第3節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性課標(biāo)要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義,了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.【知識(shí)梳理】1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就稱(chēng)為偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就稱(chēng)為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就稱(chēng)為f(x)的最小正周期.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f(x),則T=2a【診斷自測(cè)】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.()(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,且f(x)的定義域?yàn)镽,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.()(4)對(duì)于函數(shù)y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù).()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)錯(cuò)誤.(2)由奇函數(shù)定義可知,若f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有意義時(shí)才滿足f(0)=0,(2)錯(cuò)誤.(4)反例:f(x)=x3,x∈[-3,5],存在x=1,使f(-1)=-f(1),但f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),(4)錯(cuò)誤.2.(蘇教必修一P124例1改編)(多選)給出下列函數(shù),其中是奇函數(shù)的有()A.f(x)=x4 B.f(x)=x5C.f(x)=x+1x D.f(x)=答案BC解析對(duì)于f(x)=x4,f(x)的定義域?yàn)镽,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函數(shù),同理可知f(x)=x5,f(x)=x+1x是奇函數(shù),f(x)=1x3.(人教A必修一P85練習(xí)T1改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],若當(dāng)x∈[0,5]時(shí),f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集為.

答案(-2,0)∪(2,5]解析由圖象可知,當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)>0;當(dāng)2<x≤5時(shí),f(x)<0,又f(x)是奇函數(shù),∴當(dāng)-2<x<0時(shí),f(x)<0,

當(dāng)-5≤x<-2時(shí),f(x)>0.綜上,f(x)<0的解集為(-2,0)∪(2,5].4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù),若f(-1)=1,則f(2025)=.

答案-1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù),所以f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=-f(-1)=-1.考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=3-x2+(2)f(x)=x(3)f(x)=log2(x+x2+1解(1)由3-得x2=3,解得x=±3,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-3,3},從而f(x)=3-x2+x因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知,對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=log2[-x+(-x=log2(x2+1-x)=log2(x2+1+=-log2(x2+1+x)=-f(x故f(x)為奇函數(shù).思維建模判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),否則為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.訓(xùn)練1(1)(2024·天津卷)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.f(x)=ex-x2x2+1C.f(x)=ex-xx+1 D.答案B解析法一對(duì)于A,f(-x)=e-x-(-x)2(-x)2+1=e-對(duì)于B,f(-x)=cos(-x)+(-x)2(-x故f(x)是偶函數(shù);對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故f(x)不是偶函數(shù);對(duì)于D,f(-x)=sin(-=-sinx-4xex=-sinx+4故f(x)是奇函數(shù).故選B.法二易知y=x2+1與y=e|x|均為偶函數(shù),且恒為正.對(duì)于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函數(shù),所以f(x)也是非奇非偶函數(shù);對(duì)于B,y=cosx+x2是偶函數(shù),所以f(x)是偶函數(shù);對(duì)于C,易知f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以f(x)是非奇非偶函數(shù);對(duì)于D,y=sinx+4x是奇函數(shù),所以f(x)是奇函數(shù),故選B.(2)(2025·新鄉(xiāng)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y+1)=f(x)+f(y),則下列結(jié)論一定正確的是()A.f(x)+1是奇函數(shù) B.f(x-1)是奇函數(shù)C.f(x)-1是奇函數(shù) D.f(x+1)是奇函數(shù)答案B解析對(duì)于B,因?yàn)閒(x+y+1)=f(x)+f(y),令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.令y=-2-x,則f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0,故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng),則f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),即f(x-1)是奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,法一令x=y=0,可得f(1)=f(0)+f(0),則f(0)=12f(1)當(dāng)f(1)≠2時(shí),f(0)-1≠0,此時(shí)f(x)-1不可能是奇函數(shù),由于無(wú)法確定f(1)的值,故f(x)-1不一定是奇函數(shù).法二取f(x)=-x-1,滿足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)-1=-x-2,不是奇函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于A,D,取f(x)=x+1,滿足f(x+y+1)=f(x)+f(y),但f(x)+1=x+2與f(x+1)=x+2都不是奇函數(shù),故A,D錯(cuò)誤.考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用角度1求解析式(參數(shù)或值)例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=.

