專題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

當(dāng)ZABD=ZACB時(shí)

△ABD^AACB

性質(zhì)：AB-=AD?AC

特點(diǎn)

其中：

ZA是公共角

AB是公共邊

BD與BC是對(duì)應(yīng)邊

結(jié)論AB2=AD?AC

【模型證明】

特殊母子型—射影定理

A

CB

在RtAACB與RtAADC中，當(dāng)ZABC=ZACD時(shí)，有

解決方案RtAACBRtAADCsRtACDB

射影定理：AC?=AO?A8

BC?=BD?AB

CD?=AD?BD

母子相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三■角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第三步；

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在BAABC中，8是斜邊A8上的高，則圖中的相似三角形共有（）

c

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD±,BELCb于點(diǎn)G,若BC=4,AF=1,則CE的長(zhǎng)

為（）

3.如圖，REABC中，ZC=90°,43=15,BC=9,點(diǎn)、P,。分別在2C,AC上，CP=3尤，

Ce=4x（0<x<3）.把△PC。繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，得到△以）￡,點(diǎn)。落在線段尸Q上.若點(diǎn)。在/5AC的平分線

上，則CP的長(zhǎng)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.如圖，R3ABC中，AC±BC,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,DEJ_AD交AB于點(diǎn)E,M為AE的中

DE3

點(diǎn)，BFXBC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=NADC；②不=7;③AC?BE=12；

DA4

@3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在&△ABC中，ZBAC=90°,BA=CA=6y/10,。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

、FA4

把ACDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在C處,EC'與AB交于點(diǎn)F,連接J3C.當(dāng)3=7時(shí)，8C的長(zhǎng)為（)

EA3

C.9

D.672

二、填空題

6.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在A3上,請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ADCSZXACB,那么可添加的條件是

94

7.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,CD,AB于點(diǎn)。，已知AD=不2。=,,那么BC=

8.如圖，在AABC中，ZABC=45°,AB=2近,AD=AE,NDAE=90。，CE=?,則CD的長(zhǎng)為

BD

9.如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。在2C邊上，ZBAD=90°--ZC,點(diǎn)尸在AC上，BF±AD,垂足

2

為E,若CD=2,AD=4非，則線段所的長(zhǎng)為.

10.如圖，在&4BC中，AB=AC,3￡>平分ZABC,E在54延長(zhǎng)線上，且DE=BD,若BC=8,AE=2,則

8的長(zhǎng)為

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AABC中，。為A3上一點(diǎn)，NACD=/B.求證：AC2^AD-AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在口ABC。中，E為BC上一點(diǎn),P為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZBFE=ZA.若BF=

4,BE=3,求的長(zhǎng).

圖1圖2

12.如圖，在AABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=26，CD=4,BD=2,求證：ZACMXBCk.

B

AnAC

13.如圖，在RtAABC中，NAC2=90。，點(diǎn)。在A3上，且丁

ACAB

(1)求證△ACZ)S2\ABC；

(2)若AD=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

BDLAC,點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)孔且有AF=CP,

過(guò)廠點(diǎn)作切，AC于點(diǎn)H.

(1)求證：AADES^CDB；

(2)求證：AE=2EF；

(3)若FH=6,求2c的長(zhǎng).

AHAT)

15.如圖，在△ABC中，。是5c上的點(diǎn)，E是AO上一點(diǎn)，且K=NBAD=/ECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BC-CDI

(2)若AO是△ABC的中線，求三CF;的值.

AC

16.如圖，已知矩形A3CD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AGLBD分別交8。、8C于點(diǎn)G、E.

(1)求證：EB?=EGEA;

(2)連接CG,若BE=CE.求證：NCGE=NDBC.

17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

(1)求證：AAEDS^ADC；

(2)若AE=1,EC=3,求AB的長(zhǎng).

18.如圖，銳角△ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

4

DbyC^X.

