七道數(shù)學(xué)極限練習(xí)題及計(jì)算過程1.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(18n2-17,21n?+18n-16).解：觀察所求極限特征，可知所求極限的分母此時(shí)為2，分子的次數(shù)為4，且分子分母沒有可約的因子，則當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，所求極限等于0。eq\s(lim,n→∞)eq\f(18n2-17,21n?+18n-16),分子分母同時(shí)除以n?，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(\f(18,n)-\f(17,n?),21+\f(18,n3)-\f(16,n?))=0。2.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-12n-11,15+11n-39n2).解：思路一：觀察所求極限特征，可知所求極限的分子分母的次數(shù)相同均為2，且分子分母沒有可約的因子，則分子分母同時(shí)除以n2，即：eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-12n-11,15+11n-39n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(45-\f(12,n)-\f(11,n2),\f(15,n)+\f(11,n)-39)=eq\f(45-0,0-39)=-eq\f(15,13)。思路二：本題所求極限符合洛必達(dá)法則，有：eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-12n-11,15+11n-39n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(90n-12,11-78n)，繼續(xù)使用羅必塔法則，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(90-0,0-78)，=-eq\f(15,13)。3.求極限eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-15x+14,x?-21x+20).解：觀察極限特征，所求極限為定點(diǎn)x趨近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是極限函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，則：eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-15x+14,x?-21x+20)=eq\s(lim,x→1)eq\f((x-1)(x2+x-14),(x-1)(x3+x2+x-20)),=eq\s(lim,x→1)eq\f(x2+x-14,x3+x2+x-20),=eq\f(1+1-14,1+1+1-20)=eq\f(12,17)。4.求eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+20sin5x,32x-14sin3x).解：思路一：本題思路主要通過重要極限公式eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx,x)=1應(yīng)用計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+20sin5x,32x-14sin3x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+20\f(sin5x,x),32-14\f(sin3x,x))，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+100\f(sin5x,5x),32-42\f(sin3x,3x))，=eq\f(15+100,32-42)=-eq\f(23,2)。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+20sin5x,32x-14sin3x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+20*5cos5x,32-14*3cos3x)，=eq\f(15+20*5,32-14*3)=-eq\f(23,2)。5.求eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),27x+30).解：本題思路是分子分母同時(shí)除以x，并變形使用重要極限公式lim(x→0)eq\f(sinx,x)=1，則：eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),27x+30)=eq\s(lim,x→∞)eq\f(xsin\f(1,x),\f(27x+30,x))=eq\s(lim,x→∞)eq\f(\f(sin\f(1,x),\f(1,x)),27+\f(30,x)),=eq\f(1,eq\s(lim,x→∞)27+\f(30,x))=eq\f(1,27)。6.求eq\s(lim,x→0)eq\f(sin59x-sin79x,sin10x).解：思路一：對分母進(jìn)行三角和差化積，再進(jìn)行極限計(jì)算，有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin59x-sin79x,sin10x)=eq\s(lim,x→0)eq\f(2cos69xsin(-10x),sin10x),=eq\s(lim,x→0)-2cos69x=-2cos0=-2。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin59x-sin79x,sin10x),=eq\s(lim,x→0)eq\f(59cos59x-sin79cos79x,10cos10x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(59-79,10)=-2。7.求eq\s(lim,x→0)(1+15x)eq\s\up15(\f(19,21x))。解：本題主要通過使用重要極限公式eq\s(lim,x→0)(1+x)eq\s\up15(\f(1,x))=e計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)(1+15x)eq\s\up15(\f(19,21x)),=eq