分式方程梁園區(qū)王樓一中郭元祥教學(xué)目標：知識目標：理解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程，了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。能力目標：由分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，培養(yǎng)學(xué)生具有轉(zhuǎn)化的思維能力，了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題能力。德育目標：通過轉(zhuǎn)化思想的滲透以及轉(zhuǎn)化時產(chǎn)生增根的原因，讓學(xué)生感受到全面分析，整體思考的積極性情感，并養(yǎng)成不違原則的情況下，尋求解決問題途徑的良好習(xí)慣。教學(xué)重點：正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程。教學(xué)難點：產(chǎn)生增根的原因是疑難點。教學(xué)方法：教學(xué)時數(shù)：1課時教學(xué)要點：正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程。教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課導(dǎo)語一問題：輪船在水中順水航行80千米所需的時間和逆水航行60千米所需時間相同，已知水流速度是3千米/時，求船在靜水中的速度。【分析】設(shè)船在靜水中的速度是x千米/時。填空：（1）輪船在靜水中的速度為x+3千米/時，逆流航行速為x-3千米/時；（2）順流航行80千米所用時間為小時；（3）逆流航行60千米所用時間為小時；（4）根據(jù)題意可列方程為＝。導(dǎo)語二某商廈進貨員在某蘇州發(fā)現(xiàn)一種應(yīng)季襯衫，預(yù)料能暢銷市場，就用80000元購進所有襯衫，還急需2倍這種襯衫，經(jīng)人介紹又在上海用176000元購進所需襯衫，只是單價比蘇州貴4元，商廈按每件58元銷售，銷路很好，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，問：商廈這筆生意盈利多少元？同學(xué)們，在我們已有的列方程解應(yīng)用問題的基礎(chǔ)上，你能針對上述問題，設(shè)置恰當?shù)奈粗獢?shù)，列出方程，解決上述問題嗎？不妨試一試！【提示】設(shè)這種襯衫原來進價為x元一件，則后來每件襯衫為（x+4）元，根據(jù)題意，得＝，解得x=40,所以第一批購進件數(shù)為2000件，第二次購進為4000件，這筆生意盈利2000（58-40）+（4000-150）(58-44)+150(580.8-44)=36000+53900+360=90260(元).導(dǎo)語三有兩塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg，和15000kg，已知第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗田每公頃的產(chǎn)量。你能找出這一問題中的所有等量關(guān)系嗎？如果設(shè)第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量為xkg，那么第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量是kg。根據(jù)題意，可得方程?！敬鸢浮康攘筷P(guān)系：第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量+3000kg＝第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量，每公頃的產(chǎn)量＝，第一塊試驗田的面積＝第二塊試驗田的面積。第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量是（x+3000）kg，方程。（二）合作交流解讀探究1、分式方程的概念[議一議]方程。分式方程：分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程。[想一想]方程是不是分式方程。【答案】不是[歸納]確定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程才屬于分式方程。由此可知：有理方程包含整式方程和分式方程，分式方程轉(zhuǎn)化整式方程。[做一做]在方程①，②，③④中，是分式方程的有（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④【答案】C2、分式方程的解法和增根[討論]怎樣解“導(dǎo)語一”中的方程。類似于解一元一次方程的去分母，把分式方程兩邊同時乘以最簡公分母（x+3）?（x-3）,約去分母得80(x-3)=60(x+3)，解這個整式方程得x=21,所以輪船在靜水中的速度為21千米/時。[歸納]上述解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分母的最簡公分母。[議一議]解方程[明確]因為x=1使原方程沒有意義，因此x=1不是原分式方程的根，所以原方程無解（提示：一元方程的解也可稱為方程的根）①增根：將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含有未知數(shù)的整式，并約去公分母，有可能產(chǎn)生不適合原方程的解（或根），這種根通常稱為增根。②解分式方程時必須進行檢驗。③為什么會產(chǎn)生增根呢？對于原分式方程來說，必須要求使方程中各分式的分母的值均不為零，但方程變形后得到的整式方程則沒有這個要求，如果所得整式方程的某個根使原分式方程中至少有一個分式的分母的值為零，也就是說使變形時所乘的整式的值為零，它就不適合原方程，即是原方程的增根。④分式方程怎樣檢驗？將方程的根代入最簡公分母，看它的值是否為零，如果為零，即為增根。[做一做][教材例1,例2]解方程:（1）；（2）（三）應(yīng)用遷移鞏固提高?類型之一解分式方程例1解方程：（1）；（2）（3）【分析】解分式方程的關(guān)鍵是去分母，因此首先要找出各分式的最簡公分母，再在方程左、右兩邊同乘以最簡公分母，化分式方程為整式方程，從而求解。解：（1）方程兩邊同乘以(x+2)(x-2)，約去分母，得2(x-2)=4。解這個方程得x=4.檢驗：把x＝4代入（x+2）(x-2)，得（4+2）（4-2）＝12≠0.所以x＝4是原方程的根。（2）方程兩邊都乘以(x+1)(x-1)，約去分母，得(x+1)2-4=(x+1)(x-1)，解這個方程，得x=1.