浙江省杭州市西湖區(qū)綠城育華2024-2025學年高二上學期期末

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合/=卜W=^^"^^'[,8=｛y|y=2sinx+l｝.則()

A.0B.[-1,1]C.口,+8)D.(1,+?)

2.復(fù)數(shù)二(i為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)是()

1-1

A.iB.-iC.2iD.-2i

3.若sin[!-x]=j,且0<x<],貝!Jsin仔+x]=()

4.已知點41,0),8(2,2),。為坐標原點，向量％=4而，則厲?五=()

9898

A.-B.-C.——D.——

5555

5.從集合｛1,2,3,4,5｝中依次不放回的任取兩個數(shù)，記事件/="第一次取出的數(shù)字是1”,

事件3=”取出的兩個數(shù)之和為7"，下列說法不正確的是()

A.PQ)=g,P(3)=gB./c8為不可能事件

C.事件A,B相互獨立D.P(AoB)=P(4)+P網(wǎng)

6.已知S"是等差數(shù)列｛."｝的前n項和，且。8<。，%+%]>0,則()

A.%<。B.S”的最小值為跖C.數(shù)列也J為遞減數(shù)列D.幾<0

7.已知圓臺下底面的正底面在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1,

則圓臺的體積為()

A.5島B.7扃C.述兀D.迪兀

33

22

8.已知橢圓C:j+q=l(a>6>0)的短軸長為4,上頂點為8,。為坐標原點，點。為

ab

22

。8的中點，曲線￡:2f-彳=1(加>0,〃>0)的左、右焦點分別與橢圓C的左、右頂點4,4

mn

重合，點尸是雙曲線E與橢圓。在第一象限的交點，且4,只。三點共線，直線尸4的斜率

試卷第1頁，共4頁

4

k

PA2=--^則雙曲線石的實軸長為（）

A.—A/1()B.—VwC.—Vw—1D.|Vio-2

555

二、多選題

9.某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成

績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.則（）

O5060708090100成績/分

A.估計該年級學生成績的眾數(shù)為75

B.a=0.05

C.估計該年級學生成績的75百分位數(shù)約為85

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50

10.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三

角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)

成一個數(shù)列也,},且卬=1,數(shù)列］的前〃項和為S,,則正確的選項是（）.

A.+1

B.a100=4950

c.

D.a?>S?

11.已知拋物線C：/=2px（p>0）上一點尸（1"）到焦點廠的距離為2,又過點歹的直線

試卷第2頁，共4頁

交拋物線。于4,3兩點，則下列說法正確的是()

A.拋物線C方程為：/=4x

B.設(shè)0(3,2),則△。/尸周長的最小值為4+2后

C.若而=或，則直線的傾斜角為60°

D.x軸上存在一點N,使Kv+&w為定值

三、填空題

12.已知曲線尸質(zhì)+x+l,則該曲線在x=l處的切線方程為

13.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)

進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1-4-231.這就是數(shù)學史上著名

的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)機=6,根據(jù)上述運算法則得出

6-3—10—5—16—8—4—2—1,共需經(jīng)過8個步驟變成1(簡稱8步“雹程”)，數(shù)列

{%}滿足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：%=m(m為正整數(shù))，

。用=，5""'當““為偶數(shù)時’若&=2,則m所有的可能取值為

3%+1,當%為奇數(shù)時，

14.在四面體/3CD中，40_1面ABC,ABIBC,AD=AB=3,ZC=3也，在四面

體的四個頂點都在球。的表面上，則球。的半徑為M,N分別是

NABC,A/CD的重心，直線與球O的表面相交于E,F兩點,則線段EF的長度

為____________

四、解答題

15.已知函數(shù)“X)=(V+ax-5)e*

(1)當。=1時，求函數(shù)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(X)在x=l處的切線的斜率為e,求實數(shù)a的值.

16.己知V/5C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為瓦c,且滿足a(l-cosC)=6-ccos/.

⑴求角C的大??；

(2)若點。是邊8C上，CD^DB，且40=2,求V4BC的面積最大值.

17.如圖，四棱錐S-4BCD中，底面/BCD為長方形，側(cè)面A"。是等邊三角形，平面&4。，

試卷第3頁，共4頁

平面ABCD

(1)若￡為棱S3的中點，尸為棱4D的中點，求證：尸￡//平面SCD

(2)48=1,異面直線S3,夾角的余弦為

①求棱AD的長度；

②在棱山上是否存在點W,使得平面P3M與平面的夾角的余弦值為叵？若存在,

10

指出點”的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.