答案x-1解析當(dāng)x<0時(shí),-x>0.f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.(2)(2024·邯鄲二模)已知b>0,函數(shù)f(x)=a+4bx2x是奇函數(shù),則a=,答案-11解析根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=a+4bx2x則有f(0)=0,f(1)=-f(-1),即a+4當(dāng)a=-1,b=1時(shí),f(x)=-1+4x2x=2x-其定義域?yàn)镽,且f(-x)=2-x-2x=-f(x),即f(x)為奇函數(shù),故a=-1,b=1.角度2奇偶性與單調(diào)性例3(1)(2025·大連調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),且f(x)在[-2,0]上單調(diào)遞增.若f(2t-1)+f(t)<0,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A.-∞,1C.-2,13 D答案D解析因?yàn)閒(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),且f(x)在[-2,0]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增,又f(2t-1)+f(t)<0,則f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)<f(-t),所以-2解得-12≤t<1故實(shí)數(shù)t的取值范圍為-1(2)(多選)(2024·合肥調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x),g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,則()A.f(f(1))<f(f(2))B.f(g(1))<f(g(2))C.g(f(1))<g(f(2))D.g(g(1))<g(g(2))答案BD解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且兩函數(shù)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)在R上單調(diào)遞減,所以f(1)<f(2),g(0)=0>g(1)>g(2),所以f(g(1))<f(g(2)),g(f(1))>g(f(2)),g(g(1))<g(g(2)),所以BD正確,C錯(cuò)誤.若|f(1)|>|f(2)|,則f(f(1))>f(f(2)),A錯(cuò)誤.思維建模1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或參數(shù)的取值,求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式,利用方程思想求參數(shù)的值.2.比較大小,利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.3.解抽象函數(shù)不等式,先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x)),利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉,得到具體的不等式(組).訓(xùn)練2(1)(2025·東北三省三校模擬)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,若f(3)=-8,則a=(A.-3 B.3C.13 D.-答案B解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(3)=-f(-3)=-8,故f(-3)=8,故f(-3)=(-3)2+a-3=8解得a=3.(2)(2025·皖南八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),函數(shù)g(x)滿足g(x)+g(-x)=0,且f(x),g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,則()A.f(g(x))在[0,+∞)上單調(diào)遞減B.g(g(x))在(-∞,0]上單調(diào)遞減C.g(f(x))在[0,+∞)上單調(diào)遞減D.f(f(x))在(-∞,0]上單調(diào)遞減答案C解析由題意知f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞減,且g(0)=0.設(shè)0≤x1<x2,則g(x2)<g(x1)≤0,f(g(x2))>f(g(x1)),所以f(g(x))在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤;設(shè)x1<x2≤0,則g(x1)>g(x2)≥0,g(g(x1))<g(g(x2)),g(g(x))在(-∞,0]上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;設(shè)0≤x1<x2,則f(x1)<f(x2),g(f(x1))>g(f(x2)),所以g(f(x))在[0,+∞)上單調(diào)遞減,故C正確;取f(x)=x2-1,則f(f(x))=(x2-1)2-1,f(f(0))=0,f(f(-1))=-1,此時(shí)f(f(x))在(-∞,0]上不單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.(3)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=0.則不等式f(x)-2f(-答案(-∞,-2)∪(2,+∞)解析由于f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=0,所以f(x)的大致圖象如圖所示.由f(-x)=-f(x)可得,f(x)-2f(-x由于x在分母位置,所以x≠0,當(dāng)x<0時(shí),只需f(x)<0,由圖象可知x<-2;當(dāng)x>0時(shí),只需f(x)>0,由圖象可知x>2;綜上,不等式的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及應(yīng)用例4(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x4-2x,則f(23)=(A.-1 B.-12C.0 D.1答案B解析由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(23)=f(23-4×6)=f(-1).因?yàn)閒(-1+2)=-f(-1),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x4-2x,所以f(-1)=-f(1)=-14-2×1=-12(2)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=log2(x+1),則函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式為.