檢驗：把x=1代入(x+1)(x-1)，得(x-1)(x-1)＝0?！鄕=1是增根，故原方程無解。7(x-1)+4(x+1)=6x。解這個方程，得x=。檢驗：當x=時，x(x+1)(x-1)=(+1)(-1)≠0，所以x=是原方程的根。變式題解方程：解：6-3（x+1）＝x2-1，x2+3x-4=0,(x+4)(x-1)=0,x=-4,x2=1，經(jīng)檢驗x=1是增根，應(yīng)舍去。∴原方程的解為x=-4.?類型之二與分式方程的增根有關(guān)的問題例2已知關(guān)于x的方程有增根，求m的值?！痉治觥糠质椒匠倘粲性龈?，則增根為x＝3.解：方程兩邊都乘以(x-3)，約去分母，得3x+5(x-3)=-m，即m＝15-8x。當x＝3時，m＝15-83＝-9.所以，當m＝-9時，分式方程有增根。變式題如果分式無解，則m的值為（）A、2B、0C、-1D、-2【解析】如果分式方程無解，則在解分式方程的過程中產(chǎn)生了增根，而增根只可能為x=-1,而方程兩邊都乘以(x+1)約去分母得x=m,故m=-1，故選C。【答案】C例3已知關(guān)于x的方程時，首先將分式方程化成整式方程，它的解x用含有m的代數(shù)式表示，根據(jù)條件，原方程有解，而且是正數(shù)解，非增根。解:原方程兩邊都乘以x-3,約去分母得x-2(x-3)=m，∴x=6-m。因為原方程有解，所以6-m不能為增根。即6-m≠3,即m≠3。又∵方程的解為正數(shù)；∴6-m>0,即m<6,∴當m<6且m≠3時，原方程有一個正數(shù)解?！揪菊`區(qū)】x＝6-m不能是增根即6-m≠3。變式題若方程有增根，則它的增根是（）A、0B、1C、-1D、1和-1【答案】B（四）總結(jié)反思拓展升華[總結(jié)]1、本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是分式方程及其分式方程的解法。2、本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是轉(zhuǎn)化思想。[拓展]解方程【分析】本題若對整個分式方程進行通分去分母，則出現(xiàn)高次方程，難以求解，不如先將各項的分子降次，把假分式化為整式與部分分式之和的形式，使分式簡化，然后再兩邊分別通分，這樣可使問題變得比較簡單。解：原方程變形為即方程兩邊分別通分為。根據(jù)兩個分式相等，且分子相等為常數(shù)，則分母必相等。得(x+2)(x+3)＝(x+6)(x+7)整理為8x＝-36.解得x=-。經(jīng)檢驗x＝-是原方程的解。（五）布置作業(yè)專題突破1、習(xí)題16.31、2、32、《基礎(chǔ)訓(xùn)練》P17-18。教學(xué)反思：教學(xué)反思：教學(xué)設(shè)計說明固始縣外國語中學(xué)鄭志明本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是:分式方程的概念及其解法。分式方程在初中數(shù)學(xué)方程中占舉足輕重的地位，既是分式方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，又是培養(yǎng)學(xué)生具有轉(zhuǎn)化的思維能力、全面分析問題能力的重要途徑。知識目標：理解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程，了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法。能力目標：由分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，培養(yǎng)學(xué)生具有轉(zhuǎn)化的思維能力，了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題能力。德育目標：通過轉(zhuǎn)化思想的滲透以及轉(zhuǎn)化時產(chǎn)生增根的原因，讓學(xué)生感受到全面分析，整體思考的積極性情感，并養(yǎng)成不違原則的情況下，尋求解決問題途徑的良好習(xí)慣。教學(xué)重點：正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程。教學(xué)難點：產(chǎn)生增根的原因。八年級學(xué)生具有很強的好奇心和求知欲，具有一定的分析問題、解決問題的能力。本節(jié)課在學(xué)習(xí)了分式的運算基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，“數(shù)學(xué)知識生活化”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求之一，所以本節(jié)課先通過一個生活中的實際應(yīng)用題導(dǎo)入，然后又給出兩例生活中的實際問題（買襯衫問題、小麥試驗田問題）來吸引學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的興趣。由實際問題列出方程=,后，讓學(xué)生判斷是什么方程？是不是以前學(xué)過的方程？從而引出分式方程的概念。確定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程才屬于分式方程。由此可知：有理方程包含整式方程和分式方程，分式方程轉(zhuǎn)化整式方程。那怎么解出上面實際問題中的分式方程呢？提出本節(jié)課要解決的任務(wù)——解分式方程的方法，小組通過討論、歸納、總結(jié)出解分式方程的方法。實質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化思想，達到解決問題的目的，本節(jié)課解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊同乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母。解分式方程時，在將分式方程變形為整式方程的過程中，方程兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去了分母，有時會產(chǎn)生增根，因此，解分式方程時必須進行檢驗。檢驗時，可將轉(zhuǎn)化成的整式方程的根代入所乘的整式（即最簡公分母），看它的值是否為零，如果為零，即為增根，應(yīng)舍去。接著，趁熱打鐵，變式練習(xí)，遷移應(yīng)用，變式題解方程：1.2.如果分式無解，則m的值為（）A、2B、0C、-1D、-23.若方程有增根，則它的增根是（）A、0B、1C、-1D、1和-1總結(jié)反思，拓展升華