18.已知數(shù)列數(shù)“｝滿足,且％=1,%=3,a*=3?！?|-2。“，設(shè)〃

(1)求證：數(shù)列次,｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列也J的通項公式；

(2)記C"='八上-n'數(shù)列｛c"｝的前”項和為(，若不等式2(2"+I-l)r?<2+6；對任意

〃eN*恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

22

19.己知橢圓G：二+2？=1(0>6>())的下頂點為人，左右焦點分別為耳，耳，橢圓上的點M

a~b

到K距離的最小值為2-V3，且拋物線C2:y=/-1截x軸所得的線段長為C,的長半軸長.

⑴求橢圓G的方程；

⑵過原點的直線/與C2相交于3,C兩點，直線/￡NC分別與。相交于尸，。兩點.

①證明：直線與直線ZC的斜率之積為定值；

②記V/8C和A4PQ的面積分別是H，S”求察的最小值.

?2

試卷第4頁，共4頁

《浙江省杭州市西湖區(qū)綠城育華2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案BBAACBCDACDAC

題號11

答案ABD

1.B

【分析】根據(jù)根式下大于等于0得到集合A,再利用正弦函數(shù)值域得到集合B,最后利用交

集含義即可得到答案.

【詳解】由1一/20,得TVxVl,所以4=

由-iWsin尤W1,得2sinx+lw[-l,3],所以B=

所以“CB=[-!/].

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，化簡可得二=i，根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.

1-1

1+i(1+i)2l+i2+2i.

【詳解】由題意得-1,

1-i(l-i)(l+i)-2-

所以其共輾復(fù)數(shù)為-i.

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)X范圍計算號-X范圍,3兀3兀37r

再結(jié)合sin--%的正負性，得出0<?-x<?,

OOO

3兀兀3兀

則可計算cos--X，最后利用誘導(dǎo)公式化簡sin+尤=sin—--x即可.

2

【詳解】0<x<9,則-g〈苧3萬

-x<—,

，oo8

3%=|>0,則0〈率3兀

又sin———x-x<—,

3o8

3兀

故cos—--x

故選：A

答案第1頁，共14頁

4.A

【分析】設(shè)點C坐標，然后得到向量k,詼坐標，由就=4既得到方程組，求出點C坐標,

即可得到火.灰

【詳解】設(shè)C(a,b),貝ij就=(“-1,6),CB=(2-a,2-b),

a=—

?，即C98

'-'AC=4CB，

O555

故選：A.

5.C

【分析】先將任取的兩個數(shù)用一組有序?qū)崝?shù)表示，可列出試驗和事件包括的樣本點，利用古

典概率模型求其概率，再根據(jù)各選項的要求逐一判斷即可.

【詳解】從集合。,2,3,4,5}中依次不放回的任取兩個數(shù)，若用一組有序?qū)崝?shù)表示，

則試驗的樣本空間為：。={(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

則/={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)},5={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)}.

4141

對于A,因P(/)=五=三,尸。)=七=飛，故A正確，不合題意；

對于B,因/門8=0,故為不可能事件，即B正確，不合題意；

對于C,因/口8=0,貝ij尸(Nc2)=0,則尸尸(Z)-P(8),

即事件/,B相互不獨立，故C錯誤，符合題意；

對于D,因N口8=0,故必有尸(/口3)=尸(4)+尸(3),即D正確，不合題意.

故選：C.

6.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷其公差d>0,即判斷AC,再利用前〃項和公式即可

判斷BD.

【詳解】對A,因為等差數(shù)列0},則為+%=2%>0,則名>。，故A錯誤;

對B,設(shè)等差數(shù)列{?！皚的公差為d,則1=%-4>0,則％<。9，

則S”的最小值為風，故B正確；

答案第2頁，共14頁

對C,因為d>0,則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，故c錯誤；

對D,因為d>0,。9>0，則40>0，

則幾=18"配)=9R+/)=9儂+%。)>0,故D錯誤.

故選：B.

7.C

【分析】由題意得到上底面面積和下底面面積，然后由圓臺體積公式求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知圓臺下底面面積S=4TT,上底面面積￡=兀，

如圖：由題意可知?！?2,。2尸=1，則。。2=jQ尸一=百,

圓臺體積憶=g(s+s+f?)qq=耳二

故選：c.

