陜西省寶雞市隴縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)

期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.王明正在籌劃班級迎新晚會，想知道該準(zhǔn)備多少斤水果，他最希望得到所有

學(xué)生需要水果數(shù)量的（）

A.四分位數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.均值

2

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=_+i,則忖=（）

A.1B.72C.6D.石

3.已知向量〃二（&1）,=（0,1）,/），若〃+2b與c垂直，則k=

（）

A.1B.-2C.-3D.-1

4.下表記錄了上海某個月連續(xù)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）：

時間12345678

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）2028243331353638

則這些空氣質(zhì)量指數(shù)的75%分位數(shù)為（）

A.35B.35.5C.36D.37

5.在△ABC中，內(nèi)角A氏。所對的邊分別為〃也c,若A=；,B=^,貝ij

y/6b-2a,、

a

A.—1B.~C.1D.—

6.若單位向量。力滿足忸++2。則向量a,人夾角的余弦值為（）

3333

A.-B.-C.——D.--

4545

7.如圖，在正方體A8CD-A瓦GQ中，E為棱RG的靠近2上的三等分點.設(shè)

AE與平面BBQD的交點為。，則（）

A.三點0,3共線，且O3=2OR

B.三點〃,0,8共線，且。3=3。。

C.三點R,。,8不共線，且。2=2OR

D.三點R,0,8不共線，且。8=3。2

8.已知三棱錐P-A8C,PA_LAB,PA_L8C,ZBAC=30O,3C=2,PA=2VL則三棱錐

尸-ABC的外接球的表面積為（）

28

A.28KB.7兀C.14兀D.——無

3

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）

A.若』eR,貝（JzeR

z

B.若z?eR，則zeR

C.若z—l+3i>0,則z>l—3i

D.zz=|z|2

10.下列說法不正確的是（）

A.若直線。，6沒有交點，則。，b為異面直線

B.若直線?！ㄆ矫鎰t。與a內(nèi)任何直線都平行

C.若直線平面a,平面a〃平面￡,則直線平面￡

D.如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

11.對于一個古典概型的樣本空間0和事件4B,其中〃（。）=18,〃（閻=9,

〃（3）=6,??（AuB）=12,則（）

A.事件/與事件6互斥B.P（AuB）=|

C.事件/與事件每相互獨立D.P（AB）=1

三、填空題（本大題共3小題）

12.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行

分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

13.如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻

到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字

①②

14.在平行四邊形285中，￡為。的中點，若EF=2FB，

uumuuuuuu

AF=AAB+JLIAD(A,//GR),則2X+〃=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在△ABC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且油=。2-標(biāo)一戶.

(1)求角C；

(2)若△ABC的面積為2后，。=2療求/6的值.

16.已知向量。4=(一2,1),03=(〃?,3),0。=(1,5),0為坐標(biāo)原點.

(1)若Q4〃3C，求實數(shù)機(jī)的值；

⑵在(1)的條件下，求與03夾角的余弦值.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面465是矩形，為為點戶到平面265的

距離，AB=4,AD=3,以=3,點區(qū)〃分別在線段PC上,其中￡是/8中

點，段PM二3連接磔

MC

AEB

(1)當(dāng)4=1時，證明：直線ME〃平面以小

(2)當(dāng)2=2時，求三棱錐的體積.

18.某學(xué)校為了了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，邀請就餐師生對食堂服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打

分，最高分為100分.隨機(jī)調(diào)查100名就餐的教師和學(xué)生，根據(jù)這100名師生對

食堂服務(wù)質(zhì)量的評分，繪制如圖所示頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為：第

一組［0,20),第二組［20,40),第三組［40,60),第四組［60,80),第五組［80,100］.

1頻率/組距

0.0175-------------1~

0.0150--------------------------

0.0125-

0.0100---------------

0.0075-

0.0050—-1-

0.0025—

O20406080100分?jǐn)?shù)

⑴估計所打分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)；

(2)若在第一、二組師生中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名師生進(jìn)行深入

調(diào)查，之后將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概

率.

19.如圖，在四棱錐。-腦VP。中，底面MNP。是正方形，平面MNP。，且

OM=MN=2.

(1)求直線尸0與平面OMQ所成角的余弦值;

(2)求二面角N-OP-Q的大小.

參考答案

1.【答案】D

【分析】根據(jù)四分位數(shù)，中位數(shù)，以及眾數(shù)，均值的定義即可求解.

【詳解】四分位數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中把有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個分

割點位置的數(shù)值；

中位數(shù)是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)；

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值；

平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以

這組數(shù)據(jù)的個數(shù).所以選擇均值較理想.

故選D.

2.【答案】D

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.

22(l+i)

【詳解】z=「+i=\/+i=l+i+i=l+2i,

l-i(l-i)(l+i)

所以忖=個］2+2。=A/5.

故選D.

