微積分試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(e^x\)B.\(xe^{x-1}\)C.\(e^{-x}\)D.\(-e^x\)4.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)7.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.不存在8.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是比\(x\)（）的無(wú)窮小。A.低階B.同階C.高階D.等價(jià)9.設(shè)\(z=x+2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.1B.2C.\(x\)D.\(2y\)10.\(\int\cos2xdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\sin2x+C\)B.\(\sin2x+C\)C.\(-\frac{1}{2}\sin2x+C\)D.\(-\sin2x+C\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=|x|\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\lnx\)2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\)3.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)4.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+1\)的駐點(diǎn)有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)5.下列積分值為0的是（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件是（）A.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)7.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)8.曲線\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(y=x\)D.\(y=-x\)9.對(duì)于定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.與積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)B.與被積函數(shù)\(f(x)\)有關(guān)C.與積分變量的符號(hào)有關(guān)D.當(dāng)\(f(x)\geq0\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積10.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(F(x)\)，則（）A.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)B.\(\intf(x+a)dx=F(x+a)+C\)C.\(\intf(ax)dx=\frac{1}{a}F(ax)+C\)（\(a\neq0\)）D.\(\intf(x^2)\cdot2xdx=F(x^2)+C\)判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x\)，則它的二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=2\)。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）5.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值一定是極大值。（）6.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)就是函數(shù)\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)。（）8.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量。（）9.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）10.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+1}dx\)。-答案：根據(jù)常見(jiàn)積分公式，\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\arctanx+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)關(guān)于\(x\)和\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)。-答案：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。4.用定積分求由\(y=x^2\)，\(y=x\)所圍成圖形的面積。-答案：先求交點(diǎn)，聯(lián)立\(\begin{cases}y=x^2\\y=x\end{cases}\)得交點(diǎn)\((0,0)\)，\((1,1)\)。面積\(S=\int_{0}^{1}(x-x^2)dx=[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{6}\)。討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\2x+1,x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。-答案：\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1\)，\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=1\)，\(f(0)=1\)，所以在\(x=0\)處連續(xù)。\(f^\prime_-(0)=\lim_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\)，\(f^\prime_+(0)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不等，不可導(dǎo)。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是數(shù)值，由積分區(qū)間和被積函數(shù)確定，與積分變量符號(hào)無(wú)關(guān)。3.舉例說(shuō)明如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。-答案：如\(y=x^2\)，求二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=2\gt0\)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是凹函數(shù)。若\(y=-x^2\)，\(y^{\prime\prime}=-2\lt0\)，函數(shù)在定義域內(nèi)是凸函數(shù)。4.討論多元函數(shù)中偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。-答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，也不一定連續(xù)；函數(shù)連續(xù)不能推出偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能推出可微。例如\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,