專題32軸對稱綜合與折疊問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.山東濱州.一模）如圖,在放△ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)得到△AB'C',使點C落在A8邊上，連結(jié)88'，貝Ucos/93C'的值為（）

cD

A-IB-?-f-乎

2.（2022?浙江寧波?一模）如圖，圓。與A。出的邊相切，切點為B.將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)

得到△OW8,使點O'落在圓。上，邊A3交線段AO于點C.若=15。，半徑長為2,則CB的長度為（）.

A.6B.2cD.-A/3

-i2

3.（2022?廣東汕尾?九年級期中）如圖，將線段A3繞一個點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段C。，則這個點是（）

P.C

AOBN

?D

A.M點B.。點C.尸點D.N點

4.（2022?天津?九年級期中）如圖,P為正方形A3C。內(nèi)一點,PC=1,將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CBE,

則PE的長是（）

AD

A.1B.V2C.2D.26

5.（2022?山東?臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為（0,

3）,ZAOB=90°,ZB=30°.將”103繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到AAO9，并且點4恰好落到線

段A3上，則點4的坐標(biāo)為（）

6.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，等邊“LBC邊長為4百，/ABC和—ACB的角平分線相交于點O,

將△03C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到V05G，B6交BC于點D,4a交AC于點E,貝|OE=（）

Bi

A.2B.6-2后c.V3-1D.3-73

7.（2022?江蘇南京?九年級專題練習(xí)）如圖，RtAABC,ZC=90°,ZA=30°,A8=20,點P是AC邊上的

一個動點，將線段BP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BQ,連接CQ.則在點P運動過程中，線段CQ的最

小值為（）

A.4gB.5GC.10D.5

8.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點C為圓心，2為半徑作圓，P

是OC上的任意一點，將點P繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到點。，連接則8。的最大值是（）

A.6B.4忘+2C.20+4D.26+4

9.（2022?福建省廈門集美中學(xué)九年級期中）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,E為A2邊上一點，點/

在邊上，且3尸=1,將點E繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點G,連接。G,則。G的長的最小值為（）

A.2B.2拒C.3D.^10

10.（2022?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,。為A45C內(nèi)一點，分

別連接B4、PB、PC,當(dāng)==時，PA+PB+PC=后，則BC的值為（）

CB

A.1B.V2C.6D.2

11.（2021?新疆?烏魯木齊市第132中學(xué)二模）如圖，等邊AABC的邊長為6,點。在邊A8上，BD=2,線

段8繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段。E,連接DE交AC于點/，連接AE,下列結(jié)論：①四邊形AOCE面

積為9g；②△AOE外接圓的半徑為卓；@AF：FC=2：7；其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

二、填空題

12.（2022?福建省大田縣教師進修學(xué)校九年級期中）如圖，在RtAABC中，AB=AC,點O,E在線段3C

上，且NZM￡=45。，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段AF,連接班EF.給出以下結(jié)論：

①AAEC^AAEF；

②△ABE均AC。；

③BE?+DC?=DE?;

三BE+BF+EFrr

④AB二0

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

13.（2022.江蘇?蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）如圖，將矩形紙片ABCD繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFC,

取。、FC的中點M、N,連接MN.若AS=4cm,AD=2cm.則線段MN長度的最大值為cm.

14.（2022廣西.欽州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一

點，且防=1,尸為AB邊上的一個動點，連接E尸，將E尸繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為.

15.（2022?江蘇?南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）"1BC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等

邊三角形，直線8。與直線AE交于點?如圖，將△OCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF

長度的最小值是.

三、解答題

16.（2022?北京大興?九年級期中）在正方形ABC。中，AD=4,點E在邊A3上，且AE=3,將線段。E繞

點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF,連接EF.

（1）如圖1,若點尸恰好落在邊BC的延長線上，判斷ADE尸的形狀，并說明理由；

（2）若點尸落在直線BC上，請直接寫出AD砂的面積.

