立體幾何初步認(rèn)識(shí)立體幾何初步認(rèn)識(shí)模塊一：長(zhǎng)方體正方體的體積與表面積模塊一：長(zhǎng)方體正方體的體積與表面積知識(shí)精講知識(shí)精講長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)特征：長(zhǎng)方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊的有一組對(duì)面是正方形），相對(duì)的面完全相同；有12條棱，相對(duì)的棱平行且相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。正方形有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，所有的面都完全相同；有12條棱，所有的棱都相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)＋寬＋高）×4用字母表示：(a+b+h)×4正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12用字母表示：12a長(zhǎng)方體和正方體的表面積的計(jì)算表面積：長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積叫做它的表面積。長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6用字母表示：S=6a2單位：平方厘米、平方分米、平方米1m2=100dm21dm2=100cm2長(zhǎng)方體和正方體的體積的計(jì)算物體所占空間的大小叫做物體的體積。長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高用字母表示：V=abh正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)用字母表示：V=a3立方厘米、立方分米和立方米1m3=1000dm31dm3=1000cm31m3=cm3長(zhǎng)方體或正方體的體積=底面積×高用字母表示：V=Sh把高級(jí)單位化成低級(jí)單位，用高級(jí)單位數(shù)乘以進(jìn)率；大乘小把低級(jí)單位聚成高級(jí)單位，用低級(jí)單位數(shù)除以進(jìn)率。小除大例題精講例1、計(jì)算下列圖形的體積、表面積S=0.4×1.2×2+1.2×2×2+0.4×2×2=0.96+4.8+1.6=7.36（平方米）V=0.4×2×1.2=0.96（立方米）解析：S=5×5×2+5×2×4=90（平方厘米）V=5×5×200=5000（立方厘米）解析：S=3.2×3.2×6=61.44V=3.2×3.2×3.2=32.768例2、學(xué)校新修一個(gè)沙坑，長(zhǎng)5米，寬3.8米，里面要鋪0.4米厚的沙子．需要沙子多少立方米？解析：V=5×3.8×0.4=7.6（平方米）答：需要沙子7.6立方米。例3、一塊正方體石料，棱長(zhǎng)7分米，這塊石料的體積是多少立方分米？如果1立方分米的石料重2.7千克，這塊石料重多少千克？解析：V=7×7×7=343（立方分米）343×2.7=926.1（千克）答：這塊石料重926.1千克。例4、填表長(zhǎng)方體長(zhǎng)（分米）寬（分米）高（分米）體積（立方分米）5121043560102480正方體棱長(zhǎng)（米）體積（立方米）621630270000.40.064例5、一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之和為96厘米，它的體積是多少立方厘米呢？解析：96÷12=8（厘米）8×8×8=512（立方厘米）答：它的體積是512立方厘米。例6、一塊長(zhǎng)方體花崗石，長(zhǎng)5.6分米，寬2.8分米，厚1.4分米。加工后它的長(zhǎng)、寬、高各減少0.2分米，加工后體積是多少？解析：5.4×2.6×1.2=16.848（立方分米）答：加工后體積是16.848立方分米。例7、一個(gè)游泳池，長(zhǎng)50米，寬30米，如果每小時(shí)放水200立方米，多少時(shí)間才能使水深達(dá)1.8米？解析：50×30×1.8÷200=13.5答：13.5小時(shí)后。例8、在一個(gè)棱長(zhǎng)是8厘米的正方體框架外面糊紙，需要紙多少平方厘米？解析：S=8×8×6=384答：需要紙384平方厘米。例9、根據(jù)要求填空1、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是16厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是(192)厘米。2、一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和是60厘米，棱長(zhǎng)是(5)厘米3、正方體棱長(zhǎng)總和是36分米,每條棱長(zhǎng)是(3),表面積是(54).4、長(zhǎng)方體的六個(gè)面中可能有兩個(gè)正方形的面.(正確)5、長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高.(錯(cuò)誤)（填“正確”或“錯(cuò)誤”6、有六個(gè)面、十二條棱、八個(gè)頂點(diǎn)的形體一定是長(zhǎng)方體.(錯(cuò)誤)（填“正確”或“錯(cuò)誤”7、一張紙只有正、反兩個(gè)面.(錯(cuò)誤)（填“正確”或“錯(cuò)誤”8、若量得長(zhǎng)方體長(zhǎng)為3厘米,寬為3厘米,高為5厘米,那么這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為3厘米的有8條.(正確)（填“正確”或“錯(cuò)誤”例10、選擇題1.用棱長(zhǎng)10厘米的8塊正方體木塊,擺一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體,在它們之中棱長(zhǎng)之和最短的(B)A.長(zhǎng)方體B.正方體2.用棱長(zhǎng)都是10厘米的3個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和是(C)厘米A.360B.240C.200D.120例11、紙盒工廠加工一批裝工具的紙盒，盒長(zhǎng)20厘米，寬和高都是5厘米。做一只紙盒至少需要硬紙多少平方厘米？V=5×5×2+5×20×4=450（平方厘米）答：需要硬紙450平方厘米。例12、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是寬的3倍，高是寬的2倍。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，求長(zhǎng)方體的表面積。長(zhǎng)：12寬：12÷3=4高：4×2=8S=12×4×2+12×8×2+8×4×2=352（平方厘米）答：長(zhǎng)方體的表面積是352平方厘米。例13、一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是24厘米。求它的表面積。S=（24÷12）2×6=24（平方厘米）答：它的表面積是24平方厘米。例14、一張辦公桌有3個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高10厘米，做5張桌的抽屜至少需要木板多少平方米？