答案f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]解析根據(jù)題意,設(shè)x∈[2,4],則x-4∈[-2,0],則有4-x∈[0,2],又x∈[0,2]時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)為周期為4的偶函數(shù),所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4],則有f(x)=log2(5-x),x∈[2,4].思維建模1.求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題,應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義,求出函數(shù)的周期.2.利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,進(jìn)而解決問(wèn)題.訓(xùn)練3(多選)(2025·青島調(diào)研)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),其周期為4,當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-2,則()A.f(2026)=2B.f(x)的值域?yàn)閇-1,2]C.f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減D.f(x)在[-6,6]上有8個(gè)零點(diǎn)答案AB解析f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=2,所以A正確;當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-2單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2],由于函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2],所以B正確;當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-2單調(diào)遞增,又函數(shù)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增,所以C錯(cuò)誤;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函數(shù)的周期為4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6個(gè)零點(diǎn),所以D錯(cuò)誤.一、單選題1.(2025·南充診斷)下列函數(shù)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)=-x2 B.f(x)=xC.f(x)=|x| D.f(x)=2x答案C解析A中,f(x)=-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,A錯(cuò)誤;B中,f(x)=x12的定義域?yàn)閇0,+∞),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),不是偶函數(shù),BC中,f(x)=|x|的定義域?yàn)镽,又f(-x)=|-x|=|x|=f(x),故f(x)=|x|為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=|x|=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,滿足要求,C正確;D中,f(x)=2x的定義域?yàn)镽,且f(-x)=2-x≠2x,故f(-x)≠f(x),f(x)=2x不是偶函數(shù),D錯(cuò)誤.故選C.2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則f(2026)等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案B解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以f(2026)=f(0)=0.3.設(shè)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x-1,則使f(x)>0的x的取值范圍是()A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0}C.{x|x<-1或x>1} D.{x|1<x<0或x>1}答案C解析∵當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x-1單調(diào)遞增,又∵f(x)為偶函數(shù),故可以作出f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知,若f(x)>0,則x<-1或x>1.4.(2024·商洛二診)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,若f32-2x,g(2+x)均為偶函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是A.f(-1)=f(2) B.g(2)=1C.f(1)=f(2) D.g(1)=g(5)答案C解析因?yàn)閒32-2x為偶函數(shù),所以f32即f32-x=f32+x,所以f(3-x令x=2,可得f(1)=f(2),故C正確;A無(wú)法判斷是否正確;因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù),g(2+x)=g(2-x),所以g(4-x)=g(x),令x=5,可得g(-1)=g(5),故D無(wú)法判斷是否正確;因?yàn)闊o(wú)法判斷g(2)的取值情況,故B錯(cuò)誤.5.(2025·合肥重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x-12x+1+3x+1,且f(a2)+f(3a-4)<2,則實(shí)數(shù)A.(-4,1) B.(-3,2) C.(0,5) D.(-1,4)答案A解析由題意得,f(x)的定義域?yàn)镽,令g(x)=f(x)-1,則g(x)=2x-12x則g(x)+g(-x)=2x-12x+1+3x+2-x-12∴g(x)為奇函數(shù).g(x)=1-22x+1+∵y=-22x+1與y=3∴g(x)為R上的增函數(shù),∵f(a2)+f(3a-4)<2,∴f(a2)-1+f(3a-4)-1<0,即g(a2)+g(3a-4)<0,即g(a2)<-g(3a-4),∴g(a2)<g(4-3a),∴a2<4-3a,解得-4<a<1.6.已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則f(-6.5),f(-1),f(0)的大小關(guān)系是()A.f(-1)<f(0)<f(-6.5)B.f(-6.5)<f(0)<f(-1)C.f(-1)<f(-6.5)<f(0)D.f(0)<f(-6.5)<f(-1)答案D解析∵f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期為2,∵偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),∴f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-6.5)<f(-1).7.(2025·金華調(diào)研)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足:?x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f(0)=2 B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)為奇函數(shù) D.f(2)=-1答案C解析因?yàn)?x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0),又f(1)=1,所以f(0)=2,A正確;取x=0,y=x可得f(x)+f(-x)=f(0)f(x),因?yàn)閒(0)=2,所以f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),C錯(cuò)誤,B正確;取x=1,y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1),又f(1)=1,f(0)=2,所以f(2)=-1,D正確.8.