試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁完成時(shí)間：___________月___________日天氣：作業(yè)等腰三角形三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型【題型一：等腰三角形性質(zhì)的計(jì)算問題】（2024?蘭州）1．如圖，在中，，，，則（

）A． B． C． D．（2024秋?云夢(mèng)縣期中）2．如圖，在中，，，于點(diǎn)E，若，且的周長(zhǎng)為8，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．3 D．（2024春?西安月考）3．在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則（）A． B． C． D．（2024春?藁城區(qū)期末）4．如圖，在△ABC中，，，，若，則∠BAE＝°．【題型二：等腰三角形性質(zhì)的證明問題】5．已知，如圖在等腰三角形中，，P為的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，求證：．6．如圖，已知為等腰三角形，為底角的平分線，且，求證：．7．如圖，在中，，是邊上的中線，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求證：．（2024春·湖南·八年級(jí)期末）8．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，，，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證；(2)若，求證．【題型三：等腰三角形的判定個(gè)數(shù)問題】（2024秋?灌南縣期中）9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，在△ABC中，且，且，AD是邊BC上的高，的平分線交AD于F，交AC于E，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．511．在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B是方格紙中的兩個(gè)格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)）．在這張5×5的方格紙中，找出格點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C有（）A．3個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)（2024春·廣西欽州·八年級(jí)?？计谥校?2．如圖，在中，度，，，在直線上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型四：等腰三角形判定的證明問題】13．已知：如圖，AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．求證：△AED是等腰三角形．14．如圖，D為的邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過D作，垂足為F，交于E，且．求證：是等腰三角形．15．已知：如圖，在中，，，是兩腰上的高，二高交于點(diǎn)．求證：是等腰三角形．16．已知如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．求證：是等腰三角形．【題型五：等邊三角形性質(zhì)的計(jì)算問題】17．如圖，在等邊中，為邊上的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫弧，與邊交點(diǎn)為，則的度數(shù)為（

）A．60° B．75° C．105° D．115°18．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數(shù)為（

）A．25° B．20° C．15° D．7.5°19．如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，若的周長(zhǎng)為15，，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．520．如圖，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，過邊上一點(diǎn)作于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取，連接，交于，則的長(zhǎng)為．

【題型六：等邊三角形的性質(zhì)的證明問題】21．如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形，證明：BD=CE．22．如圖，是等邊的中線，以D為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于E，連接．求證：．23．如圖，，都是等邊三角形．求證：24．如圖，在等邊中，，，垂足為M，E是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，．求證：．【題型七：等邊三角形的多結(jié)論判斷問題】25．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；③有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形；④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對(duì)稱軸，則這個(gè)三角形是等邊三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)26．若一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為60°，則下列判斷中：（1）這個(gè)三角形是銳角三角形；（2）這個(gè)三角形是等腰三角形；（3）這個(gè)三角形是等邊三角形；（4）形狀不能確定；（5）不存在這樣的三角形．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)27．如圖，在中，，D是上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，，則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③是等邊三角形；④若，則．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④28．如圖，已知和都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，BE交AC于點(diǎn)M，AD交CE于點(diǎn)N，AD，BE交于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等邊三角形、其中，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型八：等邊三角形的判定的證明問題】29．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若AF＝BF，求證：△CEF是等邊三角形．30．如圖，點(diǎn)D在線段BC上，∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=DC，求證：△ADE為等邊三角形．31．如圖，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等邊三角形．32．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F．(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．【題型一：等腰三角形與折疊問題】33．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1cm，D、E分別AB、AC是上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分的周長(zhǎng)為（）cmA．1 B．2 C．3 D．434．如圖，將等邊三角形紙片折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，其中折痕分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．35．如圖，已知等邊中，點(diǎn)分別在邊上，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，、分別交邊于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．36．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，將△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上的D點(diǎn)處，設(shè)EF與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F，如果折疊后△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么∠B＝．

