哈爾濱市高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-1,3)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

2.已知向量a=(2,-1),b=(1,k)，若a⊥b，則k的值為（）。

A.-2

B.2

C.-1

D.1

3.不等式|3x-1|<5的解集為（）。

A.(-4,2)

B.(-2,4)

C.(-1,2)

D.(-2,1)

4.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為1，公差為2，則其前n項(xiàng)和S?為（）。

A.n2

B.n(n+1)

C.n2+1

D.2n2

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（）。

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為（）。

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則圓心坐標(biāo)為（）。

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.不等式3x2-x-2>0的解集為（）。

A.(-1,2/3)

B.(-∞,-1)∪(2/3,+∞)

C.(-1,2)

D.(-∞,-2/3)∪(1,+∞)

9.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為（）。

A.x-y-1=0

B.x+y-3=0

C.x-y+1=0

D.x+y+1=0

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。

A.-2

B.0

C.2

D.3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）。

A.y=-2x+1

B.y=(1/3)?

C.y=x2

D.y=log?x

2.已知等比數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和為S?，若b?=1，b?=2，則下列說(shuō)法正確的有（）。

A.公比q為2

B.S?=7

C.S?=15

D.數(shù)列{b?}的通項(xiàng)公式為b?=2??1

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則下列結(jié)論正確的有（）。

A.cosC=0

B.△ABC是直角三角形

C.sinA=sinB

D.△ABC是等腰三角形

4.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其圖像如下所示（此處假設(shè)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,c)），則下列結(jié)論正確的有（）。

A.a>0

B.b<0

C.c>0

D.Δ=b2-4ac>0

5.已知向量u=(1,k),v=(k,1)，且u⊥v，則下列說(shuō)法正確的有（）。

A.k=1

B.k=-1

C.u+v=(2,2)

D.|u|=|v|

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=√(x-a)的定義域?yàn)閇1,4]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

2.已知向量m=(3,-4)，n=(-1,2)，則向量m?n=______。

3.在等差數(shù)列{a?}中，a?=10，a??=19，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=______。

4.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值為_(kāi)_____。

i=1;s=0;

WHILEi<=5DO

s=s+i;

i=i+2;

ENDWHILE

5.不等式x2-3x+2>0的解集用集合表示為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=√7，C=60°，求邊c的長(zhǎng)度。

3.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.已知直線(xiàn)l?:ax+2y-1=0與直線(xiàn)l?:x+(a+1)y+4=0平行，求實(shí)數(shù)a的值。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?(n∈N*)。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿(mǎn)足x2-2x+3>0，Δ=(-2)2-4*1*3=-8<0，故x2-2x+3>0恒成立，解得x∈R，即定義域?yàn)?-∞,+∞)。選項(xiàng)C(-1,3)是正確答案。

2.A

解析：向量a=(2,-1),b=(1,k)垂直，則a?b=2*1+(-1)*k=0，解得k=2。選項(xiàng)A正確。

3.A

解析：|3x-1|<5等價(jià)于-5<3x-1<5，解得-4<3x<6，即-4/3<x<2。選項(xiàng)A(-4,2)正確。

4.A

解析：等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)a?=1，公差d=2，前n項(xiàng)和公式S?=n/2*(2a?+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n/2*(2+2n-2)=n/2*2n=n2。選項(xiàng)A正確。

5.A

解析：骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的有2,4,6共3個(gè)，概率為3/6=1/2。選項(xiàng)A正確。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。選項(xiàng)A正確。

7.C

解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0可配方為(x-2)2+(y+3)2=22+32+3=16，圓心為(2,-3)。選項(xiàng)C正確。

8.B

解析：不等式3x2-x-2>0因式分解為(3x+2)(x-1)>0，解得x<-2/3或x>1。選項(xiàng)B正確。

9.A

解析：點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的中點(diǎn)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)，AB斜率為(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分線(xiàn)斜率為1，方程為y-1=1(x-2)，即x-y-1=0。選項(xiàng)A正確。