17.（2021.新疆?烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在AABC與AEDC中，ZACB=ZECD=60°,

ZABC=ZEDC,△EDC可以繞點C旋轉(zhuǎn)，連接AE,BD

E

圖1圖2

⑴如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；

（2）如圖2,BC=AC=3,當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

18.（2022?廣東?豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形4WEF（如圖1）,連接30M尸，此時他測得BD=8cm,ZADB=30°.

（1）在圖1中，請你判斷直線句0和8。是否垂直？并證明你的結(jié)論；

（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與斯剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得

△A片2，AR交尸”于點K（如圖2）,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為雙0°＜分＜90°）,當(dāng)△AFK為等腰三角形時，請直接寫

出旋轉(zhuǎn)角夕的度數(shù)；

（3）若將AA/面沿A8方向平移得到△&&知2（如圖3）,g與交于點P,4加?與臺〃交于點N,當(dāng)

NP〃AS時，求平移的距離是多少.

19.（2022?山西呂梁?九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形A3CD中，M是AB上一動點，E是CM的中

點，AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到E尸，連接OE,DF.

(1)若3M=2,則AE的長為.

(2)求證：DE=EF.

(3)求NCD尸的度數(shù)，及CP的最小值.

20.(2022?河北?邢臺三中九年級期中)如圖，在Rt^MC中，ZA=9O°,AB=AC=170，點。在邊AB上，

7

連接。C,tanZDCA=亓，點尸為BC邊上一點，連接。P,將D尸繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段，連

接PQ.

(1)AD=,BD=,〃。的最小值是；

(2)當(dāng)N3PQ=15°時，求3尸的長；

(3)連接8。，若AB。。的面積為25,求tan/BAQ的值.

21.(2022.北京?首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)九年級期中)在正方形A8CD中，M是BC邊上一點，且點〃不

與8、C重合，點尸在射線40上，將線段相繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接3尸，DQ.

(1)如圖1,當(dāng)點P在線段AM上時，依題意補全圖1；

(2)在圖1的條件下，延長BP,QD交于點、H,求證：ZH=90°.

(3)在圖2中，當(dāng)點P在線段A"的延長線上時，連接OP,若點P,Q,。恰好在同一條直線時，猜想

DQ,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

22.(2022?吉林白城?九年級期中)［操作］如圖1.AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,D是其內(nèi)部的一

點，連接8.將8繞點(順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接DE,作直線AO交BE于點孔

(1)求證：.ADC'BEC；

⑵求上4FE的度數(shù)；

(3)［探究］如圖2,連接圖1中的AE,分別取AB、DE、AE的中點M、MP,作△WP.若BE=8,則△WP

的周長為________

23.(2022?福建?廈門市第五中學(xué)九年級期中)在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,把AABC繞點2順

時針旋轉(zhuǎn)得到△DfiE(點A與。對應(yīng)).

(1)如圖，若點E落在邊48上，連接AD,求AE的長；

(2)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為60。，連接AE.求AE的長;

(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為々(45。40<90。)，連接AD,BF±AD,垂足為尸.求證：C,E,歹三點在同一直

線上.

24.(2022?遼寧?燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中)如圖，在RAABC中，ABAC=90)°,AB=AC,點。為

平面內(nèi)一點，以為腰在C。右側(cè)作等腰史ACDE,且NCDE=90。，過點B作斯〃DE,且BF=DE,連

接30,DF,EF.

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，當(dāng)點。在AC邊上時，直接寫出線段"與AO的關(guān)系為；

(2)將圖①中的等腰凡ACDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)。(0°<a<45。)到圖②的位置，連接AD,AF,(1)中的結(jié)

論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

(3)若AD=3,AC=5,當(dāng)A、E、尸三點在一條直線上時，請直接寫出C。的長.