8.D

【分析】設(shè)點尸(尤)),則求得%利用出尸，。三點共線求為4=如4,貝U

4

%=——，求得。的值，此時直線4尸，橢圓C的方程可求，則點尸坐標可求，最后利用雙

a

曲線的定義求實軸長.

【詳解】橢圓C的短軸長為4,則6=2,

設(shè)尸(x,力,4(-%0)，4(%0),。(0,1),

14

因4，P，。三點共線，則怎4=的4=丁則無“=-7

答案第3頁，共14頁

則直線4尸：y=gx+l,

則實軸長為盧41T尸41

故選：D.

9.ACD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)的估計方法可判斷A；利用各組頻率之和為1可判斷B；

根據(jù)百分位數(shù)的估計方法可判斷C；根據(jù)平均數(shù)的估計方法可判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖可知成績在70-80分之間的人數(shù)最多，

故可估計該年級學生成績的眾數(shù)為75,A正確；

由頻率分布直方圖可知10(2ax2+3a+7a+6a)=l,，a=0.005,B錯誤；

由于前三組的頻率之和為10xl2a=0.6,前四組的頻率之和為10xl8a=0.9,

故估計該年級學生成績的75百分位數(shù)約為80+*，2X10=85,C正確；

由頻率分布直方圖可知成績在80-90分之間和90-100分之間的頻率之比為3:1,

31

故估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為85X：+95X7=87.50,D正確,

44

故選：ACD

10.AC

【分析】運用累和法結(jié)合等差數(shù)列的前〃項和公式數(shù)列通項、裂項相消法求得S,,,即可判斷

ABC選項，利用作差法判斷D選項.

【詳解】由題意可知：-。1=2,=3于是有%-%=4,a?-an_i=?(??>2,??eN*),

即an=an_x+〃(w22,〃eN*),

,,、下一rbn(n+\\

由累力口口」矢口61n—Cln-%_]+%_]—。〃一2+°，Q2-41+%=〃+〃一卜?，，&卜--------，

答案第4頁，共14頁

顯然可得：?！?1=。"+"+1，A選項正確,

陽。=1°嗎°+1）=5050,B選項不正確;

an+n+\）

由錯位相減可得S〃=2（；-；+；-0+…+2n

2,C選項正確;

〃（幾+1）2n〃（〃一1）,+3）

令/―_2~n+l~-2（?+1）-VMFN*,即"N1,.?"、（），gpan>Sn,D選項錯誤.

故選：AC.

11.ABD

【分析】對于A,根據(jù)拋物線的定義可求。=2,進而得標準方程；對于B,根據(jù)拋物線的

定義將40/尸的一邊/尸轉(zhuǎn)化為/C（如圖），所以當4,C與點。三點共線時，周長有最

小值；

對于C,設(shè)直線AB的方程,與拋物線的方程聯(lián)立，由韋達定理得%+%=4",根據(jù)麗=成,

可得％=-乂，由此解得“7=0,即可得直線方程及傾斜角；對于D,設(shè)N&0）,通過計算

-4m（t+\]

可得心v+&N=/,,2.2,所以存在點N（TO）,使得的為定值0.

（1一%）-4mt

【詳解】A選項：由題意點尸（1,加）到準線的距離為2,所以5=1,則。=2,

所以拋物線的方程為V=4x,故A正確；

如圖所示，過點/作準線的垂線，垂足為C,交y軸于4，廠（1,0）,

根據(jù)拋物線的定義可得|"1=\AC\,

答案第5頁，共14頁

所以△04F周長為|4F|+M0+|。尸上|4。|+|/0|+43二11皮=|4。|+|，a+2收，

因此，當/,c與點。三點共線時，|/C|+M。有最小值，

最小值為點。到準線x=-l的距離，距離為3-(-1)=4,

所以(\AC\+卜0|)而“+2亞=4+2近，

所以△。/尸周長的最小值是4+2后，故B正確；

C選項：設(shè)直線48的方程為工=四+1,

[x=my+\、

聯(lián)乂<2?，整理可得：y-4my-4=0,A=16M?2+16>0,

[y=4x'

設(shè)/(X1,%)，￡(x2,y2),由韋達定理得乂+%=4機，yty2=-4,

BF=(l-x2,-y2),E4=(尤]-1,%)，因為而=或，

所以%=-乂，又%+%=4加，所以加=0,

此時直線的方程為x=l,傾斜角為90。，故C錯誤；

D選項：設(shè)x軸上一點N(f,0),

則

,_h__

kAN+kBNH

xx-tx2-tmy{+1-tmy2+1-t

_2孫%+(17+力)_2nlR-4《一」加

22

myly2+(i-t)m+y2)+(1-Z)-斬2+4/+j

2m(^)+4(1—t^mT'a《+1)

-4m2+4(1—t^m2+(1—f)~3―/j-4"22f'

故當/=-l時，kAN+kBN=0,即存在點N(-l,0),使得Ky+您N為定值0，故D正確.

