，35=243>99，

則數(shù)列｛??｝的前50項(xiàng)和S50中含｛2/1-1｝中元素46個，含｛3'｝中元素4個，

a?”46x(46-1)3(1—3，

所以S’。=46x1+——----^x2+-^-----=2236-

5021-3

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求、全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知直線/的一個方向向量為4=(無一1,2),平面a的一個法向量為6=(3,2,y),貝U()

3

A.若了=——,y=4,貝

2

B.若///a,則3x+2y=2

C.若x=2,y=l,則cos〈a,6〉="4

7

323

D.若x=-2,y=3,則。在人上的投影向量的坐標(biāo)為(―石,一行,一行)

【答案】BCD

【解析】

【分析】確定a,b是否共線判斷A；由空間向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B；求出向量夾角判斷C；求出投影向

量判斷D.

33

【詳解】對于A,當(dāng)x=—],y=4時，a=(—],—1,2)力=(3,2,4),顯然。力不共線，因此/與平面a

不垂直，A錯誤；

對于B,由///a,得aJ_。，則a-Z?=3x-2+2y=0,即3x+2y=2,B正確;

a?b6J14

對于C,當(dāng)％=2,y=1時，a=(2,-1,2),Z?=(3,2,1),則cos〈〃,/?〉=------=—-7==------,C正確；

\a\\b\3V147

對于D,當(dāng)無=-2,y=3時，a=(—2,—1,2)力=(3,2,3),a-b=-2,\b\=y/?2,

a-b-2323

因此〃在。上的投影向量為——b=——(3,2,3)=,D正確.

網(wǎng)222111111

故選：BCD

10.已知隨機(jī)變量X,Y滿足X?8(4,0,p(x=4)=富，且X+2F=2,則()

81

A.E(X)=|B.E(r)=-1C.D(X)=1D.。a)=|

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出P,再利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式，結(jié)合期望、

方差的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.

【詳解】由X?B(4,p),P(X=4)=A，得C：p4=\,而解得p=g,

Qo

對于AC,￡(X)=4p=—,Z)(X)=4夕(1—p)=—,A正確，C錯誤；

39

對于BD,由X+2y=2,得y=l—gx,E(y)=l—；E(X)=—g,D(y)=^-D(X)=|,BD正

確.

故選：ABD

11.已知函數(shù)/(x)=x2+e2，-3—奴e',則下列說法正確的是()

己+]

A.若/(%)恰有3個零點(diǎn)，則】二—

e

B.若/(九)恰有3個零點(diǎn)，則。=之e2。+1

e

__e+1

C.若/(%)恰有4個零點(diǎn)，則〃的取值范圍是e2,二￡)

e

__e+]

D.若/(%)恰有4個零點(diǎn)，則〃的取值范圍是(2e2,號)

e

【答案】AD

【解析】

【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的意義，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=±+J,利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及極值情

e，x

況，再結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=x2+e2i—axe'的定義域?yàn)镽,當(dāng)尤=0時，/(x)，0,

XQX~^xe"3

于是/(x)=00a----，令g(x)=^H-----，

exe%

則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個數(shù)即為直線V=。與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)個數(shù)，

_p.Z,,、1—Xe'3(x—1)(X—l)(e2'3-x")人-Z4,/、2x-32

求導(dǎo)B得Bg'(x)=----+——3_-=----\-------，令函數(shù)h(x)=e八-X2,

ev%x~e*

求導(dǎo)得丸'(x)=2e2A3-2X,令函數(shù)9(X)="(X),求導(dǎo)得"(x)=4e?'——2,

函數(shù)0(%)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)%<—號一時，0(%)<0；當(dāng)九〉—日一時，(p(x)>0,

函數(shù)無’(X)在(-哈土要)上單調(diào)遞減，在(82,+8)上單調(diào)遞增，

1Q

而"(0)=2e-3>0,/(5)=2e-2-l<0,/zf(|)=-1<0,/(2)=2e-4>0,

]3

則存在玉)e(0,/),X165,2),使得〃'(/)=/?'a)=。，當(dāng)或尤>不時，h\x)>0,

當(dāng)不<%<苞時，h'(x)<0,于是函數(shù)/z(x)在(-00,%),(石,+<?)上單調(diào)遞增，在(%,占)上單調(diào)遞減,

又A(-l)=e-5-l<0,/z(0)=e-3>0,/z(-)=e-2--<0,A(2)=e-4<0,/z(-)=e2-->0,

2424

則存在/e(-l,0),x3e(0,g),X4e(2,1.),使得人(々)=丸(七)=//(xj=0,

當(dāng)或無3〈尤<*4時，"(x)<。；當(dāng)々<%<退或x〉/時，〃(x)>0,

于是函數(shù)g'(X)有4個零點(diǎn)々，%3，1，%4，且/<0<退<1<%,

當(dāng)％或?yàn)?lt;X<1或X〉與時g'(x)>。；當(dāng)匕<x<0或0<x<%3或1<X<與時，g'(x)<0,

函數(shù)g(x)在(-8,%)上單調(diào)遞增，在(X2,0)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x<0時，g(x)<0,當(dāng)x>0時，g(x)>0,