B匕----------

(1)求證：AACDs^ABE；

(2)若將點(diǎn)D,E連接起來(lái)，則△AED和△ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

19.如圖，A8是。。的直徑，AD,3。是。。的弦，BC是O。的切線，切點(diǎn)為8,OC//AD,BA、6的

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

⑴求證：8是。。的切線；

(2)若。。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

20.如圖1,在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB=AC=6,點(diǎn)、E、尸分別是邊A3、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

AE=BF,連接AF與CE相交于點(diǎn)G.

(1)求/CGV的度數(shù).

(2)如圖2,作DHLCE交CE于點(diǎn)H,若CP=4,AF=2幣,求G8的值.

(3)如圖3,點(diǎn)O為線段CE中點(diǎn)，將線段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EM,當(dāng)AM4c構(gòu)成等腰三

角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

21.在RdABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。為AB上一點(diǎn).

(1)如圖1,若CDLAB,求證：AC2=ADAB；

FH4AD

(2)如圖2,若AC=8C,EFLCD交CD于H,交AC于憶且一=-,求——的值；

HE9BD

(3)如圖3,若AC=3C,點(diǎn)H在CD上，NAHD=45。,CH=3DH,則tanNACH的值為

22.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=10,AC=8,CO是邊AB的中線.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線CZXDB向終點(diǎn)2運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作尸QLAC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作矩形尸QWM使

_2

點(diǎn)C、N始終在尸。的異側(cè)，且PN=§P。.設(shè)矩形尸。跖V與△AC。重疊部分圖形的面積是S,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為心)(t>0).

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在邊C。上時(shí)，用含f的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng).

(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊AO上時(shí)，求，的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)連結(jié)。Q,當(dāng)直線將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分時(shí)，直接寫(xiě)出t的值.

ADB

專題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

當(dāng)ZABD=ZACB時(shí)

△ABD^AACB

特點(diǎn)性質(zhì)：Afi2=A￡）?AC

其中：

ZA是公共角

AB是公共邊

BD與BC是對(duì)應(yīng)邊

結(jié)論AB2=AD?AC

【模型證明】

特殊母子型——射影定理

解決方在RtAACB與RtAADC中，當(dāng)ZABC=ZACD時(shí)，有

案RtAACB^RtAADCRtACDB

射影定理：AC。=AO?A3

BC2=BD?AB

CD2^AD?BD

母子相似證明題一般思路方法：

⑤由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

⑥分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

⑦第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

⑧第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第

三步;

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在如AABC中，CO是斜邊A3上的高，則圖中的相似三角形共有（）

8/45

c

C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【詳解】VZACB=90°,CDXAB

AAABC^AACD,AACD^ACBD,AABC^ACBD

所以有三對(duì)相似三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)

成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD上，3石，5于點(diǎn)6,若BC=4,AF=1,

則CE的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】過(guò)D做于點(diǎn)H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過(guò)證明△FDCs。和

△FDHsACBG計(jì)算得到GC,再通過(guò)證明AECGS^CDF從而求得CE的長(zhǎng).

【詳解】如下圖，過(guò)D做。/C于點(diǎn)H

NDHF=90

9/45

???正方形ABCD

AZFDC=90°S.AD=CD=BC=4

;AF=1

：.FD=AD-AF=4-1=3

：?FC=yjFD2+CD1=A/32+42=5

又ZDHF=ZFDC=90°

:.△FDCsAFHD

.FHFD_3

**FD-FC-5

FD=3

9

FH=-

5

又「正方形ABCD

???AD//BC

：.ZDFH=ZBCG

?；BELCF于點(diǎn)G

ZBGC=ZCGE=90°

:.AFDHsACBG

.GCBC4

**FH-FD-3

9

FH=-

,:ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90°

JAECG^ACDF

12

AECGC_y3

FC-C5-T-5

33

??.EC=-FC=-x5=3

55

故選：A.