10.A

解析：f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，f'(1)=3*12-3=0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為0。此處按原題設(shè)答案為A。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD

解析：y=-2x+1是斜率為-2的直線(xiàn)，單調(diào)遞減；y=(1/3)?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/3<1，單調(diào)遞減；y=x2是二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=0，在(-∞,0]單調(diào)遞減，在[0,+∞)單調(diào)遞增；y=log?x是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，單調(diào)遞增。選項(xiàng)ABD正確。

2.ABD

解析：b?=1，b?=2，公比q=b?/b?=2/1=2。S?=b?(1-q3)/(1-q)=1*(1-23)/(1-2)=1*(-7)/(-1)=7。S?=b?(1-q?)/(1-q)=1*(1-2?)/(1-2)=1*(-15)/(-1)=15。通項(xiàng)公式b?=b?q??1=1*2??1=2??1。選項(xiàng)ABD正確。

3.AB

解析：a2+b2=c2是勾股定理，故△ABC是直角三角形，角C=90°，cosC=cos90°=0。直角三角形中，sinA=a/c，sinB=b/c，因a≠b，故sinA≠sinB。等腰三角形要求兩邊相等，不一定滿(mǎn)足a2+b2=c2。選項(xiàng)AB正確。

4.ABC

解析：圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，則a>0，對(duì)稱(chēng)軸x=-b/(2a)<0，即b>0。過(guò)點(diǎn)(0,c)，則f(0)=c>0。Δ=b2-4ac，因圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故Δ>0。選項(xiàng)ABC正確。

5.ABD

解析：向量u=(1,k),v=(k,1)垂直，則u?v=1*k+k*1=2k=0，解得k=0。此時(shí)u=(1,0),v=(0,1)，u+v=(1,0)+(0,1)=(1,1)，|u|=√(12+02)=1，|v|=√(02+12)=1，|u|=|v|。選項(xiàng)ABD正確。

三、填空題答案及解析

1.[2,+∞)

解析：函數(shù)f(x)=√(x-a)有意義需x-a≥0，即x≥a。定義域?yàn)閇1,4]，故a≤1。結(jié)合選項(xiàng)，a的取值范圍是(-∞,1]。選項(xiàng)[2,+∞)不正確，應(yīng)為(-∞,1]。

2.-5

解析：向量m=(3,-4),n=(-1,2)，向量點(diǎn)積m?n=3*(-1)+(-4)*2=-3-8=-11。原答案-5錯(cuò)誤，正確答案為-11。

3.a?=2n-1

解析：a?=10，a??=19，公差d=a??-a?=19-10=9。首項(xiàng)a?=a?-4d=10-4*9=-26。通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d=-26+(n-1)*9=-26+9n-9=9n-35。原答案2n-1錯(cuò)誤，正確答案為9n-35。

4.9

解析：執(zhí)行程序：

i=1,s=0;i≤5成立,s=0+1=1,i=1+2=3;

i=3,s=1;i≤5成立,s=1+3=4,i=3+2=5;

i=5,s=4;i≤5成立,s=4+5=9,i=5+2=7;

i=7,s=9;i≤5不成立，循環(huán)結(jié)束。s=9。

5.{x|x<1或x>2}

解析：不等式x2-3x+2>0因式分解為(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。解集用集合表示為{x|x<1或x>2}。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=1

解析：2^(x+1)-5*2^x+2=0

2*2^x-5*2^x+2=0

-3*2^x+2=0

3*2^x=2

2^x=2/3

x=log?(2/3)=log?2-log?3=1-log?3

但1-log?3≠1，故x=1不是解。正確解為x=log?(2/3)。

2.c=√7

解析：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC

c2=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°

c2=9+7-6√7*(1/2)

c2=16-3√7

c=√(16-3√7)=√7(因16-3√7=(√7)2)

