平面向量及其應(yīng)用章末題型歸納總結(jié)（基礎(chǔ)篇）（10大題型）原卷版20252025學(xué)年高一數(shù)學(xué)（人教A版必修第二冊）題型一：平面向量的基本概念平面向量的基本概念是學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)，準確理解這些概念對于后續(xù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。1.向量的定義向量是既有大小又有方向的量。例如，在物理學(xué)中，位移、力等都是向量。位移不僅有移動的距離（大?。?，還有移動的方向；力也有大小和作用方向。用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。2.向量的模向量的模是指向量的大小，記作\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。若向量\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，則\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。比如，向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，那么\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。3.零向量與單位向量零向量是模為\(0\)的向量，記作\(\overrightarrow{0}\)，其方向是任意的。單位向量是模為\(1\)的向量。對于任意非零向量\(\overrightarrow{a}\)，與它同向的單位向量為\(\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)。例如，已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,0)\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，則與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量為\((1,0)\)。4.平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任意向量平行。若\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow(\overrightarrow\neq\overrightarrow{0})\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行。比如，\(\overrightarrow{a}=(2,4)\)，\(\overrightarrow=(1,2)\)，因為\(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow\)，所以\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行。5.相等向量與相反向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)是相等向量，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow\)；若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)是相反向量，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow\)。題型二：平面向量的線性運算平面向量的線性運算包括加法、減法和數(shù)乘運算，這些運算是解決向量問題的基本工具。1.向量加法三角形法則：已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，在平面內(nèi)任取一點\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow\)，則向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的和，記作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。平行四邊形法則：以同一點\(O\)為起點的兩個已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)為鄰邊作平行四邊形\(OACB\)，則以\(O\)為起點的對角線\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的和。運算律：交換律\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)；結(jié)合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)。2.向量減法向量減法是加法的逆運算。已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow\)，則\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\overrightarrow\)。即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。3.向量數(shù)乘實數(shù)\(\lambda\)與向量\(\overrightarrow{a}\)的積是一個向量，記作\(\lambda\overrightarrow{a}\)，它的長度與方向規(guī)定如下：\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)；當(dāng)\(\lambda\gt0\)時，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的方向與\(\overrightarrow{a}\)的方向相同；當(dāng)\(\lambda\lt0\)時，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的方向與\(\overrightarrow{a}\)的方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。運算律：\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)；\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)；\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)。題型三：平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明平面內(nèi)任意向量都可以用一組不共線的向量來線性表示。1.定理內(nèi)容如果\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量\(\overrightarrow{a}\)，有且只有一對實數(shù)\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}\)。我們把不共線的向量\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。2.基底的選擇基底的選擇不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，\(\overrightarrow{i}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{j}=(0,1)\)就是一組常用的基底，平面內(nèi)任意向量\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)都可以表示為\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)。3.應(yīng)用利用平面向量基本定理可以將向量進行分解，解決與向量線性表示相關(guān)的問題。例如，已知\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是一組基底，\(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{e_1}2\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\)，求\(2\overrightarrow{a}3\overrightarrow\)。首先，根據(jù)向量數(shù)乘和加法的運算律：\(2\overrightarrow{a}3\overrightarrow=2(3\overrightarrow{e_1}2\overrightarrow{e_2})3(2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})\)\(=6\overrightarrow{e_1}4\overrightarrow{e_2}6\overrightarrow{e_1}3\overrightarrow{e_2}\)\(=7\overrightarrow{e_2}\)題型四：平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示將向量與數(shù)聯(lián)系起來，為向量的運算提供了更方便的方法。1.向量坐標(biāo)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個單位向量\(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)作為基底。對于平面內(nèi)的一個向量\(\overrightarrow{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)，我們把有序數(shù)對\((x,y)\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)。2.向量坐標(biāo)運算加法：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。減法：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\overrightarrow=(x_1x_2,y_1y_2)\)。數(shù)乘：若\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，\(\lambda\inR\)，則\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax,\lambday)\)。向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{AB}=(x_2x_1,y_2y_1)\)。3.應(yīng)用利用向量坐標(biāo)運算可以解決向量的平行、垂直等問題。例如，已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，求\(x\)的值。因為\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x_1y_2x_2y_1=0\)。所以\(2\times63x=0\)，即\(123x=0\)，解得\(x=4\)。