1.3探索三角形全等的條件（5）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

1.如圖，AB=A'B',乙4=NA,若44BC=則還需添加的一個(gè)條件有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【分析】本題要證明△ABCg^A'BC,已知了AB=A，B-ZA=ZA\可用的判別方法有ASA,AAS,及

SAS,所以可添加一對角NB=NB，，或/C=NC,或一對邊AC=A，C,分別由已知與所添的條件即可得證.

【詳解】添加的條件可以為：

ZB=ZB,;ZC=ZC,;AC=A,C,,共3種.

若添加NB=NB，，

證明：在ZkABC和AABC中，

24=乙4

AB=A'B'

ZB=NB'

△ABCg/^ABC/ASA）；

若添加/C=NC,

證明：在AABC和AABC中，

zC=NC'

-AB=A'B'

：.AABC^AA^^XAAS）；

若添加AC=A,C,,

證明：在AABC和AABC中，

AC=A'C

NA=

.AB=A'B'

：.△ABCdA'B'C'(SAS).

故選c

2.如圖，點(diǎn)A,B分別在NMON的兩邊上，點(diǎn)P在NMON的角平分線上,連接PA,PB,下列不能保證△OAP=

△OBP的條件是（）

A.OA=OBB.PA=PBC./.APO=乙BPOD.^MAP=Z.NBP

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得N40P=N80P,OP-OP,再根據(jù)全等三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：：點(diǎn)P在NMON的角平分線上,

J./.AOP=/-BOP,

：OP=OP,

A、當(dāng)02=。8時(shí)，可利用邊角邊證得△OAP=△OBP,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)PA=PB時(shí)，滿足邊邊角，無法證得AOAP三ACIBP,故本選項(xiàng)符合題意；

C、當(dāng)乙4P。=N8P0時(shí)，可利用角邊角證得△OAPSAOBP,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)4AMP=NNBP時(shí)，乙OBP=40AP,可利用角角邊證得△OAP三△OBP,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

3.如圖，點(diǎn)E、H、G、N共線，NE=/N,EF=NM,添加：①EH=NG；②4F=4M；③FG=MH；

@FG||這四個(gè)條件中的某一個(gè)，其中能判定△EFG=ANMH的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理依次證明即可.

【詳解】證明：①:EH=NG,

：.EH+HG=NG+HG,即EG=NH,

,:乙E=NN,EF=NM,

：.△EFGNMH（SAS）,故符合題意；

②=乙E=KN,EF=NM,

：.△EFG=△NMH(ASA),故符合題意;

③若FG=MH,

"：/.E=4N,EF=NM,

，根據(jù)ASS不能證明△EFG34NMH,故不符合題意；

@VFG||HM,

：.NEGF=/MHN,

又,：乙E=NN,EF=NM,

△EFGNMH（AAS'）,故符合題意；

故能判定八EFG=△NMH的有①②④，

故選：B.

4.如圖，AD||BC,N4BC的平分線BP與N82D的平分線2P相交于點(diǎn)尸，作PE1于點(diǎn)E,若PE=4,

則點(diǎn)P至！MD與BC的距離之和為（）

【答案】C

【分析】如圖所示，過點(diǎn)P作FGL4D與憶延長FP交BC于G,先證明2D1FG,由角平分線的定義得到

乙EBP=4GBP,進(jìn)而證明△EBP三AGBP得至（JPG=PE=4,同理可得PF=PE=4,貝UFG=PF+PG=8,

由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作FG14D與巴延長FP交BC于G,

\'AD||BC,

：.AD1FG,

\'PE1AB,

J./-PFA=^PEA=乙PEB=4PGB=90°,

平分ZJWC,

:.4EBP=4GBP,

又；BP=BP,

△EBP=△GBP(AAS)，

：.PG=PE=4,

同理可得PF=PE=4,

：.FG=PF+PG=8,

...點(diǎn)P至！Jan與BC的距離之和為8,

故選c.

