專題12:圓錐曲線的統(tǒng)一定義

.............................。?！磳ｎ}綜述》＞6.............................

橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,其方程形式為二元二次方程，從幾何角度上看都是平面截圓錐

面所得的截線，這就是這幾種曲線的統(tǒng)一性，而它們的統(tǒng)一性還體現(xiàn)在定義中.圓錐曲線的定義（包括橢圓、雙

曲線的第一定義，橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義，是研究圓錐曲線有關問題的出發(fā)點和歸宿，它反映

了圓錐曲線的本質(zhì)和屬性，因此若能靈活運用其定義，則能使許多問題得以順利解決。

.............................。。〈專題探究》＞6.............................

〉題型一：圓錐曲線的第一定文

?解題策略

圓錐曲線的定義是：用一平面去截割一個圓錐面，得到的截交線就稱為圓錐曲線，阿波羅尼奧斯就是采

用平面截割圓錐的方法進行研究的。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，

得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；繼續(xù)用余下的傾斜角度

的平面截割，可得到雙曲線，

利用0cmdel譏雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面兀的上方，一個位于平面的下方，并且與平

面乃及圓錐均相切）。

結論1：利用橢圓第一定義可證明：凡4+AE=B4+AC=定值。

結論2：上面一個球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為兀'，

如果平面兀與平面兀'的交線為相，在圖中橢圓上任取一點4,該Dcmde/譏球與平面兀的切點為F,則點力到

點尸的距離與點4到直線小的距離比是（小于1）

（稱點尸為這個橢圓的焦點，直線機為橢圓的準線，常數(shù)為離心率e）

?＞陶陶精那

例1圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名?因為它可以從圓錐中截取獲得.我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的

平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與

圓錐的軸的夾角。不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將

圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與。和圓錐軸截面半頂角a有如下關系（e,ae

（0,9）：當?！礱時，截口曲線為橢圓;當e=a時，截口曲線為拋物線;當8＜a時，截口曲線為雙曲線,（如圖

1）現(xiàn)有一定線段力B與平面/?夾角為卬（如圖2）,B為斜足，￡上一動點P滿足NB4P=y,設P點在0上的運動

軌跡是r,貝I()

，y=*時，r是雙曲線

C.當0=%y=押,r是拋物線D.當夕=g,Y=弓時，「是橢圓

【思路點撥】

由NB4P=丫知「在以力為頂點，母線與軸4B夾角為y的圓錐側面上，又P點在平面￡上，所以P點的軌跡是

平面S與圓錐側面的交線，結合題意，對各選項分析即可.

【規(guī)范解析】

解：由NB4P=/知「在以4為頂點，母線與軸4B夾角為y的圓錐側面上，

又P點在平面/?上，所以P點的軌跡是平面￡與圓錐側面的交線，

由題意，對各選項進行分析：

對4因為平面S與圓錐的軸的夾角為今圓錐軸截面半頂角為?由竺*知r是橢圓，故A正確；

對B,因為平面S與圓錐的軸的夾角為今圓錐軸截面半頂角為?由竺*知r是橢圓，故B不正確；

對c,因為平面S與圓錐的軸的夾角為*圓錐軸截面半頂角為由兩角相等，知r是拋物線，故c正確；

對。，因為平面s與圓錐的軸的夾角為與圓錐軸截面半頂角為全由經(jīng)》所以「是橢圓，故。正確.

故選：ACD.

例2如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進

行過研究，其中比禾!］時數(shù)學家Germ譏a/dande/譏(1794—1847)的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐

內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于&F,在截口

曲線上任取一點4,過力作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,B,由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道,

AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC,由B,C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定

值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E,F為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上

方有一個點光源P,則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，P①垂直于桌面且與球相切,

PA1=5,則橢圓的離心率為

【思路點撥】圖①

根據(jù)題意易知44為橢圓的長軸，長為2a,F為橢圓的左焦點，ArF=a-c,由直角三角形的內(nèi)切圓的

半徑的計算方法可以求出44的長，進而求出c的長，即可求得結果.

