數(shù)學(xué)二試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^2+3x+1$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.5B.6C.7D.82.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$4.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)$等于（）A.$2x$B.$x^3$C.$\frac{1}{3}x^3$D.$x$5.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.26.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處對(duì)$x$的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.47.微分方程$y'+y=0$的通解是（）A.$y=e^x$B.$y=e^{-x}$C.$y=Ce^x$D.$y=Ce^{-x}$8.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.1B.-1C.3D.-39.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.無(wú)間斷點(diǎn)10.曲線$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.$(x^n)'=nx^{n-1}$B.$(\sinx)'=\cosx$C.$(e^x)'=e^x$D.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$3.關(guān)于定積分性質(zhì)，正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$f(x)\geq0$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\geq0$4.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)B.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在C.$\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})$D.$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處連續(xù)5.下列哪些是二階線性常系數(shù)齊次微分方程（）A.$y''+3y'+2y=0$B.$y''-y=0$C.$y''+y'+y=\sinx$D.$y''+4y=0$6.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec=(2,1,-1)$，則以下正確的是（）A.$\vec{a}+\vec=(3,0,1)$B.$\vec{a}-\vec=(-1,-2,3)$C.$\vec{a}\cdot\vec=2-1-2=-1$D.$|\vec{a}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$7.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)B.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)C.$f(a)=f(b)$D.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)有極值8.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x^3$B.$y=e^x$C.$y=\lnx$（$x>0$）D.$y=-x^2$9.關(guān)于曲線$y=x^4-2x^2+3$，正確的說(shuō)法有（）A.有最小值2B.是偶函數(shù)C.單調(diào)遞增區(qū)間是$(-1,0)$和$(1,+\infty)$D.單調(diào)遞減區(qū)間是$(-\infty,-1)$和$(0,1)$10.已知函數(shù)$f(x)$可導(dǎo)，下列求導(dǎo)正確的是（）A.$(f(2x))'=2f'(2x)$B.$(f(x^2))'=2xf'(x^2)$C.$(e^{f(x)})'=e^{f(x)}f'(x)$D.$(\lnf(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的定義域是$x\geq0$。（）2.若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)。（）4.二元函數(shù)$z=f(x,y)$的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)一定可微。（）5.微分方程$y'=y$的通解是$y=Ce^x$（$C$為任意常數(shù)）。（）6.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec=(2,4)$平行。（）7.函數(shù)$f(x)$在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）8.若$f(x)$是周期為$T$的函數(shù)，則$\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx$。（）9.曲線$y=\frac{1}{x}$有水平漸近線。（）10.函數(shù)$y=\cosx$的導(dǎo)數(shù)是$y'=\sinx$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的單調(diào)區(qū)間。-答案：先求導(dǎo)$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'>0$，得$x<0$或$x>2$，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令$y'<0$，得$0<x<2$，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx$。-答案：根據(jù)定積分運(yùn)算，$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{2}=(\frac{8}{3}+2)-(0+0)=\frac{14}{3}$。3.求函數(shù)$z=x^2y+xy^2$對(duì)$x$和$y$的偏導(dǎo)數(shù)。-答案：對(duì)$x$求偏導(dǎo)，把$y$看成常數(shù)，$z_x=2xy+y^2$；對(duì)$y$求偏導(dǎo)，把$x$看成常數(shù)，$z_y=x^2+2xy$。4.求微分方程$y'-2y=0$的通解。-答案：這是一階線性齊次微分方程，分離變量$\frac{dy}{y}=2dx$，兩邊積分得$\ln|y|=2x+C_1$，即$y=Ce^{2x}$（$C=e^{C_1}$為任意常數(shù)）。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。-答案：化簡(jiǎn)$f(x)=x+1(x\neq1)$，$\lim_{x\to1}f(x)=2$，但$f(1)$無(wú)定義，所以不連續(xù)。不連續(xù)則不可導(dǎo)。2.討論二元函數(shù)$z=x^2+y^2$的極值情況。-答案：求偏導(dǎo)數(shù)$z_x=2x$，$z_y=2y$，令$z_x=z_y=0$，得駐點(diǎn)$(0,0)$。又$A=z_{xx}=2$，$B=z_{xy}=0$，$C=z_{yy}=2$，$AC-B^2=4>0$且$A>0$，所以$(0,0)$是極小值點(diǎn)，極小值為0。3.討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用（舉例說(shuō)明）。-答案：例如計(jì)算不規(guī)則圖形面積，可將圖形分割用定積分求面積；計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)路程，速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分就是路程。4.討論向量運(yùn)算在物理學(xué)中的意義。-答案：在物理學(xué)中，力、位移等是向量。向量加法可用于求合力，向量點(diǎn)積可計(jì)算功，向量叉積可確定力矩方向等，為分析物理問(wèn)題提供有力工具。答案一、單項(xiàng)選擇題