2025屆廣東省普通高中畢業(yè)生第四屆久洵杯一月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(★★)2.已知向量滿足，則（）

A．2B．C．D．3(★★)3.設(shè)集合，則中所有元素之和為（）

A．3B．8C．9D．12(★★)4.已知，設(shè)命題，命題，則是的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★★)5.若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則（）

A．1B．3C．5D．7(★★★)6.已知圓柱與圓錐的體積與側(cè)面積均相等，若的軸截面為等腰直角三角形，則與的底面半徑之比為（）

A．B．C．D．(★★★)7.若，則（）

A．B．C．D．(★★★)8.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為.為上一點(diǎn)，的半徑為，過作軸的垂線，交于兩點(diǎn)，在的左側(cè).記的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，則（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知正四面體的棱長為，則（）

A．B．與的距離為C．二面角的正弦值為D．正四面體的體積為(★★★)10.設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且位于第一象限，直線交軸于點(diǎn)，記的面積為，則（）

A．B．C．若，則D．若，則(★★★★)11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其中為給定的常數(shù)，且不為常函數(shù)，則（）

A．B．當(dāng)時，為奇函數(shù)C．或1是存在的充要條件D．當(dāng)時，沒有最值三、填空題(★★)12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.(★★)13.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)的方差為__________.(★★★)14.設(shè)為正整數(shù)，從集合的所有二元子集中任取兩個，記為，，其中與可以相同.在平面直角坐標(biāo)系中，記直線與直線的四個交點(diǎn)分別為，則以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形的概率為__________.（用含的代數(shù)式表示）附參考公式：四、解答題(★★★)15.如圖，在直三棱柱中，.(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值.(★★★)16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為.已知到直線的距離為，過的直線交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn).若，求的面積.(★★★)17.記的內(nèi)角的對邊分別為.已知，.外一點(diǎn)滿足，且的角平分線交于點(diǎn).(1)求；(2)證明：；(3)若，求.(★★★)18.已知函數(shù)，函數(shù).(1)討論和的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，若為減函數(shù)，且存在，使得，求的取值范圍.(★★★★)19.對于一個單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，若對于任意不小于2的正整數(shù)不能表示為中若干不同項之和，則稱為“好數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，記集合，中的元素由小到大排列得到數(shù)列，列舉的前五項，并判斷是否為“好數(shù)列”，若是，給出證明；若不是，請說明理由；(2)已知為“好