（北師大版）七年級下冊數(shù)學《第1章整式的乘除》

專題整式的乘除化簡求值解答題

題型歸納

整式的乘除化

題型一先化簡再直接代入求值

1.（2024秋?豐臺區(qū)期末）求值：（x+1）2-（x+1）（尤-2）,其中％=一.

2.（2023春?舞鋼市期末）運用整式乘法公式先化簡，再求值：（a-3b三一（2b-a）（a+2b）,其中，a=l,

b=-1.

3.（2024秋?涼州區(qū)期末）先化簡,再求值：（x+y）2+（3y+x）（3y-x）,其中％=2,y=-1.

4.(2024秋?寧鄉(xiāng)市期末)先化簡，再求值：(x+3y)2-2x(X+2y)+(%-3y)(x+3y),其中％=-1,y=2.

5.(2024秋?紅河縣期末)先化簡，再求值：(2x-3y)(3x+4y)-(6X2J-2xy2+3y3)4-y,其中x=-9,y

=-1.

6.（2024秋?渭源縣期末）先化簡，再求值：（1+〃）（1-〃）+（。-2）2+（4/-2〃）4-（-2a）,其中a

=-2.

7.(2024?鹽都區(qū)三模)先化簡，再求值：(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(x-4y),其中x=-1,y=2.

8.(2024春?淮安區(qū)期末)先化簡，再求值：(尤-3)2+(x+4)(x-4)+2x(2-x),其中x=-

9.(2024春?慈利縣期末)先化簡，再求值：a(a-2b)+(a+b)2-(a+b)(.a-b),其中a=1,b=—

10.(2024春?臨淄區(qū)期中)化簡求值：

(1)2(%-5)(x+2)-(x-1)(2x+l),其中x=-2；

(2)[(〃+3b)(-a+3Z?)-(2〃-3b)2-5a(〃-4Z?)]4-(2〃)，其中〃=2,b=

題型二先化簡再整體代入求值

1.(2024春?深圳期中)已知12-2X-1=0,求代數(shù)式2(x+1)(x-1)-(x+1)?的值.

2.(2024秋?大興區(qū)期末)已知〃2+〃=1,求代數(shù)式(tz+l)2+(。+2)(〃-2)的值.

3.(2024秋?海淀區(qū)期末)已知m2-2m-1=0,求(m+2)(m-2)-2m(3-m)的值.

4.(2024秋?朝陽區(qū)期末)已知/+21-2=0,求x(x-2)+(x+3)?的值.

5.（2024秋?順義區(qū)期末）已知2?+/-3=0,求代數(shù)式（x+y）2+x（x-2y）的值.

6.(2024春?重慶期中)先化簡，再求值：[(x+2y)(x-2y)-(2x-^)2-(x2-5y2)]^~(-2x),其

中x,y滿足x-y=-1.

7.已知，X2+4X-4=0,求3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值.

8.先化簡，再求值：(x+3y)(x-3y)-(2x-y)2-y(3%-7y),其中％,y滿足x+y=3,xy=l.

題型三運用完全平方公式的變形求值

1.已知(x+y)2=12,(x-y)2=4,求/+/和孫的值.

2.(2024秋?十堰期末)已知實數(shù)根，〃滿足根+〃=6,mn=-3.

(1)求(m-2)(〃-2)的值；

(2)求機的值.

3.(2024秋?江安縣期中)已知x+y=3,孫=-10,求:

(1)(3-x)(3-、)的值.

(2)求W+3孫+;/的值.

4.(2024秋?青浦區(qū)校級月考)已知(x+y)2=4,(x-y)216,求下列各式的值:

(1)/+/；

⑵/+/.

5.(2024秋?浦東新區(qū)校級月考)己知(a+b)2=17,(a-b)2=13,求:

(1)J+d的值；

(2)4a2-3ab+4b2的值.

6.(2024春?婁星區(qū)校級期中)已知a-6=6,ab=-7.求:

(1)J+房的值；

(2)Ca+b)2+2Qa-b)?的值.

7.（2024秋?泉州期中）已知代數(shù)式（a+6）2,cr+b1,仍之間存在這樣的等量關(guān)系:

(〃+/?)2=a2+b2+2ab；

根據(jù)這個等量關(guān)系，解決下列問題；

(1)已知〃+力=4,?2+/?2=10,求次?的值；

(2)已知(x-2021)2+(%-2019)2=52,求工一2020的值.

8.(2023秋?東坡區(qū)校級期中)已知。+6=3,ab=W，求下列各式的值:

(1)cP'+b^；

(2)a-b；

(3)2-2b2+6b.

9.(2024秋?普陀區(qū)期中)閱讀理解.

已知(a-12)2+(14-?)2=6,求(a-13))的值.

解：由(a-12)2+(14-a)2=6,可得[(a-13)+1]2+[(a-13)-1]2=6.

整理得(a-13)'+2(a-13)+1+(a-13)~-2(a-13)+1=6.

2(a-13)2+2=6

得(a-13)2=2.

請仿照上述方法，完成下列問題：

(1)已知(67-98)2+(96-a)2=10,求Q-97)2的值.