(50×30+30×10×2+50×10×2)×15=46500（平方厘米）=4.64（平方米）答：至少需要木板4.65平方米。例15、一個(gè)長(zhǎng)方體食品盒，長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，高12厘米，如果圍著它貼一圈商標(biāo)紙，這圈商標(biāo)紙至少有多少平方厘米？6×2+10×2=32（平方厘米）答：至少要32平方厘米。例16、一個(gè)正方體木塊，表面積是50平方米，如果把它截成8個(gè)體積相等的正方體小木塊,每個(gè)小木塊的表面積是多少？將大木塊截成8個(gè)時(shí)，小木塊的邊長(zhǎng)是大木塊的一半，所以小木塊的側(cè)面積是大木塊的1/4，所以小木塊的表面積為50÷4=12.5（m2）答：每個(gè)小木塊是12.5平方米。例17、一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵皮水桶容積是0.72立方米。從里面量長(zhǎng)8分米，寬5分米，做一只這樣的鐵皮水桶，至少需鐵皮多少平方分米？720÷8÷5=18分米5×8+2×8×18+2×5×18=508分米2答：需要508平方分米。例18、一個(gè)房間長(zhǎng)5米，寬3米，高2.8米，現(xiàn)需油漆四壁和天花板，扣除門(mén)窗的面積4.5平方米，求油漆的總面積有多大？(5×2.8+3×2.8)×2+3×54.5=55.3（平方米）答：油漆總面積是55.3平方米。例19、一個(gè)正方體棱長(zhǎng)0．8分米，它的表面積是多少平方分米？S=0.8×4.8=3.84（平方分米）答：表面積是3.84平方分米。例20、一個(gè)小食堂長(zhǎng)10米，寬8米，高5米，要粉刷四壁和頂棚?？鄢T(mén)窗面積18．4平方米，平均每平方米用石灰0．2千克，一共用石灰多少千克？10×8+2×8×5+2×5×10=260平方米（26018.4）×0.2=48.32平方米答：一共用石灰48.32平方米。模塊二：表面積與體積的變化模塊二：表面積與體積的變化知識(shí)精講知識(shí)精講當(dāng)相同的正方體拼在一起的時(shí)候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就叫做接縫處的面積。接縫條數(shù)＝正方體個(gè)數(shù)－1。每有1條接縫就減少了原來(lái)的2個(gè)面的面積。拼成的長(zhǎng)方體的表面積＝原來(lái)正方體表面積之和－減少的面的面積。接縫處的面積＝接縫條數(shù)×2×每個(gè)面的面積。石塊投入水里：增加的體積就是石塊的體積表面積減少情況:1、把兩個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米？2、把三個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米？3、把四個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米？5、把100個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米？…………100個(gè)……100個(gè)表面積增加的情況1、把一個(gè)長(zhǎng)方體正好切成兩個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米？2、把一個(gè)長(zhǎng)方體正好切成三個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米？3、把一個(gè)長(zhǎng)方體正好切成四個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米？例題解析例題解析例題精講例1、把下圖的長(zhǎng)方體按照三種不同的方法切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積分別增加了多少平方厘米？8厘米8厘米10厘米7厘米解析：S=7×8×2=112（平方厘米）答：表面積增加了112平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=7×10×2=140（平方厘米）答：表面積增加了140平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=10×8×2=160（平方厘米）答：表面積增加了160平方厘米。例2、如果一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和是48分米，它的長(zhǎng)是5分米，寬是4分米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（