（1）當(dāng)BC=BD時(shí)，AABCdABD的依據(jù)是

(2)VZ1=Z2,AB^AB,Z3=Z4,(ASA).

6.如圖，aABC和ADEF中，AB=DE、ZB=ZDEF,添加條件無法證明AABC&ADEF.

【答案】AC=DF（答案不唯一）

【分析】根據(jù)“SSA”不能判定兩個(gè)三角形全等即可得解.

【詳解】AC=OF符合“SSA”,不能證明4ABe=ADEF.

故答案為：AC=DF（答案不唯一）.

7.在學(xué)習(xí)了《探索三角形全等的條件》后，小龍編了這樣一個(gè)題目：“如圖，已知28=CD,乙4=ND,

AO=DO,求證：4AB0三△DC。.”老師說他的已知條件給多了，你幫他去掉一個(gè)已知條件：.（寫

出一個(gè)即可）

【答案】AB=CD（答案不唯一）

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分析即可求解.

【詳解】解：：乙4。8=NDOC,AO=DO,=

；.AABO/△DCO（ASA）

.,.AB=CD條件多余，

或者：'：A0=DO,/-AOB=/.DOC,AB=CD

：.^ABO^ADCO（S力S）,

；.乙4=N。條件多余

或者：'：^A=ZD,乙AOB=KDOC,AB=CD

：.AABO=^DCO{AAS~）,

.?.4。=DO條件多余

故答案為：AB-CD（或NA=N?；?。=。。）.

8.如圖，已知CD1AB,BE1AC垂足分別為D、E,BE、CD交于點(diǎn)。，S.ABAO=^CAO,則圖中的全

等三角形共有一對.

【分析】根據(jù)垂直定義得出4力。。=4AEO=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理44s推出△DAO=△EAO,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=AE,DO=ED,根據(jù)垂直定義得出NBD。=4CEO=90°,根據(jù)全等三角

形的判定定理4S4推出△BDO=△CEO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NC=乙B,CE=BD,求出力B=AC,

根據(jù)全等三角形的判定定理S4S推出△ABEACD^WLBAOdCAO即可.

【詳解】解：?.?CD-BELAC,

???Z.ADO=Z.AEO=90%

在△04。和△EZ。中，

ADAO=Z.EA0

440。=AAEO,

、AO=A0

DAO三△瓦40(44S),

AD=AEfDO=EDf

??,CD1AB,BELAC,

??.Z,BD0=乙CEO=90°,

在△8。。和△CE。中，

2BD0=(CEO

DO=E0,

/DOB=Z-EOC

.-.ABDO=△CEO(ASA),

AZC=ZB,CE=BD,

AE=AD,

???AB=AC,

在△/BE和△4C0中，

'AB=AC

乙BAE=/.CAD,

、AE=AD

ABE皂△4CD(S/S),

在△B/。和△G4。中，

'AB=AC

/-BAO=4C/。，

、AO=A0

/.△BAO=^CA0(SAS),

即全等三角形共4對，

故答案為：4.

9.如圖，在團(tuán)ZBCD中，點(diǎn)反尸在5。上，△ZBE與△CDF全等嗎？若全等，寫出證明過程；若不全等,

請你添加一個(gè)條件使它們?nèi)?，并寫出證明過程.

BC

(1)你添加的條件是.

⑵證明過程：

【答案】(1)BE=DF,答案不唯一；

(2)證明見解析；

【分析】(1)根據(jù)選擇的全等三角形判定方法添加合適的條件即可；

(2)由四邊形ABC。是平行四邊形得到AB||CD,AB=CD,得乙4BE=NCDF,再用上添加的條件，即

可證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：BE=DF(答案不唯一)

故答案為：BE=DF(答案不唯一)

(2)證明：二?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB||CD,AB=CD,

J.Z.ABE=4CDF,

在△48岳和4CDF中，

-AB=CD

乙ABE=Z.CDF,

.BE=DF

：.^ABESACDF(SAS).