25.(2022?山東省濟南匯才學(xué)校九年級階段練習(xí))在AA3C中，CA=CB,NACB=a，點P在平面內(nèi)不與

點A,C重合，連接AP,將線段AP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段2)尸，連接

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，當(dāng)&=60。,斤的值是一,直線3。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是

(2)如圖②，當(dāng)&=90。時，請寫出器的值及直線瓦)與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由.

(3)當(dāng)。=90。時，若點E,尸分別是。,C3中點，點尸在直線所上，請直接寫出當(dāng)C,P,。在同一直線上

AD

時，求蕓的值.

專題32軸對稱綜合與折疊問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?山東濱州?一模）如圖，在尺公ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,ABC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AAB'C',使點C落在AB邊上,連結(jié)BB'，則cosZB'BC的值為（）

【答案】C

【分析】在&△ABC中，由勾股定理可得48=5.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC'=AC=3,C'B'^CB

=4,C'B=2.利用勾股定理可求出88'，從而求出cos/5'3C'.

【詳解】解：在RdABC中，

AB川AC?+BC2=5,

由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC'=AC=3,C'B'=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=ylc'B'2+C'B2=275,

.C'B275

??cosZBBC=------二——1==—.

BB'2A/55

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?浙江寧波?一模）如圖，圓。與AOAB的邊相切，切點為B.將繞點B按

順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'AB,使點O落在圓。上，邊A3交線段AO于點C.若NA'=15。，

半徑長為2,則CB的長度為（）.

33

A.73B.2C.-D.-V3

22

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△30。'為等邊三角形，進而可求出//'及7,再利用乙4'=15。，可證

11/55

明ABC。是等腰三角形.

【詳解】解：如圖，連接0。

由題意得：B0=00'=B0',

：./\B00'為等邊三角形，

，Z0B0'=60o,

與。。相切于點3,

280=90。.

ZA'BO'=90°,

：.ZA'B0=ZA'B0'-Z0B0'=30°,

VZA1=15°,

ZA=15°

ZA<9B=90°-ZA=75°,

ZBCC^180o-ZA0B-ZA'B0=75°,

:.BC=BO=2.

故選：B.

【點睛】本題考查圓中切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓與切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

3.（2022?廣東汕尾?九年級期中）如圖，將線段A3繞一個點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CO,

則這個點是（）

P.C

A0BN

?D

A/

A.M點B.Q點C.P點D.N點

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點的距離相等作圖可以得解.

【詳解】如圖，連接AC、BD,分別作AC、8D的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)相交于M點，因此M

12/55

點是旋轉(zhuǎn)中心.

故選A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及作法是解題

關(guān)鍵.

4.（2022?天津.九年級期中）如圖，尸為正方形A3CD內(nèi)一點，尸。=1,將△CDP繞點C逆

時針旋轉(zhuǎn)得到△CBE,則PE的長是（）

A.1B.72C.2D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后的三角形△CPE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得

PE=j2

【詳解】:△CDP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CBE,其旋轉(zhuǎn)中心是點C,旋轉(zhuǎn)角度是90。

/.ZPCE=90°,CE=CP=1

△CPE是等腰直角三角形

PE=yJCE^CP2=72

故選項是B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟

練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵

5.（2022?山東?臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

點B的坐標(biāo)為（0,3）,NAQB=90。，ZB=30°.將AAOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到

AA'OB',并且點4恰好落到線段48上，則點4的坐標(biāo)為（）

13/55

、

"3A/3g、V33

c.D.

2’2

「萬’57

【答案】D

【分析】過4作AC于。點，先通過解解直角三角形求出0A,再證△04A是等邊三

角形，再在A4'C中通過解解直角三角形求出AC、AC,則問題得解.