94平方分米

），它的體積是（

60立方分米

）。例3、將三個(gè)1立方分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，它的表面積是（

14

）平方分米。例4、一個(gè)長(zhǎng)方體表面積是84平方厘米，將它鋸開(kāi)，正好是3個(gè)相等的小正方體，每個(gè)小正方體的表面積是（

36

）平方厘米。例5、一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)14厘米，寬10厘米，如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬不變，那么當(dāng)高增加多少厘米時(shí)，長(zhǎng)方體的表面積增加144平方厘米？解析：S=14×2×h+10×2×h=144解得h=3厘米例6、底面是正方形的長(zhǎng)方形，高縮短5厘米后成為一個(gè)正方體，那么表面積減少1.2平方分米，正方體的表面積是多少？解析：216平方厘米。例7、一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的表面積相等，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，寬是10厘米，高是6厘米。那么正方體一個(gè)面得面積是多少平方厘米？解析：84平方厘米。例8、將一個(gè)長(zhǎng)2米長(zhǎng)方體木料鋸成3段，表面積增加160平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解析：8000立方厘米。例9、要在一個(gè)長(zhǎng)是10cm，寬是6cm，高是8cm的長(zhǎng)方體禮盒外扎一條包裝帶，如圖：，接口處還要18cm，需要包裝帶至少多少厘米？解析：78厘米。例10、把一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬和高都是4厘米的長(zhǎng)方體，沿高切成兩個(gè)完全相等的正方體，這時(shí)它的表面積增加了多少平方厘米？解析：32平方厘米。例11、有兩個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)為8cm，寬為5cm，高為3cm，如果把兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)較大的長(zhǎng)方體，表面積最大是多少平方厘米?表面積最小是多少平方厘米？解析：最大286平方厘米；最小236平方厘米。例12、將一根長(zhǎng)6厘米，寬和高都是2厘米的長(zhǎng)方體木料裁成三個(gè)小正方體，每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？三個(gè)小正方體表面積之和比原來(lái)長(zhǎng)方體表面積增加多少平方厘米？

解析：表面積是24平方厘米；表面積增加16平方厘米。例13、8個(gè)棱長(zhǎng)是1分米的正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，怎樣拼表面積最小，最小的表面積是多少？

解析：最小表面積是24平方分米。例14、把一個(gè)棱長(zhǎng)是4分米的正方體，分割成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再在表面涂上漆，這兩個(gè)長(zhǎng)方體涂漆的總面積是多少平方分米？（這道題計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題）

解析：總面積是128平方分米例15、把一個(gè)長(zhǎng)5分米，寬4分米，厚3分米的木料，沿著水平方向切割成同樣大小的3個(gè)長(zhǎng)方體，表面積之和比原來(lái)增加多少平方分米？