10.如圖，從①AB=AC；?AD=AE；③BD=CE；?^ADB=zF；⑤NB4C=N/ME五個(gè)條件中，選

出三個(gè)條件，利用全等三角形的判定定理，可使AAB。mAACE,你能想出幾種方法，羅列出來，并挑選

其中一種方法寫出你的證明過程.

【答案】可選①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤，證明見解析

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，即可求解.

【詳解】解：可選①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤

選①②⑤，證明：?."B4C=AD4E,

J.Z.BAD=/.CAE,

在AaBD與AACE中，

'：AB=AC,LBAD=Z.CAE,AD=AE,

A△ABD三△ACE(SAS)；

選①④⑤，證明：?."8"=4。4凡

：./LBAD=A.CAE,

在AABD與AACE中，

"：^ADB=/_E,/.BAD=ACAE,AB=AC,

△ABD三△acE(aas)；

選②③④，證明：在△ABD與△ACE中，

"：AD=AE,/.ADB=乙E,BD=CE,

：.^ABDmAACE(SaS)；

選③④⑤，證明：?.28"=4。4￡1,

：.^BAD=/.CAE,

在△ABD與△ACE中，

'：ABAD=ACAE,乙ADB=KE,BD=CE,

：.△ABD=AXC￡(T4XS)；

選②④⑤，證明：?.?NBAC=NZX4E,

."BAD=/.CAE,

在△4BD與AACE中，

；4BAD=/.CAE,/.ADB=AD=AE,

：.△ABD三△4CE(44S).

11.如圖，在AABC和ADC3中，/A=N。，AC和。2相交于點(diǎn)O,OA^OD.

(1)AB=DC；

Q)4ABC當(dāng)ADCB.

【分析】(1)證明△ABOgZXOC。(ASA),即可得到結(jié)論；

(2)由AAB。段△￡>CO,得至IJO8=OC,又OA=OD,得至I]B￡)=AC,又由NA=/D,即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在AABO與AOCO中，

乙4=乙D

0A=0D,

Z-AOB=Z.DOC

AAABO^ADCO(ASA)

：.AB=DC；

(2)證明：VAABO^ADCO,

：?OB=OC,

?：OA=OD9

：.OB+OD=OC+OAf

：.BD=AC,

在"BC與△DC5中，

AC=BD

44=4

AB=DC

:.△AB8XDCB(SAS).

12.如圖，已知A,F,E,C在同一直線上，AB||CD,乙ABE=^CDF,AF=CE.

BC

(l)Zk48E與△CD尸全等嗎？請說明理由；

⑵寫出圖中其余兩對全等的三角形.

【答案】⑴△的￡與△CDF全等，理由見解析

(2)AAFDCEB,△ABC=△CDA.

【分析】(1)根據(jù)條件48IICD可得MAC=^DCA,根據(jù)等式的性質(zhì)可得/E=CF,加上41=42可證明

△ABE=△CDF；

(2)利用“SAS”可判定△ZBCCDA,和△4FD=△CEB；

【詳解】⑴解：與△W全等，

理由：*：AB||CD,

4K------ZF7D

ABAC=/.DCA

*：AF=CE,

：.AF+EF=EC+EFf

：.AE=CF,

在△ZBEWCOF中，

zl=z2

乙BAE=DCF,

、AE=CF

△ABE=△COF(AAS).

(2)解：還有兩對，4AFD任CEB,LABC=△CDA,

'：LABE=LCDF,

：.AB=DC,

9：AB||CD,

J.Z.BAC=乙DCA,

???在△/BC和△CD4中，

AB=DC

Z-BAC=Z-ACD,

、AC=CA

??△ABC=ACDZ(SAS)；

ABC=LCDA,

-9-AD=BC,/-DAC=乙BCE,

：.△AFD=△CEB(SAS).

提升練

如圖①所示，點(diǎn)2、F、C、E在一條直線上，AB||ED,AC||FD,4。交BE于。.

（1）已知,求證：AD平分CF.

請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線上，并完成解答.