【詳解】過A作ACLAO于C點，如圖,

V5(0,3)，

：.OB=3f

VZAOB=90°,ZB=30°,

.??NBA0=60。，

在RtbAOB中，AO=BOxtanZB=3xtan30°=0,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知。4'=Q4,

...△OAA是等邊三角形，

/.A'A=OA=y/3,

/.在AA'C中，AC=AA'-cosZAA'C=道?cos60°=

AC=A4,sinZA41C=V3-sin60°=-,

2

/.OC=OA-AC=y/3--=—,

22

VA在第二次象限，

A的坐標(biāo)為：,

14/55

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，主要考查了解直角三角形、等邊三角形的判定

與性質(zhì)等知識，證明△OAA是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，等邊AASC邊長為46，/ABC和/ACB的角平分

線相交于點。，將△OBC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到VOB|G，Bg交BC于點D,4G交

AC于點E,則DE=()

A.2B.6-26C.6-1D.3-73

【答案】B

【分析】過。點作。乩LBC于4,O氏與2C交于點過M作M以LB。于E求出20=4,

證明△和△均為等腰三角形，求出和/￡＞的值，進而求出。C的長，最后證

明AOEC為30。、60。、90。直角三角形，利用。E=@CC即可求解.

2

【詳解】解：過。點作O〃_L8C于H,08/與BC交于點過M作旅_L8。于E如下

圖所示：

15/55

G

Bi

「△ABC為等邊三角形，且08、0C分另ij為/ABC、/ACB的角平分線,

：.Z1=^ZABC=3O°,Z3=|ZACB=30°,

.?.△OBC為等腰三角形，由“三線合一”可知:

BH=CH=3BC=2日

;.B0=^-BH=4,

3

,/△O3C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到VOB|G,

.,.Z2=3O°=Z1,

為等腰三角形，由“三線合一”可知：

BF=WBO=2,

：.MO=BM=垣BF=拽，

33

MBi=OBi-OM=OB-OM=4--,

3

又由旋轉(zhuǎn)可知/B=NB/=30。，且對頂角ZBMO=ZDMB,=120°,

o

ZMDBi=180°-ZB/-ZDMB;=180-30°-l20°=30°,

...△MB/。為等腰三角形，

.\MD=MB/=4--,

3

CD=BC-MD-BM=4括一（4一竽）-空=4/一4，

:對頂角/EDC=/MO8/=30°,且NACB=60°,

ZDEC=180°-ZEDC-ZACB=90°,

16/55

.,.△CDE為30。、60。、90。直角三角形,

.?.。后=乎。。=￥（4--4）=6一2技

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判

定等，熟練掌握特殊三角形的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2022?江蘇南京?九年級專題練習(xí)）如圖，R3A8C中，ZC=90°,乙4=30。，A8=20,點

P是AC邊上的一個動點，將線段B尸繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段8。連接C。.則在

點P運動過程中，線段CQ的最小值為（）

A.4月B.5上C.10D.5

【答案】D

【分析】將RtAABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到RtZXA'BC,再設(shè)線段AC的中點為并

連接CM.根據(jù)線段8P的旋轉(zhuǎn)方式確定點。在線段AC'上運動，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)

。與點M重合時，C。取得最小值為CM.根據(jù)/C=90。，ZA=3O°,AB=20求出BC的長度，

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A3和5C'的長度，根據(jù)線段的和差關(guān)系確定點C是線段43的中點，

進而確定CM是△ABC的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出CM的長度.

【詳解】解：如下圖所示，將RtAABC繞點2順時針旋轉(zhuǎn)60。得到RtaABC,再設(shè)線段AC

的中點為M,并連接CM.

:點P是AC邊上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BQ,

...點。在線段AC'上運動.

.?.當(dāng)CQLAC,即點。與點M重合時，線段CQ取得最小值為CM.

VZC=90o,ZA=30°,AB=20,

：.BC=1Q.

,/RtAABC繞點2順時針旋轉(zhuǎn)60。得到RtZkABC,

BC'=BC=10,A3=AB=20.

17/55

，AC^AB-BC^IO.

：.AC=3C=10.

點C是線段中點.

;點M是線段AC的中點，

/.CM是△ABC'的中位線.

：,CM=-BC'=5.