【規(guī)范解析】

解:易知4送2為橢圓的長軸，長為2a,F為橢圓的左焦點，ArF=a-c,

在直角三角形P&42中，球的截面圓是其內(nèi)切圓，

設力遇2=久，則由三角形面積不變性可得：|x5x-1x（5+x+V25+x2）x2,

解得％==2。=12,由4/=a—c=6—c=2,解得c=4,

故橢圓的離心率為￡=，=|.

a63

故答案為|.

?》變式潮維

練1古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯著作胭錐曲線論）中采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用

垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓

錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支（把圓錐面換成

相應的二次錐面時，則可得到雙曲線）。現(xiàn)有一個正方體A8CD-&B1C1A，點。為線段當。1的中點，P是

平面4/。內(nèi)一動點，如圖所示，若直線。。與PC所成角為45。，則點P在平面內(nèi)的軌跡是（）

A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

【思路點撥】

關鍵是能將立方體28CD-A/GA中直線。。與平面平面48D的平行關系找到，則可以判斷平面與圓錐

的關系，即可得出結論。

【規(guī)范解析】

解：因為直線。C與PC所成角為45。，所以點P在以C。為軸的圓錐曲線的表面上，

且是平面&BD內(nèi)一動點，連接4C交BD于點M,

則在平面4CC14中易得4M〃C。，所以0C〃平面4/D,

由題設可知用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支，

所以點P軌跡是雙曲線的一部分。

故選C

練2古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的

平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙

曲線,圖②，在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB.CD是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的

中點，F(xiàn)是線段E。的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則

該曲線為，M,N是該曲線上的兩點且MN〃CD,若MN經(jīng)過點F,則|MN|=

①

【思路點撥】

利用平面切割圓錐的方法，結合截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到的是拋物

線，即可得到答案；建立合適的平面直角坐標，求出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的標準方

程，由題意可知，MN為拋物線的通徑，從而求解得到答案.

【規(guī)范解析】

解：因為E是母線PB的中點，F(xiàn)是線段E。的中點，產(chǎn)

所以。E〃P4,又P4C截面CDE,OEc<ffiCDF,\

故P4//截面CDE,-d-------

由截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到的是拋物線，A

故過CD與E的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為//F

拋物線；

由題意可知，。。1平面4。8,又。Bu平面40B,貝IJPOIOB,

則。B=OP=OC=1,因為E為母線PB的中點，所以。E=孝，

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，以E為坐標原點，BP為y軸，0E為x軸，如圖所示，

則C（一冬1），

設拋物線的方程為y2=mx,

將點C代入方程可得，1=—苧小，解得加=—/，

所以拋物線的標準方程為％=-72%,

因為M,N是該曲線上的兩點且MN〃CO,

則MNlx軸，又MN經(jīng)過點F,

故MN為拋物線的通徑，所以|MN|=V2.

故答案為：拋物線；V2.

題型二：圓錐曲線的第二定義

?解題策略

平面內(nèi)到一個定點尸與到一條定直線L（F不在L上）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡.當。<e<l

時，它表示橢圓；當e〉l時，它表示雙曲線；當e=l時，它表示拋物線.（其中e是圓錐曲線的離心

率，定點尸是圓錐曲線的焦點，定直線是圓錐曲線的準線).

橢圓、雙曲線上的任一點和焦點連結的線段長稱為焦半徑.

(1)橢圓焦點在X軸上時，設6、尸2分別是橢圓的左、右焦點，P{x0,Vo)是橢圓上任一點，

則=a+ex。，|PF2|=a—ex0.

(2)雙曲線的焦點在x軸上時，設尸2分別是雙曲線的左、右焦點，P{x0,y0)是雙曲線上任一點，則

\PFr\=\ex0+a\,\PF2\=\ex0—a\.

簡記為:絕對值內(nèi)看焦，左"+”右“一”；去絕對值看支，左“一”右即:

若點P在雙曲線的左支上，則|PFi|=-e久0+a)，\PF2\=-(ex0-a).

若點P在雙曲線的右支上，則|PFi|=e4)+a，\PF2\=ex0-a.

杪典削糖評

22

例3已知橢圓C:J+2=1內(nèi)有一點4(2,1),F是橢圓C的左焦點，P在橢圓C上運動，貝歸|PA|+5|PF|的最

2516

小值為.