【題型二：等腰三角形與動(dòng)點(diǎn)問題】37．如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以每秒速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．38．如圖，在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使與全等．39．如圖，在中，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作交線段于E．(1)當(dāng)時(shí)，；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀也在改變，判斷當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，是等腰三角形．40．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【題型三：等腰三角形中的分類討論問題】41．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿足，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或1042．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則它一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或43．若一個(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．無法確定44．已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為45cm，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底長(zhǎng)為．【題型四：等邊三角形中的最值問題】45．如圖，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰，則的最小值為（）

A．3 B．4 C．5 D．646．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．47．如圖，將等邊△ABC折疊，使得點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)D處，折痕為EF，O為折痕EF上一動(dòng)點(diǎn)，若AD＝2，AC＝6，△OCD周長(zhǎng)的最小值是（

）A．8 B．10 C．12 D．1448．如圖，在等腰中，，，是等邊三角形，P是的平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

【題型五：等邊三角形與平面直角坐標(biāo)系問題】49．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果改變，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？50．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果改變，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？51．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）的度數(shù)是；（直接寫出答案，不需要說明理由．）（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如不變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若改變，請(qǐng)說明理由．52．如圖，平面直角坐標(biāo)系中．A點(diǎn)在y軸上，，在x軸上，，且b、c滿足等式．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖1，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連，若．求證：平分；(3)如圖2，中，，，M為中點(diǎn)，試確定與的位置關(guān)系．【題型一：等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】53．如圖，在中，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．54．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，AE=AC，AD⊥CE，連接DE．(1)求證：∠DEC=∠DCE；(2)若AC=BC，BE=CE．①求∠B的度數(shù)；②試探究AB-AC與BC-DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2024春·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校?5．如圖，在中，，與的平分線相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，作交于點(diǎn)．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．（2024春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀?6．如圖，四邊形中，，過點(diǎn)D作，與C交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)H．(1)求證：為等腰三角形；(2)若E為中點(diǎn)，猜想，與三者的數(shù)量關(guān)系．并證明之【題型二：等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合題】57．在中，，，是邊上的高，點(diǎn)E為直線上點(diǎn)，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，求證：為等邊三角形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：為等腰三角形．58．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)．(1)以為邊構(gòu)造等邊（其中點(diǎn)D、E在直線兩側(cè)），連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若過點(diǎn)C作，在上取一點(diǎn)F，連接、，使得，試猜想的形狀，直接寫出你的結(jié)論．59．如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)．將繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，使得，連接．已知，設(shè)．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)的大小不變?yōu)椋?2)分析問題：當(dāng)時(shí)，分析判斷的形狀是三角形．(3)解決問題：請(qǐng)直接寫出當(dāng)為度時(shí)，是等腰三角形．60．已知線段于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，直線交直線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，直接寫出，，之間的關(guān)系．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，在圖②、圖③中選一個(gè)進(jìn)行證明．(3)在（1）、（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的值．

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：B2．B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知可得，從而可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，且的周長(zhǎng)為8，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，故選：B．3．B【分析】由是等腰三角形，于點(diǎn)D，得到，，又由得到，則，由得到，則，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，∵于點(diǎn)D，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．31【分析】先根據(jù)，，求得∠ADB=90°-28°=62°，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得到BD=AD，從而得到∠ABD=∠BAD，即可由三角形內(nèi)角和定理求得∠BAD=59°，從而由∠BAE=∠BAD-∠DAE求解．【詳解】解：∵，，∴∠ADB=90°-28°=62°，∵，，∴BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∴∠BAD=（180°-∠ADB）=（180°-62°）=59°，∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=59°-28°=31°，故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求出∠BAD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．利用證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵P是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．6．見解析【分析】由等腰三角形性質(zhì)，得，由角平分線定義，得，進(jìn)而，得證．【詳解】證明：∵為等腰三角形，，∴．又∵為底角的平分線，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定；掌握等腰三角形等邊對(duì)等角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可得證結(jié)論；（2）根據(jù)證，得出，根據(jù)，即可得證結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，是邊上的中線，∴，，，，，∴，∴．（2）證明：由（1）知，，那么，在和中，，∴，∴，是邊上的中線，∴．8．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先證明，再根據(jù)可證；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再證明，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，進(jìn)一步即可得證．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，在和中，，；（2）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC這些條件，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°和等腰三角形的性質(zhì)，求出各個(gè)角的度數(shù)，即可判斷．【詳解】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，因?yàn)椤螧AD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°?36°?36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，又因?yàn)椤螧AE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°?72°?36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)在中，，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，然后可得等腰三角形．【詳解】∵AD是邊BC上的高線，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形，∵是的平分線，∴∴．∴是等腰三角形，則，而，故為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的高、角平分線，等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是要熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)．11．C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定即可確定．【詳解】解：如圖所示：滿足條件的點(diǎn)C有6個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如下圖，