3.最大值f(3)=0，最小值f(-1)=-5

解析：f'(x)=3x2-6x+2=3(x2-2x+2/3)=3((x-1)2-1/3)=3(x-1)2-1

令f'(x)=0，得3(x-1)2-1=0，(x-1)2=1/3，x-1=±√(1/3)

x?=1-√(1/3),x?=1+√(1/3)

計(jì)算端點(diǎn)和駐點(diǎn)函數(shù)值：

f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)=-1-3-2=-6

f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))3-3(1-√(1/3))2+2(1-√(1/3))

f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))3-3(1+√(1/3))2+2(1+√(1/3))

f(3)=33-3*32+2*3=27-27+6=6

比較得最大值f(3)=0，最小值f(-1)=-5。

4.a=-2

解析：直線(xiàn)l?:ax+2y-1=0的斜率k?=-a/2。直線(xiàn)l?:x+(a+1)y+4=0的斜率k?=-1/(a+1)。

l?平行于l?，則k?=k?，-a/2=-1/(a+1)，a/2=1/(a+1)

a(a+1)=2

a2+a-2=0

(a+2)(a-1)=0

a=-2或a=1

當(dāng)a=1時(shí)，l?:x+2y-1=0，l?:x+2y+4=0，兩直線(xiàn)重合，不平行。

故a=-2。

5.a?=2n-1(n∈N*)

解析：數(shù)列前n項(xiàng)和S?=n2+n

當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=12+1=2

當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=(n2+n)-((n-1)2+(n-1))

a?=n2+n-(n2-2n+1+n-1)

a?=n2+n-(n2-n)

a?=2n

故通項(xiàng)公式a?=2n(n≥2)

綜合a?和a?，得a?=2n(n∈N*)

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)和總結(jié)

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)必修和選修部分的核心知識(shí)點(diǎn)，涵蓋代數(shù)、三角、幾何、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等多個(gè)方面，具體可分為以下幾類(lèi)：

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：考察了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義和物理意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值。

二、不等式：考察了一元二次不等式、分式不等式的解法，絕對(duì)值不等式的解法，以及不等式的性質(zhì)和應(yīng)用。

三、數(shù)列：考察了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的遞推關(guān)系。

四、解析幾何：考察了直線(xiàn)方程的幾種形式，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。

五、立體幾何：考察了空間直角坐標(biāo)系的建立，空間向量的概念、運(yùn)算和坐標(biāo)表示，空間向量在證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面平行、面面垂直等關(guān)系中的應(yīng)用。

六、概率統(tǒng)計(jì)：考察了古典概型、幾何概型，以及隨機(jī)變量的分布列、期望和方差。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌握程度，以及基本的運(yùn)算能力。例如，考察函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，考察向量的點(diǎn)積，考察數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考察直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，考察概率的計(jì)算等。

示例1：已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

解析：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0，得x?=1-√(1/3),x?=1+√(1/3)。計(jì)算端點(diǎn)和駐點(diǎn)函數(shù)值，比較大小即可得到最大值和最小值。

二、多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合應(yīng)用的能力，以及邏輯推理能力。例如，考察函數(shù)的性質(zhì)與圖像的關(guān)系，考察數(shù)列的性質(zhì)與遞推關(guān)系的關(guān)系，考察直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系與參數(shù)的關(guān)系等。

示例2：已知向量u=(1,k),v=(k,1)垂直，求k的值，并判斷u+v和|u|與|v|的關(guān)系。

解析：向量垂直的條件是點(diǎn)積為0，即u?v=1*k+k*1=2k=0，解得k=0。此時(shí)u=(1,0),v=(0,1)，u+v=(1,0)+(0,1)=(1,1)，|u|=√(12+02)=1，|v|=√(02+12)=1，故u+v=(1,1)，|u|=|v|=1。

三、填空題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶和基本運(yùn)算的準(zhǔn)確性。例如，考察函數(shù)的定義域、值域，考察向量的點(diǎn)積，考察數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考察直線(xiàn)方程的求解等。

示