【思路點撥】

31P4|+5|PF|=3(|PA|+||PF|),即求|P4|+1|PF|的最小值.橢圓C的離心率為e=：=點注意到所

求式中的數(shù)值|恰為，則由橢圓的第二定義知，||PF|等于橢圓上的點P到左準線的距離.

【規(guī)范解析】

3\PA\+5\PF\=3(|P4|+||PF|),只需求|P4|+||PF|的最小值.

易知橢圓C的離心率為e=-=|,注意到所求式中的數(shù)值晟恰為工，

則由橢圓的第二定義知，5PF|等于橢圓上的點P到左準線的距離.

過點P作左準線的垂線，垂足為瓦則|P4|+|PE|>\AE\,

當且僅當4P,E三點共線時等號成立，此時|4E|=2-(-y)=y.

故3(|P*+||PF|)的最小值為31,即31PAi+5|PF|的最小值為31.

例4已知尸是拋物線C:*=敘的焦點，過點尸的直線Z與拋物線交于P,Q兩點，直線1與拋物線的準線4

交于點M,若兩=2而，則震=()

431

A.3B.-C.-D.-

343

【思路點撥】

設PQi，yi),Q(x2，y2)，［：y=々(無一3(卜片0)，聯(lián)立拋物線，應用韋達定理及已知條件求%1、x2,結合

拋物線的定義求|PF|、\QF\,即可求目標式的值.

【規(guī)范解析】

設P(xi,yDQ(x2,y2)，直線z：y=i)(fc#0).

聯(lián)立拋物線得：k2x2-2(fc2+2)x+/c2=0,則/工2=1-

由直線/與拋物線準線人交于M,貝卜”=-1.

由兩=2而得：一I—/=2(/—1)，即久1="則冷=3.

；.\PF\=X1+l=l，|QF|=X2+1=4,翳=。=3,

故選：A.

?》變式切/練

練3在平面直角坐標系xOy中，橢圓r：，+，=l(a>b>0)的右焦點為F,y軸右側的兩點4,B在橢圓

「上，且直線48與圓。:久2+v=相切，若橢圓廠的焦距為12,AABF的周長為15,則橢圓廠的離心率

為()

4

D

5-

【思路點撥】

利用切點的垂直特性和勾股定理巧妙計算4P,利用焦半徑公式計算2/，發(fā)現(xiàn)2P+2F為定值后同理可得

BP+BF且算出周長，最后解出a并求得離心率.

【規(guī)范解析】

解：首先證明橢圓￡=l(a>b>0)上任意一點PQ,y)到左、右兩焦點尸1、6的距離

|P&|=a+5無，|PF2|=a-；久(焦半徑公式)；

證明：因為Fi(-c,0)、F2(C,0),

所以|PFJ=J(x+c)2+y2-J(久+c)2+02(1_1)

I~c

=I—2x2+2cx+a2=|a+—x|;

同理可得IPF2I=J(%—c)2+y2=\a—^x\;

根據(jù)橢圓方程知，\x\<aa>^\x\9即a±(%>0,

故橢圓盤+4=1兩個焦半徑為|PFil=a+(x,IPF2I=a-^x;

記48與圓。：工2+y2=82相切于點Q24(x1/y1),8(久2，乃)，X2>0),

,2

則|ZQ|2=淄+—/)2,又比=爐一混好，

2X1

所以=(1—，)淄=e,則|AQ|=exr,\AF\=a—=a—exr,

所以MQ|+|4尸|=a,同理可得|BQ|+|BF|=a

故的周長為2a.

所以2a=15,則a=去又焦距2c=12,所以c=6,

所以離心率e=￡=魯=&

ag5

2

練4已知國,尸2為橢圓C：￥+4=1的左、右焦點，點P在橢圓C上移動時，△P6&的內(nèi)心/的軌跡方程

45

為.

【思路點撥】

求得橢圓的a，b,c,延長P/交支軸于M,設P(%o，yo),/(%,y),M(m,0),

設PFi=s,PF2=t,運用內(nèi)角平分線定理和橢圓的定義，由代入法即可得到所求軌跡方程.