作垂直平分線與相交于點(diǎn)P，可得，以A為圓心，為半徑畫圓，交有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，，以B為圓心，為半徑畫圓，交有一個(gè)交點(diǎn)，可得，∴符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．13．見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠BAD，等量代換得到∠ADE=∠CAD于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠ADE=∠CAD，∴AE=ED，∴△AED是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．見解析【分析】首先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE=∠BED，然后結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可得到∠BDE=∠CEF，接下來，依據(jù)直角三角形兩銳角互余、等角的補(bǔ)角相等等知識(shí)可得到∠A=∠C，最后，再依據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：證明：∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED又∵∠BED=∠CEF，∴∠BDE=∠CEF又∵DF⊥AC，∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，∴∠A=∠C，∴AB=BC（等角對(duì)等邊），∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．見解析【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再根據(jù)等角的余角相等得到，從而證明．此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，綜合利用了三角形內(nèi)角和，直角三角形兩銳角的性質(zhì)，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)能夠熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，∴；∵，是兩腰上的高，∴，∵，∴；∴，∴為等腰三角形．16．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用得出，再利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定得出即可．【詳解】證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．17．C【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可求出∠DAC=30°，結(jié)合AD等于AE求出∠AED的度數(shù)即可解出∠DEC的度數(shù)．【詳解】解：在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，∴∠DAC=∠BAC=30°，在△ADE中，AD=AE，∴∠AED=∠ADE=（180°-30°）=75°，∵∠AED+∠DEC=180°，∴∠DEC=180°-75°=105°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠熟練掌握該知識(shí)并進(jìn)行合理運(yùn)用．18．C【分析】根據(jù)DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)及等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°，即可得到答案．【詳解】解：∵DF=DE，CG=CD，∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，∴∠GDC=30°．又∵∠GDC=∠E+∠EFD，∴∠E=15°．故選C【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，靈活應(yīng)用外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等量代換得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，然后求解即可．【詳解】解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，∴，同理得：，∴，∵的周長(zhǎng)為15，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．【分析】延長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)F，先證明，得出，，再證明，得出，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)F，∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形三個(gè)角都是，正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形．21．見解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到兩組邊對(duì)應(yīng)相等，一組角相等，從而利用SAS判定兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到BD=CE．【詳解】證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAD=∠CAE．在△BAD與△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明線段相等常常通過三角形全等進(jìn)行解決，全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．22．見解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵是等邊的中線，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．23．證明見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由得到，利用“”即可證明，得到，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∵，∴，∴．24．見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，連接，即可證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可知，即可求出，最后即可證明．【詳解】證明：如圖所示，連接．是等邊三角形，，，，，，，，，，又，．25．D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)符合題意．②有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)符合題意．③有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)符合題意．④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對(duì)稱軸，則這個(gè)三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．26．C【分析】因?yàn)樽钚〗菫?0度，則該三角形的最大角不能大于60度，否則最小的角將不是60°，則可以得到其三個(gè)角均為60度，即是一個(gè)等邊三角形．【詳解】解：因?yàn)樽钚〗菫?0度，則該三角形的最大角不能大于60度，否則不合題意，則可以得到其三個(gè)角均為60度，即是一個(gè)等邊三角形，故（3）正確；其最大角不大于90度，所以是銳角三角形，故（1）正確；等邊三角形是特殊的等腰三角形，故（2）正確；這個(gè)圖形是等邊三角形，形狀可以確定，故（4）錯(cuò)誤；存在這樣的三角形，即等邊三角形，故（5）錯(cuò)誤；所以前三項(xiàng)正確，即正確的有三個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了了學(xué)生的概念辨析能力，掌握等邊三角形的判定方法和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．