解析：表面積之和比原來(lái)增加80平方分米。例16、在一個(gè)長(zhǎng)24分米、寬9分米、高8分米的水槽中注入4分米深的水，然后放入一個(gè)棱長(zhǎng)為6分米的鐵塊。問(wèn)水位上升了多少分米？解析：水位上升了1分米。例18、在一個(gè)長(zhǎng)20分米、寬10分米的長(zhǎng)方體玻璃缸中，有10分米深的水，放入一塊棱長(zhǎng)是4分米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒(méi)在水中，并且沒(méi)有水溢出，這時(shí)水面升高了幾厘米？解析：水面升高了3.2厘米。模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用知識(shí)精講知識(shí)精講三視圖畫(huà)法：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等（需要添加對(duì)應(yīng)的題目）平面圖：立體圖形的直觀圖涂色問(wèn)題：（需要添加對(duì)應(yīng)的題目）對(duì)于n×n×n的正方形，其涂色情況如下：3面涂色：8個(gè)（每個(gè)頂點(diǎn)均有一個(gè)涂色）、2面涂色：（n2）×12個(gè)1面涂色：（n2）×（n2）×6個(gè)各面均沒(méi)有涂色：總數(shù)減去上面3個(gè)總數(shù)或者（n2）×（n2）×（n2）個(gè)例1、有一個(gè)底面積是正方形的長(zhǎng)方體，高是20厘米，側(cè)面展開(kāi)正好是一個(gè)正方形。求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。解析：長(zhǎng)方體體積為500立方厘米。例2、如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體，求這個(gè)立體圖形的表面積．解析：214平方分米。例3、將一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體的六個(gè)面都涂上紅色，然后把這個(gè)長(zhǎng)方體切割成一個(gè)個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體。這些小正方體中恰好有兩個(gè)面涂上紅色的有多少個(gè)？解析：兩面涂色的有28個(gè)。例4、一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體，所有棱長(zhǎng)的和是100厘米，它的高是7厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解析：長(zhǎng)方體體積為567立方厘米。例5、一塊長(zhǎng)方形鐵皮，長(zhǎng)32厘米，在它四個(gè)頂角分別剪去邊長(zhǎng)4厘米的正方形，然后折起來(lái)焊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵皮盒。已知這個(gè)鐵皮盒的容積是768立方厘米。原來(lái)這塊鐵皮的面積是多少？解析：原來(lái)這塊鐵皮的面積是512平方厘米。226例6、如圖，一張長(zhǎng)方形鐵皮，四角剪去邊長(zhǎng)2厘米的正方形，做成一只容積為226解析：原來(lái)這張鐵皮長(zhǎng)16厘米；需要鐵皮144平方厘米。例7、一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的平面展開(kāi)圖如下圖，這個(gè)紙盒子的體積是多少？（單位：厘米）解析：紙盒的體積是960立方厘米。例8、如圖，把這個(gè)長(zhǎng)方體截成三塊后，表面積增加了多少？354解析：表面積增加了354例9、右圖是一個(gè)透明的長(zhǎng)方體容器，里面裝著水，從里量長(zhǎng)、寬、高分別為16厘米、4厘米、8厘米，水深6厘米。如果把長(zhǎng)方體的右側(cè)面作為底面，放在桌上，那么水深是12厘米。例10、有一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方體的表面積比原長(zhǎng)方體表面積增加60平方厘米，求正方體表面積？解析：正方體的表面積是90平方厘米。例11、把一根長(zhǎng)2.4米的長(zhǎng)方體木料鋸成5段，表面積比原來(lái)增加了96平方厘米，這根木料原來(lái)的體積是多少立方厘米？解析：2880立方厘米。例12、將兩個(gè)長(zhǎng)都是8厘米，寬都是6厘米，高都是5厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體表面積最大是多少平方厘米？解析：表面積最大是176平方厘米。例13、要包裝長(zhǎng)、寬、高分別為10dm、6dm、6dm（如圖所示）的兩個(gè)禮物盒，需要包裝紙最多是多少？最少是多少？（接頭處忽略不計(jì)）。解析：最多552平方分米；最少504平方分米。1066例14、一個(gè)磁帶盒的長(zhǎng)是14厘米，寬11厘米，厚3厘米?，F(xiàn)有4盒，按圖（1）、圖（2）擺放的方式進(jìn)行包裝，哪種包裝方式更節(jié)約包裝紙？為什么？還有其他的包裝方式嗎？試再畫(huà)出一種并與前兩種進(jìn)行比較。解析：（1）252平方厘米；（2）748平方厘米有其他包裝方式924平方厘米(1)(2)例15、1000個(gè)體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開(kāi)為原來(lái)的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過(guò)的數(shù)目是多少個(gè)？

解析：表面涂漆的小正方體都在大正方體的表面上，由此可以先求得內(nèi)部沒(méi)有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，再利用小正方體的總個(gè)數(shù)﹣沒(méi)有涂色的即可解答．

解：共有小正方體：10×10×10=1000（個(gè)），

其中沒(méi)有涂色的為：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）=8×8×8=512（個(gè)），

所以至少有一面被油漆漆過(guò)的小正方體為1000﹣512=488（個(gè)）．

答：至少有一面被油漆漆過(guò)的小正方體為488個(gè)．涂色的小正方體都在大正方體的表面上．課后作業(yè)課后作業(yè)一、右面是立體圖形的展開(kāi)圖，根據(jù)展開(kāi)圖求原立體圖形的表面積與體積。解析：表面積為64平方厘米；體積為20立方厘米。1cm2cm10cm2cm二、觀察右面各圖，哪些圖形可以折成—個(gè)正方體，能的在（）里打“√”，不能的打“×”。（共4分）錯(cuò)對(duì)對(duì)對(duì)三、解決問(wèn)題。（每題4分，共24分）1．商店要做一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為40cm，高為80cm的玻璃柜臺(tái)，現(xiàn)在要在柜臺(tái)各邊都安上角鐵，這個(gè)柜臺(tái)需要多少米角鐵？解析：需要12.8米的角鐵。2．