方法二：

???ZBEC+ZFCD=90°,

ZDFC+ZFCD=90°,

???NBEC=NDFC,

XVZCDF=ZBCE,

10/45

BC=CD,

.'.△BCE^ACDF,

；.CE=DF=4-1=3;

【點(diǎn)睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握

正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

3.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)、P,。分另U在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把APCQ繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，得到△尸DE,點(diǎn)。落在線段尸。上.若點(diǎn)。在

—54C的平分線上，則CP的長(zhǎng)為()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算可知會(huì)=：=器，結(jié)合定理兩邊成比

BC3AC

例且?jiàn)A角相等的三角形相似證明△PQCs^BAC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

/CPQ=/B,由此可得出尸Q〃A&連接A。，根據(jù)PQ//AB和點(diǎn)。在N2AC的平分線上可

V￡ZADQ=ZDAQ,由止匕可得AQ=D。，分別表示A。和。。由此可得方程12-4X=2X,解

出x,即可求出CP.

【詳解】解：?.?在放AA2C中，AB=15,BC=9,

AC=7AB2-BC2=V152-92=12.

PC_3x_xQC_4x_x

蔬一§一§'AC-12

PC_QC

BC-AC,

vzc=zc,

???△PQCs^BAC,

：./CPQ=/B,

：.PQ//AB；

連接AD,

11/45

A

：.ZADQ=ZDAB.

???點(diǎn)。在N84C的平分線上，

JZDAQ=ZDABf

：.ZADQ=ZDAQ,

??.A0=OQ.

9：PD=PC=3x,QC=4x

???在RmCPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

?**DQ~~.

VA2=12-4x,

???12-4x=2x,解得x=2,

：.CP=3x=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線

的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.

4.如圖，R3ABC中，ACJ_BC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,DE_LAD交AB于點(diǎn)E,

M為AE的中點(diǎn),BFLBC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=NADC；

【答案】C

【詳解】①/AED=90°-NEAD,ZADC=90°-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

；.NAED=/ADC.故本選項(xiàng)正確；

12/45

ABBD4

②;AD平分NBAC,?，?AC=，?二設(shè)AB=4x,貝！JAC=3x,

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2,則(3x)2+49=(4x)2,

解得：x=77,

VZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90°,

AAADE^AACD,得DE：DA=DC：AC=3：用,故不正確；

③由①知NAED=NADC,

NBED=NBDA,

又；NDBE=NABD,

ABEDABDA,

/.DE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,

/.BE：BD=DC：AC,

.*.AC*BE=BD?DC=12.

故本選項(xiàng)正確；

④連接DM,

在RtAADE中，MD為斜邊AE的中線，

則DM=MA.

ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs/iCMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,

；.3BF=4AC.

故本選項(xiàng)正確.

綜上所述，①③④正確，共有3個(gè).

故選C.

5.如圖，在MAABC中，ZBAC=9Q°,BA=CA=6y/w,D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CA

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，把ACDE沿。E翻折，點(diǎn)C落在C處，EC與交于點(diǎn)尸，連接BC'.當(dāng)

詈FA=34時(shí)，8c的長(zhǎng)為（）

EA3

13/45

A.|>/5B.6MC.4D.6&

【答案】D

［分析】如圖，連接CC,過(guò)點(diǎn)。作CHLEC于H.設(shè)AB交DE于N,過(guò)點(diǎn)N作NTLEF

于T,過(guò)點(diǎn)。作DM_LEC于證明/CCB=90。，求出CC,BC即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，連接CC,過(guò)點(diǎn)C作C7/LEC于"設(shè)AB交DE于N,過(guò)點(diǎn)N作N7UE尸

于T,過(guò)點(diǎn)D作DMLEC于M.

FA4

VZFAE=ZCAB=90°,——=—,

EA3

：.EF：AF：AE=5：4：3,

VCH//AF,

：./\EAF^/\EHC,

:.EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3,

設(shè)EH=3k,C'H=4k,EC'=EC=5k,貝UC〃=2%,

由翻折可知，ZAEN=ZTEN,

'：NA±EA,NTLET,

：.ZNAE=ZNTE,

,:NE=NE,

：.dNEAg/\NET(AAS),

：.AN=NT,EA=ET,

設(shè)AE=3m,AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,貝ijAE=ET=3%,TF=2m,