你選擇的條件是.（只需填寫序號）①AB=DE;②4C=DF；③BF=EC.

（2）若將△DEF的邊EF沿BE方向移動(dòng)，使BF=EC,如圖②所示.則（1）中的結(jié)論是否還成立？如成立,

請證明；如不成立，請說明理由.

【答案】（1）選擇①②③都可以，證明見解析

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，證明見解析

【分析】（1）選擇①：先由平行線的性質(zhì)得到NB=NE,乙ACB=LDFE,進(jìn)而證明AACB三ADFE得到

AC=DF,再由平行線的性質(zhì)得到/CMC=乙ODF,乙OFD=2.0CA,由此即可證明。F=OC,即4D平分CF；

選擇②：由平行線的性質(zhì)得到NOAC=NODF,乙OFD=〃）CA,由此即可證明OF=OC,即AD平分CF；

選擇③先由平行線的性質(zhì)得到NB=乙E,AACB=乙DFE,再證明BC=EF,進(jìn)而證明AACB=△DFE得到

AC=DF,再由平行線的性質(zhì)得到/CMC=乙ODF,乙OFD=/.OCA,由此即可證明OF=OC,即4D平分CF；

（2）先由平行線的性質(zhì)得到NB=乙E,UCB=乙DFE,再證明BC=EF,進(jìn)而證明AACB=△DFE得到

AC=DF,再由平行線的性質(zhì)得到/CMC=乙ODF,乙OFD=/.OCA,由此即可證明OF=OC,即4D平分CF；

【詳解】（1）解：選擇①：

'：AB||ED,AC||FD,

??Z-B=Z.E,Z-ACB=Z.DFE,

?：AB=DE,

△ACBDFE（AAS），

：.AC=DF,

9：AC||DF,

：.^OAC=乙ODF,乙OFD=Z.OCA,

△OAC。。尸（ASA）'

：.OF=OC,即AO平分CF；

選擇②；T/C||DF,

OAC=（ODF,（OFD=（OCA,

9：AC=DF,

??△OAC=AODF（ASA），

：.OF=OC,即平分CT；

選擇③：*：AB||ED,AC||FD,

***Z-B=Z-E,乙ACB=Z.DFE,

,:BF=EC,

：.BF+CF=EC+CF,即=

△ACB=ADFE（ASA）'

：.AC=DF,

'：AC||DF,

二?NOAC=乙ODF,乙OFD=/.OCA.

△OAC=△ODF（ASA），

：.0F=OC,即AD平分CF；

（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，證明如下：

■:BF=EC,

'：AB||ED,AC||FD,

:,乙B=2E,^ACF=乙DFC,

.*.1800-Z-ACF=180°-乙DFC,^^ACB=乙DFE,

?:BF=EC,

：.BF-CF=EC-CFf即8C=EF,

△ACB=△DFE（ASA）'

：.AC=DF,

9：AC||DF,

：.LOAC=乙ODF,4OFD=Z.OCA.

△OAC=△。。尸（ASA）'

：.OF=OC,即/O平分CF.

拓展練

如圖，在AQ4B和AOCZ）中，。力=OB,OC=OD,OA>OC/AOB=乙COD=30。連接AC,BD交于點(diǎn)M,

AC與OD相交于E,BD與OA相較于F,連接OM,則下列結(jié)論中：?AC=BD；②NAMB=30。；③

AOME=AOFM-,④MO平分立BMC,正確的個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】由SAS證明△AOCgABOD得出/OCA=NODB,AC=BD,①正確；

由全等三角形的性質(zhì)得出/OAC=NOBD,由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,得

出/AMB=/AOB=30。，②正確；

作OG_LMC于G,OH_LMB于H,則/OGC=NOHD=90。，由AAS證明△OCG0/\ODH,得出OG=OH,

由角平分線的判定方法得出MO平分NBMC,④正確；

由NAOB=NCOD,得出當(dāng)/DOM=/AOM時(shí)，OM才平分NBOC,彳段設(shè)NDOM