高考八大高頻考點(diǎn)例析[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P60]命題及其關(guān)系考查方式以四種命題，邏輯聯(lián)結(jié)詞為主要內(nèi)容，考查四種命題之間的關(guān)系，及含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，主要以選擇題、填空題為主，屬容易題．備考指要1.要掌握互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的，對(duì)某些命題的判斷可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題．2.命題p或q中，p，q有真則真；命題p且q中p，q有假則假.eq\a\vs4\al([考題印證])[例1](重慶高考)命題“若p則q”的逆命題是()A．若q則p B．若綈p則綈qC．若綈q則綈p D．若p則綈q[解析]根據(jù)逆命題的概念可知，“若p則q”的逆命題為“若q則p”．[答案]Aeq\a\vs4\al([跟蹤演練])1．設(shè)集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，p：1∈A，q：2∈A.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則a的取值范圍是()A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞)C．(1,2] D．[1,2]解析：若p為真，則－2－a<1<a，解得a>1.若q為真，則－2－a<2<a，解得a>2.依題意，得p假q真，或p真q假．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,a>2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,0<a≤2.))∴1<a≤2.答案：C2．判斷下列命題的真假．(1)“若x∈A∪B，則x∈B”的逆命題與逆否命題；(2)“若一個(gè)數(shù)能被6整除，則它也能被2整除”的逆命題；(3)“若0<x<5，則|x－2|<3”的否命題及逆否命題；(4)“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a∈(－2,2)”的原命題、逆命題．解：(1)逆命題：若x∈B，則x∈A∪B.根據(jù)集合“并”的定義，逆命題為真．逆否命題：若x?B，則x?A∪B.逆否命題為假，如2?{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命題：若一個(gè)數(shù)能被2整除，則它也能被6整除．逆命題為假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．(3)否命題：若x≤0或x≥5，則|x－2|≥3.否命題為假．反例－eq\f(1,2)＝x≤0，但|－eq\f(1,2)－2|＝eq\f(5,2)<3.逆否命題：若|x－2|≥3，則x≤0或x≥5.逆否命題為真，因|x－2|≥3?x≥5或x≤－1?x≥5或x≤0.(4)原命題為假：因?yàn)?a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，當(dāng)a＝2時(shí)變?yōu)椋?<0，也滿足條件．逆命題：若a∈(－2,2)，則不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立．逆命題為真，因?yàn)楫?dāng)a∈(－2,2)時(shí)，Δ<0，且a－2<0.充分條件與必要條件考查方式充分條件、必要條件可以與各章內(nèi)容相結(jié)合，是歷年高考考查的熱點(diǎn)之一，題型主要以選擇題，填空題為主．備考指要1.要分清條件和結(jié)論，以免混淆充分性與必要性．(1)若“p?q”，且“p?/q”，則p是q的“充分不必要條件”，同時(shí)q是p的“必要不充分條件”；(2)若“p?q”，則p是q的“充要條件”，同時(shí)q是p的“充要條件”．2.要注意轉(zhuǎn)換命題的判定，可以利用互為逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷.eq\a\vs4\al([考題印證])[例2](福建高考)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若x＝2且y＝－1，則x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有無數(shù)組解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1.[答案]Aeq\a\vs4\al([跟蹤演練])3．(安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：命題p：(2x－1)x＝0，命題q：x＝0，則命題p：x＝0或x＝eq\f(1,2)，故p是q的必要不充分條件．答案：B4．(天津高考)設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時(shí)，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要條件．答案：A全稱量詞與存在量詞考查方式主要考查全稱命題與特稱命題的真假判斷，以及含有一個(gè)量詞的命題的否定，題型主要是選擇題、填空題．備考指要1.全稱命題的真假判定：要判定一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)限定集合M中每一個(gè)x驗(yàn)證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明．要判定一個(gè)全稱命題為假，只需舉出一個(gè)反例即可．2.特稱命題的真假判定：要判定一個(gè)特稱命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x，使p(x)成立即可．否則，這一特稱命題為假．3.全稱命題的否定一定是特稱命題，特稱命題的否定一定是全稱命題，首先改變量詞，把全稱量詞改為存在量詞，把存在量詞改為全稱量詞，然后再把判斷詞加以否定．4.注意命題的否定與否命題的區(qū)別.eq\a\vs4\al([考題印證])[例3](1)(四川高考改編)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：若任意x∈A，則2x∈B，則()A．綈p：存在x∈A，使得2x∈BB．綈p：存在x∈/A，使得2x∈BC．綈p：存在x∈A，使得2x∈/BD．綈p：任意x∈/A，使得2x∈/B(2)(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知命題p：任意x∈R，都有2x＜3x成立；命題q：存在x∈R，使x3＝1－x2成立，則下列命題中為真命題的是()A．p且q B．綈p且qC．p且綈q D．綈p且綈q[解析](1)因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題p的否定為綈p：存在x∈A，使得2x∈/B．故選C.(2)對(duì)于命題p，由于x＝－1時(shí)，2－1＝eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)＝3－1，所以是假命題，故綈p是真命題；對(duì)于命題q，設(shè)f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在區(qū)間(0,1)上有解，即存在x∈R，x3＝1－x2，故命題q是真命題．綜上，綈p且q是真命題，故選B.[答案](1)C(2)Beq\a\vs4\al([跟蹤演練])5．(重慶高考)命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為()A．存在x∈R，使得x2＜0B．對(duì)任意x∈R，都有x2＜0C．存在x∈R，使得x2≥0D．不存在x∈R，使得x2＜0解析：由全稱命題的否定是特稱命題知存在x∈R，使得x2＜0.答案：A6．命題“存在x∈R，x≤1或x2>4”的否定是________．解析：已知命題是特稱命題，其否定為全稱命題，把存在量詞改成全稱量詞，再否定結(jié)論．答案：任意x∈R，x>1且x2≤4圓錐曲線的定義及性質(zhì)考查方式主要考查橢圓、拋物線、雙曲線的簡單性質(zhì)、待定系數(shù)法求圓錐曲線方程，圓錐曲線定義的應(yīng)用，尤其是離心率是高考熱點(diǎn)，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)．備考指要對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問題，“回歸定義”是一種重要解題策略，應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的應(yīng)用.eq\a\vs4\al([考題印證])[例4](1)(新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)(2)(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x[解析](1)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝eq\r(3).所以e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).(2)由雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)可知，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，而雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，故所求漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.