2

故選：D.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30。所對的直角邊是斜邊的一半，垂線段最短,

三角形中位線定理，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

8.（2022.全國?九年級課時練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點C為圓心，2

為半徑作圓，P是。C上的任意一點，將點尸繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到點0,連

接8。，則8Q的最大值是（）

A.6B.40+2C.20+4D.26+4

【答案】A

【分析】連接CP,AQ,以A為圓心，以A。為半徑畫圓，延長A4交于E.根據(jù)正方形

的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性質(zhì)求出A。的長度，根據(jù)

三角形三邊關(guān)系確定當(dāng)點。與點E重合時，2。取得最大值，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系計算

即可.

【詳解】解：如下圖所示，連接“，AQ,以A為圓心，以A。為半徑畫圓，延長54交0A

于E

18/55

:正方形ABC。的邊長為4,。。的半徑為2,

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,CP=2.

?點P繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點。，

AZQDP=90°,QD=PD.

：.ZADC=ZQDP.

：.ZADC-ZQDC=ZQDP-ZQDC,即ZADQ=ZCDP.

：.△ADQ/△CDP(SAS).

：.AQ=CP=2.

：.AE=AQ=1.

\?尸是G)C上任意一點，

.?.點。在0A上移動.

BE=AE+AB=AQ+AB>BQ.

二當(dāng)點。與點E重合時，BQ取得最大值為BE.

：.BE=AE+AB=6.

故選：A.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性

質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段的和差關(guān)系，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

9.(2022?福建省廈門集美中學(xué)九年級期中)如圖，在正方形ABC。中，AB=4,E為AB

邊上一點，點尸在BC邊上，且BF=1,將點E繞著點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點G,連接DG,

則。G的長的最小值為()

BFC

A.2B.2A/2C.3D.布

【答案】C

【分析】過點G作GPLBC于點P,延長PG交AD于點設(shè)BE=PF=x,只要證得

ABEF空APFG(AAS),利用全等三角形的性質(zhì)可得防=尸尸，PG=BF=1,進而得到

PC=DH=4—l—x=3—X,在RfADGH中,利用勾股定理即可求解.

19/55

【詳解】解：過點G作GP，3c于點尸，延長PG交AD于點H,則/G依=90°,

:四邊形ABCD是正方形，

ZADC=ZC=ZB=90°,

四邊形com3是矩形，

：.CD=PH=AB=4,PC=DH,

"：ZEFG=90°,

：.NBFE+/PFG=90。,

又NBFE+NBEF=90。,

：.ZPFG=ZBEF,

,:FE=FG,ZB=ZGPF=90°,

/.ABEF且APFG(AAS),

:?BE=PF,PG=BF=1,

:.GH=PH—PG=4—1=3,

設(shè)BE=PF=x,則PC=r>"=4-l—x=3—x,

在RADGH中，由勾股定理得，

DG2=DH2+GH2=(3-xj+32=(3-x)2+9,

當(dāng)x=3時，0G2有最小值為9,

DG的最小值為3,

故選：C

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股

定理的運用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在AAFC中，ZACB=90°,N54C=30。，。為AABC

內(nèi)一點，分別連接抬、PB、PC,當(dāng)==時，PA+PB+PC=回,貝U

BC的值為（）

20/55

A.1B.6C.73D.2

【答案】C

【分析】將△加4順時針旋轉(zhuǎn)60。，到處，得到△BPM,AABN是等邊三角形，證明

C、P、M、N四點共線，且NC4N=90。，設(shè)BC=x,貝U48=2抵=2%,AC=瓜,利用勾股定

理計算即可.