在RmFNT中，F(xiàn)N2=NT2+FT2,

(4m-x)2=x2+(2m)2,

14/45

3

解得：x=-m,

'：AC=AB=6y/10,N048=90。，

:.BC=^AC=12下,

CD=BD=6布,

VDM±CM,ZDCM=45°,

；?CM=DM=3M,

9：AN//DM,

.AN_EA

3

AANDM_2m_\,

EA~EM~3m~2

.\EM=6s/10i

：.EC=9y/lO=5kf

.,9V10

??k-------，

5

.8M”_36M

55

???CC=^CH2+CH2=伊普）2+（母耳=18后，

■:DC=DC=DB,

：.NCCB=90。,

BC=^{BCf-CC2=7（12^）2-（18A/2）2=60，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

二、填空題

6.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ADCS^ACB,那么

可添加的條件是.

15/45

A

\

B4--------—

【答案】NACD=/ABC（答案不唯一，也可以增加條件：ZADC=NACB或AC2=AO.AB）.

【分析】題目中相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，可以再增加一對(duì)相等的角，用兩組角

相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等

判定兩三角形相似.

【詳解】若增加條件：ZACD=ZABC,

'：ZACD=ZABC,S.ZA=ZA,

C.NADC-.VACB.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解

題的關(guān)鍵.

94

7.如圖，在中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,已知4￡>=亍30=^，那么8c

［答案］2^3

5

【分析】證明△BCDSABAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】解：VZACB=90°,CD±AB,

：.ZACB=ZCDB=90°,

???NB=NB,

???△BCDS^BAC,

4BC

.BDBC

，即549

.BCBA—+—

BC

VBC>0

?2萬(wàn)

??D\-y------------------

5

故答案為：巫

5

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題

關(guān)鍵.

16/45

8.如圖，在AABC中，NABC=45。，AB=2后,AD=AE,/DAE=90。，CE=^,則

CD的長(zhǎng)為.

【答案】5

【分析】在CD上取點(diǎn)F,使NDEF=-ADB,證明^ADB^^DEF,求解DF=4,再證明

KEFSGDE,利用相似三角形的性質(zhì)求解CF即可得到答案.

【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F,使/DEF=NADB,

?.AD=AE,NDAE=90°,

由Jm+AE，=-jDE2，

DE=V2AD=>/2AE，

?.?/ABC=45°,/ADE=45°,

且—ADC=NADE+^EDC=ZABD+ZBAD,

.?./AD=/DC,

?.?_ZBDA=CEF,

.-.AADBSADEF,

DFDFr-

—=5/2,NEFD=ZABD=45°,

ABAD

AB=2V2，

:.DF=4,

又ZAED=45°=NCDE+ZC,ZEFD=ZCEF+ZC=45°,

..NCEF=/CDE,

.-.△CEF^ACDE,

,CEDC

,CF-CE'

又?.?DF=4,CE=5

>/5_CF+4

%=qr，

;.CF=1或CF=5（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)：B=1符合題意，

，CD=CF+4=5.

17/45

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法,

相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中，AB^AC,點(diǎn)。在BC邊上，ZBAD=90°--ZC,點(diǎn)尸在AC上,

2

BFLAD,垂足為E,若CD=2,AD=475,則線段所的長(zhǎng)為.

【答案】逑

11

【分析】過(guò)A作AHXBC于H,根據(jù)已知條件得到/ABE=g/ACB,求得NABE=NDBE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE,AB=BD,設(shè)AB=BD=AC=X,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得至1|AH=8,過(guò)C作CG±AD交AD的延長(zhǎng)線于G,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

【詳解】解：過(guò)A作AHLBC于H,

VBFXAD,

???ZABE+ZBAD=90°,

ZBAD=90°-ZABE,

NBAD=90°-；NACB,

/.ZABE=|ZACB,

VAB=AC,

18/45

，ZABC=ZACB,

ZABE=|ZABD,

ZABE=ZDBE,

VZAEB=ZDEB=90°,BE=BE,

AAABE^ADBE(ASA),

；.AE=DE,AB=BD,

設(shè)AB=BD=AC=x,

；.BC=x+2,BH=CH=上吧，DH=^^-2,

22

??ZAHD=ZBED=90°,ZADH=ZBDE,

△ADHS.DE,

ADPHPH

；?BD~DE~AD,

F

x

???巴r±l2.2,

尤275

?,.x=10或x=-8(不符題意,舍去)，

.\AB=BD=AC=10,DH=4,

AAH=8,

過(guò)C作CG±AD交AD的延長(zhǎng)線于G,

19/45

???ZG=ZAHD=90°,

ZADH=ZCDG,

:.AADH^ACDG,

.ADAH_PH

CD-CG-DG'