[答案](1)D(2)Ceq\a\vs4\al([跟蹤演練])7．(四川高考)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－eq\r(3)y＝0的距離是()A．2eq\r(3) B．2C.eq\r(3) D．1解析：由拋物線方程知2p＝8?p＝4，故焦點(diǎn)F(2,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式知，F(xiàn)到直線x－eq\r(3)y＝0的距離d＝eq\f(|2－\r(3)×0|,\r(1＋3))＝1.答案：D8．設(shè)圓錐曲線T的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若曲線T上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率等于()A.eq\f(1,2)或eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)或2C.eq\f(1,2)或2 D.eq\f(2,3)或eq\f(3,2)解析：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則①若圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，則有e＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(3,4＋2)＝eq\f(1,2)；②若圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，則有e＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(3,4－2)＝eq\f(3,2)；綜上所述，所求的離心率為eq\f(1,2)或eq\f(3,2)，故選A.答案：A直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考查方式直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)，涉及求弦長、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、取值范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問題，題型以解答題為主．這類題目綜合性強(qiáng)，難度較大，注重與一元二次方程中根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、平面向量等知識(shí)綜合．備考指要處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，常用聯(lián)立方程組消元法得到一元二次方程，要注意直線的斜率不存在的情形，分析解決這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想，以及“設(shè)而不求”的方法，由于運(yùn)算量較大，要注意運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.eq\a\vs4\al([考題印證])[例5](天津高考)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為eq\f(\r(3),3)，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為eq\f(4\r(3),3).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若·＋·＝8，求k的值．[解]設(shè)F(－c,0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知a＝eq\r(3)c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有eq\f(－c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3)，于是eq\f(2\r(6)b,3)＝eq\f(4\r(3),3)，解得b＝eq\r(2)，又a2－c2＝b2，從而a＝eq\r(3)，c＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1))消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1＋x2＝－eq\f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－6,2＋3k2).因?yàn)锳(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，所以·＋·＝(x1＋eq\r(3)，y1)·(eq\r(3)－x2，－y2)＋(x2＋eq\r(3)，y2)·(eq\r(3)－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋eq\f(2k2＋12,2＋3k2).由已知得6＋eq\f(2k2＋12,2＋3k2)＝8，解得k＝±eq\r(2).eq\a\vs4\al([跟蹤演練])9．(陜西高考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率．解：(1)如圖，設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2eq\r(x－12＋y2)，化簡得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．將y＝kx＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(24k,3＋4k2)，①x1x2＝eq\f(24,3＋4k2).②又因A是PB的中點(diǎn)，故x2＝2x1,③將③代入①，②得x1＝－eq\f(8k,3＋4k2)，xeq\o\al(2,1)＝eq\f(12,3＋4k2)，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k,3＋4k2)))2＝eq\f(12,3＋4k2)，且k2＞eq\f(3,2)，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝eq\f(3,2)，所以直線m的斜率為－eq\f(3,2)或eq\f(3,2).法二：如圖，由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2.y2)．∵A是PB的中點(diǎn)，∴x1＝eq\f(x2,2)，①y1＝eq\f(3＋y2,2).②又eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1,③eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1，④聯(lián)立①，②，③，④解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)，所以直線m的斜率為－eq\f(3,2)或eq\f(3,2).10．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．解：(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))；設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.11．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2eq\r(2)＝0的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍．解：(1)依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1，則右焦點(diǎn)F(eq\r(a2－1)，0)，由題設(shè)eq\f(|\r(a2－1)＋2\r(2)|,\r(2))＝3，解得a2＝3，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＞0，即m2＜3k2＋1.①∴xP＝eq\f(xM＋xN,2)＝－eq\f(3mk,3k2＋1).從而yP＝kxP＋m＝eq\f(m,3k2＋1)，∴kAP＝eq\f(yP＋1,xP)＝－eq\f(m＋3k2＋1,3mk)，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.則－eq\f(m＋3k2＋1,3mk)＝－eq\f(1,k)，即2m＝3k2＋1.②把②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2＝eq\f(2m－1,3)＞0，解得m＞eq\f(1,2)，故所求m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程考查方式導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主，有時(shí)在解答題的第(1)問中出現(xiàn)，難度不大，主要考查求曲線的切線方程或求切線的傾斜角．備考指要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)，關(guān)鍵要搞清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線方程”與“過某點(diǎn)的切線方程”的區(qū)別.eq\a\vs4\al([考題印證])[例6](廣東高考)若曲線y＝ax2－lnx在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________.