【詳解】將△8以順時針旋轉(zhuǎn)60。，到處，則A8PM,AABN是等邊三角形，

NBPM=NBMP=6Q°,ZBAN=60°,PM=PB,BA=BN,PA=MN,

ZCPB=ZBPA^ZAPC=ZBMN=120°,

CB

：.ZBMP+ZBMN=180°,ZBPC+ZBPM=180°,

：.C.P、M,N四點共線，

CP+PM+MN=CP+PB+PA=721,

'：ZBAC=30°,ZBAN=60°,

：.ZCAN=90°,

設(shè)8C=x,貝i]4B=8N=2x,AC=^x,

，(氐)2+(2x)2=(@)2,

解得產(chǎn)百，X=-#1,舍去，

21/55

故選c.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?新疆?烏魯木齊市第132中學(xué)二模）如圖，等邊AA8C的邊長為6,點。在邊

上，BD=2,線段CD繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段。E,連接交AC于點E連接AE,

下列結(jié)論：①四邊形ADCE面積為96；②△ADE外接圓的半徑為岑；③A/：FC=2：7；

其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】如圖1,在BC上取一點M,使得BM=2,連接DM,分別過。、A作DHLBC,AMA.BC,

垂足為8、M,由△ABC的邊長為6的等邊三角形，得—3=60。，AB=BC=AC=6,進而

證明的邊長為2的等邊三角形，△CCE的邊長為2近的等邊三角形，再證明

晚形梯形

△ADEdBCM,得至ljAE//BC,于是有SADCE=SABCE-S^BDC

=1x（2+6）x3^-1x6x^=9^/3,由/加腔⑵。，DE=2幣,得外接圓的半徑

為券，證明△ZMCS^CDF,判斷③正確，從而得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,在BC上取一點使得BM=2,連接。分別過。、A作

DH1BC,AM1BC,垂足為H、M,

???△ABC的邊長為6的等邊三角形，

ZB=60°,AB=BC=AC=6,

■：BD=2,BM=2,

??.△BOM的邊長為2的等邊三角形，AD=6-2=4,

ZB=ZBDM=ZBMD=60°,DM=BD=BM=2,

AG=A2sin60°=6x3=3“，DH=BDsin60°=2x^=A/3,=BZ）cos60o=2x^=1,

222

ZCMD=180°-60°=120°,CM=BC-BM=6-2=4=Ar）,

CH=BC-BH=6-1=5,

CD=yJCH2+DH2=J網(wǎng)2+52=2或，

線段CO繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,

△CDE的邊長為2近的等邊三角形,

CD=DE=CE=2y/7,NCDE=60°,

22/55

ZADC=ZADE+ZCDE=ZADE+60°=ZB+ZBCM=60°+ZBCM,

??.ZADE=/BCM,

AADE^ABCM,

ZDAE=ZCMD=120°fAE=DM=2,

NA4石+NB=180。，

AE//BC,

四邊形梯形

,*SADCE=SABCE-S^BDC

=1x（2+6）x3>/3-1x6x.x/3

=9A/3,

因此①正確；

ZDAE=120°,DE=2yi,

△ADE外接圓的直徑為心反=士"，

sin6003

.?.△ADE外接圓的半徑為雪，

因此②正確；

???ZDAC=ZCDF=60°,ZDCF=ZAFD,

???ADAC^/XCDF,

,DCCFBrl2/_CF

ACCD62g

：.AF：FC=2：7,

因此③正確；

故應(yīng)選A.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形

的性質(zhì)及判定、圖形的旋轉(zhuǎn)以及圓等知識，構(gòu)造輔助線證明三角形全等和三角形相似是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

23/55

12.（2022.福建省大田縣教師進修學(xué)校九年級期中）如圖，在RtaABC中，AB^AC,點、D,

E在線段上，且/ZME=45。，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段■，連接M,

EF.給出以下結(jié)論：

①AAED^AAEF；

②/AACD；

③BE?+DC?=DE?;

不BE+BF+EF/-

④=V2.

AB

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可以及SAS即可判斷①；②中的兩個三角形只有一條邊和一個

角相等，不能判定全等；根據(jù)全等的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷③；根據(jù)等腰直角三角形的

性質(zhì)即可判斷④.