3.【答案】C

【分析】利用向量垂直的關(guān)系及向量運算律得a.c+26.c=0，代入數(shù)量積的坐標(biāo)

運算求解即可.

【詳解】因為a+26與c垂直，所以(。+26卜=0,即q.c+26-c=0,

所以石+2如=0,解得k=—3.

故選C.

4.【答案】B

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】空氣指數(shù)的8個數(shù)從小到大排列為：20,24,28,31,33,35,36,

38,

又8x75%=6,所以75%分位數(shù)是史|史=35.5.

故選B.

5.【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理計算可得6=更",代入式子即可求解.

2

.71

【詳解】由2=岑=學(xué)3=半，得"粵°,

。sinA.兀22

sin—

4

所以瘋-。-2a

=--2=T

aa2

故選c.

6.【答案】A

【解析】將|2a+,=2近平方可得。必=；,再利用向量夾角公式可求出.

【詳解】凡。是單位向量，，w=w=i，

|2a+Z?|=2A/2,|2a+Z?|=8,即4a?+4a-b+Z?2=8,

3

即5+4Q?很=8，解得Q,力=:，

4

3

則向量。力夾角的余弦值為

\a\-\b\1x14

故選A.

7.【答案】B

【分析】連接A，，8G利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)

系，從而求出結(jié)果.

【詳解】連接A2，BQ,

EG

Oe直線AE,AEu平面ABG。,二。e平面ABCtDt.

又,Oe平面平面ABCQ~平面臺耳。。=5。,二.。e直線,

三點R,O,B共線.

ABO-△￡￡)]O,OB:ODi=AB;EDi=3:1,/.OB=3ODX.

故選B.

8.【答案】A

【分析】先證明PAL平面4BC,再將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，再利用勾股定理

求出外接球的半徑，再根據(jù)表面積公式計算即可得解.

【詳解】因為上4，鉆,/>4,8。,48門8。=氏口,3。匚平面43(?,

所以R1_L平面ABC,

如圖經(jīng)補(bǔ)形可知球心在直三棱柱高的中點處。,。'為△ABC外接圓的圓心，

BC

則1-O'A=

sinZBAC熹="

所以O(shè)N=2,。。'=G

則外接球的半徑我=OA=Joo。+002=占,

所以三棱錐尸-ABC的外接球的表面積S=4兀代=28兀.

故選A.

9.【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算以及復(fù)數(shù)的類型，即可判斷AB；由復(fù)數(shù)的模長

即可判斷D；根據(jù)復(fù)數(shù)的特性判斷C.

、1a-biab

【詳解】設(shè)z="歷SD，由二西麗西=/7廬一為實數(shù)，得

b-0,所以z=aeR,故A正確；

若2甘，則z2=-leR，故B錯誤；

不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，故C錯誤；

設(shè)z=a+bi（a,beR）,則zN=（a+歷）（。_歷）=。2+°2jzF=q2+/，故口正確.

故選AD.

10.【答案】AB

【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系，可判斷A,B；利用面面平行的性質(zhì)以及線面

垂直的判定可判斷C；根據(jù)空間的等角定理可判斷D.

【詳解】對于A：直線。，b沒有交點，則直線。，b為平行直線或異面直線，故

A錯誤；

對于B：直線a〃平面a,則“與a內(nèi)任何直線都沒有交點，則“與a內(nèi)直線可能

為平行直線或異面直線，故B錯誤；

對于C,：直線a_L平面二,則a內(nèi)一定存在兩相交直線，不妨設(shè)為勿，n,滿足

a±m(xù),a±n,由平面a〃平面￡,過力作一平面與￡相交，交線設(shè)為加，

則“2〃”/,同理過A作一平面與夕相交，交線設(shè)為"'，則

貝Im',"'相交，貝1Ja±m(xù)',aYn',

故直線a_L平面故C正確；

對于D：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，根據(jù)等角定理可知，這兩個

角相等或互補(bǔ)，故D正確.

故選AB.

11.【答案】BC

【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合概率的性質(zhì)以及事件的獨立性分析判斷.

/、n（A\1/、n（B\1

【詳解】由題意可得P（A）=—曷=7，P（8）=一屬=三，則

n[L2\2TiyL2\3

P（可=LP⑻=|，

因為n（AuB）=n（A）+n（B）—,

所以〃（46）=雙田+幾（6-〃（AU3）=3wO,即事件Z與事件8不互斥，故A錯誤;

可得-〃（A）+〃（AB）=12,所以

/、n（ABy1z-、〃（AuB）2

P（AB）=一（叫V=_1-,P（AuB）=1/「

〃（Q）6I〃（Q）3?

（AB）=l-P（AoB）=1,P（AB）=l-P（AB）=|5

P

6'

故B正確，D錯誤；

又因為尸（通卜尸⑷尸⑻,

所以事件/與事件后相互獨立，故C正確.

故選BC.