【規(guī)范解析】

解：橢圓C：<+4=1的a=2,b=C,c=l,

延長P/交x軸于M,

設P(xo，y())，/(Xy)，w(m,o),

連接/0,/&,

設PF1=s,PF2=t,則s+t=2a=4,

MFr=m+1,MF2=1—m,

由內(nèi)角平分線定理可得

s_m+lPI_s_t_s+t_

t1—IMm+l1—m2'

可得無=亞母，y=20-=Zfl,

JE1+271+23

由橢圓的焦半徑公式可得：

m+l2+1x01

-——=-7-,BJm=-Xa,

If2-扛o4°

可得沏=2x,y0=3y,

代入橢圓可得殍+￥=i,

4J

即有%2+3y2=l(yH0),

故答案為：x2+3y2=l(y^0).

題型三：圓錐曲線的的第三定義

?解題策略

平面內(nèi)的動點到兩定點Ai(-a,0)A2(a,0)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1點的軌跡叫做橢圓或雙曲線，

其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點.其中如果常數(shù)e2-1>0時，軌跡為雙曲線，

如果e2—1e(―1,0)時，軌跡為橢圓。

反之，若橢圓的方程為弓+[=1Ca>b>0),過原點的直線交橢圓于4B兩點，P點是橢圓上異于4B

2

兩點的任一點，則有kpa'kpB=一聲h.

22

雙曲線的方程為京-￡=1(a>0,b>0),過原點的直線交雙曲線于4B兩點，P點是雙曲線上異于4B

兩點的任一點，則有kpA,kpB=彳

Q典倒精的

例5(多選)已知平面內(nèi)兩個定點4(-5,0),5(5,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為常

數(shù)“4力0),設點M的軌跡為C.下列說法中正確的有()

A.存在常數(shù)2(4力0),使C上所有的點到兩點(-6,0),(6,0)的距離之和為定值

B.存在常數(shù)4(240),使C上所有的點到兩點(-6,0),(6,0)的距離之差的絕對值為定值

C,存在常數(shù)“aK0),使C上所有的點到兩點(0,-6),(0,6)的距離之和為定值

D.存在常數(shù)4(440),使C上所有的點到兩點(0,-6),(0,6)的距離之差的絕對值為定值

【思路點撥】

設M坐標為(久,y)(xK±5,y40),則義,2=九得十=2(7一25)(X力±5),即可得出結論.

【規(guī)范解析】

解：設M坐標為(％y)(%H±5,yH0),由2,三二九得y?二"/-25)(%工±5),

1XI。人。

對于4項，存在常數(shù)4(4H0),使C上所有的點到兩點(-6,0),(6,0)的距離之和為定值

則c=6,且焦點在無軸上，此時-1<4<0,a=5<c=6,矛盾，故A錯誤；

對于B項，存在常數(shù);1(4#0),使C上所有的點到兩點(-6,0),(6,0)的距離之差的絕對值為定值

則c=6,且焦點在光軸上，此時4>0,a=5<c=6,符合題意，故8正確.

對于C項，存在常數(shù)2(4片0),使C上所有的點到兩點(0,-6),(0,6)的距離之和為定值

則c=6,且焦點在y軸上，此時-254>36,符合題意，故C正確；

對于。項，存在常數(shù)；1(2*0),使C上所有的點到兩點(0,-6),(0,6)的距離之差的絕對值為定值

則c=6,且焦點在y軸上，但必=4(一一25)(%彳±5)無法滿足焦點在y軸上，故。項錯誤；

故選：BC.

例6(多選)已知雙曲線。:馬一馬=l(a>b>0)的左，右頂點分別為A2,點P,Q是雙曲線C上關于

Qb

原點對稱的兩點(異于頂點)，直線PA2,Q4的斜率分別為人1，kpAz，kQA1,若

則下列說法正確的是()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±7%B.雙曲線C的離心率為噂

42

C.為定值D.tan乙41PA2的取值范圍為(0,+8)

【思路點撥】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系及其應用，結合雙曲線的性質(zhì)判斷各選項即可.