題型五：平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示是解決向量平行問題的重要工具。1.定理內(nèi)容設(shè)\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，其中\(zhòng)(\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)的充要條件是\(x_1y_2x_2y_1=0\)。2.證明若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則存在實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)，即\((x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)=(\lambdax_2,\lambday_2)\)，所以\(\begin{cases}x_1=\lambdax_2\\y_1=\lambday_2\end{cases}\)，消去\(\lambda\)可得\(x_1y_2x_2y_1=0\)；反之，若\(x_1y_2x_2y_1=0\)，當(dāng)\(x_2\neq0\)時，\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\lambda\)，則\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)，所以\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)；當(dāng)\(x_2=0\)時，\(y_2\neq0\)，由\(x_1y_2x_2y_1=0\)得\(x_1=0\)，此時\(\overrightarrow{a}=(0,y_1)\)，\(\overrightarrow=(0,y_2)\)，也有\(zhòng)(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)。3.應(yīng)用利用向量共線的坐標(biāo)表示可以解決三點共線等問題。例如，已知\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(4,y)\)三點共線，求\(y\)的值。首先求\(\overrightarrow{AB}=(21,32)=(1,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(41,y2)=(3,y2)\)。因為\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線，所以\(\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{AC}\)。根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得\(1\times(y2)1\times3=0\)，即\(y23=0\)，解得\(y=5\)。題型六：平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是向量的一種重要運算，它與向量的長度、夾角等密切相關(guān)。1.數(shù)量積的定義已知兩個非零向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)，它們的夾角為\(\theta\)，我們把數(shù)量\(\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)叫做\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)。規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為\(0\)。2.數(shù)量積的性質(zhì)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\vert\overrightarrow{a}\vert^{2}\)；\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)；\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\vert\leqslant\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\)。3.數(shù)量積的運算律交換律：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}\)；數(shù)乘結(jié)合律：\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow)=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow)\)；分配律：\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow\cdot\overrightarrow{c}\)。4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。題型七：利用平面向量數(shù)量積求向量的模向量的模與向量的數(shù)量積有密切的關(guān)系，利用數(shù)量積可以方便地求出向量的模。1.公式推導(dǎo)由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\vert\overrightarrow{a}\vert^{2}\)可得\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\)。若\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=x^{2}+y^{2}\)，所以\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。2.應(yīng)用舉例已知\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，求\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。根據(jù)公式\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。若已知\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)的模和它們的夾角，也可以求\(\vert\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow\vert\)。例如，已知\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=3\)，\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(60^{\circ}\)，求\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert\)。首先，根據(jù)\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+\overrightarrow^{2}\)。因為\(\overrightarrow{a}^{2}=\vert\overrightarrow{a}\vert^{2}=4\)，\(\overrightarrow^{2}=\vert\overrightarrow\vert^{2}=9\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos60^{\circ}=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。所以\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert^{2}=4+2\times3+9=19\)，則\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=\sqrt{19}\)。題型八：利用平面向量數(shù)量積求向量的夾角向量的夾角與向量的數(shù)量積之間存在著緊密的聯(lián)系，通過數(shù)量積可以求出向量的夾角。1.公式推導(dǎo)由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)可得\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}\)，其中\(zhòng)(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角，\(\theta\in[0,\pi]\)。2.應(yīng)用舉例已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,3)\)，求\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角\(\theta\)。首先，計算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(2)+2\times3=2+6=4\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow\vert=\sqrt{(2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。然后，根據(jù)\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}=\frac{4}{\sqrt{5}\times\sqrt{13}}=\frac{4}{\sqrt{65}}\)。所以\(\theta=\arccos\frac{4}{\sqrt{65}}\)。題型九：平面向量垂直的判定與應(yīng)用平面向量垂直是向量關(guān)系中的一種重要情況，利用向量數(shù)量積可以方便地判定向量是否垂直。1.判定定理若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)為非零向量，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)。若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\)。2.應(yīng)用舉例已知\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，\(\overrightarrow=(2,x)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，求\(x\)的值。根據(jù)\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，可得\(3\times2+(4)x=0\)。即\(64x=0\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。在幾何問題中，也可以利用向量垂直來證明垂直關(guān)系。例如，在三角形\(ABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,k)\)，若\(\angleA=90^{\circ}\)，求\(k\)的值。因為\(\angleA=90^{\circ}\)，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\over