【詳解】解：：AABC為直角三角形，AB^AC,

'：ZACB=ZABC=45°,

:線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段AF,

：.AD=AF,ZDAF=90°,

?//DAE=45。，

NFAE=ZDAF-NDAE=45°,

在△AED和△AEF中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE,

AE=AE

：.AAED^AAEF（SAS）,

故①正確；

在AABE和AACD中，只有NABE=NACD=45。，AB=AC,兩個條件不能判定全等，故②

不正確；

,?AAED^AAEF,

；?DE=EF

,：ZDAF=ABAC^90°,

24/55

ZDAF-ZBAD=ABAC-ABAD,即ZBAF=ZCAD,

在AABF和AACD中，

AB=AC

<ZBAF=ZCAD,

AF=AD

：.AABF^VACD（SAS）,

NABP=NACD=45。，DC=BF,

'：^ABC=45°,

NFBE=ZABF+ZABC=90°,

EF2=BE2+BF2>

DE2BE2+DC2,

故③正確；

：“IBC為直角三角形，AB=AC,

，AB2+AC2=BC2,即2AB2=BC2,

整理得：—=V2,

AB

???BC=BE+DE+CD=BE+EF+EF,

.BE+BF4-EF_

AB一，

故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后

對應(yīng)邊相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相

等.

13.（2022.江蘇?蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）如圖，將矩形紙片ABCD繞頂點8順時針

旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFC,取。、用的中點M、N,連接MN.若AB=4cm,AD=2cm.則線

段MN長度的最大值為cm.

【答案】（2+百）

【分析】由三角形中位線定理可求的長，通過證明四邊形硒恒是平行四邊形，可得

EF=NH=2cm,即可求解.

【詳解】解：如圖，取3E的中點連接MW,BD,NH,

25/55

F

E.

D

'/AB=4cm,AD=2cm,

；?BD=y/AB2+AD2=V42+22=26(cm),

;點M是即的中點，點H是BE的中點，

MH=6cm，

V將矩形紙片A5CD繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFC,

:.BE=AB=FG=CD,跖=M)=2cm,

,點〃是BE的中點，點N是FG的中點，

AEH=FN,EH〃FN,

四邊形EFNH是平行四邊形，

EF=NH=2cm,

-：MH+NH>MN,

，當(dāng)點H在MN上時，MN有最大值，最大值=1"/+9/=(2+石卜111,

故答案為:(2+V5).

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性

質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?廣西?欽州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，長方形ABC。中，AB=3,BC=4,

E為BC上一點、,且3E=1,尸為AB邊上的一個動點，連接E尸，將灰繞著點￡順時針旋

轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG和CG,則CG的最小值為.

【答案】"手

【分析】如詳解圖，將線段8E繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ET,連接OE交CG于J.首

先證明NETG=90°,推出點G的在射線7U上運動，推出當(dāng)CGLTG時一，CG的值最小.

【詳解】解：如圖：

26/55

將線段3石繞點石順時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ET,連接。石交CG于J.

???四邊形ABC。是矩形，

???AB=CD=3,/B=/BCD=90°,

*.*ZBET=ZFEG=45\

：./BEF=ZTEG,

???EB=ET,EF=EG,

：.AEBFMREG（SAS）,

???ZB=ZETG=90°,

???點G的在射線7U上運動，

???當(dāng)CG_LTG時，CG的值最小，

VBC=4,BE=1,CD=3,

:?CE=CD=3,

NCED=/BET=45°,

ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

???四邊形ETC/是矩形，

ADE//GT,GJ=TE=BE=l,

：.CJ1DE,

：.JE=JD,

.i1n口372

22

/.CG=C/+GJ=1+述，

2

二CG的最小值為l+m.

2

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短知識，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

27/55

15.（2022.江蘇.南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）AABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是

邊長為3的等邊三角形，直線2D與直線4E交于點?如圖，將△￡＞（?￡繞點C旋轉(zhuǎn)1周，

在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是.