【規(guī)范解析】

解：設P(x,y),則y2=62*1—i),因為4式一20),&(a，0)，

2b2

故1r,_yy_y_(哀-1)_b,

kpAjkpAz=木.』=^2=%2_a2=混

依題意有1=3,所以2=噂，所以c的漸近線方程為丫=士，=±乎垢

離心率e=[^!=故A錯誤，8正確；

因為點P，Q關于原點對稱，所以四邊形AP&Q為平行四邊形，

即有々41Q=所以%1P.%1Q=%1P.%2P="故C正確；

設P4的傾斜角為a,P』2的傾斜角為S，由題意可得tana?tan/?=力則乙41P4=1仇一SI，

根據(jù)對稱性不妨設P在%軸上方，則/?>a,貝!)乙4止&二夕一仇，

貝「anN&P42=tan(￡—a)=；索3=*""W=(七山一就)，

因為P在x軸上方，則％z>爭或一苧<kPA2<0，

函數(shù)f(x)=x-京在(-日,0)和除+8)上單調(diào)遞增，所以tanN&P力2€(0,+8),故。正確.

故選BCD.

?》孌武訓維

練5橢圓的左、右頂點分別為4,4，點P在。上且直線弘2的斜率的取值范圍是[-2,-1],

那么直線P&斜率的取值范圍是()

A.[1,|]B.[1,1]C,[1,1]D.[1,1]

【思路點撥】

由橢圓C：9+《=1可知其左頂點兒(—2,0),右頂點4(2,0).設POo，yo)Oo力±2)，代入橢圓方程可得

表=-*利用斜率計算公式可得冊4?kpAz，再利用已知給出的kp&的范圍即可解出.

【規(guī)范解析】

解：由橢圓C：（+《=1可知其左頂點4式一2,0）,右頂點4（2,0）.

43

設POo,yo）&#±2），則苧+乎=1，得含=得

k

kpAz=瓷，kpAi=葛，PAr-kpAz=塞=-|-

???-2<kpAz<-1，"-2<一篇WT，解得焉<kPAi<

故選：B.

練6（多選）設橢圓C4+，=l（a>b>0）,E（0,6）,4（科九）為橢圓E上一點，mMO,點、B、4關于無軸

對稱，直線R4,EB分別與x軸交于M,N兩點,則（）

A.|2用的最大值為，02+爐

B.直線瓦4,EB的斜率乘積為定值

C.若y軸上存在點P,使得4MPO=/PN。，則P的坐標為（0,a）或（0,—a）

D,直線4N過定點

【思路點撥】

本題考查直線與橢圓的位置關系及應用問題，利用橢圓的幾何性質(zhì)何斜率的定義求解.

【規(guī)范解析】

解：因為/（m,幾）在橢圓C上，所以,+$=1，m2=a2（lAV

所以|/E|=Jm24-(n—b)2一丁一2E+a2+>4,A錯誤;

因為點B、4關于%軸對稱,所以以犯-①,

因為冊4=f，*=學，所以

2o,2

jj,n-b..b+n.b-nz,,2、bb2

嚓.kEB=（-）（Z^）==S2一九）,8正確,

a2(b2—n2)a2

假設存在P點，使得NMPO=4PN。，則APMOSANP。,

所以op2=0M,0N,

因為EAy=+b,EB[y=4-b,

m,TH

斫以Y_bm_bm

M以％M一百'XN-b+n'

;匚|、|-八2?bm..bm.b27n2

所以。尸2=OM?ON=\--\\--=二一

1b-n11b+n1bz-n2

12廿o

因為爪2=口2。一”），所以。p2=0M.0N=b2,即點P坐標為（0,a）或（0,-a）,

7b2^~-ri27-=Q'

因為a（m,n）,N（黑,0）,所以施N=等，y=等。一?。?"，

化簡得？=等》一6,即直線4N過定點（0,-6）,

故選BCD.

-9?〈專題訓練>>>

1.在實際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2,用一個與圓柱底面

所成角為45。的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到“直角彎管”.在制作“直

角彎管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段（如圖3）的側面沿著圓柱的一條母線剪開，并

展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象（如圖4）記該正弦型函數(shù)的最小

正周期為T,截口橢圓的離心率為e,若圓柱的底面直徑為2,貝1（）

【解析】

解：設截口橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,半焦距長為c,

因為圓柱的底面直徑為2,所以26=CD=2,故6=1,/Vx/

因為橢圓截面與底面的夾角為45。，

所以乙4。8=45°,所以2b=OB=04cos45°=2acos45°,所以a=VLB

所以c=yJa2—b2=1>所以e=--—或，

aV22

觀察圖4知，正弦型函數(shù)的最小正周期T為圓柱的側面展開圖的底邊邊長，即圓柱的底面圓的周長，所以

T=2TTx1=27r.