12.【答案】20

【分析】根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)求應(yīng)抽取的女生人數(shù).

【詳解】由題意，應(yīng)抽取的女生人數(shù)是50x黑=20人.

13.【答案】路

【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找出相對面，再由其特征得到結(jié)果.

【詳解】由圖①可知，“國”和“興”相對，“夢”和“中”相對，“復(fù)”和

“路”相對；

由圖②可得，第1,2,3,4,5格對應(yīng)面的字分別是“興”、“夢”、“路”、

“國”、“復(fù)”，

所以到第5格時，小正方體朝上面的字是“路”.

14.【答案】2

【分析】依據(jù)三點共線充要條件即可求得2幾+〃的值.

【詳解】如圖所示延長/〃，應(yīng)'交于點R

因為A尸=4A3+4A。，EF=2FB，￡為。9中點,

umnuimiuunum〃uim

所以A/=+4+

又RB,6三點共線，則幾+彳=1,所以2X+〃=2.

15.【答案】（1）C=—

3

（2）a=2,Z?=4或〃=4,b=2

【解析】（1）利用余弦定理結(jié)合0＜。＜兀，即可求角C；

（2）利用面積公式可以求出"=8,再利用余弦定理可以求得a+b=6,進(jìn)而可

得a,6的值.

22r2—nh

【詳解】（1）由余弦定理得cosC=Z7_LA_=*=—■1￡,

2ab2

因為0＜。＜兀，所以。=—；

3

12K

（2）由題意有一sin—=2』,可得次?=8,

由余弦定理得/=/+-2abcosC,

將c=2\/7，而=8代入，可得28=/+/_2x8x

22

可得+》2=20,所以（々+6）2=a+b+2ab=20+16=36,

所以aJt-b=6,

故。=2,Z?=4或。=4,b=2.

16.【答案】（1）m=5

⑵一巫

【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求解;

（2）根據(jù)夾角公式即可求解.

【詳解】（1）因為04=（-2,1）,03=（加,3）,OC=（1,5）,

所以BC=OC—O3=（1-私2）,

又因為。4〃§C，所以T=1-機(jī)，解得心=5；

（2）由（1）知OA=（-2,1）,OB=（5,3）,

04OB_-2x5+lx3__7__7>/F^

設(shè)04,08的夾角為。，則cosO=

IOAIIOBI-君x宿"Vno---no--

17.【答案】（1）證明見詳解

（2）2

【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.

PM

（2）根據(jù)累=2,求出三棱錐河-38的高，然后利用體積公式即可.

MC

【詳解】（1）取即中點兒連接郵AN,

腦V是△PCD的中位線，二仞V〃以，且MN=；C。，

又且AE=^CD,，四邊形A5W為平行四邊形，

2

ME//AN

又ME.平面以〃，ANu平面月49,.?.〃￡■〃平面?49；

（2）—=2,9到平面465的距離為3,.?.點〃到平面的距離為1,

MC

：'^M-BCD=—X—x4x3xl=2.

18.【答案】（1）眾數(shù)為70,平均數(shù)65

⑵*

15

【分析】（1）眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)，平均數(shù)是

頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加，則可得到結(jié)果；

（2）由直方圖求出第二組和第三組的人數(shù)之比為1：2,利用列舉法求出6人中

隨機(jī)抽取2人的基本事件個數(shù)，再利用古典概率型的概率計算公式即可求解.

【詳解】（1）由眾數(shù)概念可知，人數(shù)出現(xiàn)最多的為［60,80）之間，所以眾數(shù)為

70,

x=（10x0.0025+30x0.005+50x0.01+70x0.0175+90x0.015）x20=65；

故眾數(shù)為70,平均數(shù)為65；

（2）由直方圖知，第一、二組的頻率分別為0.05和0.1,

則第一、二組人數(shù)分別為5和10,

所以根據(jù)分層抽樣的方法，抽出的6人中，第一組和第二組的人數(shù)之比為1:2,

則第一組有2人，記為A,2；第二組有4人，記為a,b,c,d.

從中隨機(jī)抽取2人，則試驗的樣本空間

O=｛（AB）,（Aa）,（A"）,（Ac）,（Ad）,（B,a）,（3,0）,（3,c）,

（B,d）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d））,共15個樣本點，

設(shè)Af="兩人來自不同組”，

貝?。軲=｛（Aa）,（AZ0，（Ac）,（Ad）,（g,a）,（B,b）,（3,c）,（3,d）｝,"（M）=8,

所以網(wǎng)/町、n=(造M)=石8

Q

故監(jiān)督員來自不同組的概率為己.

19.【答案】(1)"

3

⑵京2

【分析】(1)由已知可證得P。，平面OM。，所以ZPOQ為直線P。與平面

OM。所成的角，然后在Rt^OPQ中求解即可；

(2)連接NQ交于點過點N作NFLOP于點/，連接FQ,則可得NN/Q

是二面角N-O