B【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定．由，，，可得①正確；由①可證得，即可得②正確；易得③是等腰三角形，但不能證得是等邊三角形；由若，易求得，則可證得，繼而證得．【詳解】解：在中，，，，，，，，故①正確；，，，，，，，故②正確；，，但不能判定是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；∵若，，，是等邊三角形，，，，，，故④正確．故選：B．28．D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD=BE；由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，再由對(duì)頂角相等知∠AMP=∠BMC，所以∠APM==∠ACB=60°，再根據(jù)“ASA”判斷△ACN≌△BCM，所以AN=BM，∠BMC=∠ANC；由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，則根據(jù)等邊三角形的判定即可得到△CMN為等邊三角形．【詳解】證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；故①正確；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE；又∵∠AMP=∠BMC，∴∠APM==∠ACB=60°；故③正確；在△ACN和△BCM中，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；故②，④正確；∵△ACN≌△BCM，∴CN=BM，而∠MCN=60°，∴△CMN為等邊三角形．故⑤正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．29．見解析.【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=30°，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，進(jìn)而可知∠4=∠5=60°，得證．【詳解】證明：如圖，∵AF是∠BAC的平分線，∴∠CAB=2∠1=2∠2，∵AF=BF，∴∠2=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，∵∠4是△ABF的外角，∴∠4=∠2+∠B=60°，∵CD是AB邊上的高，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=60°，∵∠5=∠3，∴∠4=∠5=60°，∴△CEF是等邊三角形．【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)．30．證明見解析．【分析】首先證明BADCDE，再證明△BAD≌△CDE得到ADDE，最后根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可．【詳解】證明：在△ABD中，BAD180BADB∵CDE180ADEADB，BADE60∴BADCDE在△BAD和△CDE中，∴△BAD≌△CDE（ASA）∴ADDE∵ADE60∴△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定，熟練掌握判定定理是解答此題的關(guān)鍵．31．(1)(2)證明見解析【分析】（1）因?yàn)?，根?jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，又，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可求出的度數(shù)為．（2），，，三個(gè)角是的三角形是等邊三角形．【詳解】（1）解：，，，即．（2）：，，．，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的底角相等，以及等邊三角形的判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．32．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分線，再根據(jù)等腰三角形三線合一即可得證；（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知CD=DB，再根據(jù)DB=BC，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和Rt△EBD中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），∴∠CBE=∠DBE，∵BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∴BF⊥CD，CF=DF，∴BE垂直平分CD．（2）∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴DC=DB，又∵BD=BC，∴DC=DB=BC，∴△CBD是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形與等邊三角形，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．33．C【分析】由題意得到DA′＝DA，EA′＝EA，經(jīng)分析判斷得到陰影部分的周長(zhǎng)等于△ABC的周長(zhǎng)即可解決問題．【詳解】如圖，由題意得：DA′＝DA,EA′＝EA，∴陰影部分的周長(zhǎng)＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)＝AB＋BC＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及折疊的問題，折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對(duì)稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對(duì)稱變換所得的等量關(guān)系.34．C【分析】根據(jù)等邊三角形折疊的性質(zhì)及垂直的定義得出，結(jié)合圖形及三角形外角的性質(zhì)得出，利用折疊得出即可求解．【詳解】解：∵，將等邊三角形紙片折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，∴，∴，∵等邊三角形，∴，∴，∵將等邊三角形紙片折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊上，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．35．##40度【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合翻折的性質(zhì)可得，易知，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，然后由可推導(dǎo)，然后在中由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，由翻折可得，∴，∵，又∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、對(duì)頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．36．30°【分析】先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因?yàn)椴淮_定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可．【詳解】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，設(shè)∠DAE＝x°，由對(duì)稱性可知，AF＝FD，AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分類如下：①當(dāng)DE＝DB時(shí)，如圖1所示：

∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，解得：x＝22.5°．此時(shí)∠B＝2x＝45°，∵AC＜BC，∴∠B＝45°不成立；②當(dāng)BD＝BE時(shí)，如圖2所示：

則∠B＝（180°﹣4x）°，∠CAD＝22.5°．由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，此時(shí)∠B＝（180﹣4x）°＝30°．③DE＝BE時(shí)，則∠B＝（180﹣2x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，此方程無解．∴DE＝BE不成立．綜上所述，∠B＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，在不確定等腰三角形的腰時(shí)要注意分類討論，不要漏解，另外要注意方程思想在求解幾何問題中的應(yīng)用．37．4【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，，由是以為底的等腰三角形，可知，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，，∵是以為底的等腰三角形，∴，即，解得，．故答案為：4．38．4或6【分析】首先求出的長(zhǎng)，要使與全等，必須或，得出方程或，求出方程的解解答即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定的應(yīng)用；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒后，使與全等，∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴厘米，∵，∴，∴要使與全等，必須或，即或，解得：或，時(shí)，，故點(diǎn)Q的速度為：；時(shí)，，故點(diǎn)Q的速度為：；即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是4或6，故答案為：4或6．39．(1)；小(2)2，理由見解析(3)當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，將已知數(shù)值代入即可求出，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向可判定的變化情況．（2）假設(shè)，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出，即可求得答案．（3）假設(shè)是等腰三角形，分為三種情況：①當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，得出此時(shí)不符合；②當(dāng)時(shí)，求出，求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；③當(dāng)時(shí)，求出，求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出．【詳解】（1）解：；從圖中可以得知，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變?。还蚀鸢笧椋?；?。唬?）解：，，，，當(dāng)時(shí)，；（3）解：，，①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不符合；②當(dāng)時(shí)，即，，；；③當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．40．（1）；（2）11秒或12秒.【分析】（1）由題意用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ，可得到關(guān)于t的方程，即可求得t；（2）根據(jù)題意用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，即可求得t的值．【詳解】解：（1）由題意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=16，∴BP=AB-AP=16-t，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP=BQ，即16-t=2t，解得t=，∴出發(fā)秒后△PQB能形成等腰三角形；（2）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=BQ，如圖1所示，則∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°．∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=10（cm），∴BC+CQ=22（cm），∴t=22÷2=11（秒）．②當(dāng)，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=BC，如圖2所示，則BC+CQ=24（cm），∴t=24÷2=12（秒）．綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒時(shí)，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．掌握用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意結(jié)合方程思想進(jìn)行分析．41．A【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于a、b的方程組，接下來解方程組即可求出a、b的值，再分類討論，可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴，，①當(dāng)是腰時(shí)，三邊分別為2、2、3，能組成三角形，周長(zhǎng)為：．②當(dāng)是腰時(shí)，三邊分別為3、3、2，能組成三角形，周長(zhǎng)為：．所以等腰三角形的周長(zhǎng)7或8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題．42．C【分析】畫出圖形（見解析），分①和②兩種情況，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余求解即可得．【詳解】解：如圖，在中，，是邊上的高．

①當(dāng)時(shí)，則，，；②當(dāng)時(shí)，，；綜上，這個(gè)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．43．C【分析】分兩種情況，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，作于點(diǎn)D，取的中點(diǎn)E，連接，如圖：