故選：B.

2.經(jīng)過橢圓<+[=1的右焦點尸做直線，交橢圓于4B兩點，若立+2而=6,則|包|+2|而|的值

43

為（）

A.4.5B,5.5C.6D,7.5

【解析】

解：經(jīng)過橢圓（+?=1的右焦點尸做直線（交橢圓于48兩點，若瓦？+2而=6，

43

設B（乙,yi）,貝IM的橫坐標為：3-2/,橢圓的準線方程為x=4,所以就冷=（

解得/=（，弓=5，可得順凡4|+2|/8|=（=4.5.

故選：A.

3.已知尸是橢圓C：誓+[=1的左焦點，P為C上一點，則|P4|+|-|PF|的最小值為（）

B

A.9IC.4D福

【解析】

解：因為a=5,b=V5,所以c=2,

則左準線方程為％=-包=一:，

c2

設P到左準線的距離為d,

則等=e=|,所以d=||P6|,

所以|P4|+，|PF|-\PA\+d,

所以過4作左準線的垂線4C交橢圓于P點，此時|PA|+|-|PF|最小,

所以|ac|=1—(_|)=

故選D

4.已知點P是雙曲線C：（—4=1上的動點，&,尸2分別是雙曲線。的左、右焦點。為坐標原點，則

84

儼Fi田P&I的取值范圍是（）

\0P\

A.[0,6]

B.(2.V6]

C(消]

D.[0凈

【解析】

解：設P（居y）久＞0,由焦半徑公式|尸&|=e%+a,|尸產(chǎn)2|二u%-a,

|PFi|+|PF|ex+a+ex—a斤

則=卡2廠產(chǎn)=4?4,6=匏

2exV6xV6遍「sG

則原式=向芬==亨￡'又因為雙曲線中.28.所以酋C(2,，6].

同理當汽<0時，|P&|=—CL—ex,|PF2|=-ex+a,

|PF|+|PF|6「G/ZI

仍可推出一1麗—2=下二6?，聲］.

即推出叵獵型的取值范圍為（2,歷］.

故選：B.

2

5.已知橢圓券+/=1，點%,M2,...,M5為其長軸的6等分點，分別過這5點作斜率為k（kH0）的

一組平行線，交橢圓C于B，P2,P10,則直線4Pi，4P2，...APio這10條直線的斜率乘積為.

【解析】

解：如圖所示，

P[1=-^2=

由橢圓的性質(zhì)可得心,噎=kAp2-^BP2

1=%Pi

由橢圓的對稱性可得心「。，MP]。=kAPi,

j._1

.?4P10=-5，

kg-—j,

同理可得kAPa=kAPi-kAp7=

,,_1

K1

IiAPs.AP6=一

....4P101051

直線AP2,這條直線的斜率乘積：（一》

32

故答案為：

6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在倜錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩

個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點和軸都重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為2,側面積均為

，石兀，記過兩個圓錐軸的截面為平面a,平面a與兩個圓錐側面的交線為AC、BD,已知平面/?平行于平面

a,平面￡與兩個圓錐側面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于AC、BD,則該雙曲

線C的離心率為.

【解析】

解：以矩形48CD的中心。為原點，

取力B中點為M,CD中點為N,以MN所在直線為無軸，

過點。且垂直MN的直線為y軸建立平面直角坐標系，

設雙曲線的標準方程為捻一，=l（a>0,b>0）,

由圓錐的底面直徑為2,側面積為，石兀，得4"=1,OA=口,

1b1

即-

M=(V-5)222--2-

顯然。-l=2ftan^A0Ma

故答案為：子.

7.如圖是數(shù)學家Germ出出Dcmde〃n用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放

兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球?！盖?。2的半徑分別為4和

2,球心距離|。1。21=2g,截面分別與球?！盖?。2相切于點E,F（E,F是截口橢圓的焦點），則此橢圓的

離心率等于.

【解析】

解：設。1。2CEF=D,

=\0?F\=1

由西一瓦