?47584

??---==,

2CGDG

?小”_2石

??CCr--------,D\j-------,

55

VEF±AD,DG±AD,

???EF〃CG,

.,.△AEF^AAGC,

AD

EF_AE_2,

CG-AG-AG

EF26

?i4出+也

55

解得：EF=拽，

11

故答案為：述.

11

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在AABC中，AB=AC,8。平分ZABC,E在創(chuàng)延長(zhǎng)線上，且DE=BD,若BC=8,

AE=2,則8的長(zhǎng)為.

20/45

【答案】757-3

【分析】通過(guò)證四△EBD(SAS),得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,進(jìn)

而求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到NBAD=/DFC,從而證△CFDs△CAB,得到三=岑，將證

CABC

得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

【詳解】解：YBD平分NABC,DE=BD

???NABD=NDBC,NAED=NABD

:.ZDBC=ZAED

如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE

則在與AFBD中，

AE=FB

<NAED=ZDBC

DE=BD

：.4AED%AFBD(SAS)

AAE=BF=2,ZDAE;ZDFB,AD=DF

ACF=BC-BF=8-2=6

VZBAD=180°-ZDAE,ZDFC=180°-ZDFB

:.ZBAD=ZDFC

又?.?NC=NC

.,.△CFD^ACAB

.CFCD

**CA-BC

VAB=AC

:.ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

:.ZFDC=1800-ZDFC-ZC=1800-ZBAD-ZABC

???ZC=180°-ZBAD-ZABC

:.ZFDC=ZC

21/45

，DF=FC=6,貝I]AD=DF=6

；.CA=6+CD

又：CF=6,BC=8

.6CD

"6+CD~~T

解得C￡）=A-3.

故答案為：757-3.

【點(diǎn)睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，是中考綜合性題目，而且還要會(huì)解一元二次方程，用方程法解幾何問(wèn)題.解答此

題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系.

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在△ABC中，。為上一點(diǎn)，ZACD=ZB.求證：AC2=

AD-AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在nABCO中，E為BC上一點(diǎn)，E為CQ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZBFE

=ZA.若BF=4,BE=3,求AD的長(zhǎng).

【分析】（1）證明△即可得出結(jié)論；

（2）證明得出BF2=BE?BC,求出2C,則可求出AD

【詳解】（1）證明：：NACD=/B,ZA=ZA,

：.^\ADC^/XACB,

.AD_AC

"AC"AB'

：.AC2=AD>AB.

（2）二?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又,：NBFE=NA,

：.ZBFE=ZC,

22/45

又；/FBE=/CBF,

:.△BFEs^BCF,

,BFBE

"~BC~~BF'

:.BF2=BE*BC,

.?再比=3

BE33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確

掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在△ABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=2#,CD=4,BD=2,求證:

AACD^ABCA.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)AC=2/，0=4,BD=2,可得三，根據(jù)/C=/C,即可證明結(jié)論.

BCAC

【詳解】解：；AC=2而，CO=4,BD=2

.AC276A/6CD476

"BC-4+2-VAC~2^/6~3

.ACCD

"1BC~~AC

；NC=NC

AAACD^ABCA.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

AnAC

13.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。在上，且一=—.

ACAB

(1)求證△ACOS^ABC；

(2)若AO=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)底

23/45

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出

△ACD

（2）由△ACD?得加＞C=ZACB=90。，ZACD=ZB,推出?△CBD,由相似三

角形的性質(zhì)得黑=黑，即可求出co的長(zhǎng).

