第五章平面向量、復(fù)數(shù)第3課時平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用[考試要求]

1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．5．會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題．鏈接教材·夯基固本

[0，π]

θ＝0θ＝π2．平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量__________________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．規(guī)定：0·a＝___．|a||b|cosθ0

投影投影向量|a|cosθ

e

x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝06．平面幾何中的向量方法(1)用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．7．三角形“四心”的概念(1)重心——三角形的三條中線的交點；(2)垂心——三角形的三條高線的交點；(3)內(nèi)心——三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點(三角形內(nèi)切圓的圓心)；(4)外心——三角形的三條邊的垂直平分線的交點(三角形外接圓的圓心)．[常用結(jié)論]1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．

×√××√

2．(人教A版必修第二冊P20練習(xí)T3改編)若a·b＝－6，|a|＝8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為________．

3．(人教A版必修第二冊P23習(xí)題6.2T11改編)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________．

8

典例精研·核心考點√11[四字解題]讀想算思數(shù)量積的求解方法投影法數(shù)量積的幾何意義數(shù)形結(jié)合基向量法數(shù)量積的運算三角形法則坐標(biāo)法建系，求相關(guān)點的坐標(biāo)，建立函數(shù)幾何問題代數(shù)化，函數(shù)思想

√

名師點評

計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義．

[4，6]

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【教用·備選題】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_____________________．

考向3

向量的垂直問題[典例4]

(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2D

[因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．故選D．]√

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2．用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟

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13課后作業(yè)(三十一)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用√14

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題號1352468791011121314(－1，－2)(答案不唯一)

題號135246879101112131410．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________．題號1352468791011121314

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