因此當(dāng)X<0時，直線y=。與函數(shù)y=g(x)的圖象最多兩個交點(diǎn);

函數(shù)g(x)在(馬,1),(%,+8)上單調(diào)遞增，在(0,馬),(1,%)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x=l時，函數(shù)g(x)取得極大值g⑴=3<1，g」)>30e尸〉或〉寒〉1,g⑸〉￡1〉1,

e-30e3335

33

由A(X3)=丸(％)=0,得]3=X3「,e&='當(dāng)x==%時，g。)取得極小值，

3

g(X3)=^++=圣+金=262,同理g(%)=2e-%

3

冗3/3

e+[

對于AB,/(%)恰有3個零點(diǎn)，即直線丁=。與函數(shù)y=g(x)的圖象有3個交點(diǎn)，則A正確,

e

B錯誤；

對于CD,7(x)恰有4個零點(diǎn)，即直線丁=。與函數(shù)y=g(x)的圖象有4個交點(diǎn)，

則2e2<q<WA,C錯誤，D正確.

故選：AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1一,)(犬+1)6的展開式中13的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

X

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出(X+1)6展開式的》3,公項(xiàng)即可得解.

【詳解】依題意,(X+l)6展開式中邕/項(xiàng)分別為C=3,C*4,

63

因此(1--)(x+1)的展開式中/項(xiàng)為1.C江3+(__1)或/=?-cj)x=5/,

XX

所以所求系數(shù)為5.

故答案為：5

13.從1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，則這3個不同的數(shù)的中位數(shù)為4的概率為

9

【答案】—

35

【解析】

【分析】根據(jù)排列組合即可結(jié)合古典概型的概率公式求解.

【詳解】從這7個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，所有的情況有C；=35種，

要使得這3個不同的數(shù)的中位數(shù)為4,則需要從1,2,3中任選一個數(shù)，從5,6,7中任選一個數(shù)，再加上4,即

可滿足,故有C；C；=9,

9

故概率為—，

35

9

故答案為：—

35

14.已知拋物線E：/=8%,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/交拋物線E于A,2兩點(diǎn)（A,2在x軸兩側(cè)），過點(diǎn)。

向直線/作垂線，垂足為C,且則點(diǎn)C到無軸的最大距離為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，借助相似三角形性質(zhì)可得設(shè)出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出

直線/所過定點(diǎn)即可得解.

【詳解】由OCLAB于C,得OCA^BCO,則NAOC=NABC,

ZAOB=ZAOC+ZBOC=ZABC+ZBOC=90?即Q4LO3，

設(shè)直線/的方程為x=）+根，點(diǎn)4；石，%）,3（々，%），%%＜。，

x—ty+rn

由《2o消去x得-8rv-87〃=O,則%%=-8加＜0,%%=^_.Xk=m-,

y=8%88

由。4_LOB,得+%為=%2—8m=0,而加＞0,解得7〃=8,

因此直線/恒過定點(diǎn)。（8,0）,點(diǎn)。的軌跡是以線段OD為直徑的圓（除點(diǎn)外），

所以點(diǎn)C到無軸的最大距離為-|OD|=4.

2

故答案：4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15若+=4+q尤++/尤3+%X4，其中%=80.

（1）求機(jī)的值；

（2）求（tZo+a,+%）—-（4+出+/）-.

【答案】（1）m=2

（2）-243

【解析】

【分析】（1）寫出爐項(xiàng)的系數(shù)解方程即可得根=2；

（2）利用賦值法分別求出各項(xiàng)系數(shù)的和，再利用因式分解計(jì)算可得結(jié)果.

【小問1詳解】

易知展開式中含/項(xiàng)為初X），=，CV，

因此可得。3=^y=80,即10帆3=80；

解得m=2；

小問2詳解】

由（1）可知，二項(xiàng)式為（l+2x。

令X=l,可得（1+2X1J=/+%+/+。3+。4+。5=3,；

令x=-1>可得（1—2x]J=a?！猶+4一％+q-。5=（一1）；

因此可得（瑪+。2+。4）—一（4+。2+%）=（"o+。]+。2+/+。4+"5）（。0一"1+。2-/+。4-。5）=—243.

22_

16.已知橢圓C：=+2=1（。〉?！?）的焦距為4A6，且橢圓c過點(diǎn)（0,-2）.

a'b

（1）求橢圓C的方程;

(2)直線/：y=；(x—機(jī))與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)，證明：|4。|2+|3。|2為

定值.