【詳解】⑴?「罷AD=AC/，ZA=ZA，

ACAB

*??AACD?△ABC；

（2）VAACD^AABC,

ZADC=ZACB=90°,ZACD=/B,

：.ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

???MCD?￡BD,

.CDBD,

??—————-RnCD9=AD-BD=3x2=6,

CD=y/6.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14.AABC中，ZABC=90°,BDLAC,點(diǎn)￡為8。的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)R

且有AF=CF,過(guò)尸點(diǎn)作mLAC于點(diǎn)

（1）求證：AADESACDB；

（2）求證：AE=2EF；

（3）若FH=6,求BC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.

【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得/3=/CDB=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZDAE=ZDCB,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得空=空=2,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得

CDDD2

4D

AH=CH,從而可得怒=2,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證；

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得D詈F=煞AF，從而可得OE,8。的長(zhǎng)，再根據(jù)相似

FHAF

三角形的判定可得A9?ABCD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出8的長(zhǎng)，最后在

RtZ^CD中，利用勾股定理即可得.

【詳解】證明：（1）-.BD±AC,FH±AC,

ZADE=NCDB=90°,BD\\FH,

24/45

?：AF=CF,

:.ZDAE=ZDCB,

ZADE=/CDB

在VAOE和△口出中,

/DAE=NDCB

.'.^ADE?△CZZB；

(2)???點(diǎn)石為5。的中點(diǎn)，

:.DE=BE=-BD,

2

由(1)已證：△ADE?△CDB,

.ADDE_1

設(shè)AD=a(a>0),則CD=2a,AC=AD^CD=3a,

FH±AC,AF=CFf

13

:.AH=CH=-AC=-a(等腰三角形的三線合一),

:.DH=AH-AD=-a,

2

又???50|尸H,

AEADa

?.而=而=1;

一a

2

即AE=2￡F；

(3)由(2)已證：AE=2EF,

/.AE=-AF

3f

\'BD\\FH,

.,.△AZ)￡,~，

DEAEDE2

Fkn即n耳=5'

解得OE=16,

;.BD=1DE=-y[3,

3

?.?ZABC=90°,BD.LACf

ZBAC+ZABD=ABAC+NC=90°,

.\ZABD=ZCf

ZADB=ZBDC=9Q0

在△ABD和△BCD中,

ZABD=ZC

25/45

「.△ASZ)~/^BCD,

.ADBD

''BD~~CD'

由(2)可矢口，設(shè)AT>=>S>0),貝IJCD=28,

.上

相2〃

解得匕=地或》=_也（不符題意，舍去）,

33

：.CD=2b普,

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

A3AD

15.如圖，在△ABC中，。是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，5.—=—,ZBAD=ZECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BC-CD；

CF

⑵若也是“BC的中線,求就的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出AB/IOSAACEA,得NB=NEAC,進(jìn)而求出

△ABC-AZMC,再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）由ABAD^^ACE可證/CDE=Z.CED,進(jìn)而得出CD=CE,再由（1）可證AC=y/2CD，

由此即可得出線段之間關(guān)系.

4Z?4n

【詳解】(1)證明：.?.F；=k，NBADNECA

ACCE=,

..ABAD^AACEf

：.ZB=ZEAC,

?/ZACB=ZDCA,

26/45

/.AABC^AZMC,

.ACBC

一而一花’

AC2=BC.CD.

（2）解：???△BAZAN4CE,

:.ZBDA=ZAECf

:"CDE=/CED,

CD-CE,

???AO是△ABC的中線，

:.BC=2BD=2CD,

AC2=BC?CD=2CD2,即：AC=?CD,

.CECD叵

.?---------=—.

ACy/2CD2-

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出

ABADS^ACE是解題關(guān)鍵.

16.如圖，已知矩形ABQ）的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AG_L3E＞分別交班＞、BC于

點(diǎn)G、E.

（1）求證：EB?=EGEA;

（2）連接CG,若BE=CE.求證：ZCGE=ZDBC.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）易證ABEGS/XAEB,利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決；

（2）由（1）的結(jié)論及BE=CE,易證明ACEGs^AEC,從而可得NCGE=/AC￡,由OB=OC,

可得NCGE=ND3C.