[解析]令f(x)＝ax2－lnx，得f′(x)＝2ax－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)eq\a\vs4\al([跟蹤演練])12．若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，則a＝()A．－1或－eq\f(25,64) B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64) D．－eq\f(7,4)或7解析：令過(1,0)的直線與y＝x3切于點(diǎn)(x0，y0)，切線斜率為k＝3xeq\o\al(2,0).設(shè)切線方程為y＝3xeq\o\al(2,0)(x－1)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(3,0)，,y0＝3x\o\al(2,0)x0－1))?xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)?2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＝0?x0＝0或x0＝eq\f(3,2).故切線方程為y＝0或y＝eq\f(27,4)(x－1)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))?ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0，∵Δ＝0，∴a＝－eq\f(25,64).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(27,4)x－1，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))?ax2＋eq\f(15,4)x－9＝eq\f(27,4)(x－1)，∵Δ＝0，∴a＝－1.答案：A13．曲線f(x)＝eq\f(x＋1,x2)(x＞0)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為________．解析：∵f(x)＝eq\f(x＋1,x2)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(2,x3)，當(dāng)x＝1時(shí)，f′(x)＝－3，故曲線f(x)＝eq\f(x＋1,x2)(x＞0)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0.答案：3x＋y－5＝0利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值考查方式此類題目?？汲Ｐ?，一般以解答題形式出現(xiàn)，與函數(shù)的性質(zhì)考查相結(jié)合，并含有參變量，屬中、高檔題目，極值問題的考查是一個(gè)熱點(diǎn)，一般需要分類討論．備考指要1.熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，同時(shí)要先求函數(shù)的定義域，求得的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接．2.熟練掌握求函數(shù)極值的步驟L和方法.eq\a\vs4\al([考題印證])[例7](新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．[解](1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4.(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2))).令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，在(－2，－ln2)上是減少的．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．eq\a\vs4\al([跟蹤演練])14．如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，給出下列判斷：①函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內(nèi)增加；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內(nèi)減少；③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)增加；④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值；⑤則x＝－eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值．則上述判斷中正確的是________．解析：當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上為減少的，同理f(x)在(2,4)上為減少的，f(x)在(－2,2)上為增加的，在(4，＋∞)上是增加的，所以可排除①②，選擇③.而x＝－eq\f(1,2)的左、右兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x＝－eq\f(1,2)的左、右兩側(cè)均為增加的，所以x＝－eq\f(1,2)不是函數(shù)的極值點(diǎn)，排除⑤，④中x＝2為極大值點(diǎn)．答案：③15．已知函數(shù)f(x)＝x－1－lnx(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(1,x)，f′(2)＝eq\f(1,2)，f(2)＝1－ln2，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(1－ln2)＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y－2ln2＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝1，列表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)0∴函數(shù)y＝f(x)的極小值為f(1)＝0.(3)依題意對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立等價(jià)于x－1－lnx≥bx－2在(0，＋∞)上恒成立，可得b≤1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)，g′(x)＝eq\f(lnx－2,x2)，令g′(x)＝0，得x＝e2列表：x(0，e2)e2(e2，＋∞)g′(x)－0＋g(x)1－eq\f(1,e2)∴函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(e2)＝1－eq\f(1,e2)，根據(jù)題意，b≤1－eq\f(1,e2).故實(shí)數(shù)b的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1－\f(1,e2))).導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用考查方式以實(shí)際問題為背景，考查導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化問題，是近年高考的熱點(diǎn)，難度中檔，題型以選擇題、解答題為主．備考指要這類問題的處理方法關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后用導(dǎo)數(shù)解決，主要有利潤最大、用料最省、效率最高以及幾何圖形的面積、體積的最值等問題．由f′(x)＝0得到一個(gè)解，若此解在定義域內(nèi)，則這個(gè)解一般就是所求的最大(小)值點(diǎn).eq\a\vs4\al([考題印證])[例8](重慶高考)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．[解](1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元，又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因?yàn)閞＞0，又由h＞0，可得r＜5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5eq\r(3))．(2)因?yàn)閂(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)．當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上是增加的；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時(shí)，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上是減少的．由此可知，V(r)在r＝5處取最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大．eq\a\vs4\al([跟蹤演練])16．(江蘇高考)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，那么x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值．