(2)已知(cz-2024)2=8,求(a-2025)2+(2023-。)2的值.

10.(2024春?江都區(qū)校級期中)完全平方公式經(jīng)過適當?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學問題.

例如：若Q+/?=3,Q/?=1求/+戶的值.

解：因為〃+/?=3,次?=1所以（〃+/?）2=9,2〃。=2所以〃2+層+2次?=9,所以〃2+房=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：

（1）若〃-/?=-5,ab=3,則"2+廿=.

（2）若（〃+/?）2=17,（6Z-Z?）2=13求/+戶的值.

（3）已知/+3x-l=0,求的值.

題型四結(jié)合幾何圖形進行計算求值

1.（2023秋?端州區(qū)期末）很多同學在學習整式乘法及乘法公式時，都是死記硬背計算公式.為了讓學生們

能更直觀地理解公式，李老師上了一節(jié)拼圖實驗課，她用四張長為。、寬為6的小長方形（如圖1）,拼

成了一個邊長為a+6的正方形（如圖2）.觀察圖形，解答下列問題:

（1）圖2中，陰影部分的面積是；

（2）觀察圖1、圖2,請你寫出三個代數(shù)式：（。+b）2,Qa-b）2,加之間的關(guān)系

（3）應(yīng)用：已知％+y=7,孫=10,求值：

①（x-y）之；

@x-y.

2.（2024秋?東城區(qū)期中）如圖1有三種紙片，A種紙片是邊長為4的正方形，3種紙片是邊長為b的正方

形，C種紙片是長為6,寬為a的長方形，老師用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖

2的大正方形.

（1）觀察圖2的面積關(guān)系，寫出一個數(shù)學公式；

（2）根據(jù)數(shù)學公式，解決問題：已知a+%=7,/+必=29,求（a-6）2的值.

3.（2023春?鄭縣期中）【閱讀材料】

我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運用

代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題.

在一次數(shù)學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為

尤的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y,寬為x的長方形，并用甲種紙片一張，

乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形.

【理解應(yīng)用】

（1）觀察圖2,請用兩種不同方式計算陰影部分的面積，并把得到的等式寫出來.

【拓展升華】

（2）利用（1）中的等式解決下列問題.

已知a2+/=10,a+b—6,求ab的值；

（3）若用圖一中的卡片拼成一個邊長為y+3x的正方形，則需要甲型卡片張、乙型卡片張、

丙型卡片張.

圖1圖2

4.（2023秋?龍南市月考）圖1是一個長為2x、寬為2y的長方形，沿虛線將圖1裁剪成四個大小相同的長

方形，然后按圖2的方式無縫隙地拼成一個正方形.

xx

y

y

圖i

（1）請你用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積

方法1：

方法2：

（2）①（x+y）2,（尤-y）2,孫之間的數(shù)量關(guān)系是

②當"Z+”=10,W7〃=15時，求（相-"）2的值.

（3）如圖3,將大小不一的長方形和正方形無縫隙地拼成一個邊長為（x+y+z）的正方形，根據(jù)面積的

等量關(guān)系，可列式子:

5.（2023秋?韶關(guān)期末）如圖1,有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長為a的正方形，B

型是邊長為6的正方形，C型是長為b,寬為。的長方形.現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板

兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)觀察圖2,請你用兩種方法表示出圖2的總面積：

方法1：,

方法2：,

根據(jù)上面兩種面積表示方法，寫出一個關(guān)于。，6的公式：；

(2)已知圖2的總面積為100,一張A型紙板和一張8型紙板的面積之和為58,求ab的值；

(3)用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，如果6-a=3,ab=28,求圖3陰影部分

的面積.

6.(2024春?拱墅區(qū)月考)用1張邊長為a的正方形紙片，1張邊長為方的正方形紙片，2張長和寬分別為

a,b的長方形紙片拼成如圖1所示的大正方形.

（1）觀察圖1,試用兩種不同的方法表示圖1中兩個陰影圖形面積的和（用含。，6的代數(shù)式表示）.

代數(shù)式1：;

代數(shù)式2：；

（2）從（1）中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來；

（3）利用（2）中得出的結(jié)論解決下面的問題：

①若a+b=5,a2+Z?2=13,求的值；

②如圖2,點C是線段AB上的一點，以AC,BC為邊向兩邊作正方形ACDE與正方形CFGB,若AB=1,

兩正方形的面積和為Si+&=25.求圖2中陰影部分的面積.

7.（2024春?雅安期末）所謂完全平方式，就是對于一個整式A,如果存在另一個整式8,使4=#，則稱

A是完全平方式，例如：cr+2ab+b2^(a+b)2,a2-2ab+b2^(a-b)2,所以/+2必+必，J-2ab+序

就是完全平方式.

請解決下列問題：

(1)已知/+/=8,(4+b)2=20,則ab=；

(2)如果/-(H1)尤+9是一個完全平方式，則/的值為；

(3)若無滿足(2024-x)2+(%-2007)2=169,求(2024-x)(x-2007)的值；

(4)如圖，在長方形ABCD中，AB=10,AZ)=6,點E,尸分別是BC,CD上的點，MBE=DF=x,

分別以FC,CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN.

①CF=,CE