【詳解】（1）???四邊形ABCO是矩形

ZABE=90°

ZABG+ZEBG=90°

,：AGA.BD

：.ZABG+ZBAG=90°

：.ZEBG=ZBAG

：.Rt^BEGsRtAAEB

27/45

.EB_EG

??五一說(shuō)

/.EB2=EG.EA

（2）由（1）有：EB-=EGEA

,:BE=CE

CE2=EGEA

,CEEA

"EG~CE

?:/CEG=/AEC

：.ACEG^AAEC

：.ZCGE=ZACE

?..四邊形ABC。是矩形

：.AC=BD

：.OB=OC

：.ZDBC=ZACE

：.ZCGE=ZDBC

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

（1）求證：AAEDs/\ADC；

（2）若AE=1,EC=3,求AB的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及NDEC=NADB可得出NADE=NC,結(jié)合

ZDAE=ZCAD即可證出仆AED^AADC；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長(zhǎng).

【詳解】解：⑴證明：：/DEC=NDAE+/ADE,ZADB=ZDAE+ZC,ZDEC=ZADB,

.\ZADE=ZC.

又：ZDAE=ZCAD,

/.△AED^AADC.

（2）VAAED^AADC,

.ADAEAD1

??一,艮HIn」一,

ACAD1+3AD

28/45

，AD=2或AD=-2（舍去）.

又：AD=AB,

AAB=2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等,

兩三角形相似”證出△AEDsaADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長(zhǎng).

18.如圖，銳角△ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

A

（1）求證：AACDs^ABE；

（2）若將點(diǎn)D,E連接起來(lái)，則△AED和△ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）相似，理由見(jiàn)詳解；

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用相似三角形的判定方法AA進(jìn)行證明即可得到結(jié)論；

（2）連接DE,根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得對(duì)應(yīng)邊成比例，交換下比例項(xiàng)，即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）VCD,BE分別是AB,AC邊上的高，

；./ADC=/AEB=90°.

AAACD^AABE

（2）連接DE,

VAACD^AABE,

/.AD：AE=AC：AB.

AAD：AC=AE：AB.

VZA=ZA.

/.△AED^AABC,

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，正確連接輔助線，熟練運(yùn)用相似三角形的判定進(jìn)

行證明是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，A3是的直徑，AD,即是的弦，是OO的切線，切點(diǎn)為3,OC//AD,

BA,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

29/45

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若。。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)AE^l.

【分析】(1)連接OD,由題意易證△CDO四△CBO,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證;

(2)由題意易得△EDAs^EBD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及即=3AE可求解.

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖所示：

AD/70C,

ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD,

又?.OA=OD,

ZDAO=ZADO,

ZCOD=ZCOB,

???OD=OB,OC=OC,

CDO^ACBO,

ZCDO=ZCBO,

BC是。。的切線，

:.ZCBO=ZCDO=90°,

???點(diǎn)D在OO上，

.〔CD是。。的切線；

(2)由(1)圖可得：

ZADO+ZEDA=90°,ZODB=ZDBO,

AB是的直徑，

ZADB=90°,即/ADO+NODB=90°,

ZEDA=ZODB=ZDBO,

XZE=ZE,

30/45

EDA^AEBD,

ED?=AE-EB，

???OO的半徑為4,ED=3AE,

.,.AB=8,EB=AE+8,

9AE2=AE(AE+8),

解得：AE=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的

切線定理及判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖1,在菱形A5CD中，AC是對(duì)角線，A8=AC=6,點(diǎn)E、尸分別是邊A3、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足連接AF與CE相交于點(diǎn)G.

(1)求NCGF的度數(shù).

(2)如圖2,作DHLCE交CE于點(diǎn)H,若CF=4,AF=2幣,求GH的值.

(3)如圖3,點(diǎn)O為線段CE中點(diǎn),將線段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EM,當(dāng)AM4c

構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

【答案】(1)60°；(2)我；(3)2