(2025·常德模擬)已知奇函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)y=f(x)+x2在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)y=f(x)-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增C.函數(shù)y=x2f(x)在R上單調(diào)遞增D.函數(shù)y=f(x)x2答案C解析因?yàn)閥=f(x)是奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以不妨令f(x)=x.對(duì)于A,y=f(x)+x2=x+x2=x+12所以y=f(x)+x2在-∞,-12上單調(diào)遞減,在-12對(duì)于B,y=f(x)-x2=x-x2=-x-12所以y=f(x)-x2在-∞,在12,+∞上單調(diào)遞減,故對(duì)于C,y=x2f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,故C正確;對(duì)于D,y=f(x)x2=xx2=1x,x≠0,由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知y=f(x)x2在(-∞,0)二、多選題9.下列對(duì)函數(shù)的奇偶性判斷正確的是()A.f(x)=(x-1)1+xB.f(x)=x2C.f(x)=3-x2+x2D.f(x)=1-x答案BD解析對(duì)于A,由1+x1-x≥0,解得-1≤所以該函數(shù)的定義域是[-1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),是非奇非偶函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x2-x,則f(-x)=-f(x),同理當(dāng)x>0時(shí),f(-x)=-f(x),所以該函數(shù)是奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,由x2-3≥0,解得x≥3或x≤-3,所以函數(shù)的定義域是(-∞,-3]∪[3,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又f(-x)=3-(-x)2+(-x)2-3=3-x2+x2-3所以該函數(shù)是偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由1-x2所以該函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1],則f(x)=1-x又f(-x)=1-(-x)2-x=-1-x所以該函數(shù)是奇函數(shù),故D正確.10.(2025·遼寧名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),f(x+1)是偶函數(shù),則()A.f(0)=1 B.f(x)是周期函數(shù)C.f(x+3)為偶函數(shù) D.f(x+5)為奇函數(shù)答案BC解析法一對(duì)于A,B,因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(x+1)=f(-x+1),即f(-x)=f(2+x),又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,于是f(2+x)=-f(x),即f(4+x)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故A錯(cuò)誤,B正確;對(duì)于C,設(shè)g(x)=f(x+3),則g(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒(-x)=f(2+x),所以f(-x+3)=f(-1+x),則g(-x)=f(-x+3)=f(-1+x)=f(x+3),即g(x)=g(-x),所以f(x+3)為偶函數(shù),故C正確;對(duì)于D,設(shè)h(x)=f(x+5),則h(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒(-x)=f(2+x),所以f(-x+5)=f(x-3),則h(-x)=f(-x+5)=f(x-3)=f(x+5),即h(x)=h(-x),所以f(x+5)為偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.法二對(duì)于A,f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故B正確;對(duì)于C,由B知,f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1),由f(x+1)為偶函數(shù)得,f(-x+1)=f(x+1),又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x-1)=-f(x+1)=-f(-x+1)=f(x-1),所以f(x-1)=f(x+3)為偶函數(shù),故C正確;對(duì)于D,f(x+5)=f(x+5-4)=f(x+1)為偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0,則函數(shù)f(x)滿足()A.f(0)=0B.y=f(x)為奇函數(shù)C.f(x)在R上單調(diào)遞增D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集為{x|-2<x<1}答案ABD解析由題意,定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),對(duì)于A,令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,故A正確;對(duì)于B,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以y=f(x)為奇函數(shù),故B正確;對(duì)于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2),因?yàn)閤1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由f(x-1)+f(x2-1)>0,可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2),由C知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以x-1<1-x2,解得-2<x<1,所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集為{x|-2<x<1},故D正確.三、填空題12.(2025·鄭州模擬)寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù).

答案f(x)=cos2π3x(答案不唯一解析由最小正周期為3的偶函數(shù),可考慮三角函數(shù)中的余弦型函數(shù)f(x)=Acosωx+b(A≠0),滿足f(-x)=Acosωx+b=f(x),即是偶函數(shù).根據(jù)最小正周期T=2πω=3,可得ω=2π令A(yù)=1,b=0,f(x)=cos2π3x13.(2025·郴州模擬)已知函數(shù)f(x)=(2x-a·2-x)sinx是偶函數(shù),則a=.

答案1解析函數(shù)f(x)=(2x-a·2-x)sinx的定義域?yàn)镽,依題意,?x∈R,f(x)-f(-x)=0,則?x∈R,(2x-a·2-x)·sinx-(2-x-a·2x)sin(-x)=0,即(2x-a·2-x)sinx+(2-x-a·2x)sinx=0,整理得(1-a)(2x+2-x)sinx=0,而sinx不恒為0,2x+2-x>0,因此1-a=0,所以a=