故選：ABD.

12.y=2x

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再代入求出切線斜率，最后點斜式得出切線即可.

【詳解】曲線y=lmc+x+l,y'=-+l,所以在x=l處的切線斜率為左=2,

X

切點為(1,2),則該曲線在x=l處的切線方程為了-2=2。-1),即y=2x.

故答案為：7=2%.

答案第6頁，共14頁

13.16或2

【分析】根據(jù)%=，”當?！睘榕紨?shù)時，，且。4=2,利用遞推求解.

3c1n+1,當。〃為奇數(shù)時

【詳解】解：因為*=<當”“為偶數(shù)時’，且％=2,

34+1,當4為奇數(shù)盹

所以43=2%=4或%=；(%-1)=((舍去)；

=8或2=gQT)=l；

a2=2a3

i7

q=24=16或2或4T)=］或0(均舍去)，

故答案為：16或2

14.逋276

2

【分析】在棱長為3的正方體中，找出滿足題意的三棱錐；根據(jù)幾何體的特點，找到球心O

的位置，進而求得球半徑；根據(jù)ON,斯，結(jié)合所求球半徑，即可求得斯的長度.

【詳解】為方便求解和直觀認知，在棱長為3的正方體中找到滿足題意的三棱錐。-/8C如

下所示:

因為4DL面4BC,ZCu面48C,故即△/DC為直角三角形；

因為面4BC,BCu面/BC,故BC_L4D,又BCLAB,面

ABD,ABnAD=A,

故面又BDu面4BD,故即△BCD為直角三角形；

不妨取CD中點為O,故在A4DC中，OA=LDC=OD=OC；在△BCD中，OB=LDC；

22

故0/=OC=。。=。8,也即。為該三棱錐外接球的球心；

則該外接球半徑R=|cD=；NAD2+AC?=(3亞j=③冒.

取NC中點為T,3c中點為H,連接則其交點即為M；

答案第7頁，共14頁

連接。T,NO,則其交點即為N,連接如下所示:

3

在△BCD中，因為0,8分別為DC,8c中點，故OHJBDIAD'AB、^,

22

3#>

在中，因為GM=R=上，且AH々AB。+BH?=

2

貝IJO/2+OH2=—+—=—=/82,故O/LOH；

444

又N,M為對應(yīng)三角形的重心，故N,W分別為/上靠近O,X的三等分點，則JW//?！?

故ON1NM；

為直觀理解，作圖如下：

又在△/DC中，ON=-OA=

易知EF=2NF=2y]OF2-ON2=2y1R2-ON2=2.—二2底;

故答案為：爭2M

15.(1)(-?),-4)和(1,+oo)

【分析】(1)當。=1時，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0解不等式，即得遞增區(qū)間；

(2)先求出了'(X),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由廠(l)=e即可求得實數(shù)a的值.

【詳解】(1)當。=1時，/(x)=(/+x-5)e",則/(x)=(x?+3x-4)e'=(x+4)(x-l)e”,

由尸(x)>0可得x<-4或x>l,

答案第8頁，共14頁

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-4)和(1,+8);

(2)由/(%)=(/+辦-5)e"求導(dǎo)得，/'(x)=[x2+(〃+2)x+a-5]ex,

3

依題意，/'⑴=(2〃—2)e=e,解得。=；.

兀

16.⑴]

(2)273

【分析】(1)由正弦定理和三角形內(nèi)三個角的關(guān)系化簡已知等式，然后得到cosC,即可求

出C的大??；

(2)由麗=麗得到五5=就+3^，然后由國建立方程后得到4爐+/+2斜=16,借

助基本不等式求得成的最大值，從而求出三角形面積的最大值.