22

【答案】⑴三+匕=1;

164

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求出反c而得橢圓C的方程.

(2)聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算得證.

【小問1詳解】

22

由橢圓C：=+4=1過點(diǎn)(0,-2),得6=2,而橢圓C的半焦距C=2g，則。=病壽=4,

ab

所以橢圓c的方程為—+^-=1.

164

【小問2詳解】

2V=X—r＞7

由＜-4/=16消去＞得2A皿心16=。，設(shè)取i)池…)，

222

A=4m-8(m-16)>0,則根？<32，+x2=m,xxx2=^-m-8,而￡)(m,0),

因此|AD『+I|2=(石一根)2+y；+(/—附2+y2=5[&_㈤2+(%—加)2]

222

=；[x；+%2-2制%]+x2)+2m]=：[(玉+x2)-2xrx2-2m(xx+x2)+2m]

=^[m2—2(；冽之—8)—2m-m+2m2]=20,

所以+|出汗為定值.

17.設(shè)甲盒有4個白球，2個紅球，乙盒有2個白球，4個紅球，現(xiàn)從甲盒中任取2個球放入乙盒中，再從乙

盒中任取1個球.

(1)記隨機(jī)變量X表示從甲盒取出的紅球個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求從乙盒取出的1個球?yàn)榧t球的概率.

【答案】(1)分布列見解析，期望E(X)=|；

⑵—

12

【解析】

【分析】(1)寫出X的所有可能取值并求得對應(yīng)概率，可求得分布列和期望;

(2)利用全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.

【小問1詳解】

易知X的所有可能取值為0,1,2,

「27C1C1Q「21

所以尸(X=0)=云=丁尸(X=l)=遂=話,尸(X=2)=云

15

因此X分布列為:

X012

281

p

I1515

9Q19

數(shù)學(xué)期望石(X)=0xg+lx,+2義百=§.

【小問2詳解】

設(shè)“從甲盒中任取2個球全為紅色”為事件4,“從甲盒中任取2個球?yàn)橐患t一白”為事件4,“從甲盒中任

取2個球全為白色”為事件4，

“從乙盒取出的1個球?yàn)榧t球”為事件B,

易知尸(4噎$尸(4)=罟哈尸⑷/2

5

C13C15C11

尸(34)=才=，。(為4)=才蔡，尸(3A)=m

888

所"㈤=郎("")=3+父+安吒

7

即從乙盒取出的1個球?yàn)榧t球的概率為一.

12

18.己知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為Sn,且2Sn=3an+2n-6.

（1）證明：｛4-1｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵記d=（T）"%-2）,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小

44+1

①求Q；

②若存在〃eN*，使得求力的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析，。"=3"+1：

117

⑵①J=一々+『？②[-與，+"

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用S.-5,1=4（"22）及構(gòu)造法推理得證，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.

（2）①由（1）求出勿，再利用裂項(xiàng)相消法求和；②由①求出借助單調(diào)性求出7“的最小值即可.

【小問1詳解】

數(shù)列｛““｝中，2s〃=34+2〃-6,當(dāng)〃之2時，2s=3?！癬]+2（〃一1）—6,

兩式相減得2?！?3an-3a“_j+2,整理得a?=3all_l-2,于是4-1=3（^-1）,

而2〃]=3〃]+2—6,即4=4,則〃]—1=3,

所以數(shù)歹！是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，=4=3"+1.

【小問2詳解】

(-1)"(4-3"+2)=(-1)"(二一+—J一),

①由⑴知,4“=3"+1,仇=

(3"+1)(3"+1+1)3"+13"+1+1

=(-------;--)+(-:---1;)+L+(：------;---)+(----1—y-)

3+132+132+133+132,!-1+13?"+13?”+132n+1+l

1111

----1------------1-------

3+132"+1+1432n+1+T

②由①知，&=1+32」+]，（“〉—；，

而數(shù)列｛一；一1｝單調(diào)遞增，則41T之Z=一;—51,

i"JIA.IJ.

77

因此（之―由存在〃EN*,使得XN（，得X2—

7

所以幾的取值范圍是［-三,+8).

19.己知函數(shù)/(X)=2xlnx-a(x2-l)(aGR).

⑴若a=l,求證：在(0,+s)上單調(diào)遞減；

⑵若/(%)WO在［1,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

⑶證明：i+rr-4>ln(n+1)+i(￡n)(neN*)

【答案】(1)證明見解析

(2)a>l(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由a=l,/(%)=2xlnx-?(x2-l)(?eR),利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性;

(2)利用求導(dǎo)，分類討論求解。的范圍；

(3)根據(jù)(2),進(jìn)行放縮，令x='+l代入整理，累加可得.

k

【小問1詳解】

證明：由a=l,則/(x)=2x