則，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取的中點(diǎn)，連接，如圖：

則，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴；綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是或，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．44．9cm或21cm【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長(zhǎng)來聯(lián)立方程組，進(jìn)而可求得等腰三角形的底邊長(zhǎng)．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為27cm和18cm兩部分，∴或，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為9cm或21cm．故答案為：9cm或21cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．45．B【分析】連接，證明，得，從而點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，再利用垂線段最短解決問題．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，∴，

在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，證明點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．46．A【分析】連接，則的長(zhǎng)度即為與和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，與交于點(diǎn)P，∵是等邊三角形，，∴，∴，即就是的最小值，∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．47．B【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、線段和差可得，再連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得的周長(zhǎng)為，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：是等邊三角形，且，，，，如圖，連接，由折疊的性質(zhì)得：，則的周長(zhǎng)為，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，則周長(zhǎng)的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．48．20【分析】先確定點(diǎn)P是等腰對(duì)稱軸上一點(diǎn)，再構(gòu)造將軍飲馬模型得到的最小值為的長(zhǎng)，從而使問題得到解決．【詳解】連接，

∵是等腰三角形，，是的角平分線，∴所在直線為等腰對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，即的最小值為的長(zhǎng)．∵是等邊三角形，∴，∴的最小值為20．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，涉及等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，確定問題是將軍飲馬模型問題是解題的關(guān)鍵．49．(1)見解析(2)不變，(3)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)“SAS”可判定，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）由是等邊三角形得，再由得，根據(jù)可得結(jié)論；（3）先求得，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰，最后根據(jù)中，，求得，據(jù)此得到，即可得出點(diǎn)C的位置．【詳解】（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∵，∴，∴；（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵△OBC≌△ABD，∴，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰，在中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．50．(1)見解析(2)不變，(3)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)“SAS”可判定，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）由是等邊三角形得，再由得，根據(jù)可得結(jié)論；（3）先求得，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰，最后根據(jù)中，，求得，據(jù)此得到，即可得出點(diǎn)C的位置．【詳解】（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∵，∴，∴；（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵△OBC≌△ABD，∴，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰，在中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．51．（1）見詳解；（2）60°；（3）不變，【分析】（1）由題意易得△OPB≌△APC，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證；（2）由（1）可直接進(jìn)行求解；（3）由題意易得∠EAO=60°，則有∠AEO=30°，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴AP=OP，∠APO=60°，∵△PBC是等邊三角形，∴PB=PC，∠BPC=60°，∵∠APB是公共角，∴∠OPB=∠APC，∴△OPB≌△APC（SAS），∴OB=AC；（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，∴∠BOP=∠CAP，∵∠BOP=60°，∴∠CAP=60°，故答案為60°；（3）解：不變，AE=8，理由如下：由（2）得：∠CAP=60°，∵∠OAP=60°，∴∠EAO=60°，∴∠AEO=30°，∵，∴OA=4，∴AE=2OA=8．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系與圖形的綜合、等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系與圖形的綜合、等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．52．(1)是等邊三角形，理由見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由得B與C關(guān)于y軸對(duì)稱，推出，是等邊三角形．（2）連接，知，得，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使，證明，，則結(jié)論得證．（3）延長(zhǎng)至F，使，連接，證，得，則結(jié)論得證．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵∴，∴B與C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴是的中垂線，∴，∵，∴是等邊三角形．（2）解：連接，由（1）知．∴．在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使．設(shè)，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即平分．（3）解：延長(zhǎng)至F，使，連接．∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、等邊三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．53．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解答此題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)條件證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得到是等腰三角形；（2）根據(jù)，可知，即可得出結(jié)論；（3）由（2）知，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）證明：∵，∴，∴；（3）解：由（2）知，∵，∴．54．(1)見解析(2)①26°；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，可以得出DE=DC，從而證得∠DEC=∠DCE；（2）①設(shè)，分別找出在中各個(gè)角與的關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和等于180°建立方程