【詳角軍】(1);。(1一cos。)=6—ccos/

由正弦定理可得sin/(1-cosC)=sin5-sinCcos4

sinA-sinAcosC=sinB—sinCcosA,

■:sin8=sin(4+C)=sin4cosC+cosAsinC

sinA-sinAcosC=sin/cosC+cosAsinC-sinCcosA,

sin4=2sin4cosc,:sinZwO,cosC=—,

2

VCe(O,7i),AC=-.

gpb2+^-a2-^ba=4,4b2+a2-2ab=16,

42

XV4b2+a2=(2b)2+a2>4ba,：.16+2ba>4ba,：.ab<8,當且僅當26=a時取等號,

S,?r=—absinC=^-ab<-^-x8=2或.

皿244

17.(1)證明見解析；

⑵①2；②存在，點M為線段網(wǎng)的三等分點且更靠近于點A時.

答案第9頁，共14頁

【分析】（1）取SC的中點尸，連接。尸、EF,證明出四邊形尸。尸￡為平行四邊形，可得出

DF//PE,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）①建立合適的空間直角坐標系，利用異面直線夾角余弦值的空間向量法即可得到方程,

解出即可;②求出兩平面的法向量，根據(jù)平面與平面夾角的空間向量表示方法即可得到方程,

解出即可.

【詳解】（1）取SC的中點尸，連接。尸、EF,

S

;E、尸分別為SB、SC的中點，所以，EFUBC豆EF=；BC,

AB

因為四邊形是矩形，所以，BCIIAD且BC=AD,

?.?尸為棱/。的中點，則尸D〃8C且所以，EFUPD旦EF=PD,

2

所以，四邊形尸。尸E為平行四邊形，.1PE///，。，

又?.?FDu平面SCD,PEu平面SCZ）,PEIISCD.

（2）①假設(shè)在棱"上存在點”滿足題意，如圖，連接SP、MP、MB,

在等邊中，尸為4D的中點，所以SP，/。，

又平面&4D_L平面48CD,平面MOc平面=5Pu平面

:.SPmABCD,則SP是四棱錐S-N8CD的高，

設(shè)/。=2加（加＞0）,貝!!*=亞7,

以點P為原點，百、方、方的方向分別為X、y,Z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸（0,0,0）、/（加,0,0）、、S（0,0,。（-加,0,0）,

答案第10頁，共14頁

SB=,/￡>=(—2加,0,0),

2m2

貝“cos（甌珂==—^~,解得m=\,則4D=2.

4^mx2m

②由①知尸(0,0,0)、/(1,0,0)、5(1,1,0),S(0,0,V3),

_____UU1---------//—\

故尸4=(1,0,0),PS=(1,1,0),^=(-1,0,73),

設(shè)而=AAS=(-A,0,V32)(0<2<1),

:.PM=PA+AM=[l-A,,0,y/3Ay

?1-PM=(1-2)x+=0

設(shè)平面PA"的一個法向量為%=（x,y,z）,則

n；-PB=x+y=0

IXx=A/32,則y=-6/1,z=2—1,所以，nt=^A/3A,-A/32,A—1j.

ULI

易知平面&4。的一個法向量為“=（0,1,0），

I/一一、I廿馬一A/32V30

:.\cos（n,n｝\=,'.=,

1、2271^322+322+（2-1）2V722-22+l1。

解得％=合乎題意，

所以，當點W為線段網(wǎng)的三等分點且更靠近于點A時，平面P2W與平面的夾角的余

弦值為叵.

10

18.（1）證明見解析，a?=2"-l;

(2)(8,+?).

【分析】（1）轉(zhuǎn)化已知條件，求得"2匕,即可證明也,｝為等比數(shù)列，結(jié)合逐差法，即可

求得;

（2）根據(jù)（1）中所求“，利用裂項求和法求得北，再根據(jù)恒成立問題，求得P"=2"3-8-22"

的最大值，即可求得力的取值范圍.

【詳解】（1）4+2=3a“+|-，故可得an+2-an+i=2（%-冊），又b”=an+l-an,即bn+l=2bn,

故數(shù)列｛，｝為首項4=%-%=2,公比為2的等比數(shù)列，則6“=2X2"T=2"；

答案第11頁，共14頁

故。升1一=2",則。"=（。"-%-1）+（。"一1一。"-2）+…+（%-%）+%，

1_

n12

BPan=2-+2'^+---+2+l=-p1-=2"-1,故a“=2'-l.

.-be_2向11]

C=+1rn+I,

⑵"（^?-l）-（^+1-l）-（2"-l）（2"-l）~l2^T-2-lJ

故｛c”｝的前n項和為（=C]+c2+c3H---FC"

2"+2_4

2,,+1-l

不等式2(2”M-1)(<2+片對任意ne