【答案】4-V3##-V3+4

【分析】先證明ABCE^AACE,如圖，設(shè)8E交AC于點T.證明NBCT=/AFT=60。，推

出點尸在AABC的外接圓上運動，當(dāng)入出F最小時，AF的值最小，此時求出

AE,EF可得結(jié)論.

【詳解】解：,??△ACBADEC都是等邊三角形，

AAC=CB,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

：.NBCD=ZACE,

在△BCD和“磁中，

CB=CA

<NBCD=NACE,

CD=CE

/.△BCD^ACE(SAS),

如圖，設(shè)砥交AC于點T.

,/△BCD卷AACE(SAS),

：.ZCBD=ZCAF,

?/NBTC=ZATF,

：.ZBCT=ZAFT=60°,

...點F在AABC的外接圓上運動，當(dāng)NAB尸最小時，"的值最小，止匕時CDLBD,

；?BD=VBC2-CD2=J52-32=4，

/.AE=BD=4,ZBDC=ZAEC=90°,

:CD=CE,CF=CF,

Rt^CFD^RtJJFE(HL),

ZDCF=ZECF=30°,

28/55

EF=C￡.tan30°=V3,

，AT的最小值=4￡一石歹=4一百，

故答案為：4-A/3.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，解直角三

角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

三、解答題

16.（2022?北京大興?九年級期中）在正方形A8C。中，40=4,點E在邊AB上，且AE=3,

將線段DE繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF,連接EF.

（1）如圖1,若點尸恰好落在邊8c的延長線上，判斷山防的形狀，并說明理由;

⑵若點/落在直線3C上，請直接寫出4）￡戶的面積.

【答案】（1）AD￡F是等腰直角三角形，理由見解析

（2）3.5或12.5

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得ZM=OC,ZADC=ZDAB=ZDCB=90°,由“乩”可證

Rt^ADE^Rt^CDF,可得NADE=/CDF,可得結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）戶是等腰直角三角形，理由如下：

在正方形ABCD中，DA=DC,AADC=ZDAB=ZDCB=90°.

落在邊BC的延長線上，

ZDCF=ZDAB=90°.

■■■將點E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到點F,

:.DE=DF,

在RtAADE和Rt^CDF中，

[AD=DC

[DE^DF'

Rt^ADE=Rt<DF（HL）,

29/55

\7ADE?CDF,

ZADC=Z.ADE+ZEDC=90°,

ZCDF+ZEDC=90°,即ZEDF=90°.

.?■DEF是等腰直角三角形；

(2)-1?ZA=90°,AD=4,AE=3,

DE=yjAD2+AE2=742+32=5，

當(dāng)點廠落在線段BC上時，如圖2,

圖2

?.?/C=90°，DF=DE=5,

:.CF=^DF2-CD2=3-

：.BE=BF=1,

:.“DEF的面積=S正方形MC。一"AOE—S^CDF—S*EF=4x4——x3x4--x3x4——x1x1=3.5；

當(dāng)點尸恰好落在邊BC的延長線上時，如圖1,

ADEF的面積=）x5x5=12.5,

綜上所述，ADEF的面積為3.5或12.5.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積

公式，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?新疆?烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在AABC與AEDC中，

ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△EDC可以繞點C旋轉(zhuǎn)，連接AE,BD

圖1圖2

⑴如圖1

30/55

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；

（2）如圖2,BC=AC=3,當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

【答案】（1）①友②直線3。與AE所夾銳角為60。

Q）DE=6

［分析］（1）①通過△ABC^AEDC證明△AECs/\BDC即可，②延長AE與8D交于點F,

通過（1）中的相似即可得出結(jié)果.

（2）連接AO,AE,通過（1）中的相似可以證明四邊形AOCE為菱形，進而得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：?BD=3AE

??,在△ABC和△EOC中

ZACB=ZECD

ZABC=ZEDC