解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).17．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N＋)．(1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N＋)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32x－16,x＋82)，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x<16時(shí)，T′>0；當(dāng)x>16時(shí)，T′<0；所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大．即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利.模塊綜合檢測eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(對(duì)應(yīng)階段質(zhì)量檢測五,見8開試卷))(時(shí)間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．“M＞N”是“l(fā)og2M＞log2N”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由log2M＞log2N，可得M＞N＞0；2＞－1，－1的對(duì)數(shù)沒有意義，則log2M＞log2N不成立．答案：B2．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，則s是p的()A．逆否命題 B．逆命題C．否命題 D．原命題解析：設(shè)p為“若A，則B”，則r為“若非A，則非B”，s為“若非B，則非A”，即s為p的逆否命題．答案：A3．與直線4x－y＋5＝0平行的拋物線y＝2x2的切線方程是()A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0解析：由k＝y(tǒng)′＝4x＝4，得x＝1，則切點(diǎn)為(1,2)，所以切線方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.答案：C4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為eq\f(4,3)，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,9)－y2＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,7)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1解析：由拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為(4,0)，可得c＝4.由雙曲線離心率為eq\f(4,3)，可得a＝3，則b＝eq\r(7)，即雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1.答案：B5．下列命題的否定為假命題的是()A．對(duì)任意x∈R，都有－x2＋x－1＜0成立B．對(duì)任意x∈R，都有|x|＞x成立C．對(duì)任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立D．存在x∈R，使sin2x＋sinx＋1＝0成立解析：對(duì)于A選項(xiàng)命題的否定為“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，顯然，這是一個(gè)假命題．答案：A6．過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝6，則|P1P2|的值為()A．5 B．6C．8 D．10解析：拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝－1，因?yàn)镻1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)是過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值為y1＋y2＋2＝8.答案：C7．對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．答案：A8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|有()A．最大值16 B．最小值16C．最大值4 D．最小值4解析：由橢圓的定義知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝4時(shí)等號(hào)成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.答案：A9.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖像如右圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖像中，y＝f(x)的圖像大致是()解析：x>0時(shí)，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0，在(1，＋∞)上有f′(x)>0；且x＝1處f(x)取極小值．x<0時(shí)，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0，在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1處f(x)取極大值，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上減少，選項(xiàng)C符合題意．答案：C10．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：a>0時(shí)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，直線l方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，令x＝0得y＝－eq\f(a,2).∴S△OAF＝eq\f(1,2)·eq\f(a,4)·|－eq\f(a,2)|＝4.解得a＝8.同理a<0時(shí)，得a＝－8.∴拋物線方程為y2＝±8x.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上)11．已知命題p：對(duì)任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，命題q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)閷?duì)任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判別式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命題“p且q”是真命題，所以p、q同為真，所以e≤a≤4.答案：[e,4]12．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為________．解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，當(dāng)x<－1或x>11時(shí)，f′(x)>0，f(x)增加；當(dāng)－1<x<11時(shí)，f′(x)<0，f(x)減少．答案：(－1,11)13．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為________________．解析：∵f′(x)＝lnx＋1，f′(x0)＝2，∴l(xiāng)nx0＋1＝2，x0＝e，f(x0)＝e.則切線方程為y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.答案：2x－y－e＝014．已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2＝4x的焦點(diǎn)F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF|＝eq\f(5,3).則橢圓C1的方程為________．解析：拋物線C2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，依據(jù)拋物線的定義，由|PF|＝eq\f(5,3)，得1＋x0＝eq\f(5,3)，解得x0＝eq\f(2,3).因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限，所以y0＝eq\f(2\r(6),3).所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2\r(6),3))).因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，所以eq\f(4,9a2)＋eq\f(8,3b2)＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋1，聯(lián)立解得a2＝4，b2＝3.所以橢圓C1的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)已知命題p：函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋5在區(qū)間(－2